主題教學視角下高中數(shù)學單元整體教學設計與實踐
——以上教版高中數(shù)學“函數(shù)”為例

彭 暉

（上海海事大學附屬北蔡高級中學 上海 201204）

一、 研究背景

2003 年版《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》出臺之后，課程內(nèi)容的呈現(xiàn)形式是“知識領(lǐng)域—知識單元—知識點”。[1]這種方式在聚焦每節(jié)課的知識點、優(yōu)化教學活動等方面有一定的優(yōu)勢，但也存在很多不足，如教學上容易重細節(jié)輕整體，使內(nèi)容割裂，造成教學內(nèi)容碎片化，不利于形成完整的知識鏈，不利于學科素養(yǎng)的養(yǎng)成。[2]拉爾夫·泰勒提出，教學實施的基本結(jié)構(gòu)是單元。[3]隨著課程改革的不斷深入，知識的整體性和教學的單元化越來越受到關(guān)注。為了更好地促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升，《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》（以下簡稱《課標》）提出，應注重教材的整體結(jié)構(gòu)，體現(xiàn)內(nèi)容之間的有機銜接；要整體把握教學內(nèi)容，注重課程目標的整體實現(xiàn)；關(guān)注數(shù)學學科核心素養(yǎng)的綜合性與整體性；重視評價的整體性和階段性；等等。[4]鐘啟泉認為“單元設計是撬動課堂轉(zhuǎn)型的一個支點”[5]，崔允漷教授認為“學科核心素養(yǎng)呼喚大單元教學設計”[6]，課程教學設計從關(guān)注單個知識點、課時轉(zhuǎn)向關(guān)注單元教學設計。

主題教學是推進實現(xiàn)數(shù)學學習的整體性和階段性的重要方式。根據(jù)高中數(shù)學學科特點，可以將課程內(nèi)容劃分為預備知識、函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學建模與數(shù)學探究活動五大主題，以“主線—主題—核心內(nèi)容”為結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)課程內(nèi)容。關(guān)于如何將這些理念落實到教學實踐中，近年來在單元教學方面有了很多深入的探討和思考，取得了可喜的進展。但從主題教學視角探索單元整體教學設計，目前這方面的研究較少。本文將以高中數(shù)學“函數(shù)”主題中的“函數(shù)的單調(diào)性”這一核心內(nèi)容為主線，探索主題教學視角下的單元整體教學設計。

二、 主題教學的內(nèi)涵與特征

根據(jù)教學需要，數(shù)學主題可以是以核心數(shù)學知識或重要數(shù)學概念為主線組織的知識類主題，可以是以數(shù)學思想方法為主線組織的方法類主題，也可以是以數(shù)學學科核心素養(yǎng)、基本能力為主線的素養(yǎng)類主題等。[7]數(shù)學主題教學是在整體思維指導下，從提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的角度出發(fā)，對教材內(nèi)容進行統(tǒng)籌重組和優(yōu)化，并將優(yōu)化后的教學內(nèi)容視為一個相對獨立的教學主題，明確主題內(nèi)容在課程標準以及整個階段中的定位和要求，突出數(shù)學內(nèi)容的主線以及知識間的關(guān)聯(lián)性，在此基礎上對教學主題整體進行循環(huán)改進的動態(tài)數(shù)學教學。[8]這樣的數(shù)學內(nèi)容相對獨立，同時具備相應的整體性，可以成為一個數(shù)學主題。

數(shù)學主題教學的教學單位從課時過渡到主題，教學過程也不再是靜態(tài)呈現(xiàn)，存在動態(tài)的調(diào)整。因此，在知識內(nèi)容上，將碎片化的數(shù)學知識與思想方法等進行模塊式整合，同時保持知識結(jié)構(gòu)的完整性；在教學安排上，突出目標導向和系統(tǒng)性，將教學活動的各個環(huán)節(jié)放在整體的教學系統(tǒng)中，注重主題教學的整體，同時有必要把教學過程劃分為不同的階段，每個階段又劃分成多個課時，使階段與階段之間、課時與課時之間既相對獨立又相互聯(lián)系；[9]在學生認知方面，主題教學回應不同階段的學生認知結(jié)構(gòu)，主題教學要深入把握學生的認知規(guī)律。另外，主題教學需要教師在教學過程中注重實踐反思，不斷改進和完善。

