FR-ICP算法在傾斜攝影測量點云配準中的應(yīng)用

任鏷 孫曉敏 李源 徐崇斌 王樹輝

FR-ICP算法在傾斜攝影測量點云配準中的應(yīng)用

任鏷1孫曉敏2李源3徐崇斌2王樹輝4

（1 北京印刷學(xué)院，北京 102600） （2 北京空間機電研究所，北京 100094） （3 西安博物院，西安 710054） （4 北京幾何維度科技有限公司，北京 100162）

傾斜攝影測量技術(shù)在大場景三維重建應(yīng)用中，需要通過多片點云數(shù)據(jù)的剛性配準來實現(xiàn)數(shù)據(jù)融合。傳統(tǒng)迭代最近點（Iterative Closest Point，ICP）算法在實際應(yīng)用中存在收斂速度慢、易受異常值影響、精度低等具體問題。文章將一種快速且魯棒的ICP算法（FR-ICP）引入航空傾斜攝影測量應(yīng)用領(lǐng)域，通過引入Welsch函數(shù)描述配準誤差，提高缺失點云數(shù)據(jù)的配準精度；通過李代數(shù)形式表示變換矩陣，將優(yōu)化求解過程轉(zhuǎn)換為固定點迭代加速，大大提高了算法的收斂速度。在小雁塔真實測繪三維點云數(shù)據(jù)集上驗證了算法有效性，實驗結(jié)果表明FR-ICP算法可解決航空傾斜攝影在古建筑數(shù)字化保護應(yīng)用中多源、大尺度海量點云數(shù)據(jù)融合處理問題，提高基于傾斜攝影測量重建三維點云的數(shù)據(jù)精度。

迭代最近點 傾斜攝影測量 三維點云 點云配準 遙感應(yīng)用

0 引言

隨著無人機和傳感器硬件的發(fā)展，以及基于計算機視覺的圖像三維重建技術(shù)的提高，無人機傾斜攝影測量技術(shù)已在許多領(lǐng)域取得廣泛應(yīng)用，改變了傳統(tǒng)的航空攝影測量只能從垂直角度拍攝地物的局限性。完整的傾斜攝影系統(tǒng)通過在一臺無人機上搭載多臺攝像機和傳感器，可以同時從垂直和側(cè)視的不同角度采集數(shù)據(jù)，生成帶有空間位置信息的高分辨率圖像，進而在算法支持下實現(xiàn)目標表面的三維重建。目前，無人機傾斜攝影測量作為航空攝影測量應(yīng)用中的重要技術(shù)手段，已經(jīng)從科學(xué)研究階段走向成熟的行業(yè)應(yīng)用，成為我國航空遙感監(jiān)測體系的重要補充。

利用航空傾斜攝影測量完成古建筑的三維數(shù)據(jù)采集，是遙感測繪技術(shù)在文化遺產(chǎn)數(shù)字化保護領(lǐng)域的重要應(yīng)用。與二維遙感數(shù)據(jù)處理不同，三維數(shù)據(jù)采集要求測量系統(tǒng)完成地面目標在空間中的三維點云計算，這對測量系統(tǒng)整體的穩(wěn)定性、拍攝圖像分辨率和重復(fù)區(qū)域面積都有較高要求。由于中國古建筑體量大、結(jié)構(gòu)復(fù)雜，且存在大量自遮擋等問題，實際作業(yè)中需要多次拍攝計算點云并進行配準[1]。此外，地面激光掃描（Terrestrial Laser Scanning，TLS）在古建筑數(shù)字化中可直接獲取高精度的三維點云數(shù)據(jù)，但是在高空作業(yè)中應(yīng)用受限。將高空傾斜攝影測量技術(shù)重建生成的三維點云與激光掃描點云進行配準融合，可大大提高數(shù)據(jù)的精度和完整度，目前已成為古建筑三維數(shù)字化的標準技術(shù)方案。其中，點云數(shù)據(jù)配準的魯棒性和精確度將直接決定數(shù)據(jù)結(jié)果的質(zhì)量。

