三支鏈六自由度并聯(lián)骨外固定支架剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)

傅雨璇，霍欣明，齊 楊，宋軼民, ，孫 濤，張 弢

（1.天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300350；2.天津職業(yè)技術(shù)師范大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300222；3.天津仁愛學(xué)院機(jī)械工程系，天津 301636；4.天津市天津醫(yī)院，天津 300211）

骨折創(chuàng)傷是現(xiàn)代人日常生活中常見的健康問(wèn)題之一[1].骨折治療包括復(fù)位與固定，傳統(tǒng)的治療方法存在復(fù)位精度差、易造成二次創(chuàng)傷與并發(fā)癥、延遲愈合等局限[2].隨著機(jī)器人學(xué)與現(xiàn)代醫(yī)學(xué)的交叉融合，基于并聯(lián)外固定支架的微創(chuàng)骨折復(fù)位與固定方案受到普遍關(guān)注.并聯(lián)外固定支架包括兩個(gè)環(huán)與連接環(huán)的多條可調(diào)支鏈.復(fù)位時(shí)，利用克氏針或螺紋針?lè)謩e連接骨折斷端與環(huán)，醫(yī)師根據(jù)患者骨折情況規(guī)劃復(fù)位軌跡，基于此計(jì)算支鏈的長(zhǎng)度變化，通過(guò)調(diào)節(jié)支鏈的長(zhǎng)度改變環(huán)的相對(duì)位姿，實(shí)現(xiàn)骨折斷端的復(fù)位.并聯(lián)外固定支架可精準(zhǔn)調(diào)節(jié)骨折斷端的相對(duì)位姿，復(fù)位后無(wú)需二次拆除，具有治療周期短、適應(yīng)癥廣等優(yōu)勢(shì)，被認(rèn)為是骨折復(fù)位與固定的優(yōu)勢(shì)解決方案[3].

并聯(lián)外固定支架最早可追溯至20世紀(jì)中期.前蘇聯(lián)醫(yī)生 Ilizarov觀察到牽拉操作對(duì)骨生長(zhǎng)的促進(jìn)作用，提出拉應(yīng)力法則，發(fā)明了一種模塊化的環(huán)形外固定支架 Ilizarov[4].1994年，美國(guó)骨科醫(yī)生Charles和工程師Harold將Stewart六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)引入骨折治療，設(shè)計(jì)出 Taylor支架[5].類似地，基于并聯(lián)機(jī)構(gòu)的外固定支架被相繼推出，例如可快速拆裝的 Ortho-fix支架[6]、高剛度高精度 Ortho-SUV支架[7]、自動(dòng)化調(diào)節(jié)程度高的 Orthospin機(jī)器等[8].縱觀國(guó)內(nèi)外現(xiàn)有并聯(lián)外固定支架，均為六自由度六支鏈機(jī)構(gòu).盡管此類六支鏈并聯(lián)外固定支架已取得成功應(yīng)用，但骨折復(fù)位手術(shù)前患者拍攝骨折 CT影像時(shí)，6條支鏈易造成偽影，影響患者骨折部位的圖像分析，不利于骨折復(fù)位軌跡規(guī)劃.目前，針對(duì)此問(wèn)題的解決方案或是采用非金屬材料制造支鏈，或是采用智能圖像分割與提取方法.本文提出了從原始機(jī)構(gòu)創(chuàng)新設(shè)計(jì)并聯(lián)外固定支架的思路，設(shè)計(jì)出一個(gè)三支鏈六自由度并聯(lián)外固定支架，保證支架調(diào)姿能力的同時(shí)減少支鏈的數(shù)目，從源頭上解決 CT偽影的問(wèn)題.所提出的三支鏈六自由度并聯(lián)外固定支架拓?fù)浣M成為 3-SPRP.其中，S、P、R 分別代表球鉸鏈、移動(dòng)副和轉(zhuǎn)動(dòng)副.每條支鏈內(nèi)的移動(dòng)副均可通過(guò)絲杠-螺母結(jié)構(gòu)驅(qū)動(dòng)，從而使環(huán)產(chǎn)生空間三平動(dòng)與三轉(zhuǎn)動(dòng)的相對(duì)運(yùn)動(dòng).由于此支架用于人體下肢骨折的復(fù)位與固定，為使支架受人體重量作用產(chǎn)生的變形較小，需要對(duì)支架進(jìn)行剛度優(yōu)化設(shè)計(jì).

