城市路網(wǎng)交通擁堵傳播模型分析

黃艷國，劉紅軍，張升升

(江西理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，江西 贛州 341000)

1 引言

隨著汽車保有量的持續(xù)增長，大大超過了同期城市交通網(wǎng)絡(luò)和交通設(shè)施的發(fā)展速度，道路交通資源供需矛盾不斷加劇，城區(qū)道路的擁堵狀況愈來愈嚴(yán)重，這已成為影響居民生活品質(zhì)、阻礙城市發(fā)展的突出問題之一。交通狀態(tài)演變是一個(gè)復(fù)雜的動(dòng)態(tài)過程，研究交通擁堵傳播，對(duì)擁堵的形成原因和形成過程以及緩解道路擁堵具有非常重要的理論意義[1][2]。目前針對(duì)交通擁堵的現(xiàn)狀，改善城市交通道路的交通擁堵問題，國內(nèi)外學(xué)者開展了許多相關(guān)研究[3]。早期的有交通波理論，以流體力學(xué)為基本原理，將車流密度的變化類比成水波的波動(dòng)，分析交通波的傳播速度和方向，尋求交通流參數(shù)與車輛排隊(duì)長度之間的關(guān)系，闡述車流的變化過程[4]。Cats[5]提出了一種動(dòng)態(tài)隨機(jī)交通分配模型，通過提高運(yùn)力效益的方法對(duì)路網(wǎng)的可靠性和車流擁擠的演化過程進(jìn)行了動(dòng)態(tài)建模。Sajjad[6]等提出了一種基于機(jī)器學(xué)習(xí)的技術(shù)，根據(jù)從路網(wǎng)中大量高速公路環(huán)路檢測(cè)器獲得的數(shù)據(jù)對(duì)交通流基本圖進(jìn)行分類和校準(zhǔn)，描述了擁堵在時(shí)間和空間上的傳播和消散模式。JiangZhibin[7]提出了一種基于SIR傳染病模型的擁堵傳播模型，通過擁堵-易感-恢復(fù)的狀態(tài)變化過程來描述擁堵傳播過程。文獻(xiàn)[8]利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析交通擁堵的動(dòng)力學(xué)傳播特征，建立了交通擁堵病毒傳播模型。文獻(xiàn)[10]-[11]使用模擬數(shù)據(jù)從一個(gè)校準(zhǔn)和驗(yàn)證的中觀動(dòng)態(tài)交通流模型，并驗(yàn)證了模型在交通擁堵方面的應(yīng)用。文獻(xiàn)[12]通過對(duì)擁堵蔓延速度的影響因素進(jìn)行量化分析，建立時(shí)變的擁堵蔓延速度模型，該模型能夠描述交通事件下?lián)矶侣拥奶卣鳌?/p>

在現(xiàn)有研究成果中，城市交通通常為復(fù)雜的空間相關(guān)性和時(shí)間相關(guān)性，具有人類行為驅(qū)動(dòng)性和傳播性的特征，類似于傳染病在人群中的傳播或言論在社會(huì)網(wǎng)絡(luò)中的傳播。隨著移動(dòng)傳感器的發(fā)展，路網(wǎng)交通數(shù)據(jù)有了可靠的來源，這進(jìn)一步可以實(shí)時(shí)和宏觀地估計(jì)道路交通狀況。本文通過交通擁堵SIR模型來模擬城市路網(wǎng)中的擁堵擴(kuò)散，通過實(shí)時(shí)監(jiān)視路網(wǎng)并觀察擁堵路段的數(shù)量，模擬出最小化擁堵的總持續(xù)時(shí)間以及最小化恢復(fù)時(shí)間，這可為交通管理和控制策略提供一定支持。

