基于改進(jìn)擬牛頓法的柔性直流系統(tǒng)潮流算法*

鄒建凱，韋延方

（河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南焦作 454003）

0 引言

基于電壓源換流器的柔性直流輸電技術(shù)（Voltage Source Converter Based High Voltage Direct Current，VSCHVDC）是新能源大規(guī)模并網(wǎng)和消納的重要方式，但直流線路的引入使得變量數(shù)陡增，雅可比矩陣分解與求逆也變得異常繁雜[1]，這給潮流的快速求解帶來了一定的困難。因此，如何有效地提升交直流系統(tǒng)潮流求解速率已經(jīng)成為了現(xiàn)代電力系統(tǒng)發(fā)展不可忽視的問題。適用于柔性直流輸電系統(tǒng)的潮流求解方法有統(tǒng)一法和交替法兩種形式[2]。統(tǒng)一法是將交流和直流系統(tǒng)的各潮流方程聯(lián)立求解，計(jì)及二者之間的耦合影響，對(duì)各種網(wǎng)絡(luò)和運(yùn)行條件都有良好的適應(yīng)性[3]。交替法將交、直流系統(tǒng)潮流方程分別求解，對(duì)交流系統(tǒng)雅可比矩陣的改動(dòng)小，可以有效地利用現(xiàn)有的純交流系統(tǒng)潮流程序[4]。

現(xiàn)有的潮流求解方法大多基于經(jīng)典的牛頓-拉夫遜（NR）法，經(jīng)典NR 法在每次迭代中僅需一次三角（LU）分解[5]，同時(shí)具有二階收斂特性[6]，可以有效地求解潮流問題。但隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷增大，尤其是VSCHVDC的饋入，變量數(shù)陡增，復(fù)雜的雅可比矩陣分解與求逆變得異常繁雜。Broyden 方法[7]作為一種經(jīng)典的擬牛頓法，使用更容易計(jì)算的近似矩陣來代替復(fù)雜的雅可比矩陣，只需要在初始化時(shí)計(jì)算一次雅可比矩陣，減小了單步迭代計(jì)算量，但較低的收斂階數(shù)使得其迭代次數(shù)有所增加。

為了提升潮流算法的計(jì)算效率，本文首先提出了適用于交直流系統(tǒng)潮流計(jì)算的Broyden 方法迭代形式，進(jìn)而，針對(duì)該方法迭代次數(shù)過多的問題，提出了基于改進(jìn)擬牛頓法[7]的潮流算法，該方法具備更高的收斂速度，在減少單步迭代計(jì)算量的同時(shí)又不會(huì)導(dǎo)致迭代次數(shù)增加過多，使得其計(jì)算效率得到了較大的提升。最后，對(duì)修改后的IEEE標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行仿真測(cè)試，結(jié)果表明：本文算法具有與經(jīng)典NR法相同的精確性，且其在計(jì)算速度方面更有優(yōu)勢(shì)。

1 VSC-HVDC的數(shù)學(xué)模型和潮流方程

1.1 VSC-HVDC的穩(wěn)態(tài)模型及控制方式

單側(cè)VSC-HVDC 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型如圖1 所示[8]，其穩(wěn)態(tài)方程已有相關(guān)研究[9]，本文在此不再一一贅述。

圖1 VSC-HVDC穩(wěn)態(tài)模型

電壓源換流器具有多個(gè)可控變量，其中每個(gè)換流器可采用的控制策略如下：（1）有功功率Ps恒定；（2）直流電壓Ud恒定；（3）直流電流Id恒定；（4）無功功率Qs恒定；（5）交流電壓Us恒定。其中，有功功率Ps、直流電壓Ud與直流電流Id可由移相角δ控制，無功功率Qs與交流電壓Us由調(diào)制度M進(jìn)行控制。本文所采用的4 種控制方式組合的方案詳見文獻(xiàn)[10]。

1.2 含VSC-HVDC的交直流系統(tǒng)潮流方程

基于交直流潮流算法的統(tǒng)一迭代形式與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程，將純交流節(jié)點(diǎn)、直流節(jié)點(diǎn)、換流器VSC 的潮流方程進(jìn)行聯(lián)立，設(shè)系統(tǒng)總節(jié)點(diǎn)數(shù)為n，直流節(jié)點(diǎn)與換流器的個(gè)數(shù)為nVSC，交流節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)nac=n-nVSC，得到含VSC-HVDC的交直流系統(tǒng)潮流方程為：