三支鏈六自由度并聯(lián)外固定支架的剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)首先需建立支架結(jié)構(gòu)參數(shù)與支架整體剛度性能的映射模型.基于有限元分析軟件的數(shù)值建模法[9]可精準(zhǔn)構(gòu)建支架在外載荷作用下的變形，但無(wú)法反映參數(shù)變化對(duì)支架剛度性能變化的影響，難以進(jìn)行參數(shù)化建模，僅適用于設(shè)計(jì)完成后的剛度校核.針對(duì)此問(wèn)題，有學(xué)者提出采用結(jié)構(gòu)矩陣進(jìn)行并聯(lián)機(jī)構(gòu)解析剛度建模的思路[10]，由標(biāo)準(zhǔn)梁?jiǎn)卧慕Y(jié)構(gòu)矩陣列寫剛度表達(dá)式，通過(guò)單元節(jié)點(diǎn)間的耦合或變形協(xié)調(diào)條件組集得到整機(jī)剛度模型.此方法可實(shí)現(xiàn)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)化剛度建模，但并聯(lián)外固定支架的球鉸鏈與轉(zhuǎn)動(dòng)副無(wú)法近似為規(guī)則單元，基于結(jié)構(gòu)矩陣法得到的剛度模型與有限元?jiǎng)偠饶Ｐ筒顒e較大.因此，本文采用半解析建模法[11]進(jìn)行三支鏈六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的參數(shù)化剛度建模.基于有限元模型獲取非規(guī)則零件的柔/剛度模型，由結(jié)構(gòu)矩陣法建立待設(shè)計(jì)零件的柔/剛度解析模型，結(jié)合雅可比矩陣、虛功原理和虎克定律獲得支架整體的參數(shù)化剛度模型.相比于傳統(tǒng)的只考慮受力方向變形的剛度建模方法，本文采用 n(n≤6)自由度虛擬彈簧表征零部件輸出端的彈性變形，所得的考慮非對(duì)角線元素影響的柔度矩陣將有助于建立更準(zhǔn)確和完備的整機(jī)剛度模型.

三支鏈六自由度并聯(lián)外固定支架的剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)還需考慮剛度與質(zhì)量間的關(guān)系.若僅以支架剛度性能為單一的優(yōu)化目標(biāo)，為追求支架的高剛度性能表現(xiàn)，優(yōu)化參數(shù)極有可能導(dǎo)致支架質(zhì)量的增加，這將與并聯(lián)外固定支架的輕質(zhì)便攜設(shè)計(jì)要求相背離.因此，本文將支架質(zhì)量與剛度均視為優(yōu)化目標(biāo)開展多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，定義剛度與質(zhì)量的最佳匹配關(guān)系，據(jù)此進(jìn)行參數(shù)優(yōu)選.

圍繞上述問(wèn)題，本文針對(duì)一種三支鏈六自由度并聯(lián)外固定支架 3-SPRP開展半解析剛度建模，基于此進(jìn)行剛度與質(zhì)量的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì).第 1節(jié)介紹 3-SPRP并聯(lián)外固定支架的組成并開展運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；第2節(jié)進(jìn)行 3-SPRP并聯(lián)外固定支架的半解析剛度建模，由典型位姿下的支架仿真對(duì)比驗(yàn)證模型的有效性；第 3節(jié)定義剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)與質(zhì)量指標(biāo)，開展多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出最小距離法確定剛度與質(zhì)量指標(biāo)的最佳匹配，實(shí)現(xiàn)參數(shù)優(yōu)選.

1 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)介與運(yùn)動(dòng)分析

1.1 3-SPRP并聯(lián)外固定支架簡(jiǎn)介

3-SPRP并聯(lián)外固定支架如圖1所示.該支架由靜平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)和 3條相同且呈空間對(duì)稱分布的SPRP支鏈構(gòu)成.SPRP支鏈通過(guò) S副、P副分別與靜、動(dòng)平臺(tái)連接.每條SPRP支鏈內(nèi)的2個(gè)P副方向相互垂直.由于 SPRP支鏈為六自由度支鏈，驅(qū)動(dòng) 6條支鏈內(nèi)的 P副可使動(dòng)平臺(tái)相對(duì)于靜平臺(tái)實(shí)現(xiàn)六自由度位姿調(diào)節(jié).