在理想的剛性配準結(jié)果中，目標空間表面同一位置在不同點云中的采樣位置應(yīng)完全重合。為接近這個理想目標，文獻[2]、[3]引入迭代優(yōu)化思想，逐漸形成早期經(jīng)典迭代最近點（Iterative Closest Point，ICP）算法。傳統(tǒng)的ICP算法多采用二范數(shù)來描述配準誤差，導(dǎo)致結(jié)果易受異常值和缺失數(shù)據(jù)的影響，收斂于局部最優(yōu)。針對這些問題，許多學(xué)者從不同角度出發(fā)對算法提出了改進，如通過改進初始配準、改進收斂函數(shù)、改進點對搜索方式提高算法效率等[4]?？紤]初始位置會影響ICP算法配準結(jié)果，許多研究通過粗配準，在計算點云對應(yīng)階段加入幾何結(jié)構(gòu)特征來提高初始配準精度，如：文獻[5]利用SIFT特征檢測計算特征點集，同時將特征融合在對應(yīng)點的計算過程中，提高對應(yīng)點搜索的準確性；文獻[6]利用拐點特征實現(xiàn)點云數(shù)據(jù)降采樣，提高ICP算法在大規(guī)模點云數(shù)據(jù)中的有效性；文獻[7]提出GICP方法，通過計算高斯分布得到最優(yōu)變換矩陣，提升算法對噪聲和離群值的魯棒性。為擴大算法收斂范圍，文獻[8]提出go-ICP算法，使用八叉樹將初始空間細分為子空間，利用分支定界搜索滿足條件的子空間找到全局最優(yōu)變換，解決算法易收斂于局部極小值的問題。文獻[9]提出MVGICP算法，在多尺度體素上計算均值和方差，再帶入GICP模型中，提高了計算效率。為降低缺失數(shù)據(jù)和異常值的影響，文獻[10]提出Sparse-ICP算法，通過定義度量函數(shù)降低遠距離對應(yīng)點的影響，提高配準精度，但是該方法求解速度低于傳統(tǒng)ICP方法。文獻[11]提出利用Anderson加速的AA-ICP算法，從改進收斂函數(shù)和搜索方式兩方面提升算法效率。AA-ICP算法采用歐拉角作為剛性變換的參數(shù)化形式，將傳統(tǒng)兩步交替迭代的測量合并為一步固定點迭代，提出兩種啟發(fā)式策略來解決Anderson加速的不穩(wěn)定性，提高點云配準的收斂速度和魯棒性。最新工作中，文獻[12]提出FR-ICP算法，用李代數(shù)代替歐拉角參數(shù)化剛性變換，并提出基于Welsch函數(shù)的點對點魯棒距離度量，通過極大極小方法進行Anderson加速，從定義誤差度量和改進迭代方式兩方面提升了算法效果，相較其他改進ICP算法具有更高的精度、魯棒性和效率。

已有ICP改進工作在標準數(shù)據(jù)集上提升了傳統(tǒng)ICP算法的配準效果，但是在真實數(shù)據(jù)集中提升有限。利用傾斜攝影測量技術(shù)重建生成的三維點云通常存在點云數(shù)量多、體量大、噪聲多等問題，與激光掃描數(shù)據(jù)配準時會出現(xiàn)數(shù)據(jù)重疊有限、缺失較多、尺度不一致等具體問題，傳統(tǒng)配準方法很難得到準確的配準結(jié)果。實際工作中常采用半自動配準方法，在人工標定對應(yīng)點基礎(chǔ)上通過調(diào)用軟件集成的配準功能來實現(xiàn)精確配準。本文為了解決傾斜攝影測量技術(shù)在古建筑三維點云配準中的具體應(yīng)用問題，引入FR-ICP算法實現(xiàn)快速魯棒的自動配準；針對激光掃描和重建點云多源異構(gòu)數(shù)據(jù)的配準問題，通過一種近似內(nèi)蘊體素的點云簡化算法將兩組點云降采樣，在保留數(shù)據(jù)特征基礎(chǔ)上計算變換矩陣。按照本文提出的算法對小雁塔古建筑三維點云數(shù)據(jù)進行了配準測試，驗證結(jié)果顯示該算法可有效提升傾斜攝影測量在三維重建應(yīng)用中的點云配準精度和效率。

