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    基于改進(jìn)擬牛頓法的柔性直流系統(tǒng)潮流算法*

    2023-03-23 07:44:10鄒建凱韋延方
    機(jī)電工程技術(shù) 2023年2期
    關(guān)鍵詞:換流器算例牛頓

    鄒建凱,韋延方

    (河南理工大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院,河南焦作 454003)

    0 引言

    基于電壓源換流器的柔性直流輸電技術(shù)(Voltage Source Converter Based High Voltage Direct Current,VSCHVDC)是新能源大規(guī)模并網(wǎng)和消納的重要方式,但直流線路的引入使得變量數(shù)陡增,雅可比矩陣分解與求逆也變得異常繁雜[1],這給潮流的快速求解帶來了一定的困難。因此,如何有效地提升交直流系統(tǒng)潮流求解速率已經(jīng)成為了現(xiàn)代電力系統(tǒng)發(fā)展不可忽視的問題。適用于柔性直流輸電系統(tǒng)的潮流求解方法有統(tǒng)一法和交替法兩種形式[2]。統(tǒng)一法是將交流和直流系統(tǒng)的各潮流方程聯(lián)立求解,計(jì)及二者之間的耦合影響,對(duì)各種網(wǎng)絡(luò)和運(yùn)行條件都有良好的適應(yīng)性[3]。交替法將交、直流系統(tǒng)潮流方程分別求解,對(duì)交流系統(tǒng)雅可比矩陣的改動(dòng)小,可以有效地利用現(xiàn)有的純交流系統(tǒng)潮流程序[4]。

    現(xiàn)有的潮流求解方法大多基于經(jīng)典的牛頓-拉夫遜(NR)法,經(jīng)典NR 法在每次迭代中僅需一次三角(LU)分解[5],同時(shí)具有二階收斂特性[6],可以有效地求解潮流問題。但隨著電力系統(tǒng)規(guī)模的不斷增大,尤其是VSCHVDC的饋入,變量數(shù)陡增,復(fù)雜的雅可比矩陣分解與求逆變得異常繁雜。Broyden 方法[7]作為一種經(jīng)典的擬牛頓法,使用更容易計(jì)算的近似矩陣來代替復(fù)雜的雅可比矩陣,只需要在初始化時(shí)計(jì)算一次雅可比矩陣,減小了單步迭代計(jì)算量,但較低的收斂階數(shù)使得其迭代次數(shù)有所增加。

    為了提升潮流算法的計(jì)算效率,本文首先提出了適用于交直流系統(tǒng)潮流計(jì)算的Broyden 方法迭代形式,進(jìn)而,針對(duì)該方法迭代次數(shù)過多的問題,提出了基于改進(jìn)擬牛頓法[7]的潮流算法,該方法具備更高的收斂速度,在減少單步迭代計(jì)算量的同時(shí)又不會(huì)導(dǎo)致迭代次數(shù)增加過多,使得其計(jì)算效率得到了較大的提升。最后,對(duì)修改后的IEEE標(biāo)準(zhǔn)算例進(jìn)行仿真測(cè)試,結(jié)果表明:本文算法具有與經(jīng)典NR法相同的精確性,且其在計(jì)算速度方面更有優(yōu)勢(shì)。

    1 VSC-HVDC的數(shù)學(xué)模型和潮流方程

    1.1 VSC-HVDC的穩(wěn)態(tài)模型及控制方式

    單側(cè)VSC-HVDC 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)數(shù)學(xué)模型如圖1 所示[8],其穩(wěn)態(tài)方程已有相關(guān)研究[9],本文在此不再一一贅述。

    圖1 VSC-HVDC穩(wěn)態(tài)模型

    電壓源換流器具有多個(gè)可控變量,其中每個(gè)換流器可采用的控制策略如下:(1)有功功率Ps恒定;(2)直流電壓Ud恒定;(3)直流電流Id恒定;(4)無功功率Qs恒定;(5)交流電壓Us恒定。其中,有功功率Ps、直流電壓Ud與直流電流Id可由移相角δ控制,無功功率Qs與交流電壓Us由調(diào)制度M進(jìn)行控制。本文所采用的4 種控制方式組合的方案詳見文獻(xiàn)[10]。

    1.2 含VSC-HVDC的交直流系統(tǒng)潮流方程

    基于交直流潮流算法的統(tǒng)一迭代形式與系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)方程,將純交流節(jié)點(diǎn)、直流節(jié)點(diǎn)、換流器VSC 的潮流方程進(jìn)行聯(lián)立,設(shè)系統(tǒng)總節(jié)點(diǎn)數(shù)為n,直流節(jié)點(diǎn)與換流器的個(gè)數(shù)為nVSC,交流節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)nac=n-nVSC,得到含VSC-HVDC的交直流系統(tǒng)潮流方程為:

    式中:U、θ為節(jié)點(diǎn)電壓幅值和相角;G、B分別為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣的實(shí)部與虛部;上標(biāo)s表示該功率為節(jié)點(diǎn)注入功率;i為節(jié)點(diǎn)編號(hào);j∈i表示j節(jié)點(diǎn)與節(jié)點(diǎn)i相連;a 為純交流節(jié)點(diǎn);t為直流節(jié)點(diǎn),其中1~nac為交流節(jié)點(diǎn),nac+1~n為直流節(jié)點(diǎn);Δd為換流器潮流方程;μ(0<μ<1)為換流器的直流電壓利用率;M(0<M<1)為換流器調(diào)制度;Ud為直流系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓;gd為直流系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣元素。

    2 算法原理

    2.1 Broyden方法原理

    經(jīng)典NR 法雖然可以達(dá)到二階收斂速度,但每一步迭代需要計(jì)算n2個(gè)偏導(dǎo)數(shù)?jfi(x(k))(i,j=1,2,…,n)及n個(gè)分量函數(shù)的值f(x(k)),其計(jì)算量是很可觀的。因此,為了減少每步迭代的計(jì)算量,可采用Broyden 方法來解決非線性方程組的求解問題。Broyden方法是一種經(jīng)典的擬牛頓法,這種方法的主要思想是用更容易計(jì)算的近似矩陣來代替復(fù)雜的雅可比矩陣,只需要在初始化時(shí)計(jì)算一次雅可比矩陣。Broyden秩1迭代公式[7]如下:

    式中:函數(shù)f(x)為待求的方程;x(k+1)為第k次迭代后的修正值;sk-1=x(k)-x(k-1),yk-1=f(x(k))-f(x(k-1));B0取f(x)在初始點(diǎn)x(0)的雅可比矩陣。

    Broyden 秩1 方法將單步迭代計(jì)算量由O(n3)降為O(n2),大大地減少了計(jì)算量,一定程度上避免了誤差的累計(jì)傳播。但這種方法的收斂階數(shù)低于經(jīng)典牛頓法,為超線性收斂,會(huì)導(dǎo)致迭代次數(shù)的增多。

    2.2 改進(jìn)擬牛頓法原理

    針對(duì)Broyden 方法收斂階數(shù)較低,迭代次數(shù)增加等問題,文獻(xiàn)[7]提出了一種改進(jìn)擬牛頓法用于求解非線性方程組,第k次的迭代公式如下:

    式中:dkB= -B-1kf(x(k)),dkM= -B-1kf(z(k))z(k)=x(k)+dkB,使用式(2)來更新Bk。

    改進(jìn)擬牛頓法使用了三階NR 法的迭代形式,同時(shí)使用Broyden 方法更新其雅可比矩陣的近似矩陣,在一定情況下具有全局收斂性。該方法不僅保留了擬牛頓法單步迭代計(jì)算量小的優(yōu)勢(shì),同時(shí)還能減少了迭代次數(shù),使得其算法效率相較于經(jīng)典NR 法與Broyden 方法而言有較大的提升。

    2.3 含VSC-HVDC的交直流系統(tǒng)改進(jìn)潮流

    電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的實(shí)質(zhì)為非線性方程組的求解。在 此,設(shè) VSC-HVDC 的 變 量 參 數(shù) 為x=[U,θ,Ud,Id,δ,M,Ps,Qs]T,而 各 不 平 衡 量 為 Δf=[ΔP,ΔQ,Δd1,Δd2,Δd3,Δd4]T,雅可比矩陣用J表示。電力系統(tǒng)潮流計(jì)算即為求解方程f(x)=0。利用下式計(jì)算功率不平衡量Δf:

    基于改進(jìn)擬牛頓法,可得改進(jìn)的含VSC-HVDC 的交直流系統(tǒng)潮流混合算法求解過程如下。

    3 算例分析

    為了驗(yàn)證所提出改進(jìn)潮流算法的有效性,同時(shí)對(duì)比改進(jìn)算法與經(jīng)典NR 法的計(jì)算效率,分別對(duì)14、30、57和118 節(jié)點(diǎn)的柔性直流輸電系統(tǒng)進(jìn)行仿真分析(算例系統(tǒng)均由IEEE 標(biāo)準(zhǔn)算例系統(tǒng)修改得到),使用MATLAB R2019b 進(jìn)行測(cè)試,仿真精度ε設(shè)置為10-6。限于篇幅,本文主要分析驗(yàn)證了30 節(jié)點(diǎn)柔性直流輸電系統(tǒng)的交流潮流結(jié)果和直流潮流結(jié)果,圖2 為修改后的IEEE-30 節(jié)點(diǎn)交直流系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,圖中整流器與逆變器的參數(shù)設(shè)定相同,其 中XL=0.15p.u.,R=0.006p.u.,Rd=0.03p.u.,Xf=0.01p.u.(各參數(shù)均為標(biāo)幺值)。