圖1 3-SPRP并聯(lián)外固定支架簡(jiǎn)圖Fig.1 Schematic diagram of 3-SPRP parallel external fixation frame

3-SPRP并聯(lián)外固定支架的虛擬樣機(jī)模型如圖2所示.靜、動(dòng)平臺(tái)呈環(huán)狀結(jié)構(gòu)，在圓周方向上等相位布置相同直徑的通孔，用以緊固克氏針或螺紋半針，達(dá)到連接骨折斷端的目的.將每條支鏈內(nèi)的 S副拆分為R副與U副，其中R副的軸線方向垂直于靜平臺(tái)平面.第1個(gè)P副采用雙套筒＋絲杠螺母結(jié)構(gòu)，具備快速安裝與精準(zhǔn)調(diào)節(jié)功能.內(nèi)套筒的下端設(shè)計(jì)外螺紋，與外套筒的內(nèi)螺紋實(shí)現(xiàn)螺紋連接，實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的移動(dòng)量調(diào)節(jié).在病患部位安裝支架時(shí)，醫(yī)師可根據(jù)病人的骨折情況將外套筒旋合至適宜位置，通過(guò)鎖緊螺釘使內(nèi)外套筒相對(duì)固定即可實(shí)現(xiàn)快速安裝.轉(zhuǎn)動(dòng)縱向驅(qū)動(dòng)螺母可使縱向絲杠相對(duì)于內(nèi)套筒實(shí)現(xiàn)軸向移動(dòng).內(nèi)套筒上設(shè)置最小單位為 1mm 的刻度線，縱向絲杠下端安裝限轉(zhuǎn)示數(shù)銷，依據(jù)限轉(zhuǎn)示數(shù)銷的刻度位置進(jìn)行讀數(shù)和移動(dòng)調(diào)節(jié).縱向驅(qū)動(dòng)螺母底面安裝小型碰珠，內(nèi)套筒接觸面上設(shè)置圓周均勻分布的4個(gè)小孔，當(dāng)碰珠與小孔同軸時(shí)有明顯卡頓觸感，可實(shí)現(xiàn)0.25mm 精度的調(diào)節(jié).絲杠上端與連接套固接，通過(guò)銷軸實(shí)現(xiàn)R副的轉(zhuǎn)動(dòng).第2個(gè)P副采用導(dǎo)軌滑塊＋絲杠螺母結(jié)構(gòu).導(dǎo)軌上設(shè)置最小單位為1mm的刻度線，方向與絲杠軸線方向平行.轉(zhuǎn)動(dòng)橫向驅(qū)動(dòng)手輪使橫向絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，帶動(dòng)滑塊沿橫向?qū)к壱苿?dòng).擰緊 2個(gè)橫向鎖緊螺釘可限制橫向絲杠轉(zhuǎn)動(dòng)，進(jìn)而鎖定滑塊的橫向移動(dòng).滑塊下端與轉(zhuǎn)動(dòng)銷軸配合.滑塊上設(shè)置最小單位為 0.9mm的刻度線，可實(shí)現(xiàn) 0.1mm的精準(zhǔn)調(diào)節(jié).

圖2 3-SPRP并聯(lián)外固定支架虛擬樣機(jī)Fig.2 Virtual prototype of 3-SPRP parallel external fixation frame

1.2 位置逆解

為表示機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)，定義如圖1所示的坐標(biāo)系與符號(hào).Ai、Bi、Ci(i=1,2,3)分別表示第i條支鏈的S副中心、R副中心和第2個(gè)P副的滑塊中心點(diǎn).Ai、Ci在靜、動(dòng)平臺(tái)平面的投影為 Ai′、Ci′.△ A1′A2′A3′和△C1′C2′ C3′均為等邊三角形.定義等邊三角形的中心點(diǎn)O和點(diǎn)P為靜坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系的原點(diǎn).令OA1′為靜坐標(biāo)系Oxyz的 x軸，z軸垂直于靜平臺(tái)平面，y軸滿足右手定則.類似地，動(dòng)坐標(biāo)系Puvw的u軸為PC1′方向，w軸為動(dòng)平臺(tái)平面法線方向，v軸滿足右手定則.

構(gòu)造3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的閉環(huán)矢量方程為

式中：rP、表示在靜坐標(biāo)系下點(diǎn) P、點(diǎn) Ai的位置矢量；q1,i、w1,i為第 1個(gè) P副的移動(dòng)量與單位方向向量；h3為點(diǎn)Bi與點(diǎn)Ci間的距離；w表示動(dòng)平臺(tái)平面法線方向的單位方向向量；q2,i、w2,i為第2個(gè)P副的移動(dòng)量與單位方向向量；R表示動(dòng)系Puvw相對(duì)于靜系Oxyz的旋轉(zhuǎn)矩陣；rCi表示在動(dòng)坐標(biāo)系下點(diǎn)Ci的位置矢量.

