壓電功能梯度層合梁的力-電-熱耦合梁單元及最優(yōu)振動控制

柏冬軍，石廣玉

(天津大學(xué)力學(xué)系，天津 300354)

功能梯度材料是由兩種或兩種以上的材料組成的一種復(fù)合材料，其成分及相關(guān)的材料特性通常在一個方向或者多個方向呈連續(xù)平穩(wěn)變化[1]。由于其內(nèi)部材料屬性的連續(xù)變化，功能梯度材料可以有效避免普通層合材料因內(nèi)部材料突變所產(chǎn)生的應(yīng)力集中問題，因此近些年來由功能梯度材料所組成的結(jié)構(gòu)備受關(guān)注[1-5]。近年來結(jié)構(gòu)的振動控制是工程中的熱點(diǎn)問題，尤其在航空航天及汽車領(lǐng)域。通常將壓電材料作為傳感器與致動器粘貼或鑲嵌在柔性結(jié)構(gòu)的表面，通過控制電路實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的振動主動控制。因而，包含壓電傳感器和致動器的智能層合結(jié)構(gòu)的建模、分析以及設(shè)計也受到廣泛關(guān)注[6]。其中結(jié)構(gòu)的核心層為各向同性材料或?qū)雍蠌?fù)合材料的研究文獻(xiàn)最為多見，而智能功能梯度層合結(jié)構(gòu)的有限元建模及其振動主動控制的研究則較少[7-8]。對于包含壓電層及功能梯度層的智能層合結(jié)構(gòu)，壓電層的力電耦合效應(yīng)會影響到結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)。合理的層合板理論對準(zhǔn)確且高效地進(jìn)行層合結(jié)構(gòu)的多場耦合分析十分重要。M ITCHELL 和REDDY[9]提出了一個高效壓電層合板分析的雜交板理論，它使用等效單層板理論表征層合板的力學(xué)行為，用Layer-w ise理論描述其電勢場。

一個理想的振動控制方法要以較小的能量和較短的時間實(shí)現(xiàn)對結(jié)構(gòu)振動的穩(wěn)定的控制?；谒俣确答伒恼駝涌刂品椒ㄔ趬弘姽δ芴荻葘雍辖Y(jié)構(gòu)的振動控制中得到廣泛的應(yīng)用[10-13]。它通過改變反饋增益的值得到不同大小的控制力實(shí)現(xiàn)對功能梯度結(jié)構(gòu)的振動控制。SELIM 等[10]以及YASIN等[8]研究了常增益負(fù)反饋控制的穩(wěn)定性問題，且SELIM等指出由于壓電功能梯度層合結(jié)構(gòu)存在拉彎耦合變形，會使得控制系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，兩篇文獻(xiàn)均通過改變壓電傳感器層和致動器層的位置提升系統(tǒng)的穩(wěn)定性。劉濤等[13]基于等幾何方法同樣采用常增益負(fù)反饋控制研究了功能梯度板的振動控制問題，引入物理中面的概念避免當(dāng)傳感器與致動器粘貼于功能梯度層表面時由于拉彎耦合效應(yīng)引起的控制不穩(wěn)定問題。經(jīng)典控制方法操作簡單但卻忽略了控制過程中能量的消耗，所得基于系統(tǒng)輸出反饋的控制力往往并非為最優(yōu)控制力，因而不是最優(yōu)振動控制。BRUANT 等[7]及HARTI等[14]基于LQR 算法實(shí)現(xiàn)功能梯度梁上局部布置壓電片時的振動控制，并討論了壓電致動器和傳感器的位置對結(jié)構(gòu)振動控制效果的影響。YASIN 等[8]基于Layer-w ise理論表述梁內(nèi)位移場及電勢場，提出了一個帶內(nèi)部電學(xué)自由度的壓電功能梯度梁單元，使用常增益速度反饋控制算法和LQR 算法對結(jié)構(gòu)的振動進(jìn)行控制。結(jié)果表明：LQR 最優(yōu)控制比常增益負(fù)速度反饋控制所消耗能量更低，且LQR 不存在上述穩(wěn)定性問題。因而，LQR 是實(shí)現(xiàn)最優(yōu)主動振動控制的良好選擇。