式中：U、θ為節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角；G、B分別為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的實(shí)部與虛部；上標(biāo)s表示該功率為節(jié)點(diǎn)注入功率；i為節(jié)點(diǎn)編號(hào)；j∈i表示j節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)i相連；a 為純交流節(jié)點(diǎn)；t為直流節(jié)點(diǎn)，其中1～nac為交流節(jié)點(diǎn)，nac+1～n為直流節(jié)點(diǎn)；Δd為換流器潮流方程；μ（0＜μ＜1）為換流器的直流電壓利用率；M（0＜M＜1）為換流器調(diào)制度；Ud為直流系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓；gd為直流系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣元素。

2 算法原理

2.1 Broyden方法原理

經(jīng)典NR 法雖然可以達(dá)到二階收斂速度，但每一步迭代需要計(jì)算n2個(gè)偏導(dǎo)數(shù)?jfi(x(k))（i，j=1，2，…，n）及n個(gè)分量函數(shù)的值f（x（k）），其計(jì)算量是很可觀的。因此，為了減少每步迭代的計(jì)算量，可采用Broyden 方法來解決非線性方程組的求解問題。Broyden方法是一種經(jīng)典的擬牛頓法，這種方法的主要思想是用更容易計(jì)算的近似矩陣來代替復(fù)雜的雅可比矩陣，只需要在初始化時(shí)計(jì)算一次雅可比矩陣。Broyden秩1迭代公式[7]如下：

式中：函數(shù)f（x）為待求的方程；x（k+1）為第k次迭代后的修正值；sk-1=x（k）-x（k-1），yk-1=f（x（k））-f（x（k-1））；B0取f（x）在初始點(diǎn)x（0）的雅可比矩陣。

Broyden 秩1 方法將單步迭代計(jì)算量由O（n3）降為O（n2），大大地減少了計(jì)算量，一定程度上避免了誤差的累計(jì)傳播。但這種方法的收斂階數(shù)低于經(jīng)典牛頓法，為超線性收斂，會(huì)導(dǎo)致迭代次數(shù)的增多。

2.2 改進(jìn)擬牛頓法原理

針對(duì)Broyden 方法收斂階數(shù)較低，迭代次數(shù)增加等問題，文獻(xiàn)[7]提出了一種改進(jìn)擬牛頓法用于求解非線性方程組，第k次的迭代公式如下：

式中：dkB= -B-1kf(x(k))，dkM= -B-1kf(z(k))z(k)=x(k)+dkB，使用式（2）來更新Bk。

改進(jìn)擬牛頓法使用了三階NR 法的迭代形式，同時(shí)使用Broyden 方法更新其雅可比矩陣的近似矩陣，在一定情況下具有全局收斂性。該方法不僅保留了擬牛頓法單步迭代計(jì)算量小的優(yōu)勢(shì)，同時(shí)還能減少了迭代次數(shù)，使得其算法效率相較于經(jīng)典NR 法與Broyden 方法而言有較大的提升。

2.3 含VSC-HVDC的交直流系統(tǒng)改進(jìn)潮流

電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的實(shí)質(zhì)為非線性方程組的求解。在 此，設(shè) VSC-HVDC 的 變 量 參 數(shù) 為x=[U,θ,Ud,Id,δ,M,Ps,Qs]T，而 各 不 平 衡 量 為 Δf=[ΔP,ΔQ,Δd1,Δd2,Δd3,Δd4]T，雅可比矩陣用J表示。電力系統(tǒng)潮流計(jì)算即為求解方程f（x）=0。利用下式計(jì)算功率不平衡量Δf：

基于改進(jìn)擬牛頓法，可得改進(jìn)的含VSC-HVDC 的交直流系統(tǒng)潮流混合算法求解過程如下。

3 算例分析

為了驗(yàn)證所提出改進(jìn)潮流算法的有效性，同時(shí)對(duì)比改進(jìn)算法與經(jīng)典NR 法的計(jì)算效率，分別對(duì)14、30、57和118 節(jié)點(diǎn)的柔性直流輸電系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析（算例系統(tǒng)均由IEEE 標(biāo)準(zhǔn)算例系統(tǒng)修改得到），使用MATLAB R2019b 進(jìn)行測(cè)試，仿真精度ε設(shè)置為10-6。限于篇幅，本文主要分析驗(yàn)證了30 節(jié)點(diǎn)柔性直流輸電系統(tǒng)的交流潮流結(jié)果和直流潮流結(jié)果，圖2 為修改后的IEEE-30 節(jié)點(diǎn)交直流系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，圖中整流器與逆變器的參數(shù)設(shè)定相同，其 中XL=0.15p.u.，R=0.006p.u.，Rd=0.03p.u.，Xf=0.01p.u.（各參數(shù)均為標(biāo)幺值）。

