跳頻序列部分漢明相關(guān)理論界及其最優(yōu)構(gòu)造

周正春

(西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610031)

1 前言

跳頻多址技術(shù)目前廣泛應(yīng)用于超寬帶(UWB)、軍事通信和藍(lán)牙等現(xiàn)代通信系統(tǒng)中.跳頻序列是跳頻多址通信系統(tǒng)的一個(gè)組成部分[1].例如,在多接入跳頻分組無(wú)線網(wǎng)絡(luò)中,每個(gè)發(fā)送器被分配一個(gè)唯一的簽名序列,以控制無(wú)線電在一幀內(nèi)為連續(xù)的分組使用的頻率.在幀異步和包同步的假設(shè)下,當(dāng)2個(gè)或多個(gè)無(wú)線電以相同的頻率同時(shí)發(fā)送它們的包時(shí),碰撞的包有可能互相破壞.這些碰撞可以通過數(shù)字簽名序列的漢明相關(guān)來測(cè)量.為了減小頻率沖突引起的多址干擾,必須減小所采用的跳頻序列的漢明相關(guān).

一般來說,跳頻序列的漢明相關(guān)大致可分為3種類型[2]:周期漢明相關(guān)、非周期漢明相關(guān)和部分漢明相關(guān).跳頻序列的周期漢明自相關(guān)的研究可以追溯到著名的Lempel-Greenberger界[3].在2004年,Peng和Fan[4]推導(dǎo)了跳頻序列集的周期漢明相關(guān)的界.文獻(xiàn)[5-6]報(bào)道了關(guān)于周期漢明相關(guān)的跳頻序列集的編碼理論界.在過去的40 a中,已經(jīng)有許多文獻(xiàn)(如文獻(xiàn)[3,6-15])達(dá)到了這些界的跳頻序列的構(gòu)造.

在實(shí)際應(yīng)用中,跳頻序列集的周期相關(guān)性決定了系統(tǒng)中可適應(yīng)用戶的數(shù)量和容錯(cuò)率[16],而它的非周期性和部分周期相關(guān)性影響它在接收端的同步和捕獲性能[16-17].如上所述,關(guān)于跳頻序列集的周期漢明相關(guān)性已有大量的研究,但是對(duì)于非周期相關(guān)和部分相關(guān)卻知之甚少,而這些性質(zhì)在理論意義和實(shí)際應(yīng)用中都很重要.特別地,在同步時(shí)間有限或硬件復(fù)雜的許多應(yīng)用程序場(chǎng)景中[17],相關(guān)窗口的長(zhǎng)度應(yīng)該比選定的跳頻序列的周期短得多[4,17].同時(shí),根據(jù)信道條件,窗口長(zhǎng)度可能會(huì)隨時(shí)間變化而變化.因此,我們希望所采用的跳頻序列應(yīng)具有良好的部分漢明相關(guān)性.

已有的跳頻序列(集)部分漢明相關(guān)的理論界主要分為2種:

一是給定頻率數(shù)目和序列長(zhǎng)度條件下的部分漢明相關(guān)理論界.2004年,Eun等[17]建立了單個(gè)跳頻序列的最大部分漢明自相關(guān)的下界.2012年,Zhou等[2]將Peng-Fan界推廣到了部分漢明相關(guān)的情形,得到了跳頻序列集最大部分漢明相關(guān)的下界.2014年,Cai等[18]改進(jìn)了上述理論界,分別給出了單個(gè)跳頻序列和跳頻序列集的最大部分漢明相關(guān)的下界.

二是限定部分漢明相關(guān)條件下的序列數(shù)目的理論界.2016年,Cai等[19]從糾錯(cuò)編碼的一些經(jīng)典界出發(fā),得到了在限定部分漢明相關(guān)條件下的序列數(shù)目的2個(gè)上界.此外,2010年,Niu等[20]發(fā)現(xiàn)了低碰撞跳頻序列集的最大部分漢明相關(guān)的理論界.