壓電功能梯度層合梁具有力-電-熱的耦合效應(yīng)，故對應(yīng)有限元模型的計算效率對工程問題的求解很重要?，F(xiàn)有的力-電-熱耦合分析有限元都是采用數(shù)值積分[8,11,14-15]。TIAN 等[16]的工作表明，采用擬協(xié)調(diào)元法可以得到層合結(jié)構(gòu)的顯式單元剛度矩陣，從而避免了數(shù)值積分和提高了計算效率。基于彈性力學(xué)基本方程以及能量等效原理得出的SHI[17]改進(jìn)的三階剪切變形理論可以精確地考慮橫向剪切變形對梁振動高階頻率的影響。

本文采用雜交板理論[9]和Ham ilton 原理推導(dǎo)壓電功能梯度層合梁的力-電-熱耦合控制方程，其中用SHI[17]改進(jìn)的三階剪切變形理論描述梁的位移場，用Layer-w ise 理論[9]分層地描述壓電層電勢場。然后用假設(shè)應(yīng)變的擬協(xié)調(diào)元法[18]推導(dǎo)兩節(jié)點(diǎn)壓電功能梯度層合梁單元的剛度矩陣。由于推導(dǎo)過程中單獨(dú)假設(shè)梁中切應(yīng)變以及剪切應(yīng)變梯度，可以有效避免梁單元的剪切自鎖。使用所得力-電-熱耦合梁單元進(jìn)行了不同載荷下壓電功能梯度層合梁的靜力和動力分析，用LQR 最優(yōu)控制算法實(shí)現(xiàn)了結(jié)構(gòu)振動的主動控制。所得計算結(jié)果與其它梁單元結(jié)果及二維有限元解的比對驗證了文中所給力-電-熱耦合梁單元的準(zhǔn)確性。

1 壓電功能梯度層合梁單元

如圖1所示為一個壓電功能梯度層合梁，梁中間層功能梯度層厚度為hc，它由兩種不同的材料沿梁高度按一定規(guī)律梯度分布復(fù)合而成。功能梯度上下表面粘貼有等厚度hp的壓電層。假設(shè)相鄰兩層理想粘結(jié)且不考慮粘結(jié)層影響，并只考慮xoz平面內(nèi)的荷載。

圖1 壓電功能梯度梁示意圖Fig.1 Geometry of piezoelectric functionally beam

1.1 壓電功能梯度梁本構(gòu)關(guān)系

功能梯度層由金屬和陶瓷按一定的規(guī)律復(fù)合而成，其上側(cè)為純陶瓷，下側(cè)為純金屬。其等效材料參數(shù)，如彈性模量、泊松比、熱膨脹系數(shù)、密度等，沿梁厚度方向呈連續(xù)均勻變化。陶瓷體積分?jǐn)?shù)Vc沿厚度方向的分布可表征為[10]：

其中，N為功能梯度層材料的組分指數(shù)，陶瓷體積分?jǐn)?shù)和金屬體積分?jǐn)?shù)滿足Vc+Vm=1。

研究者提出了許多表征材料性能沿高度梯度變化的細(xì)觀力學(xué)模型，其中最常用的為Voigt 模型[7,10-13,19]和Mori-Tanaka 模型[8,15]。Voigt 模型簡單易用，可用于預(yù)測由常規(guī)功能梯度材料組成結(jié)構(gòu)的材料特性和整體響應(yīng)；而Mori-Tanaka 模型更注重相鄰內(nèi)含物之間的相互作用[8]。由于Voigt 模型操作簡便，其被多數(shù)學(xué)者用來預(yù)測材料性能的變化。Voigt 模型把功能梯度材料的等效材料參數(shù)Pf表征為：

式中：Pm為金屬材料的材料參數(shù)；Pc為陶瓷材料的材料參數(shù)。

功能梯度材料最早用于航空航天領(lǐng)域作為隔熱涂層，其工作環(huán)境通常為高溫環(huán)境。因此有必要考慮溫度對其的影響。功能梯度材料考慮力-熱耦合的本構(gòu)方程為：