2 擁堵特性分析

2.1 交通擁堵特征及成因分析

城市路網(wǎng)交通是隨著車流變化而動(dòng)態(tài)變化的過程，它包括行人活動(dòng)、車流波動(dòng)、道路結(jié)構(gòu)變化之間的相互作用。交通狀態(tài)一般分為暢通和擁堵，在暢通和擁堵之間存在閾值，閾值可以是車流速度、車流量、車流密度等可量化的交通流指標(biāo)來表示。在不同的道路結(jié)構(gòu)、不同的時(shí)間段、不同的天氣狀況其交通擁堵產(chǎn)生原因、嚴(yán)重程度存在明顯差異。交通路網(wǎng)中擁堵狀態(tài)的產(chǎn)生與交通網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)因和外因有關(guān)，外因包括天氣、突發(fā)狀況等，內(nèi)因包括路網(wǎng)結(jié)構(gòu)、道路通行能力和出行需求等。擁堵狀態(tài)的傳播媒介為路段間運(yùn)行的車流，主要集中在交叉口處。城市交通擁堵傳播特征包括[13]：①交通控制策略、出行環(huán)境等多個(gè)復(fù)雜因素對(duì)交通路網(wǎng)的影響。②擁堵一般發(fā)生在路段口，因此擁堵傳播與交叉口在路網(wǎng)中的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、出行需求相關(guān)，路段通行能力越大，擁堵消散越快。③車流是城市交通路網(wǎng)擁堵傳播的媒介。利用車輛實(shí)際速度與道路最大速度比值來定義擁堵強(qiáng)度，當(dāng)擁堵強(qiáng)度大于道路的閾值時(shí)，則路段就會(huì)產(chǎn)生擁堵。路網(wǎng)中的隊(duì)列溢出對(duì)路段容量很敏感，路段容量在欠飽合和過飽合的條件下難以保持穩(wěn)定，擁堵還會(huì)在恢復(fù)過程中表現(xiàn)出碎片化，從而導(dǎo)致更大的空間異質(zhì)性[14]。

2.2 基于傳染病傳播思想的交通擁堵特性分析

傳染病有三種典型的個(gè)體：易感染者S，與感病者接觸后易受到感染；已感染者I，可以傳播給S類個(gè)體；移出者R，被隔離或因病愈而具有免疫力的個(gè)體，既非易感染者S也非已感染者I[15]。同時(shí)也有兩個(gè)傳播過程，首先是易感個(gè)體與感染個(gè)體接觸后發(fā)生感染，若沒有通過及時(shí)隔離和治療，感染者會(huì)繼續(xù)傳播給接觸的人，然后若每個(gè)感染個(gè)體被隔離和控制，將會(huì)變成移除狀態(tài)，這個(gè)狀態(tài)的個(gè)體將不會(huì)再次感染上病毒，也不會(huì)再去感染其它個(gè)體[16]。在傳播過程中，感染者作為傳播源，攜帶者受到病毒的感染，也會(huì)變成傳播者。傳染病的傳播過程如圖1所示，圖中圓形表示個(gè)體，箭頭指向表示傳播方向。