式中：r1表示靜平臺(tái)半徑；h1表示點(diǎn) Ai與點(diǎn) Ai′的距離；r2表示動(dòng)平臺(tái)半徑；rCi′表示在動(dòng)坐標(biāo)系下點(diǎn)Ci′的位置矢量；α、β、γ分別表示動(dòng)平臺(tái)旋轉(zhuǎn)矩陣的RPY 角；h2表示點(diǎn)與點(diǎn)Ci的距離.

支鏈內(nèi)第1個(gè)P副與第2個(gè)P副方向始終互相垂直，可構(gòu)造約束方程為

將式(2)代入式(1)中，可求得 3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解表達(dá)式為

1.3 運(yùn)動(dòng)/力映射模型

基于瞬時(shí)旋量理論[12]可得 3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度模型為

式中：si,j( j= 1 ,2,… ,6 )表示支鏈中第 j個(gè)運(yùn)動(dòng)副單位方向向量；rS,i和rR,i分別表示S副和R副中心的位置向量；vi,j和ωi,j分別表示移動(dòng)副的線速度和轉(zhuǎn)動(dòng)副的角速度大小.

SPRP支鏈為無(wú)約束支鏈，因此支鏈對(duì)動(dòng)平臺(tái)無(wú)約束力作用.支鏈內(nèi)的 2個(gè) P副為主動(dòng)關(guān)節(jié)，支鏈具有 2個(gè)驅(qū)動(dòng)力螺旋.由瞬時(shí)螺旋理論可知，鎖定主動(dòng)關(guān)節(jié)，由支鏈內(nèi)其他運(yùn)動(dòng)副的運(yùn)動(dòng)螺旋求出的反螺旋即為驅(qū)動(dòng)力螺旋.因此，分別鎖定第 1個(gè)、第2個(gè)P副，求得驅(qū)動(dòng)力螺旋為

式中rS,i= rAi.

整理式(6)可得3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的力模型為

式中

2 靜剛度建模

2.1 剛度建模流程

靜剛度衡量 3-SPRP并聯(lián)外固定支架在人體重量等外載荷作用下抵抗變形的能力.3-SPRP并聯(lián)外固定支架的剛度模型需考慮靜平臺(tái)、SPRP支鏈與動(dòng)平臺(tái)的柔度，結(jié)合受力/變形傳遞關(guān)系，將各部件剛度組集獲得整機(jī)剛度.為分析零件的線彈性變形，假定零件為剛體，其柔性采用零件輸出端的 n(n≤6)自由度虛擬彈簧表示.n的取值與零件輸入端的運(yùn)動(dòng)副相關(guān).若運(yùn)動(dòng)副的自由度為 m，則n=6-m，表示零件在許動(dòng)方向上的剛度為 0.3-SPRP并聯(lián)外固定支架的剛度建模流程可歸納如下：①建立各零件的局部坐標(biāo)系，根據(jù)零件結(jié)構(gòu)特征由解析法或有限元分析法獲取零件柔度矩陣；②支鏈內(nèi)零件的柔度均轉(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系下，進(jìn)行線性疊加得到支鏈柔度；③根據(jù)虛功原理、虎克定律、運(yùn)動(dòng)/力映射模型，計(jì)算 3條支鏈轉(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系下的剛度矩陣；④將靜平臺(tái)、支鏈與動(dòng)平臺(tái)的柔度進(jìn)行線性疊加，建立整機(jī)在末端參考點(diǎn)處的剛度模型.整機(jī)剛度建模思路如圖3所示.

圖3 3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)剛度建模流程Fig.3 Stiffness modeling of 3-SPRP parallel mechanism

2.2 支鏈柔度模型

根據(jù)整機(jī)剛度建模流程，首先建立SPRP支鏈內(nèi)各零件的參考坐標(biāo)系，如圖4所示.

圖4 SPRP支鏈各零部件參考坐標(biāo)系Fig.4 Component reference frames of the SPRP limb

S副由轉(zhuǎn)動(dòng)副和虎克鉸實(shí)現(xiàn)，包括定制螺栓、虎克鉸近端零件、中心十字軸與虎克鉸遠(yuǎn)端零件.由于定制螺栓、虎克鉸近端零件和虎克鉸遠(yuǎn)端零件是非標(biāo)準(zhǔn)零件，其柔度矩陣由有限元軟件 Ansys Workbench直接提取.