其中：

式中，功能梯度材料彈性模量Ef和泊松比μ沿厚度方向的分布，可由式(2)得出。

壓電材料考慮力-電-熱耦合的三維本構(gòu)關(guān)系為：

其中，σ 和ε 分別為壓電材料的應(yīng)力張量及應(yīng)變張量，而D和E則分別為其電位移矢量及電場強(qiáng)度矢量；C、e、k分別為彈性矩陣、壓電矩陣及介電矩陣；α 及p分別為材料的熱膨脹系數(shù)及熱電系數(shù)。ΔT=T-T0，T為材料的溫度，T0為參考溫度，在此溫度下，物體處于應(yīng)力自由狀態(tài)。本文假設(shè)溫度沿著梁厚度方向線性分布：

式中：Tt、Tb分別為梁上下表面的溫度值；h為梁的高度。

對于正交各向異性壓電材料，其具有三個相互正交的彈性對稱平面，其三維彈性矩陣為：

假設(shè)壓電材料為正交晶系壓電晶體，且沿z方向極化，其三維壓電矩陣e、介電矩陣為k：

對圖1所示一維梁模型，假設(shè)z方向正應(yīng)力σ3=0。若其處于平面應(yīng)力狀態(tài)，有σ2=τ12=τ23=0,以及γ12=γ23=0。并且壓電材料只沿著z方向極化，電場分量E1=E2=0。將上述已知值代入材料三維本構(gòu)方程式(5)中得到梁中壓電層的力-電-熱耦合本構(gòu)方程：

其中：

1.2 梁內(nèi)位移場與電勢場

對于橫向剪切變形不可忽略的層合梁，使用等效單層理論計算其位移場可得到較好結(jié)果。而壓電層力電耦合效應(yīng)對結(jié)果有一定影響，有必要分層考慮每層壓電層的電勢分布。若其厚度較厚則需在分層考慮的基礎(chǔ)上再次將每層壓電層離散為數(shù)個子層。本文擬采用此類基于等效單層理論描述層合結(jié)構(gòu)中位移場分布，基于分層理論描述各壓電離散層電勢場分布的雜交板理論[9]。

1.2.1 Shi 三階剪切變形理論

采用Shi 改進(jìn)的三階剪切變形理論[17]，平面彎曲梁的位移場可寫為：

式中：u和w分別為梁內(nèi)的軸向位移及橫向位移；u0和w0分別為梁中面的軸向位移及撓度；為梁橫截面的平均撓度； γx為梁橫截面的剪切變形；h為梁的高度；α=1/4，β=5/3h2。梁橫截面的剪切變形 γx為：

式中：em為膜應(yīng)變；eb為彎曲應(yīng)變；es為剪切應(yīng)變；ehs為剪切應(yīng)變梯度。它們與位移的關(guān)系為：

彎曲項對于梁單元的計算精度至關(guān)重要，由式(18)中彎曲應(yīng)變表達(dá)式可知，若建立撓度的三次插值，在單元域內(nèi)會得到沿軸向線性分布的彎曲應(yīng)變。相比較在單元域內(nèi)常彎曲應(yīng)變的梁單元來說，此單元精度更高。

1.2.2基于Layer-w ise理論的電勢場

基于Layer-w ise理論，本文分層描述梁橫截面上壓電層的電勢的分布。將梁內(nèi)壓電層沿高度離散，假設(shè)壓電離散層數(shù)量為m層，則梁中電勢場分布可以表示為[9]：

式中：φj為第j層壓電離散層層間接觸面的電勢分布；Lj(z)則為相應(yīng)的沿梁高度的插值函數(shù)。

若對每一離散層只選取其上下表面電勢值作為電勢場沿z方向離散的節(jié)點(diǎn)，則對于第j層壓電層其電勢可由此層上下表面電勢表示為：

1.3 壓電功能梯度梁單元的能量泛函

設(shè)壓電功能梯度層合梁中壓電層數(shù)量為m，總鋪層數(shù)量為n，則考慮力-電-熱耦合的單元電熱焓為：

式中：下標(biāo)q 為力學(xué)量；下標(biāo) φ為電學(xué)量；下標(biāo)θ為熱學(xué)量；Ωe為單元的體積。從式(22)可以看出，梁的勢能主要包括應(yīng)變能Uqq、壓電能Uφq及Uqφ、電勢能Uφφ以及力熱耦合能量Uθq、熱電耦合能量Uθφ。式(22)中應(yīng)變能部分為：