下面介紹跳頻序列部分漢明相關(guān)的研究進(jìn)展.2004年,Eun等[17]提出一類具有最優(yōu)部分漢明自相關(guān)的跳頻序列的構(gòu)造.Udaya等[12]基于多項(xiàng)式剩余類環(huán)上的m序列和Gordon-Mills-Welch序列提出了一類具有最優(yōu)部分漢明自相關(guān)的跳頻序列的構(gòu)造.2012年,Zhou等[2]基于陣列結(jié)構(gòu)提出一類具有嚴(yán)格最優(yōu)部分漢明自相關(guān)的單個(gè)跳頻序列和一類具有嚴(yán)格最優(yōu)部分漢明相關(guān)的跳頻序列集的構(gòu)造.2012年,Niu等[21]基于廣義m序列和廣義Gordon-Mills-Welch序列提出了一類最優(yōu)部分漢明相關(guān)的跳頻/跳時(shí)序列集的構(gòu)造.2014年,Cai等[18]基于廣義分圓提出了一類強(qiáng)最優(yōu)部分漢明相關(guān)的跳頻序列(集)的構(gòu)造.2016年,Cai等[19]提出一類具有最優(yōu)序列集大小的強(qiáng)最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列集的構(gòu)造.2016年,Fan等[22]基于不相交循環(huán)完美Mendelsohn差族提出一類強(qiáng)最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列的構(gòu)造.2016年,Bao等[23]基于多重可劃分平衡嵌套循環(huán)差填充提出幾類強(qiáng)最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列(集)的構(gòu)造.2019年,Liu等[24]基于可劃分差填充提出幾類強(qiáng)最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列(集)的構(gòu)造.此外,2018年,Liu等[25]提出2類具有嚴(yán)格最優(yōu)部分漢明相關(guān)的低碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造.2019年,Han等[26]利用交織技術(shù)提出一類具有嚴(yán)格最優(yōu)部分漢明相關(guān)的低碰撞區(qū)跳頻序列集的構(gòu)造.

2 基本概念

S={X1,X2,…,XM}.

τ=0,1,…,N-1,

其中〈x〉n是x模N的最小非負(fù)余數(shù),

當(dāng)X=Y時(shí),稱HXY(τ)為周期漢明自相關(guān);當(dāng)X≠Y時(shí),稱HXY(τ)為周期漢明互相關(guān).

對(duì)于任意給定的跳頻序列集S,最大漢明自相關(guān)Ha(S)、最大漢明互相關(guān)Hc(S)和最大漢明相關(guān)Hm(S)分別定義為:

Ha(S)=max{HXX(τ)|X∈S,0<τ

Hc(S)=max{HXY(τ)|X,Y∈S,X≠Y,

0≤τ

Hm(S)=max{Ha(S),Hc(S)}.

為簡(jiǎn)單起見,本文用(N,q,Ha)表示定義在大小為q的頻隙集F上、長(zhǎng)度為N的、最大漢明自相關(guān)為Ha的跳頻序列,其中

Ha={HXX(τ):1≤τ

用(N,M,q,Hm)表示一個(gè)大小為q的頻隙集上長(zhǎng)度為N的M個(gè)跳頻序列組成的集合,其最大漢明相關(guān)為Hm=Hm(S).

2.2 部分漢明相關(guān)函數(shù)

(1)

其中,0≤τ,j≤N-1,1≤L≤N.

特別地,如果L=N,j=0,(1)式就是周期漢明相關(guān);如果L=N-τ,j=0,則(1)式就是非周期漢明相關(guān)函數(shù).

當(dāng)X=Y時(shí),HX,X(τ;j|L)稱為X的部分漢明自相關(guān)函數(shù);當(dāng)X≠Y時(shí),HX,Y(τ;j|L)稱為X和Y的部分漢明互相關(guān)函數(shù).