如圖5所示，以虎克鉸近端零件為例闡述如何通過(guò)軟件提取零件柔度矩陣.由于近端零件與靜平臺(tái)間通過(guò)定制螺栓連接，在近端零件螺紋孔處設(shè)置轉(zhuǎn)動(dòng)約束.近端零件的輸出端是兩段同軸的通孔.在輸出端沿局部坐標(biāo)系方向依次施加單位力與單位力矩，由對(duì)應(yīng)力作用下的變形提取柔度矩陣Cs2,i.

圖5 虎克鉸近端零件柔度提?。ㄘ?fù)載為x方向單位力）Fig.5 Extract deformation of proximal part of the hook hinge（the load is 1N in the x direction）

中心十字軸可簡(jiǎn)化為十字梁?jiǎn)卧?，具有二自由度轉(zhuǎn)動(dòng)能力，在局部坐標(biāo)系下其柔度矩陣可解析表達(dá)為

將 S副各零件的柔度矩陣轉(zhuǎn)換至靜系，需求解S副各零件局部坐標(biāo)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣.第1個(gè)P副的移動(dòng)方向?yàn)閟i,4，將其設(shè)為S副輸出端的wouts.由于第 2個(gè) P副的移動(dòng)方向si,6與 R副平行，將si,6設(shè)為 S副輸出端的vouts.則 S副輸出端的uouts由si,4與si,6叉積獲得，即

S副的輸入端與靜坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

S副的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣具有如下關(guān)系：

式中 Rsα,i、Rsβ,i、Rsγ,i分別表示繞 S 副 u 軸、v 軸和 w軸轉(zhuǎn)動(dòng)的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣.

根據(jù)式(12)可求得轉(zhuǎn)動(dòng)角度αs,i、βs,i和γs,i分別為

式中 Rs,i(i,j)表示Rs,i的第i行第j列元素.

因此，定制螺栓、虎克鉸近端零件、中心十字軸和虎克鉸遠(yuǎn)端零件的姿態(tài)變換矩陣分別為

根據(jù)式(12)、(14)和(15)可得 S副各零件的伴隨矩陣

將 S副各零件在局部坐標(biāo)系下的柔度矩陣轉(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系下，疊加可得S副的柔度矩陣為

稱第1個(gè)P副為縱向P副，主要由外套筒、內(nèi)套筒、驅(qū)動(dòng)螺母、鎖緊螺母和縱向絲杠組成.各個(gè)零件局部坐標(biāo)系的定義如圖4所示.由于縱向 P副各零件的結(jié)構(gòu)外形較規(guī)則，可將各零件視為懸臂梁.在局部坐標(biāo)系下，各零件的柔度矩陣可解析表達(dá)為

由于縱向 P副各零件僅產(chǎn)生相對(duì)移動(dòng)，零件的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣仍與 S副輸出端的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣相同，則

因此，縱向P副各零件的伴隨矩陣為

式中各局部坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置向量為 rp1,i= rAi+h1si,4，rp2,i= rp1,i+lp1,isi,4，rp3,i= rp2,i+lp2,isi,4，rp4,i=rp3,i+lp3,isi,4，rp5,i= rp4,i+lp4,isi,4，rp6,i= rp5,i+lp5,isi,4.

將縱向 P副各零件在局部坐標(biāo)系下的柔度矩陣轉(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系下，疊加得縱向P副的柔度矩陣為

如圖4所示，R副由連接套和轉(zhuǎn)動(dòng)銷軸組成.由于連接套結(jié)構(gòu)非規(guī)則，其柔度矩陣Cr1,i可由有限元軟件提取.轉(zhuǎn)動(dòng)銷軸可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁?jiǎn)卧?，其柔度矩陣的解析表達(dá)式為

連接套和轉(zhuǎn)動(dòng)銷軸的姿態(tài)變換矩陣可由關(guān)節(jié)軸線和動(dòng)平臺(tái)法線方向向量直接獲得，即

由式(23)、(24)可求得連接套和轉(zhuǎn)動(dòng)銷軸的伴隨矩陣分別為

式中：各局部坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置向量 rr1,i=rp6,i+lp6,isi,4；rr2,i= rAi+q1,isi,4.

將連接套和銷軸在局部坐標(biāo)系下的柔度矩陣轉(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系下，疊加可得R副的柔度矩陣為

稱第2個(gè)P副為橫向P副，主要由橫向?qū)к?、滑塊和橫向絲杠組成.滑塊和橫向?qū)к墳榉且?guī)則零件，在局部坐標(biāo)系下柔度矩陣Cd1,i和Cd3,i由有限元軟件直接提取.橫向絲杠視為兩個(gè)并聯(lián)的懸臂梁，其柔度矩陣解析表達(dá)式為

式中矩陣各項(xiàng)元素的表達(dá)式參考式(18).橫向絲杠懸臂梁?jiǎn)卧拈L(zhǎng)度分別為 ld2,i+q2,i和ld2,i- q2,i.