1 ICP算法模型

式中 （*,*）為變換后的旋轉(zhuǎn)平移矩陣。

從以上求解過程可以看出，傳統(tǒng)ICP算法利用L2距離作為度量函數(shù)，通過迭代計算源點云變換后與目標點云的最小二乘距離，實現(xiàn)距離最小化，最終實現(xiàn)配準。計算過程易受異常值影響而陷入局部最優(yōu)，因此存在局限性。在傾斜攝影技術(shù)的大規(guī)模場景點云配準應(yīng)用中，因點云數(shù)量巨大，導(dǎo)致噪聲和異常值較多，且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多源數(shù)據(jù)通常還會帶來點云密度變化、重疊區(qū)域有限等問題。因此，實際應(yīng)用中直接采用ICP算法及其他基于L2距離的改進算法，很難得到魯棒高效的配準結(jié)果。

2 算法改進

2.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

傳統(tǒng)ICP算法要求待配準點云數(shù)量嚴格一致，在實際問題中難以直接應(yīng)用。而采用FR-ICP算法雖然可以大大提高配準的效率和精度，但是如果使用完整點云數(shù)據(jù)進行配準，計算量非常大，導(dǎo)致配準時間過長無法得到理想結(jié)果。本文首先通過對點云數(shù)據(jù)進行降采樣預(yù)處理，減少配準過程的計算量[13]。來自真實世界的點云數(shù)據(jù)存在較大噪聲，需要通過濾波算法去除噪聲和異常點。本文采用一種基于體素結(jié)構(gòu)的近似內(nèi)蘊（Approximate Intrinsic Voxel Structure，AIVS）點云簡化算法對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理[14]。對于高分辨率掃描或重建生成的密集點云數(shù)據(jù)，體素越密集的地方有效信息越多，因此可通過體素網(wǎng)格去除離群點。AIVS算法利用點云數(shù)據(jù)的全局體素結(jié)構(gòu)將簡化任務(wù)分解為可并行處理的子任務(wù)集合，同時通過內(nèi)蘊結(jié)構(gòu)對點之間的距離進行控制，從而更好地保證原始數(shù)據(jù)的幾何一致性。

此外，使用原始海量點云進行配準需要消耗大量計算和存儲資源，因此在利用體素濾波器進行去噪的同時需要對原始點云進行降采樣。利用AIVS算法在劃分的體素中進行局部最遠點采樣，能夠在保持點云全局分布密度的同時有效簡化點云，在不破壞點云幾何結(jié)構(gòu)的同時獲得低數(shù)據(jù)量表達。簡化后的三維點云可以大幅減少異常點影響。

2.2 距離度量函數(shù)

圖1 不同參數(shù)對應(yīng)的Welsch函數(shù)曲線

Fig.1 Welsch curves with different parameters

為了選取適當?shù)腤elsch函數(shù)參數(shù)值，F(xiàn)R-ICP算法采用動態(tài)調(diào)整方式，以達到自適應(yīng)的求解剛性配準問題?？紤]到初始位置時，直接計算源點云和目標點云之間的距離較近的最近點不準確，該算法采用由粗糙到精細的配準過程。將初始狀態(tài)最近點之間的距離中值作為參數(shù)的初始值，目標函數(shù)迭代收斂時，減小參數(shù)值并繼續(xù)迭代，直到達到或低于預(yù)設(shè)終止值，終止迭代。終止值由源點云和目標點云的密度決定。

2.3 收斂算法加速

由于Anderson加速具有不穩(wěn)定性，計算的加速解并不能保證距離度量函數(shù)值是降低的。文獻[12]提出的FR-ICP算法采用一種簡單的策略保證結(jié)果單調(diào)下降，即判斷度量函數(shù)值是否降低，若降低則接受加速解，否則用加速前的解作為當前迭代最優(yōu)解，然后繼續(xù)迭代求解直到收斂。

3 實驗與分析

3.1 數(shù)據(jù)描述

本文以小雁塔點云數(shù)據(jù)融合處理作為應(yīng)用實例，來驗證FR-ICP算法在傾斜攝影測量數(shù)據(jù)中應(yīng)用的有效性。小雁塔位于陜西省西安市，作為中國唐代密檐式佛塔的典型代表，小雁塔古建筑三維數(shù)字化具有重要意義。小雁塔現(xiàn)存主體高43.4m，底層邊長11.38m，高臺基底座邊長23.38m。小雁塔建筑體量大，頂部缺失，塔身表面細節(jié)豐富。為保證采集數(shù)據(jù)的完整性和高精度，利用航空傾斜攝影和地面激光掃描融合方法生成完整的古建筑外表面三維點云。掃描階段，采用地面站式激光掃描儀FARO Focus Premium 350采集高精度三維點云，精度達0.2cm。航拍階段，采用2臺無人機規(guī)劃不同路徑圍繞小雁塔采集空中影像，圖像分辨率為5 472×3 648像素。實際采用大疆M300無人機搭載35mm定焦P1鏡頭，以及精靈4 RTX搭載24mm定焦鏡頭分別航飛完成高空作業(yè)?；诓杉瘓D像，利用ContextCapture軟件實現(xiàn)空三測量，按照實驗需求重建不同密度的三維點云。