1.4 壓電功能梯度層合梁單元

本節(jié)將以撓度及橫向剪應(yīng)變作為基本場變量的位移場和以壓電層層間電壓作為基本未知量的電勢場推導(dǎo)一個如圖2所示的兩節(jié)點(diǎn)C1連續(xù)梁單元。單元節(jié)點(diǎn)位移及電勢向量為：

圖2 兩節(jié)點(diǎn)壓電功能梯度梁單元Fig.2 Two-noded piezoelectric functionally graded beam element

1.4.1基于擬協(xié)調(diào)元法推導(dǎo)單元應(yīng)變矩陣

傳統(tǒng)以位移為基本未知量的有限元法,單元的應(yīng)變矩陣基于位移應(yīng)變關(guān)系得出。而以擬協(xié)調(diào)元法推導(dǎo)單元剛度矩陣則通過直接假設(shè)單元的應(yīng)變場，以弱形式使得協(xié)調(diào)方程得到滿足[18]。則式(23)單元應(yīng)變能變?yōu)椋?/p>

得到各應(yīng)變分量插值為：

1.4.2單元剛度矩陣

將式(40)應(yīng)變插值代入式(23)單元應(yīng)變能中，可得單元的力學(xué)剛度矩陣：

其中：

式中：

式中：A11為拉伸剛度；B11為拉彎耦合剛度；D11為彎曲剛度；E11、F11和H11為與高階剪切相關(guān)的項。

對于第j層壓電層，其壓電層層間電勢差為：

其中：

將式(44)代入式(27)所示電勢能可得電學(xué)剛度矩陣：

綜上所述，單元剛度矩陣為：

1.4.3單元的一致質(zhì)量矩陣

由式(15)位移場的表達(dá)式對時間求導(dǎo)可以得到速度場的分布：

將之代入到動能表達(dá)式可得：

其中：

代入相應(yīng)的速度場插值，對動能變分可得單元的質(zhì)量矩陣M qq：

式中：M u0、M w0和M wx分別為軸向、橫向和轉(zhuǎn)動慣量矩陣；Mγ為高階剪切變形所引起的質(zhì)量矩陣；M uwx、M uγ及M wxγ分別為不同慣量之間的耦合項；N u0、N w0、N wx及Nγ分別為相應(yīng)分量的速度場插值。

1.4.4單元有限元列式將應(yīng)變插值代入力-熱耦合能式(29)及電-熱耦合能式(31)，可得由溫度荷載導(dǎo)出的荷載向量Fθq和Fθφ：

若假設(shè)梁承受均布荷載f，且第j層壓電層上下表面電荷密度為Q={Qj+1Qj}T，上下表面電勢為φj={φj+1(x,z j+1,t)φj(x,z j,t)}，系統(tǒng)外力及電荷做功為：

將如上所述單元勢能Ue、動能Te和外力功We對所有單元求和得到系統(tǒng)整體的勢能U、動能T及外力功W代入到Lagrange 方程中即可得到系統(tǒng)的運(yùn)動方程：

求解式(57)可得壓電功能梯度梁在力電熱耦合荷載作用下有限元方程：

2 基于LQR 的最優(yōu)振動控制

2.1 動力系統(tǒng)的狀態(tài)方程

在圖3所示振動控制系統(tǒng)中，外加激勵下梁產(chǎn)生振動并在壓電傳感器中產(chǎn)生電壓。在接收到動力系統(tǒng)輸出電壓后，控制系統(tǒng)將反饋信號傳入致動器并在其上產(chǎn)生控制電壓抑制梁的振動。