以主題教學為背景的單元整體教學設計，一般需要經(jīng)歷前期分析和后期設計兩個階段。前期分析通常分四步：第一步，結(jié)合《課標》要求，確定主題內(nèi)容；第二步，明確學科核心素養(yǎng)培育方向，提煉核心內(nèi)容；第三步，結(jié)合學情規(guī)劃核心內(nèi)容的教學任務，確定單元整體教學目標；第四步，將確定好的單元整體教學目標劃分成不同的階段，確定各階段的子目標。后期設計將前期劃分好的每個階段再劃分成各個課時，設計相應的課時學習任務、學習活動及教學評價標準。[10]

三、 “函數(shù)”主題教學的單元整體教學設計

（一） 基于《課標》要求，梳理知識脈絡

“函數(shù)”是貫穿高中數(shù)學課程的主線，是中學數(shù)學最基本的概念，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最基本的數(shù)學語言和工具，也是從初等數(shù)學走向高等數(shù)學的一個重要內(nèi)容?！墩n標》要求把“函數(shù)”主題的內(nèi)容視為一個整體，引導學生從變量之間的依賴關(guān)系、實數(shù)集合之間的對應關(guān)系、函數(shù)圖像的幾何直觀等角度整體認識函數(shù)概念；通過梳理函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性（對稱性）、最大（?。┲?、極值和導數(shù)等知識，全面認識函數(shù)的整體性質(zhì)和局部變化；經(jīng)歷運用函數(shù)解決實際問題的全過程。[11]

高中階段的“函數(shù)”內(nèi)容（見圖1）分為兩部分。第一部分是必修課程，涵蓋內(nèi)容有：必修第一冊第四章“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)”，第五章“函數(shù)的概念、性質(zhì)及應用”；必修第二冊第七章“三角函數(shù)”。第二部分是選擇性必修課程，涵蓋內(nèi)容有：選擇性必修第一冊第四章“數(shù)列”，第二冊第五章“導數(shù)及其應用”，跨度從高一到高三。其要求是：在必修課程中，學生通過學習函數(shù)概念與性質(zhì)，總結(jié)研究函數(shù)的基本方法，掌握一些具體的基本函數(shù)類，探索函數(shù)的應用。在選擇性必修課程中，學生通過學習數(shù)列和導數(shù)，理解數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)，是研究其他類型函數(shù)的基本工具；導數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是研究函數(shù)性質(zhì)的基本工具。由此可以看出，高中階段學習的函數(shù)是初中階段的繼承與發(fā)展，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學語言和工具，而且把函數(shù)理解為實數(shù)集合之間的對應關(guān)系。[12]利用代數(shù)運算和函數(shù)圖像對冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)進行研究，揭示一般函數(shù)的基本性質(zhì)和研究方法，隨后應用到三角函數(shù)這一具體函數(shù)的研究中，體現(xiàn)了“從具體到抽象，再回到具體”的認知過程。數(shù)列是刻畫項an和項數(shù)n 之間關(guān)系的一個基本數(shù)學模型，可以看作定義在自然數(shù)集上的一類特殊函數(shù)。其中,等差數(shù)列和等比數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系尤為密切，其通項公式和前n 項和公式是一次函數(shù)、二次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的具體體現(xiàn)，因此它歸屬于函數(shù)的一種應用。導數(shù)是從另一個角度定量地刻畫函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的有力工具。導數(shù)的學習將函數(shù)局部性質(zhì)與整體性質(zhì)統(tǒng)整起來，給函數(shù)的研究畫上圓滿的句號。