待配準的小雁塔點云數(shù)據(jù)包含兩種來源：一是地面激光雷達直接掃描生成點云，二是利用航空傾斜攝影測量技術(shù)重建生成點云。激光掃描采集生成的點云數(shù)量直接由掃描儀精度決定，實踐中利用站式激光掃描儀對小雁塔地面部分進行多站掃描，融合生成包含超過1億個三維點的原始點云。傾斜攝影測量數(shù)據(jù)來源于圍繞塔身航拍采集的7 400幅、地面單反相機補拍1 700幅二維圖像，重建生成同等數(shù)據(jù)量的大規(guī)模點云模型。此外為驗證算法在不同數(shù)據(jù)上的魯棒性，實驗中將地面近景拍攝圖像與航空傾斜攝影圖像進行隨機分組，生成具有較多異常點的真實重建三維點云，分別配準進行驗證。為執(zhí)行點云配準算法，預(yù)處理階段對點云進行降采樣處理。

3.2 相同來源點云數(shù)據(jù)配準

在基于Intel CORE i7處理器、16G Byte內(nèi)存、Nvidia Quadro P600顯卡、8G Byte顯存的硬件環(huán)境，Windows 10操作系統(tǒng)及Visual Studio 2019提供的編譯環(huán)境下，對配準結(jié)果進行了測試比較。采用衡量點云配準誤差的常用指標均方根誤差（Root Mean Square Error，RMSE）RMS，作為小雁塔點云配準結(jié)果精度評估的指標，即

圖2 重建點云配準結(jié)果對比

Fig.2 Registering results of reconstructed point clouds

圖2中第一組輸入點云為隨機選取不同航拍照片重建生成點云的配準結(jié)果，數(shù)據(jù)來源完全一致，且初始姿態(tài)相近，因此4種方法生成結(jié)果幾乎一致，F(xiàn)R-ICP算法沒有體現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢；后兩組輸入為無人機與地面近景拍攝重建點云結(jié)果，從直觀的視覺效果上看，F(xiàn)R-ICP算法得到了更加合理的配準結(jié)果，明顯解決了其他3種對比方法無法解決的配準問題。表1為三組數(shù)據(jù)的配準精度和配準時間的定量分析結(jié)果。表1中，F(xiàn)R-ICP算法在均方根誤差上沒有體現(xiàn)優(yōu)勢，原因在于點云相對缺失過大，RMS值有時不能準確反映配準；結(jié)合圖2中第三組實驗結(jié)果可知，由于地面拍攝角度限制，待配準點云中重疊部分相對較小，對比方法雖能收斂得到較低的均方根誤差值，但實際上并未計算出合理的配準結(jié)果。在類似相對缺失很大的點云數(shù)據(jù)集上，F(xiàn)R-ICP算法仍然可以適用。從時間上分析，引入李代數(shù)表達的Anderson加速效果（Fast-ICP）明顯優(yōu)于其他算法。FR-ICP算法由于采用Welsch函數(shù)，導(dǎo)致配準時間略長，但是Anderson加速算法可提升計算效率，保證算法在合理時間范圍內(nèi)得到最優(yōu)結(jié)果。