圖3 動力系統(tǒng)模型Fig.3 Model of the dynam ic system

若考慮系統(tǒng)Rayleigh 阻尼可得到壓電功能梯度梁強(qiáng)迫振動方程：

其中：

式中，a和b為Rayleigh 阻尼系數(shù)。

若取動力系統(tǒng)前mr階振型在模態(tài)空間下求解壓電功能梯度梁的動力響應(yīng)并對其進(jìn)行振動控制。如式(61)所示強(qiáng)迫振動方程，令外加荷載為零可求其自由振動頻率ωi及模態(tài) φi。系統(tǒng)響應(yīng)可由前mr階振型表示為：

其中：Φ 為系統(tǒng)振型矩陣；η 為系統(tǒng)的模態(tài)坐標(biāo)向量。將式(64)代入式(59)，得到系統(tǒng)在模態(tài)坐標(biāo)描述下運(yùn)動方程為：

式中，I、Λ 和Ω分別為正則化之后的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。

對動態(tài)系統(tǒng)的控制通常在狀態(tài)空間下描述，本文以模態(tài)坐標(biāo)及其對時間的一階導(dǎo)數(shù)為狀態(tài)變量，X(t)=，以傳感器層電壓及其一階導(dǎo)數(shù)為輸出變量Y(t)=可得動力系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式：

式中：uq和uφ為系統(tǒng)的輸入變量，分別表示外部施加力向量以及用于控制壓電功能梯度梁的振動外部輸入電壓；A和C為系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣及輸出矩陣；Bq和Bφ分別為系統(tǒng)的力學(xué)及電學(xué)輸入矩陣。各變量及矩陣的具體形式為：

2.2 基于LQR 的最優(yōu)振動控制

采用二次型最優(yōu)控制算法求解最優(yōu)控制力，系統(tǒng)性能指標(biāo)泛函為：

式中：Q x為狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣，其為正定或半正定矩陣；R為系統(tǒng)輸入變量的加權(quán)矩陣，其為對稱正定矩陣。

在約束條件式(66)下，可使用拉格朗日乘數(shù)矩陣P(t)構(gòu)造如下的拉格朗日函數(shù)[16]：

將uφ(t)作為自變量對性能指標(biāo)泛函求變分得到：

求解式(70)可得反饋控制電壓uφ(t)：

式中，GA為最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣。拉格朗日乘數(shù)矩陣P由如下Riccati 方程得：

根據(jù)現(xiàn)代控制理論，對于無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器P為常數(shù)矩陣，則式(72)轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程。此方程可使用MATLAB控制系統(tǒng)工具箱中l(wèi)qr函數(shù)進(jìn)行數(shù)值求解。將式(71)最優(yōu)控制力代入原狀態(tài)方程式(66)之中得到閉環(huán)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程：

3 數(shù)值算例

3.1 壓電功能梯度層合梁在不同載荷下的靜力響應(yīng)

為了驗證文中提出的力-電-熱耦合梁單元的計算精度，考慮壓電功能梯度層合梁在不同載荷下的靜力響應(yīng)。此算例不僅考慮位移的計算結(jié)果，也考慮應(yīng)力計算結(jié)果。主要為如下三種荷載：

荷載1，機(jī)械載荷：梁受均布荷載q=-5 kN/m，壓電層為閉路邊界條件[15]，即：

荷載2，電場載荷：壓電層與功能梯度層接觸面接地，梁上下表面施加電壓[15]，即：

荷載3，溫度載荷：梁上表面溫度為100℃，下表面溫度為0℃，并假設(shè)溫度為0℃材料處于應(yīng)力自由狀態(tài)[19]。

圖1所示為一個壓電功能梯度層合簡支梁，其長L=250 mm，高度h=5 mm。中間層為由ZrO2及A l 組成的功能梯度層，其高度hc=4mm，上表面為純ZrO2，下表面為純A l，中間其材料參數(shù)呈梯度變化。本例采用Mori-Tanaka 方法[15]模擬功能梯度層材料的梯度分布。功能梯度層上下表面粘貼有等厚度的PZT-1195N 壓電薄層。本例所用材料參數(shù)為：