圖1 “函數(shù)”知識框圖

（二） 基于素養(yǎng)指向，提煉核心內(nèi)容

函數(shù)貫穿高中數(shù)學，其中不僅有很多重要的數(shù)學概念和核心知識，而且滲透了很多數(shù)學思想和方法。因此，針對不同的培養(yǎng)目標，核心內(nèi)容也呈多樣化?！昂瘮?shù)的單調(diào)性”是函數(shù)的知識類核心內(nèi)容之一。它與函數(shù)的概念、函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的圖像、基本初等函數(shù)、方程與不等式及數(shù)列、導數(shù)等內(nèi)容都有緊密的聯(lián)系，而且呈現(xiàn)一種遞進的關(guān)系。在必修課程中，單調(diào)性是從整體上刻畫函數(shù)的變化，定性地反映隨著自變量的增加，函數(shù)值變大（小）。因此，在研究函數(shù)時，有效地把函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)結(jié)合起來，就能清晰地把握函數(shù)的變化和圖像特征。另外，借助函數(shù)的單調(diào)性，可以優(yōu)化對方程和不等式的再認識。在三角函數(shù)和數(shù)列的研究中，單調(diào)性也是不可或缺的一項重要內(nèi)容。至此，隨著研究策略從特殊到一般，再從一般到特殊，函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)涵進一步明確，之后研究方向轉(zhuǎn)到對函數(shù)局部變化的研究，使函數(shù)單調(diào)性的內(nèi)涵得以完善。在選擇性必修二中，為了描述在一個更小范圍（區(qū)間）內(nèi)函數(shù)的變化，引入“平均變化”這一概念，而且區(qū)間越小，越能精確地刻畫函數(shù)的變化。當區(qū)間長度趨近于0 時，平均變化的極限值（導數(shù)）刻畫的是某一點函數(shù)的變化。從單調(diào)性到導數(shù)，就是從定性地反映函數(shù)整體變化到定量地描述函數(shù)局部變化的過程。[13]定性和定量地分析、解決問題是數(shù)學的基本方法，也是數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模等素養(yǎng)的具體體現(xiàn)。這種思想方法在研究函數(shù)中至關(guān)重要，也在函數(shù)的應用中發(fā)揮著越來越大的作用。因此，以“函數(shù)的單調(diào)性”為核心內(nèi)容，把函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進行重整，可以構(gòu)成一個跨章節(jié)的知識類主題（見圖2）。

圖2 “函數(shù)的單調(diào)性”知識網(wǎng)絡

（三） 基于學情與任務驅(qū)動，確定單元整體教學目標

高中生在初中階段已經(jīng)建立常量和變量的概念，掌握了正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)等函數(shù)及其圖像變換，形成了對基本初等函數(shù)的初步認識。高中階段需要進一步研究函數(shù)，通過以下任務的學習，提升數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

1. 挖掘具體函數(shù)，提煉研究方法

繼續(xù)研究冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等具體函數(shù)，讓學生學會用函數(shù)圖像和代數(shù)運算研究函數(shù)的性質(zhì)。

2. 揭示函數(shù)性質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學模型

對之前學習的具體函數(shù)進行共性研究，歸納提煉出函數(shù)的一般概念，借助代數(shù)運算和函數(shù)圖像揭示函數(shù)的一般性質(zhì)，讓學生經(jīng)歷由特殊到一般、從具體到抽象的認知規(guī)律。在此基礎上，指導學生利用函數(shù)觀點研究方程與不等式，構(gòu)建函數(shù)模型，解決一些實際問題。

3. 運用函數(shù)理論，滲透函數(shù)思想

借助函數(shù)概念和性質(zhì)，從對應關(guān)系的角度建立三角函數(shù)、數(shù)列的概念，通過對三角函數(shù)、數(shù)列的單調(diào)性、最值等性質(zhì)的研究，讓學生體會函數(shù)的學習是“由特殊到一般，從具體到抽象，再由一般到特殊回到具體”的認知過程以及用理論指導實踐的研究策略。

4. 理解導數(shù)內(nèi)涵，完善函數(shù)研究

導數(shù)是建立在極限思想上的平均變化率的極限，它的物理意義是瞬時速度，幾何意義是切線的斜率。導數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的一個基本工具。之前研究函數(shù)的單調(diào)性是將定義作為判斷依據(jù)，但碰到較為復雜、難以處理的問題時，定義法將束手無策。導數(shù)的引入進一步揭示了函數(shù)的局部變化，呈現(xiàn)了一種新的判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，該方法簡單易行，對研究一些較為復雜的函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值具有普適性。

基于上述學情分析和任務驅(qū)動，“函數(shù)的單調(diào)性”單元整體教學目標設計如下：（1）經(jīng)歷用幾何方法、代數(shù)方法、導數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性的過程，理解函數(shù)單調(diào)性的概念，掌握研究函數(shù)單調(diào)性的方法；（2）梳理與函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的內(nèi)容，提升整體把握函數(shù)單調(diào)性的能力；（3）經(jīng)歷用函數(shù)單調(diào)性解決問題的過程，體會函數(shù)單調(diào)性在解決問題中的作用，提升學生數(shù)學運算、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析、直觀想象、數(shù)學建模等數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（四） 基于整體教學目標引領(lǐng)，確定各階段的子目標