表1 重建點云配準精度和時間對比

3.3 不同來源點云數(shù)據(jù)配準

相較基于圖像重建生成的完整點云，站式激光掃描儀采集點云僅能覆蓋自地面向上的有限視角，因此待配準的兩組點云數(shù)據(jù)存在缺失，這對算法魯棒性提出很大挑戰(zhàn)。對于不同來源的點云數(shù)據(jù)，傳統(tǒng)ICP算法受初始狀態(tài)影響非常大。為驗證FR-ICP算法在真實場景下不完整點云配準中的性能，對地面激光掃描點云和航空傾斜攝影測量重建的點云數(shù)據(jù)進行了配準測試對比。實驗中固定目標點云，對源點云進行不同程度的平移和旋轉(zhuǎn)變換，驗證配準算法的有效性和魯棒性。圖3為配準測試結(jié)果。其中藍色點云為全部9 100幅圖像重建生成的稠密點云，降采樣后保留500 000個三維點，作為目標點云；橙色為激光掃描生成的稠密點云，降采樣后也保留500 000個三維點，作為源點云。對待配準點云數(shù)據(jù)的初始位置和姿態(tài)進行調(diào)整，驗證FR-ICP算法克服陷入局部最小的有效性。

圖3 地面激光掃描與航空傾斜攝影測量重建點云配準結(jié)果

圖3所示結(jié)果中，傳統(tǒng)ICP算法均未計算出滿足要求的配準結(jié)果（兩組點云未完全重疊）；AA-ICP算法相較傳統(tǒng)ICP算法雖然理論上具有更快的解算速度，然而在本文實驗中，其并未表現(xiàn)出明顯優(yōu)勢，配準結(jié)果與傳統(tǒng)ICP算法類似，消耗時間甚至更多；Fast-ICP算法在采用了Anderson加速優(yōu)化后，在提高速度方面效果明顯，且引入李代數(shù)表達，在配準精度方面也較傳統(tǒng)ICP算法有較大提升，但仍未改變ICP算法容易陷入局部最優(yōu)的結(jié)果，例如，圖3第一組實驗中，F(xiàn)ast-ICP算法的配準結(jié)果有明顯的90°錯位；FR-ICP算法從Welsch度量函數(shù)和Anderson解算加速兩方面對ICP算法進行改進，其在點云配準應(yīng)用實踐中的魯棒性大大提升。表2所示3組實驗的定量分析中，結(jié)合度量函數(shù)和解算加速的FR-ICP算法對不同初始位置點云配準結(jié)果均能達到較高精度，雖然在時間上不是總能優(yōu)于其他算法，但是算法在穩(wěn)定性方面性能最優(yōu)，更加適合實際應(yīng)用需求。

表2 地面激光掃描與航空傾斜攝影測量重建點云配準精度和時間對比

實驗中對地面采集圖像重建點云和掃描點云進行了配準測試，圖4所示為實驗結(jié)果。其中橙色為激光掃描生成稠密點云，降采樣后保留500 000個三維點，作為目標點云；綠色為地面拍攝1 700幅圖像生成點云，含416 216個三維點，作為源點云。相較于完整重建點云，掃描點云和照片同樣是缺失數(shù)據(jù)，不能覆蓋小雁塔全部外形。但是由于拍攝角度接近，原始數(shù)據(jù)姿態(tài)幾乎一致，因此幾種對比算法基本能夠得到視覺合理的配準結(jié)果，但是錯位明顯。由圖4結(jié)果可見，F(xiàn)R-ICP算法在不同來源缺失數(shù)據(jù)配準中，相較其他幾種對比算法依然能夠獲得更好的配準結(jié)果。

圖4 掃描點云與地面圖像重建點云配準結(jié)果

由于地面激光掃描設(shè)備造價昂貴，古建筑數(shù)字化實踐工作中經(jīng)常省略高精度激光掃描工作，完全依靠航空傾斜攝影測量結(jié)合地面近景測量來采集圖像數(shù)據(jù)，重建生成三維點云。然而，若能借助激光掃描的高精度點云在重建階段對圖像進行標定，對于重建結(jié)果精度的提升將非常有幫助。實驗中利用FR-ICP算法驗證標定步驟在點云重建精度結(jié)果中的有效性，即對標定重建點云、未標定重建點云和掃描點云進行配準，圖5為實驗結(jié)果，其中藍色點云為圖像重建時利用少量激光掃描點云進行標定重建生成的完整點云，黃色點云為未標定完全利用圖像生成的完整點云，紅色點云為地面掃描生成的高精度點云。圖5(a)為利用激光掃描數(shù)據(jù)標定重建生成的點云與掃描點云配準結(jié)果，視覺上可見兩組點云完全重合，由于存在缺失，均方根誤差不為0；圖5(b)和圖5(c)可直接說明未標定步驟對重建點云結(jié)果有影響，可見未標定點云尺度上略小于標定后重建結(jié)果，轉(zhuǎn)換為物理尺度，誤差接近10cm。通過對比結(jié)果可知，單純利用傾斜攝影測量采集得到的圖片來完成三維點云重建，相較結(jié)合地面激光掃描點云融合生成的重建點云誤差明顯。因此在對測繪精度要求較高的應(yīng)用中，宜采用地空融合的點云生成方法。