將梁劃分為10個單元。表1為梁在均布荷載及電壓作用下梁跨中截面最大位移及最大應(yīng)力計算結(jié)果，圖4為在機(jī)械載荷和電荷載作用下梯度指數(shù)N=0.25時梁中心截面的正應(yīng)力分布。YASIN等[15]通過假設(shè)電勢場沿高度二次分布，并基于本構(gòu)方程求解得到可描述高階剪切變形的位移場，提出了一個包含內(nèi)部電節(jié)點(diǎn)的梁單元。其計算結(jié)果如表1所示。

表1 兩種荷載下功能梯度簡支梁的撓度和正應(yīng)力計算結(jié)果Table 1 Central deflection and normal stressof simply supported smart FGM beam under two different loads

Ansys計算結(jié)果為使用軟件Ansys平面單元計算所得，采用Plane13單元及Plane182單元分別劃分壓電層及功能梯度層的網(wǎng)格。并采用等效分層模型描述功能梯度層中材料參數(shù)沿高度的分布，即將功能梯度層分為100層子層，每一子層由各向同性材料組成，其材料常數(shù)由Mori-Tanaka模型確定。從表1及圖4可以看出使用本文梁單元與YASIN的高階梁單元及Ansys計算結(jié)果基本一致。梁承受均布荷載時隨著核心層梯度分布指數(shù)增大，在外荷載作用下梁中心截面撓度及最大彎曲正應(yīng)力逐漸增大。但在電載荷作用下，梁中心截面的撓度逐漸增大，而其彎曲應(yīng)力卻逐漸減小，這表明此壓電功能梯度層合梁有很強(qiáng)的力-電耦合效應(yīng)。

圖4 兩種荷載下梁正應(yīng)力沿厚度方向變化Fig.4 Through-the-thickness variation of σx under two different loads

為進(jìn)一步研究梁的力-電-熱耦合效應(yīng)，本例將考慮如圖3所示壓電功能梯度層合懸臂梁承受沿梁高度方向線性分布的溫度荷載即荷載3。梁的長度為L=200mm，功能梯度層由A l 及ZrO2復(fù)合而成，其厚度為hc=30mm。壓電層材料為G-1195N厚度為hp=0.1 mm。本例所用材料參數(shù)如下所示：

溫度荷載作用下，不同組分指數(shù)的功能梯度材料梁自由端的最大撓度如表2所示。溫度荷載作用下組分指數(shù)N=∞ 時梁的撓曲線如圖5所示。采用荷載傳遞法，用Plane55單元劃分壓電功能梯度梁，計算得到沿厚度方向線性分布的溫度場。在相同網(wǎng)格下，使用Plane13單元劃分壓電層網(wǎng)格，Plane182單元劃分功能梯度層網(wǎng)格，施加如前所述溫度場得到梁端最大撓度。表2中基于均勻分層模型將功能梯度層分別劃分為100及200層，使用Ansys計算溫度荷載作用下梁端撓度。使用本文所推導(dǎo)的梁單元計算結(jié)果與Ansys計算結(jié)果基本一致，與功能梯度層劃分為200層時的結(jié)果更為接近。圖5顯示了N=∞時梁在溫度影響下的撓曲線，其中LIEW 等[19]使用的是一階剪切變形的板單元并以壓電層電壓作為節(jié)點(diǎn)自由度。從圖中結(jié)果可以看到，本文的計算結(jié)果比文獻(xiàn)[19]的解與Ansys解(200層的計算結(jié)果)吻合的更好。

表2 溫度荷載下梁端撓度Table 2 Tip deflectionsof beam under temperature load

圖5 不同模型給出的溫度荷載作用下梁撓曲線(N=∞)Fig.5 Deflection curvesof beam under temperature load given by different models(N=∞)

3.2 自由振動分析

如圖3所示壓電功能梯度懸臂梁，梁的長度為1 m，功能梯度層厚度hc為0.05 m，由Al 及A l2O3復(fù)合而成。上下壓電層厚度hp為0.001m，材料為PZT G1195。本例所用材料參數(shù)如下：

為準(zhǔn)確計算梁的高階頻率，將其劃分為20個單元。表3為計算所得壓電功能梯度層合梁前五階無量綱化頻率對比。其中Bendine基于Reddy三階剪切變形理論的位移場以及基于Layer-w ise理論描述的線性分布電勢場推導(dǎo)得到兩節(jié)點(diǎn)梁單元[11]，并利用此單元求解得到梁在不同梯度分布指數(shù)下前五階無量化自由振動頻率。表3為梁前五階自由振動無量綱化頻率λ，其中λ 的表達(dá)式為：