橫向 P副各零件局部坐標(biāo)系的姿態(tài)變換矩陣可根據(jù)P副移動(dòng)方向向量與動(dòng)平臺(tái)法線方向向量獲得

因此，懸臂梁?jiǎn)卧陌殡S矩陣可表示為

其中零件局部坐標(biāo)系原點(diǎn)在靜系下的位置向量為

故懸臂梁?jiǎn)卧D(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系下的柔度矩陣為

由于懸臂梁?jiǎn)卧⒙?lián)連接，橫向絲杠的柔度矩陣可表示為

將橫向?qū)к?、滑塊和橫向絲杠在局部坐標(biāo)系下的柔度矩陣轉(zhuǎn)換至靜系下，線性疊加獲得橫向 P副的柔度矩陣為

支鏈內(nèi)各個(gè)零部件為串聯(lián)連接，則零部件的柔度矩陣在同一坐標(biāo)系下表達(dá)，疊加可得SPRP支鏈的柔度矩陣

2.3 整機(jī)剛度模型

假設(shè)外力施加在動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)處，構(gòu)建支鏈末端與參考點(diǎn)處的虛功方程為

式中：Sw和St分別為作用于動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)的力螺旋和相應(yīng)的變形螺旋；f和ρ表示支鏈末端的力和虛位移.

支鏈末端的力與變形滿足虎克定律，則

將機(jī)構(gòu)關(guān)節(jié)空間與操作空間的力映射模型代入式(38)，獲得3條支鏈在操作空間的剛度矩陣為

靜、動(dòng)平臺(tái)Cpl和Cb在其局部坐標(biāo)系下的柔度矩陣由有限元軟件提取.局部坐標(biāo)系相對(duì)于靜坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

式中I3為三階單位陣.

靜、動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)換至靜坐標(biāo)系下的柔度矩陣為

由于靜平臺(tái)、SPRP支鏈與動(dòng)平臺(tái)為串聯(lián)連接，可由變形疊加原理獲得 3-SPRP并聯(lián)外固定支架在靜坐標(biāo)系下的剛度矩陣，將其轉(zhuǎn)換至末端參考點(diǎn)處，得

2.4 算例驗(yàn)證與分析

分別選取 3-SPRP并聯(lián)外固定支架的 6個(gè)典型位姿，導(dǎo)入有限元分析軟件中進(jìn)行剛度仿真實(shí)驗(yàn)，對(duì)比理論模型在對(duì)應(yīng)位姿下的各向線剛度值，驗(yàn)證理論建模方法的有效性.3-SPRP并聯(lián)外固定支架的尺度和截面參數(shù)如表1所示.

表1 3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺度和截面參數(shù)Tab.1 Dimensional and sectional parameters of 3-SPRP parallel mechanism

將 3-SPRP并聯(lián)外固定支架的典型位姿分為 2組.第 1組取α=β=γ= 0°，x = y =0mm，z分別取208mm、228mm 和 248mm 3個(gè)測(cè)點(diǎn).第 2組在z = 228mm的平面上沿半徑為 40mm的圓周選取間隔90°的 3個(gè)測(cè)點(diǎn).有限元模型和理論模型的各向線剛度對(duì)比如表2和表3所示.

表2 各測(cè)點(diǎn)各向線剛度對(duì)比（ α =β=γ= 0°，x=y=0mm）Tab.2 Comparison of analytical and simulations value of linear stiffness in certain measuring points（α=β=γ= 0°，x = y = 0mm ）

表3 各測(cè)點(diǎn)各向線剛度對(duì)比（ α=β=γ= 0°，z=228mm）Tab.3 Comparison of analytical and simulations value of linear stiffness in certain measuring points（α=β=γ= 0°，z = 228mm ）

可見，3-SPRP并聯(lián)外固定支架的理論剛度與仿真剛度均呈現(xiàn)相同的規(guī)律：x、y向線剛度在同一z平面內(nèi)取值接近，z向線剛度約為x、y向線剛度的2倍且隨著高度值的增大而減小.6個(gè)典型位姿處的各向理論剛度值普遍高于仿真剛度值，其原因是理論剛度模型忽略了凹槽、螺紋等結(jié)構(gòu).總體而言，理論剛度與仿真剛度的變化趨勢(shì)一致，且兩者的誤差在 20%以內(nèi)，表明了 3-SPRP并聯(lián)外固定支架剛度模型的有效性.