    圖2 經(jīng)修改的IEEE-30節(jié)點(diǎn)交直流系統(tǒng)

    3.1 基本算例測(cè)試

    為驗(yàn)證所提算法在不同控制方式下的有效性和適用性,下面將分別對(duì)4 種控制方案進(jìn)行仿真驗(yàn)證。為便于比較分析,設(shè)定A 表示經(jīng)典牛頓法,B 表示Broyden 方法,C 表示改進(jìn)擬牛頓法。上述方法具有相同的收斂精度,限于篇幅,表1、表2僅給出了IEEE-30算例系統(tǒng)在C方法下交流系統(tǒng)、直流系統(tǒng)潮流計(jì)算的結(jié)果。

    表1 交流系統(tǒng)潮流結(jié)果(方案1)

    根據(jù)表1和表2的仿真結(jié)果可知,改進(jìn)擬牛頓法具有和經(jīng)典牛頓法一樣的高精確性;根據(jù)表2中4種不同控制方式下直流系統(tǒng)潮流結(jié)果可知,本文方法適用于換流器不同的控制方式及設(shè)定值。

    表2 直流系統(tǒng)潮流結(jié)果

    3.2 算法效率測(cè)試

    表3 為不同算例系統(tǒng)在方法A、B、C 下的計(jì)算性能比較(僅以方案1 為例)。由表可知,由于收斂階數(shù)較低,方法B 的迭代次數(shù)相較于方法A 增加較多,因此雖然方法B 可以有效地減少單步迭代計(jì)算量,但其計(jì)算效率相較于方法A 提升較小,在各種算例情況下方法B 相較于方法A 的平均計(jì)算時(shí)間縮減率僅為8.371%;而方法C 在保留了低階算法單步計(jì)算量較少優(yōu)勢(shì)的同時(shí),減少了迭代次數(shù),使得方法C 比A、B 兩種方法計(jì)算時(shí)間更短,方法C 相較于方法A 的平均計(jì)算時(shí)間縮減率可達(dá)到26.712%。

    表3 各算例迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間比較(方案1)

    對(duì)于全部算例系統(tǒng)而言,方法C 所用的計(jì)算時(shí)間最短。同時(shí),當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)從14 增加到118 時(shí),方法C 的計(jì)算時(shí)間增量也是最短的。這說明方法C 在實(shí)際應(yīng)用方面相較于經(jīng)典牛頓法和Broyden方法具備一定的速度優(yōu)勢(shì)。

    3.3 重負(fù)荷下算法性能對(duì)比

    表4 為系統(tǒng)在重負(fù)荷情況下,方法A、B、C 的收斂性能對(duì)比(以IEEE-118 為例,控制方式為方案1,負(fù)荷改變的為節(jié)點(diǎn)44 的有功負(fù)荷,表中NC表示達(dá)到系統(tǒng)極限,算法不再收斂)。從表4 中可以看出,當(dāng)負(fù)荷值從0.5 增加到2.992 時(shí),3 種方法的迭代次數(shù)分別增加5、7、5 次,且方法C 的計(jì)算時(shí)間最少,僅為方法A 的一半左右,這表明方法C 在極端條件下具有很高的穩(wěn)定性與高效性。

    表4 重負(fù)荷下迭代次數(shù)和計(jì)算時(shí)間比較(方案2)

    4 結(jié)束語

    基于電壓源換流器的柔性直流輸電技術(shù)是新一代高壓直流輸電技術(shù),它相較于傳統(tǒng)高壓直流輸電具有多項(xiàng)技術(shù)優(yōu)勢(shì)。本文針對(duì)柔性直流輸電系統(tǒng),提出了一種基于改進(jìn)擬牛頓法的柔性直流系統(tǒng)潮流算法,該算法在每次迭代中不需要計(jì)算復(fù)雜的雅可比矩陣,而是使用更容易計(jì)算的近似矩陣來代替,極大地減少了計(jì)算量,同時(shí)保持了較高的收斂階數(shù),使得算法效率相較于經(jīng)典牛頓法和Broyden 方法得到了顯著的提升。同時(shí),算例結(jié)果也驗(yàn)證了本文提出的改進(jìn)擬牛頓潮流算法的可行性與有效性。

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