圖1 傳染病的傳播過程

根據(jù)傳染病的傳播過程，來分析城市道路擁堵的傳播過程。城市路網(wǎng)結(jié)構(gòu)由路段交叉口和路段組成，因此采用路段來分析交通擁堵傳播過程。為了能更好的表示交通擁堵的傳播，首先構(gòu)造交通擁堵信息傳播的路段，如圖2所示。若L0路段處發(fā)生交通擁堵，下游路段L5、L6、L7會(huì)變得暢通，當(dāng)后續(xù)車輛陸續(xù)到達(dá)該處時(shí)，會(huì)將該處的擁堵狀態(tài)以傳遞的形式傳播到L1路段，鄰近路段L3和L4也會(huì)造成一定程度的擁堵。若擁堵持續(xù)，則L2也會(huì)加入擁堵狀態(tài)，擁堵會(huì)通過道路傳播到上游路段，同時(shí)，由于道路本身的通行能力機(jī)制作用和交通管理人員的共同作用，下游路段擁堵會(huì)逐漸消散，而且上游路段擁堵蔓延會(huì)繼續(xù)向后傳播，若交通擁堵一直持續(xù)，則最終會(huì)由點(diǎn)到線，甚至到面的傳播。鄰近的非擁堵路段在擁堵路段發(fā)生時(shí)，可能受其影響，被“感染”成擁堵路段。也可能會(huì)因擁堵源慢慢消散或者交通控制策略，使得上游擁堵得到緩解變成非擁堵路段。這種現(xiàn)象與傳染病的傳播具有一定的相似性，都具有漸變過程和人工干預(yù)特性。對(duì)于漸變性，路段成為擁堵路段前，具有易感和免疫特點(diǎn)。對(duì)于人工干預(yù)性，醫(yī)療水平可以控制傳染病的傳播，交通控制也能減緩擁堵。因此傳染病與交通擁堵有類似的傳播規(guī)律，可借鑒傳染病模型來研究交通擁堵的傳播規(guī)律。本文根據(jù)研究需要，選用交通流速度、排隊(duì)長度、行程時(shí)間等數(shù)據(jù)，并對(duì)數(shù)據(jù)處理得到可作分析需要的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。

圖2 擁堵傳播道路結(jié)構(gòu)

3 基于SIR的交通擁堵傳播模型

3.1 SIR模型

SIR 模型中節(jié)點(diǎn)狀態(tài)分為易感染態(tài)(S)、感染態(tài)(I)和治愈態(tài)(R)。治愈態(tài)節(jié)點(diǎn)是由感染態(tài)轉(zhuǎn)化到正常狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)，將不再受感染節(jié)點(diǎn)的影響。易感染態(tài)節(jié)點(diǎn)被感染后將會(huì)以β的概率轉(zhuǎn)換為感染態(tài)節(jié)點(diǎn)，而感染節(jié)點(diǎn)會(huì)以概率μ恢復(fù)為治愈節(jié)點(diǎn)，三種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)化過程如圖3所示。

圖3 SIR模型狀態(tài)轉(zhuǎn)化過程

假設(shè)在t時(shí)刻，s(t)為易感態(tài)的個(gè)體占比，i(t)為感染態(tài)的個(gè)體占比，r(t)為治愈態(tài)的個(gè)體占比，則傳染病SIR模型的動(dòng)力學(xué)方程如(1)所示，在傳染病SIR模型中，感染初期時(shí)，感染態(tài)個(gè)體的數(shù)量與時(shí)間成正比，但隨著時(shí)間的延長，由于模型中有治愈態(tài)的節(jié)點(diǎn)，因此會(huì)有部分節(jié)點(diǎn)被治愈并且不會(huì)再次被感染。當(dāng)傳播持續(xù)時(shí)，整個(gè)傳播范圍內(nèi)可能只存在易感態(tài)和治愈態(tài)兩種節(jié)點(diǎn)。

(1)

3.2 交通擁堵傳播模型

由于SIR模型的拓展能力和運(yùn)算效率較高，可以較快的發(fā)現(xiàn)擁堵的傳播規(guī)律，因此可以構(gòu)建交通擁堵傳播模型，并呈現(xiàn)路網(wǎng)中交通擁堵隨著時(shí)間和空間變化而進(jìn)行擴(kuò)散、消散甚至轉(zhuǎn)移的過程，擁堵的消散可以看作是擁堵傳播的逆過程。在提出的路網(wǎng)理論框架中，節(jié)點(diǎn)表示交叉路口，路段表示任意兩個(gè)交叉口之間的道路。對(duì)于路網(wǎng)中的每個(gè)路段，都有隨時(shí)間變化的速度vi(t)，將路段上的最大限速表示為vimax(t)，定義

(2)

中λi(t)是路段實(shí)際速度vi(t)與路段最大速度vimax(t)的比值，使用閾值ρ將每個(gè)路段分為處于擁堵si(t)=1和自由流狀態(tài)si(t)=0狀態(tài)，其中ρ是代表不同擁堵級(jí)別的預(yù)先確定的閾值。

(3)