表3 壓電功能梯度梁前五階無量綱化自由振動頻率Table3 The first five non-dimensional frequenciesof piezoelectric functionally graded beam

表3中的Ansys解為本文采用3.1節(jié)同樣的單元計算所得自由振動頻率。從表中得結(jié)果可以看出，使用本文梁單元所算結(jié)果與Bendine及Ansys所算結(jié)果較為接近，而隨著梯度分布指數(shù)增大，梁前五階自由振動頻率均增大。相比較Reddy 梁理論，Shi梁理論基于三維彈性力學(xué)及能量等效原理推導(dǎo)得到位移場中的剪切函數(shù)，并且以截面的平均轉(zhuǎn)角為基本場變量可以更好地預(yù)測梁的高階頻率，表中梁振動的第五階頻率本文所算結(jié)果相比較參考文獻(xiàn)[11]的結(jié)果更接近Ansys解。

3.3 壓電功能梯度層合梁最優(yōu)振動控制

3.3.1非對稱正交鋪設(shè)層合梁振動控制

如圖6所示為一個非對稱正交鋪設(shè)(0o/90o/0o/90o)層合懸臂梁[20]，其固支端處配置有壓電傳感器及壓電致動器，梁總長度L=100mm，寬度b=10mm。梁由四層等厚度各向同性層組成，其材料為Gr/Ep，總厚度hc=2mm。上下壓電層長度均為Lp=40 mm，其厚度hp=0.2mm。壓電層由PZT G1195組成，其材料參數(shù)如3.1節(jié)中所示，本例所用彈性層材料參數(shù)為：

圖6 帶壓電片復(fù)合材料懸臂梁幾何示意圖Fig.6 Geometry of cantilever composite beam w ith PZT patches

將梁劃分為5個單元，其中壓電片劃分為2個單元。上層壓電層作為致動器，下層壓電層作為傳感器。在梁端施加大小為1 N 方向向下的沖擊荷載，作用時間為1ms。取結(jié)構(gòu)的前6階模態(tài)對其進(jìn)行控制，設(shè)每階模態(tài)所對應(yīng)阻尼比為0.8%。圖7為在沖擊荷載作用下梁端撓度及壓電致動器層控制電壓時間歷程。從兩圖中可以看出，使用LQR 算法所求的最優(yōu)控制力可有效抑制梁的振動。參考文獻(xiàn)[20]采用3.1節(jié)中YASIN 等[14]所提出壓電功能梯度梁單元，此梁單元有一個內(nèi)部的電學(xué)自由度，并且在壓電層表面附加等電勢條件。另外考慮到測量噪聲及觀測噪聲的影響設(shè)計了系統(tǒng)的狀態(tài)觀測器，采用LQR 算法中性能泛函為輸出變量及控制變量的二次型加權(quán)線性組合的輸出調(diào)節(jié)器求解最優(yōu)控制力。為與參考文獻(xiàn)[20]比較，本文同樣采用輸出調(diào)節(jié)器并設(shè)計了狀態(tài)觀測器求解最優(yōu)控制力。性能指標(biāo)中輸出變量的權(quán)值Q=50I，而輸入變量的權(quán)值R=I。從圖7中可以看出，使用本文梁單元及YASIN 所給出梁單元計算所得未施加控制時梁自由振動曲線基本一致。由于兩者采用不同電學(xué)自由度，采用本文梁單元所求解的致動器層電壓相比較YASIN 梁單元所求電壓差異明顯，且前者更低。而相同權(quán)值下施加控制后，兩者梁端撓度振動曲線差異較小。

圖7 沖擊荷載下反對稱正交鋪設(shè)梁的梁端撓度及壓電片控制電壓的時間歷程Fig.7 Tip deflection and control voltage time historiesof anti-symmetric cross-ply beam under an impulsive load