3 剛度與質(zhì)量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)

3.1 剛度與質(zhì)量?jī)?yōu)化設(shè)計(jì)流程

以高剛度為目標(biāo)的機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)通常伴隨著機(jī)構(gòu)質(zhì)量的增加.高剛度大質(zhì)量的性能表現(xiàn)與并聯(lián)骨折外固定支架的便攜可穿戴需求沖突，因此必須將剛度與質(zhì)量均視為優(yōu)化目標(biāo)，開展輕質(zhì)高剛的并聯(lián)骨折手術(shù)機(jī)器人設(shè)計(jì).當(dāng)機(jī)構(gòu)的參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，機(jī)構(gòu)的剛度與質(zhì)量性能隨之改變，兩者改變的趨勢(shì)相反，存在相互約束競(jìng)爭(zhēng)的關(guān)系.為客觀評(píng)價(jià)剛度與質(zhì)量隨機(jī)構(gòu)參數(shù)的變化規(guī)律，采用多目標(biāo)優(yōu)化方法進(jìn)行 3-SPRP并聯(lián)外固定支架的優(yōu)化設(shè)計(jì).整機(jī)優(yōu)化流程如圖6所示.

圖6 3-SPRP并聯(lián)外固定支架多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)流程Fig.6 Procedure of multi-objective optimization of 3-SPRP parallel external fixation frame

首先，基于剛度模型與質(zhì)量模型定義量化性能評(píng)價(jià)指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù).其次，將機(jī)構(gòu)的尺度與截面參數(shù)視為優(yōu)化變量，以工作空間邊界為幾何約束條件、z向最小剛度為性能約束條件，構(gòu)建剛度與質(zhì)量雙目標(biāo)優(yōu)化模型，獲得 Pareto前沿后，提出最小距離法確定剛度與質(zhì)量的最佳匹配關(guān)系，對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值即為優(yōu)選的參數(shù).

3.2 性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

施加于 3-SPRP并聯(lián)外固定支架末端參考點(diǎn)的外載荷與對(duì)應(yīng)變形所做的功將轉(zhuǎn)化為機(jī)構(gòu)存儲(chǔ)的瞬時(shí)能量.通過(guò)瞬時(shí)力與瞬時(shí)變形的乘積可求解瞬時(shí)能量為

瞬時(shí)變形能小，表示機(jī)構(gòu)的變形小，則機(jī)構(gòu)剛度大.由于瞬時(shí)能量對(duì)于線剛度與角剛度的單位均為J，以其表征并聯(lián)外固定支架剛度可有效統(tǒng)一量綱，物理意義清晰.

結(jié)合柔度矩陣，3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)局域剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)可表示為

式中：ρl,jl和ρa(bǔ),ja分別表示力和力矩的系數(shù)；δl,i,jl和表示柔度矩陣特征向量的系數(shù)；λc,i表示柔度矩陣的特征值.

為評(píng)估3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)的綜合剛度性能，將任務(wù)工作空間中η的均值作為全域剛度性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，即

式中V為工作空間的體積.

3-SPRP并聯(lián)外固定支架的質(zhì)量模型可分為規(guī)則零件與非規(guī)則零件.非規(guī)則零件的質(zhì)量由 solidworks軟件獲得，規(guī)則零件的質(zhì)量根據(jù)密度與體積求解.將兩者疊加可獲得 3-SPRP并聯(lián)外固定支架的質(zhì)量模型，可直接將其作為質(zhì)量?jī)?yōu)化目標(biāo).

3.3 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

結(jié)合設(shè)計(jì)需求和工程經(jīng)驗(yàn)，定義 3-SPRP并聯(lián)外固定支架設(shè)計(jì)變量如下：動(dòng)、靜平臺(tái)半徑r，縱向絲杠直徑dp6，橫向絲杠直徑dd，十字中心軸直徑ds，轉(zhuǎn)動(dòng)銷軸直徑dr.設(shè)計(jì)變量取值范圍如表4所示.

表4 設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍Tab.4 Range of design variables

以z向線剛度最小值 4 × 1 05N/m為性能約束條件，以給定工作空間邊界為幾何約束條件.據(jù)此，3-SPRP并聯(lián)外固定支架多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)模型可表示為

采用粒子群優(yōu)化算法，進(jìn)行 3-SPRP并聯(lián)外固定支架多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算，共獲得564個(gè)非支配點(diǎn)組成Pareto前沿，如圖7所示.