在道路平均混合的假設(shè)下，使用微分方程(ODE)系統(tǒng)描述擁堵傳播的動(dòng)態(tài)過程，模型的動(dòng)力學(xué)方程如下所示：

(4)

(5)

(6)

其中c(t)為路網(wǎng)中擁堵道路的占比，f(t)是自由流道路占比，r(t)是恢復(fù)的道路占比，k表示擁堵節(jié)點(diǎn)處與其相鄰接觸的路段數(shù)。假設(shè)在道路上的車輛數(shù)保持動(dòng)態(tài)平衡，所以c(t)+f(t)+r(t)=1。此外，R0=kβ/μ對(duì)應(yīng)于傳染病模型中“基本傳染數(shù)”。一般與擁堵周期，傳播方向，路段車輛的接觸頻率有關(guān)，R0越高，擁堵在整個(gè)路網(wǎng)中傳播的速度越快，如果R0≤1，則擁堵不會(huì)在路網(wǎng)中傳播。若已知R0，建立的模型可用于預(yù)測(cè)擁堵何時(shí)達(dá)到高峰以及恢復(fù)需要多長時(shí)間，這可用以優(yōu)化各種流量管理和控制策略。

3.2 參數(shù)分析

根據(jù)上面建立的交通擁堵傳播動(dòng)力學(xué)方程可以看出，需要通過參數(shù)分析確定參數(shù)的范圍。如果參數(shù)估計(jì)的過低會(huì)導(dǎo)致規(guī)律的無效性，估計(jì)過高會(huì)導(dǎo)致規(guī)律的單一性，因此參數(shù)的估計(jì)尤其重要。為了估計(jì)所提出模型的參數(shù)，使用帶有模式搜索算法的普通最小二乘(OLS)方法，進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，如式(7)所示。將公式化為一個(gè)最小化問題，找到最小化模型均方根誤差的參數(shù)值。

(7)

其中L為誤差和，為使能較準(zhǔn)確地估計(jì)參數(shù)，應(yīng)使L盡可能小，yi為第i組因變量，xi為第i組自變量，w為系數(shù)變量，利用每組交通數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。對(duì)于不同的路網(wǎng)結(jié)構(gòu)基本傳染數(shù)R0一般是不相同的。例如不同的道路等級(jí)和道路的容納量其傳染數(shù)不同，在早晚高峰時(shí)期以及平峰時(shí)期，車流具有不同的變化規(guī)律，所以每個(gè)時(shí)段內(nèi)的擁堵恢復(fù)概率也不相同，這要根據(jù)具體的道路和周圍路網(wǎng)結(jié)構(gòu)來進(jìn)行計(jì)算。

4 仿真驗(yàn)證與分析

4.1 路網(wǎng)數(shù)據(jù)獲取

依據(jù)交通平臺(tái)對(duì)路網(wǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行獲取，從整體出發(fā)，按照不同權(quán)重進(jìn)行計(jì)算，例如在某一路段上行駛的車輛越多，那么整體路網(wǎng)中所占的權(quán)重就越大，對(duì)所有道路進(jìn)行加權(quán)，然后依據(jù)出行市民對(duì)交通狀況的反饋，對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類分析，將擁堵數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成具體的交通指數(shù)[17]。優(yōu)勢(shì)在于信息豐富、數(shù)據(jù)量大以及數(shù)據(jù)具有很強(qiáng)的動(dòng)態(tài)性。在高德地圖交通平臺(tái)上選取不同城區(qū)為分析對(duì)象，交通數(shù)據(jù)選取2021年1月某日特定時(shí)間上下班高峰期的數(shù)據(jù)，包含杭州市不同城區(qū)擁堵指數(shù)和速度如表1所示。為了數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性，在智慧交通數(shù)據(jù)平臺(tái)上獲取杭州市的相同時(shí)段數(shù)據(jù)和相同類型數(shù)據(jù)同時(shí)分析，模擬路網(wǎng)流量擁堵的傳播動(dòng)態(tài)過程。擁堵指數(shù)為實(shí)際行程時(shí)間與暢通行程時(shí)間的比值，擁堵指數(shù)越大代表擁堵程度越高。