單元整體教學設計強調(diào)的是一個整體，而要實現(xiàn)這個整體，需要將其逐步細化。由于教學內(nèi)容涉及若干章節(jié)，因此在安排教學過程時，需要劃分成多個階段，并確定各階段的子目標?！昂瘮?shù)的單調(diào)性”單元整體教學的階段劃分及子目標設計如下。

第一個階段：理解單調(diào)性，整體、定性描述函數(shù)的變化。

子目標1：從圖形語言過渡到符號語言，讓學生經(jīng)歷從直觀想象到數(shù)學抽象的過程，感悟常用邏輯用語中的量詞和數(shù)學的嚴謹性，理解函數(shù)單調(diào)性的概念。

子目標2：通過對幾類初等函數(shù)單調(diào)性的研究，掌握用代數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性的基本思路，提升學生的數(shù)學運算、邏輯推理能力。

第二個階段：理解導數(shù)，局部、定量描述函數(shù)的變化。

子目標1：經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，讓學生體會導數(shù)的內(nèi)涵與思想。

子目標2：通過函數(shù)圖像直觀理解導數(shù)的幾何意義，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象素養(yǎng)。

第三個階段：建立單調(diào)性與導數(shù)的聯(lián)系，全方位理解函數(shù)。

子目標1：借助幾何直觀讓學生了解函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系。

子目標2：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，讓學生進一步理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。

子目標3：梳理與函數(shù)單調(diào)性應用相關(guān)的內(nèi)容，如函數(shù)圖像、函數(shù)最值、函數(shù)零點、方程與不等式有解和恒成立等問題，讓學生體會函數(shù)單調(diào)性在解決問題中的作用，培養(yǎng)學生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模素養(yǎng)，提升學生解決綜合問題的能力。

（五） 基于階段目標落實，設計課時學習活動和評價

單元整體教學每個階段目標的落實，需要再細劃分成各個課時，設計相應的課時學習任務、學習活動、教學評價標準。為了使教學有目的、有計劃地逐層遞進，需要考慮課時前后的順序關(guān)系，教法內(nèi)容的銜接遞進。因此，各課時之間依照知識的系統(tǒng)性和連貫性，由淺入深、由易到難進行編排，形成教學的坡度和訓練的梯度，呈階梯式、螺旋式上升?？梢缘谝粋€階段“理解單調(diào)性，整體、定性描述函數(shù)的變化”為例，呈現(xiàn)如何設計單元整體教學目標下的子任務以及學生活動和評價標準（見表1）。

四、 主題教學的單元整體教學設計的思考

在“函數(shù)”主題教學單元整體設計實踐中不難發(fā)現(xiàn)，進行單元整體教學設計不僅需要準確剖析數(shù)學知識的整體結(jié)構(gòu)，還要關(guān)注教學結(jié)構(gòu)和認知結(jié)構(gòu)。[14]數(shù)學知識結(jié)構(gòu)就是教材內(nèi)容的邏輯結(jié)構(gòu)，認知結(jié)構(gòu)就是學生主觀改造后頭腦里獲得的知識結(jié)構(gòu)。顯然，良好的認知結(jié)構(gòu)的形成依賴于教師對數(shù)學知識的整體認識，并配以合理的教學結(jié)構(gòu)。教師在主題教學中應讓知識之間盡可能多地建立聯(lián)系，把新知識有機地嵌入已有的知識體系，幫助學生形成穩(wěn)定的螺旋式上升的認知結(jié)構(gòu)。因此，在進行主題教學的單元整體教學設計時，有以下幾點思考。

（一） 整體剖析知識結(jié)構(gòu)，厘清知識的本原及相互之間的關(guān)系

數(shù)學知識之間具有嚴密的邏輯關(guān)系，而且能按一定的層級結(jié)構(gòu)進行組織。教師要對數(shù)學學科知識有整體的理解和認識，可以借助知識框圖和結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡，梳理知識脈絡，提煉核心內(nèi)容，基于學情與任務驅(qū)動，確定單元整體教學目標和階段子目標。這樣，在進行整體教學設計時，才能清晰規(guī)劃主題內(nèi)容，讓每個階段、每個課時的教學更有針對性，讓數(shù)學知識的統(tǒng)整、思想方法的體現(xiàn)以及情感的滲透更有依據(jù)。