定義 2.3對(duì)于F上任意2個(gè)不同的序列X和Y,任給整數(shù)L(1≤L≤N),它們的最大部分漢明自相關(guān)函數(shù)Pa(L)和最大部分漢明互相關(guān)函數(shù)Pc(L)分別定義為

和

設(shè)S是F上長(zhǎng)度為N的M個(gè)跳頻序列組成的集合,對(duì)于任給的相關(guān)窗長(zhǎng)L,序列集S的最大部分漢明相關(guān)函數(shù)Pm(L)定義為

3 部分漢明相關(guān)理論界

跳頻序列的參數(shù)(長(zhǎng)度、頻隙集大小、最大相關(guān)值、序列集合大小)相互制約,本節(jié)主要介紹這些參數(shù)的理論界.

3.1 給定頻率數(shù)目和序列長(zhǎng)度條件下的部分漢明相關(guān)理論界在2004年,Eun等[17]發(fā)現(xiàn)跳頻序列的最大部分漢明自相關(guān)下界.

定理 3.1(Eun-Jin-Hong-Song界[17]) 設(shè)X是大小為q的字母集F上的一條長(zhǎng)度為N的跳頻序列,那么對(duì)于任意的相關(guān)窗長(zhǎng)L(1≤L≤N),有

(2)

其中，r是N模q的最小非負(fù)余數(shù).

當(dāng)L=N時(shí),(2)界恰好是Lempel-Greenberger界[3].

2014年,Cai等[18]改進(jìn)(2)界,得到了如下結(jié)果.

推論 3.1(Cai-Zhou-Yang-Tang界[18]) 設(shè)X是大小為q的頻隙集F上的一條長(zhǎng)度為N的跳頻序列,則對(duì)于任意的相關(guān)窗長(zhǎng)L(1≤L≤N),有

(3)

其中，r是N模q的最小非負(fù)余數(shù).

在實(shí)際系統(tǒng)中,相關(guān)窗口長(zhǎng)度可能會(huì)根據(jù)信道條件的不同而變化.因此,希望跳頻序列對(duì)任何窗口長(zhǎng)度都具有最佳的部分漢明相關(guān)性.

定義 3.1令X是F上長(zhǎng)度為N的跳頻序列,如果對(duì)于任意相關(guān)窗長(zhǎng)L(1≤L≤N),(3)界等號(hào)成立,則稱X為強(qiáng)最優(yōu)的.

當(dāng)L=N時(shí),(2)和(3)界恰好是Lempel-Greenberger界.顯然,任何強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列關(guān)于Lempel-Greenberger界也是最優(yōu)的,但反之不然.

2012年,Zhou等[2]將Peng-Fan界推廣到部分漢明相關(guān)的情形,得到如下結(jié)論.

(4)

和

(5)

2014年,Cai等[18]改進(jìn)了(4)和(5)界,得到下面的推論.

(6)

和

(7)

顯然,當(dāng)L=N時(shí),定理3.2和推論3.2中的界恰好是Peng-Fan界[4].這就表明,強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集關(guān)于Peng-Fan界也是最優(yōu)的;反之不然.

雖然“每日優(yōu)鮮”承諾兩小時(shí)送達(dá)，現(xiàn)在甚至90%的訂單都能在1小時(shí)內(nèi)送達(dá)，但對(duì)于距離前置倉(cāng)較遠(yuǎn)的的訂單，不少顧客反映自己下單的產(chǎn)品在次日都未能送達(dá)。

3.2 限定部分漢明相關(guān)條件下的序列數(shù)目上界2009年,Ding等[5]基于經(jīng)典的編碼理論界,得到跳頻序列集的周期漢明相關(guān)理論界.受Ding等[5]思想的啟發(fā),Cai等[19]提出在限定部分漢明相關(guān)條件下的序列數(shù)目的上界.