圖2 經(jīng)修改的IEEE-30節(jié)點(diǎn)交直流系統(tǒng)

3.1 基本算例測(cè)試

為驗(yàn)證所提算法在不同控制方式下的有效性和適用性，下面將分別對(duì)4 種控制方案進(jìn)行仿真驗(yàn)證。為便于比較分析，設(shè)定A 表示經(jīng)典牛頓法，B 表示Broyden 方法，C 表示改進(jìn)擬牛頓法。上述方法具有相同的收斂精度，限于篇幅，表1、表2僅給出了IEEE-30算例系統(tǒng)在C方法下交流系統(tǒng)、直流系統(tǒng)潮流計(jì)算的結(jié)果。

表1 交流系統(tǒng)潮流結(jié)果（方案1）

根據(jù)表1和表2的仿真結(jié)果可知，改進(jìn)擬牛頓法具有和經(jīng)典牛頓法一樣的高精確性；根據(jù)表2中4種不同控制方式下直流系統(tǒng)潮流結(jié)果可知，本文方法適用于換流器不同的控制方式及設(shè)定值。

表2 直流系統(tǒng)潮流結(jié)果

3.2 算法效率測(cè)試

表3 為不同算例系統(tǒng)在方法A、B、C 下的計(jì)算性能比較（僅以方案1 為例）。由表可知，由于收斂階數(shù)較低，方法B 的迭代次數(shù)相較于方法A 增加較多，因此雖然方法B 可以有效地減少單步迭代計(jì)算量，但其計(jì)算效率相較于方法A 提升較小，在各種算例情況下方法B 相較于方法A 的平均計(jì)算時(shí)間縮減率僅為8.371%；而方法C 在保留了低階算法單步計(jì)算量較少優(yōu)勢(shì)的同時(shí)，減少了迭代次數(shù)，使得方法C 比A、B 兩種方法計(jì)算時(shí)間更短，方法C 相較于方法A 的平均計(jì)算時(shí)間縮減率可達(dá)到26.712%。

表3 各算例迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間比較（方案1）

對(duì)于全部算例系統(tǒng)而言，方法C 所用的計(jì)算時(shí)間最短。同時(shí)，當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)從14 增加到118 時(shí)，方法C 的計(jì)算時(shí)間增量也是最短的。這說明方法C 在實(shí)際應(yīng)用方面相較于經(jīng)典牛頓法和Broyden方法具備一定的速度優(yōu)勢(shì)。

3.3 重負(fù)荷下算法性能對(duì)比

表4 為系統(tǒng)在重負(fù)荷情況下，方法A、B、C 的收斂性能對(duì)比（以IEEE-118 為例，控制方式為方案1，負(fù)荷改變的為節(jié)點(diǎn)44 的有功負(fù)荷，表中NC表示達(dá)到系統(tǒng)極限，算法不再收斂）。從表4 中可以看出，當(dāng)負(fù)荷值從0.5 增加到2.992 時(shí)，3 種方法的迭代次數(shù)分別增加5、7、5 次，且方法C 的計(jì)算時(shí)間最少，僅為方法A 的一半左右，這表明方法C 在極端條件下具有很高的穩(wěn)定性與高效性。

表4 重負(fù)荷下迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間比較（方案2）

4 結(jié)束語

基于電壓源換流器的柔性直流輸電技術(shù)是新一代高壓直流輸電技術(shù)，它相較于傳統(tǒng)高壓直流輸電具有多項(xiàng)技術(shù)優(yōu)勢(shì)。本文針對(duì)柔性直流輸電系統(tǒng)，提出了一種基于改進(jìn)擬牛頓法的柔性直流系統(tǒng)潮流算法，該算法在每次迭代中不需要計(jì)算復(fù)雜的雅可比矩陣，而是使用更容易計(jì)算的近似矩陣來代替，極大地減少了計(jì)算量，同時(shí)保持了較高的收斂階數(shù)，使得算法效率相較于經(jīng)典牛頓法和Broyden 方法得到了顯著的提升。同時(shí)，算例結(jié)果也驗(yàn)證了本文提出的改進(jìn)擬牛頓潮流算法的可行性與有效性。