針對(duì)不同城區(qū)，選取蕭山區(qū)里的北塘河公路作為研究對(duì)象，北塘河公路從長山一號(hào)橋到中新橋，東向西走向，從東向西的交叉路依次是建設(shè)一路、通惠北路、寧稅路和寧東路?，F(xiàn)根據(jù)研究需要，對(duì)路網(wǎng)及周邊結(jié)構(gòu)進(jìn)行獲取，由于路網(wǎng)結(jié)構(gòu)圖太大，這里只截取部分如圖4所示。

圖4 北塘河公路道路路網(wǎng)

4.2 仿真分析

在道路結(jié)構(gòu)路網(wǎng)中，從擁堵道路的數(shù)量是增加或減少，可以直觀的看出擁堵是在傳播還是在消散。因此SIR模型作為一種三態(tài)模型，符合現(xiàn)實(shí)交通情況，對(duì)北塘河公路由西向東的車流流向方向，選取鄰近的50條支路來構(gòu)成一個(gè)路網(wǎng)，若選取的支路數(shù)越多就越符合真實(shí)的擁堵傳播，由于道路數(shù)較多，這里就不列舉出來了。以選取的工作日為基礎(chǔ)，以北塘河公路和寧稅路的交叉口為中點(diǎn)，如上圖4所示，圖中直線為北塘河公路，箭頭位置為交叉口。在上下班的高峰期時(shí)，以某個(gè)時(shí)間點(diǎn)根據(jù)車流的速度變化根據(jù)式(2，3)計(jì)算道路λi(t)值，根據(jù)道路的閾值來判斷道路是否為擁堵，當(dāng)擁堵開始時(shí)，用交通擁堵模型來計(jì)算出擁堵的道路占比和恢復(fù)道路占比，如圖5所示。

圖5 路網(wǎng)擁堵和恢復(fù)曲線

針對(duì)北塘河公路路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，由于每個(gè)交叉口都有三條出口，所以節(jié)點(diǎn)分布平均值k=3，對(duì)于較大的ρ值，不同路網(wǎng)之間的R0差異會(huì)增大，這主要是由于ρ較大時(shí)擁堵的定義模糊。因此隨著ρ的增加，路網(wǎng)之間的差異會(huì)影響所研究路網(wǎng)中已恢復(fù)流和自由流路段的比例，這與理論SIR模型的情形一致。當(dāng)分別將北塘河公路路網(wǎng)中周日和工作日進(jìn)行對(duì)比時(shí)，根據(jù)從基于仿真的動(dòng)態(tài)交通模型和已識(shí)別的擁堵道路獲得的交通數(shù)據(jù)，路網(wǎng)中擁堵路段c(t)的比例變化，如圖6和圖7所示。顯示了上午高峰時(shí)段6：00-10：00的出行需求曲線數(shù)據(jù)，依據(jù)實(shí)際交通數(shù)據(jù)與基于仿真的數(shù)據(jù)之間的比較，不同ρ值下c(t)隨時(shí)間演變，其后數(shù)小時(shí)為恢復(fù)期。

圖6 路網(wǎng)模型數(shù)據(jù)和周末數(shù)據(jù)比較

圖7 路網(wǎng)模型數(shù)據(jù)和工作日數(shù)據(jù)比較

盡管所選不同日期的出行需求模式存在差異，但通過數(shù)據(jù)分析，估計(jì)R0值在ρ=0.2-0.3時(shí)相差甚微，而在ρ=0.3-0.4時(shí)僅略有變化，這表明可以以R0為基礎(chǔ)的基本傳染數(shù)來研究擁堵演化過程，這也與路網(wǎng)交通的傳播動(dòng)力學(xué)規(guī)律一致，使用較小的ρ值可以更好地與較大的ρ值相比。例如當(dāng)使用ρ=0.2時(shí)，路段中擁堵路段的比例在模擬的第一個(gè)小時(shí)內(nèi)幾乎沒有擁堵，路網(wǎng)中路段尚未形成擁堵。但是當(dāng)使用ρ=0.9時(shí)，路網(wǎng)中將近20%的路段開始形成擁堵，其中路網(wǎng)的擁堵傳播曲線如圖8所示。