設(shè)S是F上長(zhǎng)度為N的M個(gè)跳頻序列組成的集合.Pm(L)表示S在所有長(zhǎng)度為L(zhǎng)的相關(guān)窗上的最大部分漢明相關(guān)函數(shù).對(duì)于任意給定的L(1≤L≤N),將S中所有長(zhǎng)度為L(zhǎng)的子序列放在一起,得到一個(gè)F上參數(shù)為(L,NM,L-Pm(L);l)糾錯(cuò)碼CS(L),其中

CS(L)={(ai,a〈i+1〉N,…,a〈i+L-1〉N):

{a0,a1,…,aN-1}∈S,0≤i≤N-1}.

(8)

將Plotkin界和Singleton界[27]應(yīng)用到(8)式的糾錯(cuò)碼CS(L)中,可得定理3.3.

定理 3.3[19]設(shè)S是由大小為q的頻隙集上的長(zhǎng)度為N的M個(gè)跳頻序列組成的集合,則有

L>q·Pm(L)}

(9)

和

(10)

一個(gè)很自然的問題是,已知的強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集對(duì)于(9)或(10)界是否也有最優(yōu)的序列族大小?下面的定理給出了肯定答案.

定理3.5表示,當(dāng)r≥2時(shí),文獻(xiàn)[2]中的強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集關(guān)于(9)界是緊的;當(dāng)r=2時(shí),關(guān)于(10)界也是緊的.

定義 3.2[17]如果對(duì)于任意的相關(guān)窗長(zhǎng)L(1≤L≤N),(2)界等號(hào)成立,則跳頻序列X∈F稱為嚴(yán)格最優(yōu)的.

當(dāng)L=N時(shí),(2)界恰好是Lempel-Greenberger界.因此,任何嚴(yán)格最優(yōu)的跳頻序列,關(guān)于Lempel-Greenberger界也是最優(yōu)的;反之不然.文獻(xiàn)[17]的跳頻序列關(guān)于Lempel-Greenberger界最優(yōu),但不是嚴(yán)格最優(yōu)的.

類似于3.2中嚴(yán)格最優(yōu)跳頻序列的定義,嚴(yán)格最優(yōu)跳頻序列集定義如下.

定義 3.3[4]如果對(duì)于任意的相關(guān)窗長(zhǎng)L(1≤L≤N),(4)或者(5)界等號(hào)成立,則跳頻序列集S是嚴(yán)格最優(yōu)的.

當(dāng)L=N時(shí),(4)和(5)界正好是Peng-Fan界.因此,任何嚴(yán)格最優(yōu)跳頻序列集關(guān)于Peng-Fan界也是最優(yōu)的;反之不然.

4 基于廣義m序列和廣義GMW序列的嚴(yán)格最優(yōu)跳頻序列集

vb(t)=(Trqn/q(b0αt),Trqn/q(b1αt),…,Trqn/q(bk-1αt)).

(11)

當(dāng)n=2時(shí),定理4.1給出了文獻(xiàn)[17]相同的參數(shù);當(dāng)n>2時(shí),定理4.1的參數(shù)是新的.

ub(t)=(Trqn/q(b0βt),Trqn/q(b1βt),…

(12)

定義序列集

(13)

4.2 第二類最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列集設(shè)p是素?cái)?shù),且q=pm,r、k是正整數(shù)且滿足k|r,f(x)是GF(q)上的r次本原多項(xiàng)式,α是f(x)的根.設(shè)l是一正整數(shù),且滿足l|(qr-1)和gcd(r,l)=1.定義

3) 構(gòu)造跳頻序列集S={su,0≤u≤l-1}.

定理 4.3[21]由構(gòu)造4.1生成的跳頻序列集S具有以下性質(zhì):

5 基于廣義分圓的強(qiáng)最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列(集)

本節(jié)先回顧一下廣義分圓的基本理論,然后介紹一類基于廣義分圓的強(qiáng)最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列(集)[18].

pi-1=efi,

且集合

對(duì)于任意的Iv1=(i1,i2,…,iπ(v1))∈Ψv1,定義

(14)

(15)

定義集合

且Iv1∈Ψv1}∪{{0}}.