圖5 地空融合與傾斜攝影測量重建點云精度對比

4 結(jié)束語

結(jié)合航空傾斜攝影測量技術(shù)和地面激光掃描完成古建筑三維數(shù)字化采集，目前已是遺址遺存類文物數(shù)字化保護的標準方案。本文在傾斜攝影測量點云配準問題中，引入一種快速且魯棒的FR-ICP算法，通過小雁塔古建筑三維點云數(shù)據(jù)的配準實驗，對FR-ICP算法在實際應(yīng)用中的性能進行測試，結(jié)果顯示該方法相較傳統(tǒng)方法得到了更加精確的配準結(jié)果。此外，本文通過對比點云精度，驗證了地面激光掃描數(shù)據(jù)在重建點云精度方面的重要性。實驗證明，F(xiàn)R-ICP算法能夠?qū)Σ煌瑏碓吹狞c云數(shù)據(jù)進行魯棒且高效的精確配準，克服了傳統(tǒng)ICP算法對于數(shù)據(jù)預(yù)處理的嚴格限制，以及隨機陷入局部最優(yōu)的算法缺陷，在航空傾斜攝影數(shù)據(jù)處理的實踐應(yīng)用中具有重要作用。

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Application of the FR-ICP Algorithm in Point Cloud Registration of Tilt Photogrammetry Technology

REN Pu1SUN Xiaomin2LI Yuan3XU Chongbin2WANG Shuhui4

（1 Beijing Institute of Graphic Communication, Beijing 102600, China）（2 Beijing Institute of Space Mechanics & Electricity, Beijing 100094, China）（3 Xi’an Museum, Xi’an 710054, China）（4 Beijing Geometric Dimension Technology Co., Ltd, Beijing 100162, China）

In the application of tilted photogrammetry technique in the large-scale 3D reconstruction, it is necessary to conduct the rigid registration of multiple point cloud data to realize the data fusion. The traditional Interative Closest Point(ICP) algorithm has some problems in practical application, such as slow convergence speed, easy to be affected by outliers and low accuracy. FR-ICP algorithm introduced Welsch function to describe the registration error, which can significantly improve the registration accuracy of missing point cloud data. Meanwhile, the FR-ICP algorithm represents the transformation matrix by Lie algebra form, and the convergence speed of the algorithm is greatly improved based on fixed point iteration acceleration. Experimental results show that the FR-ICP algorithm can improve the data accuracy of 3D point cloud reconstruction based on tilt photogrammetry. By utilizing the FR-ICP algorithm, we can solve the problem of multi-source and large-scale massive point cloud data fusion processing in practical applications, especially for the digital protection of Chinese ancient architectures.

iterative closest point;tilted photogrammetry; 3D point cloud; point cloud registration; remote sensing application

TP399

A

1009-8518(2023)01-0013-10

10.3969/j.issn.1009-8518.2023.01.002

2022-12-13

北京市自然科學(xué)基金（4214064）；北京印刷學(xué)院校級項目（Eb202308）

任鏷, 孫曉敏, 李源, 等. FR-ICP算法在傾斜攝影測量點云配準中的應(yīng)用[J]. 航天返回與遙感, 2023, 44(1): 13-22.

REN Pu, SUN Xiaomin, LI Yuan, et al. Application of the FR-ICP Algorithm in Point Cloud Registration of Tilt Photogrammetry Technology[J]. Spacecraft Recovery & Remote Sensing, 2023, 44(1): 13-22. (in Chinese)

任鏷，女，1989年生，2019年獲北京師范大學(xué)計算機應(yīng)用技術(shù)專業(yè)博士學(xué)位，現(xiàn)為北京印刷學(xué)院講師，中國圖形圖象學(xué)會會員。主要研究方向為幾何建模、文化遺產(chǎn)數(shù)字化保護。E-mail：renpu@bigc.edu.cn。

（編輯：夏淑密）