（二） 整體把握認知結(jié)構(gòu)，關(guān)注學生數(shù)學學科素養(yǎng)的形成

培養(yǎng)學生的數(shù)學學科素養(yǎng)，需要教師立足學情，借助知識之間嚴密的邏輯關(guān)系，將對知識結(jié)構(gòu)體系和本質(zhì)的理解以適合學生的認知為前提融入主題教學中，對知識層級進行優(yōu)化，按一定的層次結(jié)構(gòu)組織教學。[15]在“函數(shù)的單調(diào)性”教學設計中，依據(jù)學生的認知規(guī)律，分成三個階段：第一個階段，通過與函數(shù)概念、函數(shù)的其他性質(zhì)、基本初等函數(shù)相聯(lián)系，提煉單調(diào)性的研究方法；第二個階段，通過與導數(shù)相結(jié)合，完善函數(shù)的研究；第三個階段，通過梳理與函數(shù)的單調(diào)性應用相關(guān)的內(nèi)容，提升學生的綜合運用能力。由此，引導學生厘清知識的來龍去脈，理解概念，把握概念本質(zhì)，建立知識之間的關(guān)聯(lián)，掌握研究方法，提高學生的認知結(jié)構(gòu)，促進學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)階段性、連續(xù)性、整體性發(fā)展。[16]

（三） 進行教學設計時堅持素養(yǎng)指向，重視學生的學習活動

學生對知識的理解和認識是日積月累、循序漸進的過程，學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)是在學習數(shù)學課程內(nèi)容的過程中逐步形成的。因此，主題教學下的單元整體教學設計要充分關(guān)注數(shù)學學科素養(yǎng)的達成，研究其融入教學內(nèi)容和教學過程的具體方式及載體，教學設計的重心應凸顯學生的學習活動。在教學活動中，結(jié)合特定教學任務及素養(yǎng)培養(yǎng)目標，設計適當?shù)慕虒W情境，提出適切的數(shù)學問題，引發(fā)學生思考、探究和交流，形成和發(fā)展學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)。

（四） 實時監(jiān)控教學過程，重視過程評價并加強反思

教學評價是教學活動不可缺少的一個組成部分，在進行主題教學活動評價時，應當把教學評價的總目標合理分解到日常教學評價的各個階段。評價應以教學目標的達成為依據(jù)，關(guān)注學生對數(shù)學知識的掌握程度和數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展水平。[17]可以采用預習檢測、課堂觀察、開放式活動中的表現(xiàn)、課內(nèi)外作業(yè)、測驗等多樣化的評價方式，還可以借助大數(shù)據(jù)、智慧教育平臺等信息化技術(shù)采集相關(guān)數(shù)據(jù)。值得注意的是，在實施主題教學前需要對學生的認知水平進行測試，再依據(jù)《課標》和教學目標編制評價標準，在實施教學之后依據(jù)評價標準檢測學生的學習效果。通過評價，診斷學生學習的成效，發(fā)現(xiàn)教學中的不足，以便于教師及時改進教學行為。根據(jù)評價結(jié)果，教師有必要對主題教學設計的各個環(huán)節(jié)進行反思，對原有的安排進行適當調(diào)整和修改，優(yōu)化當前的設計。同時，還要對學生的學習進行跟蹤性評價、階段性評價和發(fā)展性評價，不斷完善后續(xù)的設計，讓主題教學視角下的單元整體教學設計成為一個連續(xù)、不斷改進的動態(tài)過程。

五、 結(jié)語

相比課時教學和章節(jié)教學，主題教學的教學過程更為復雜，教學模式的選擇也更加多樣化。為了幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質(zhì)、對未來學習有支撐意義的結(jié)構(gòu)化數(shù)學知識體系，教師要以培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)為目標，秉持整體觀的思想，不斷調(diào)整、補充和完善教學內(nèi)容，建立知識間的聯(lián)系，構(gòu)建知識網(wǎng)絡，對學生知識建構(gòu)和思維培育進行持續(xù)系統(tǒng)的鞏固、反饋、評價和改進，引導學生掌握系統(tǒng)化和結(jié)構(gòu)化的知識，促進學生思維發(fā)展螺旋式上升。