(16)

Δ(x)=〈i〉e,

(17)

(18)

ii)S關(guān)于(6)和(7)界是強(qiáng)最優(yōu)的;

iii)S中的每一條序列Si關(guān)于(3)界都是強(qiáng)最優(yōu)的.

6 具有最優(yōu)序列集大小的強(qiáng)最優(yōu)部分漢明相關(guān)跳頻序列集設(shè)計(jì)

構(gòu)造 6.1[19]令m和n是2個(gè)正整數(shù)且滿足gcd(m,n)=1.

(19)

(20)

t1=〈t〉n,t2=〈t〉m.

基于構(gòu)造6.1,可以得到如下結(jié)論.

定理 6.1[19]定義序列集

(21)

1)S是由Fpr上長(zhǎng)度為p(pr-1)的pr-1個(gè)跳頻序列組成的集合;

3) 集合S關(guān)于(6)和(10)界都是最優(yōu)的.

7 基于不相交循環(huán)完美Mendelsohn差族的強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列設(shè)計(jì)

CPMDF[30-31]由Fuji-Hara和Miao在構(gòu)造最優(yōu)光正交碼時(shí)首次提出.首先,回顧C(jī)PMDF的定義.

基于不相交CPMDF,可得如下結(jié)論.

(22)

其中,0≤t1<(v-1)/k,0≤t2

下面利用循環(huán)群中的差分矩陣提出一個(gè)不相交(v,k,1)-CPMDF的遞歸構(gòu)造.

定理 7.2[22]設(shè)u和v是2個(gè)正整數(shù).如果存在一個(gè)不相交的(u,k,1)-CPMDF、一個(gè)不相交的(v,k,1)-CPMDF以及一個(gè)(v,k+1,1)-CDM,則存在一個(gè)不相交的(uv,k,1)-CPMDF.

定理 7.3[22]設(shè)v和k是2個(gè)正整數(shù).如果v和k滿足以下條件之一:

根據(jù)定理7.1中給出的強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列與不相交CPMDF之間的聯(lián)系,可以得到如下結(jié)論.

推論 7.1[22]設(shè)v和k是2個(gè)正整數(shù),當(dāng)v和k滿足定理7.3的3個(gè)條件之一時(shí),則存在定義在大小為v的頻隙集上的長(zhǎng)度為kv的強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列.

8 基于多重可劃分平衡嵌套循環(huán)差填充的強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集設(shè)計(jì)

8.1 一類強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列2004年,Fuji-Hara等[33]指出跳頻序列與可劃分循環(huán)差填充(CDP)之間的聯(lián)系.基于此,文獻(xiàn)[23]給出幾類強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列的構(gòu)造.

使得

其中

K={|Br|:0≤r≤l-1}.

如果n=8a+1,則

B0={0,4a+1,8a},B1={4a-1,4a},

B1+r={r,2a-2+2r}, 1≤r≤a,

Ba+1+r={a+r,2a-1+2r}, 1≤r≤a-1,

B2a+r≡B1+r+4a+1(mod n),

1≤r≤2a-1.

如果n=8a+3,則

B0={0,4a+1,4a+2},B1={2a,6a+3},

B2={2a+1,6a+1},

B3={6a+2,6a+4},

B3+r={r,4a+1-r}, 1≤r≤2a-1,

B2a+2+r≡B3+r+4a+2(mod n),

1≤r≤2a-2.

如果n=8a+5,則

B0={0,4a+2,4a+3},

B1={2a+1,6a+5},

B2={2a+2,6a+3},B3={1,6a+4},

B3+r={2a+2+r,6a+3-r},

1≤r≤2a-1,

B2a+2+r≡B3+r+4a+3(mod n),

1≤r≤2a-1.