3.3.2壓電功能梯度層合梁振動控制

本例將研究性能指標(biāo)函數(shù)中加權(quán)矩陣Q以及R的權(quán)值大小對結(jié)構(gòu)振動最優(yōu)控制的影響。仍然采用3.2節(jié)中的模型，基于前文所提出的梁單元列式已準(zhǔn)確求得梁的自由振動頻率如表3所示。現(xiàn)取結(jié)構(gòu)的前五階頻率對其進(jìn)行振動控制，將梁劃分為10個單元，上層壓電層作為結(jié)構(gòu)的傳感器，下層壓電層作為致動器。梁中心功能梯度層梯度分布指數(shù)N=10。初始時刻在梁自由端處施加向下的大小為200 N 的沖擊荷載，作用時間為0.001 s，通過線性二次型最優(yōu)控制器求得其最優(yōu)控制電壓，將控制電壓施加在結(jié)構(gòu)的制動器層上實(shí)現(xiàn)對其振動的控制。

圖8及圖9為在各能量項前加權(quán)系數(shù)取不同值時梁端的振幅曲線以及施加在第一個單元上的平均電壓隨時間的變化曲線。表4為不同加權(quán)矩陣取值下系統(tǒng)的控制時間及控制電壓。從圖8、圖9以及表4可以看到，固定R的權(quán)重，隨著Q權(quán)重的增大，梁的振動衰減更快，而施加在致動器層的電壓更高。而在0.1 s以后在電壓變化圖中此趨勢正好相反，考慮到Q權(quán)值大的振幅曲線中振幅已經(jīng)衰減到一定程度，結(jié)構(gòu)并不需要更大的電壓來控制其振動。相反，固定Q的權(quán)重，隨著R的權(quán)重增大，控制電壓的幅值越低，振動衰減越慢。

圖8 基于不同Q 取值下LQR 算法的振動控制梁端撓度及控制電壓的時間歷程Fig.8 Tip deflection and control voltage for the optimal vibration control of piezoelectric functionally graded beam using LQR scheme w ith various weighting matrixes Q

圖9 基于不同R取值下LQR 算法的振動控制梁端撓度及控制電壓的時間歷程Fig.9 Tip deflection and control voltage for the optimal vibration control of piezoelectric functionally graded beam using LQR scheme w ith variousweighting matrix R

表4 Q、R不同取值下梁振動控制時間及最大控制電壓比較Table 4 The comparison of control time and maximum control voltage w ith different valuesof Q and R

4 結(jié)論

本文基于雜交板理論推導(dǎo)了一個C1連續(xù)的兩節(jié)點(diǎn)壓電功能梯度層合梁單元，其中以SHI改進(jìn)的三階剪切變形理論表示梁內(nèi)位移場，以Layer-w ise理論表示梁內(nèi)壓電層電勢場。基于Ham ilton 變分原理推導(dǎo)得到梁單元的有限元列式，并將此有限元列式用于壓電功能梯度層合梁的靜力分析及動力分析。通過LQR 最優(yōu)控制算法求得最優(yōu)控制力實(shí)現(xiàn)對壓電功能梯度梁的振動最優(yōu)控制。數(shù)值算例結(jié)果表明：

(1)所得壓電功能梯度層合梁單元的位移與應(yīng)力計算結(jié)果與Ansys的二維彈性力學(xué)單元計算結(jié)果一致。但本文使用的梁單元比二維彈性力學(xué)模型所使用的單元少很多，表明本文所給梁單元可以準(zhǔn)確且高效地描述壓電功能梯度層合梁的力-電-熱耦合效應(yīng)。

(2)壓電功能梯度層合梁的頻率分析計算結(jié)果顯示，以截面平均轉(zhuǎn)角為基本場變量的SHI改進(jìn)三階剪切變形理論給出比其他三階剪切變形梁理論更準(zhǔn)確的高階振動頻率。

(3)利用LQR 最優(yōu)控制算法所得最優(yōu)控制力可有效抑制結(jié)構(gòu)的振動。二次型性能指標(biāo)泛函中狀態(tài)變量的權(quán)重Q越大，梁的振動衰減越快，控制電壓越高。增大輸入變量的權(quán)重R，梁的振動衰減越慢，控制電壓越低。