圖8 不同ρ值下的i-s曲線

當(dāng)ρ增大時(shí)，擁堵傳播和消散均呈指數(shù)下降，在排隊(duì)理論中，隊(duì)列的大小取決于到達(dá)和離開曲線之間的差異，而不是單個(gè)到達(dá)和離開速率。隨著時(shí)間的推移，從t=0附近的低值開始，然后逐漸增加，直到在大多數(shù)路段到達(dá)峰值時(shí)才達(dá)到t=200min，然后逐漸減小，直到t=400min，如圖9所示。

圖9 給定ρ值下的c(t)曲線

與交通流理論和運(yùn)動(dòng)波理論相一致，在模擬數(shù)據(jù)中的差異表明了交通擁堵遵循非隨機(jī)的空間擴(kuò)展模式。不同的需求對(duì)擁堵傳播和消散動(dòng)態(tài)存在影響，對(duì)于負(fù)載為1小時(shí)并隨后恢復(fù)數(shù)小時(shí)的同一路網(wǎng)，進(jìn)行了多次仿真，通過減少或增加需求，同時(shí)保持交通運(yùn)行模式相同。然后用模型進(jìn)行求解。當(dāng)需求增加時(shí)，同一路網(wǎng)的擁堵路段比例也會(huì)增加，恢復(fù)擁堵則需要更長的時(shí)間。路網(wǎng)中的交通擁堵情況受到1小時(shí)高峰需求的影響，隨后是從t=60min開始的恢復(fù)期，路網(wǎng)中擁堵路段的比例隨時(shí)間演變，c(t)根據(jù)需求曲線在t=75min時(shí)達(dá)到其峰值。當(dāng)任何給定ρ的需求增加時(shí)，路網(wǎng)擁堵的范圍將變大并且恢復(fù)需要更長的時(shí)間。在現(xiàn)實(shí)世界中很難預(yù)知出行需求，智能手機(jī)客服端在一定程度上會(huì)獲取一段時(shí)間內(nèi)的出行需求，并與路網(wǎng)中的擁堵傳播和消散建立關(guān)系。在宏觀層面，當(dāng)路段從擁堵中恢復(fù)時(shí)，它會(huì)直到下一個(gè)高峰期才會(huì)再次變得擁堵。

5 結(jié)論

交通擁堵傳播規(guī)律性研究，是制定交通管理、控制和誘導(dǎo)措施的重要基礎(chǔ)?；趽矶聜鞑IR模型，對(duì)擁堵過程進(jìn)行了分析，以實(shí)際交通網(wǎng)絡(luò)為研究對(duì)象，結(jié)合相關(guān)交通數(shù)據(jù)，通過模型對(duì)交通擁堵的傳播過程以及交通擁堵的特征進(jìn)行了相關(guān)研究，擁堵傳播為一種擴(kuò)散現(xiàn)象，并隨著出行需求的增加擁堵程度愈嚴(yán)重，根據(jù)交通數(shù)據(jù)特征信息，對(duì)于不同地區(qū)，由于城市路網(wǎng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和出行需求不同，其擁堵傳播和消散的時(shí)間也是不同的。從實(shí)際和模擬兩方面表明，可以通過模型來分析城市交通擁堵的傳播和消散過程，驗(yàn)證了模型的有效性，對(duì)相關(guān)交通擁堵演化模式研究有一定的參考價(jià)值。若引入考慮多個(gè)周期的其它交通狀態(tài)，增加后續(xù)交通數(shù)據(jù)量可以更深入研究擁堵的恢復(fù)過程。