由圖7可知，剛度指標(biāo)越大，3-SPRP并聯(lián)外固定支架剛度越小，此時(shí)質(zhì)量向減小的趨勢(shì)變化，表明Pareto前沿上剛度與質(zhì)量間存在競(jìng)爭(zhēng)關(guān)系，多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)無(wú)法取得兩個(gè)目標(biāo)均最優(yōu)的參數(shù)集.若僅以剛度指標(biāo)作為單一的優(yōu)化目標(biāo)，其優(yōu)化結(jié)果如圖7中紅點(diǎn)所示，此時(shí)支架質(zhì)量接近 1kg.考慮到 3-SPRP并聯(lián)外固定支架作為長(zhǎng)期穿戴式設(shè)備對(duì)輕質(zhì)量的需求，僅考慮剛度的優(yōu)化結(jié)果并不是最佳選擇.為獲取剛度與質(zhì)量的最佳匹配關(guān)系，通過(guò)剛度與質(zhì)量指標(biāo)的最小值構(gòu)造虛擬理想點(diǎn)，如圖7中黑點(diǎn)所示.虛擬理想點(diǎn)位于 Pareto前沿的非可行解空間，表明無(wú)論機(jī)構(gòu)參數(shù)如何變化均無(wú)法達(dá)到理想的剛度與質(zhì)量值.分別計(jì)算 Pareto點(diǎn)與虛擬理想點(diǎn)的距離，最小距離對(duì)應(yīng)的 Pareto點(diǎn)具有最佳的剛度與質(zhì)量匹配關(guān)系，如圖7中的綠點(diǎn)所示.將最小距離點(diǎn)對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)變量值結(jié)合加工經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行圓整，最終取值如表5所示.

表5 最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)取值Tab.5 Optimal design variables

圖7 3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)的pareto前沿Fig.7 Pareto front of multi-objective optimization of 3-SPRP parallel mechanism

將優(yōu)化后的參數(shù)代入剛度與質(zhì)量模型中，對(duì)比優(yōu)化前后虛擬樣機(jī)的性能表現(xiàn).優(yōu)化后，3-SPRP并聯(lián)外固定支架質(zhì)量近似為 0.889kg，相較于優(yōu)化前僅增加24g.給定z平面比較優(yōu)化前后各向線角剛度的變化，如圖8所示.優(yōu)化后的剛度值較優(yōu)化前普遍提升50%左右，表明本設(shè)計(jì)方法可在質(zhì)量增加幅度較小的前提下，較大幅度提高3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度.

圖8 優(yōu)化前后剛度分布對(duì)比Fig.8 Comparison of stiffness distribution before and after optimization

4 結(jié) 論

針對(duì)現(xiàn)有六支鏈并聯(lián)骨折外固定支架普遍存在的臨床問(wèn)題，本文基于 3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種具備輕質(zhì)高剛性能的穿戴式三支鏈六自由度并聯(lián)骨折外固定支架，開展了運(yùn)動(dòng)學(xué)建模、靜剛度理論建模、軟件仿真驗(yàn)證和多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)等研究，全文結(jié)論如下.

(1) 通過(guò)閉環(huán)矢量法建立 3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)位置逆解模型，基于瞬時(shí)旋量建立運(yùn)動(dòng)/力映射模型，為靜剛度理論建模奠定基礎(chǔ).

(2) 建立各零部件參考坐標(biāo)系，采用半解析建模法得到3-SPRP并聯(lián)機(jī)構(gòu)整機(jī)剛度模型；在給定6個(gè)測(cè)點(diǎn)位姿下比對(duì)各向線剛度的理論模型值與有限元仿真值，滿足誤差在 20%之內(nèi)，驗(yàn)證剛度理論模型的有效性，為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供理論模型.

(3) 以瞬時(shí)變形能在給定工作空間的均值和整機(jī)質(zhì)量為優(yōu)化目標(biāo)，以 z向線剛度為性能約束條件，借助粒子群優(yōu)化算法開展基于 Pareto前沿的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，根據(jù)最小距離的目標(biāo)匹配原則得到最優(yōu)截面設(shè)計(jì)參數(shù)，為后續(xù)物理樣機(jī)開發(fā)和實(shí)驗(yàn)工作提供理論依據(jù).優(yōu)化后，三支鏈并聯(lián)外固定支架質(zhì)量?jī)H增加24g，各向線/角剛度值普遍提升了50%左右.