如果n=8a+7,則

B0={0,4a+3,4a+4},

Br={r,2a+2r}, 1≤r≤a+1,

Ba+r={a+1+r,2a+1+2r}, 1≤r≤a,

B2a+r≡Br+4a+4(modn),

1≤r≤2a+1.

利用分圓類構(gòu)造可分解的CRDFs,可以得到強(qiáng)最優(yōu)的跳頻序列.

5) 存在一個(gè)強(qiáng)最優(yōu)的(6p,2;2p+1)跳頻序列,其中p≡5(mod 8)是素?cái)?shù).

8.2 強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集的組合構(gòu)造2009年,Ge等[34]給出跳頻序列集與可劃分平衡嵌套循環(huán)差填充(BNCDP)之間的聯(lián)系.基于上述用于設(shè)計(jì)強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列的組合方法,文獻(xiàn)[23]給出強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集的組合構(gòu)造.

下面利用分圓類得到一類具有特殊性質(zhì)的可劃分BNCDPs,并由此得到一類新的強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集的構(gòu)造.

K0=…=Kf-1={e}.

推論 8.1[18]設(shè)參數(shù)v、e、f與引理8.1中的假設(shè)相同,則存在一個(gè)強(qiáng)最優(yōu)的(ev,f,e;v)跳頻序列集S,其部分漢明相關(guān)為

8.3 強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集的兩類遞歸構(gòu)造第一個(gè)遞歸構(gòu)造是基于循環(huán)差分矩陣(CDM)[23]的.

下面是第二類遞歸結(jié)構(gòu).

9 基于可劃分差填充的強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集設(shè)計(jì)

本節(jié)介紹一類強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集的構(gòu)造方法[24].

1≤τ≤N-1,

其中,Bi+τ={b+τ(mod N):b∈Bi}.

Γ(B,τ)={(x,y):x-y≡τ(mod N),x,y∈B},1≤τ≤N-1.

(23)

i=0,1,…,q-1},

(24)

下面構(gòu)造幾類PDPs.

B0={0,q+1,q-2},

Bj={j,2q+2-j},

B0={0,q+2,q},

B1={q+3,q+4},B2={1,2,2q+2},

B6={2q-2,6,2q+3},

Bq-4={q-4,q+8,q+1},

j≠q-4.

B0={0,q+4,q+2},

B1={q+5,q+6},

B2={1,2,2q+6},

B3={q,q+8},

B6={6,2q+2,2q+7},

B12={12,2q-4,3},

B14={14,2q-6,2q+5},

Bq-10={q+18,q-10,q+1},

Bq-8={q+16,q-8,q+7},

Bq-2={q+10,q-2,q+3},

Bi={i,2q+8-i}, 4≤i≤q-1,

i≠6,12,14,q-10,q-8,q-2.

Bi0,i1,…,im-2={i:Tr(αi)=i0,Tr(αi+1)=i1,…,

Tr(αi+m-2)=im-2,i=0,1,…,qm-2}. (25)

(26)

(27)

χ(x1,x2)=x,

B0,0={χ(0,k)f+m:k=0,1,…,e-1,m=0,1,…,f-1}

(28)

和

Bi,j={χ(ihmgk,j+k)f+m:

k=0,1,…,e-1,m=0,1,…,f-1}.

(29)

B={pm-1(pm-1)u+v:u=0,1,…,p-1,

v=0,1,…,pm-1-1},

0≤b≤pm(pm-1)-1,b?B},i∈GF(pm).

9.1 強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列的設(shè)計(jì)本節(jié)給出了一類強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列的構(gòu)造.

s=(s0,s1,…,s(ξ-1)N-1),

其中

0≤i≤q-1, 0≤j≤ei-1,

0≤v≤ξ-2.

對(duì)于構(gòu)造9.10生成的跳頻序列,有以下結(jié)果.

定理 9.10[24]當(dāng)l=1時(shí),由構(gòu)造9.10生成的跳頻序列s是一個(gè)((ξ-1)N,qξ,Ha)跳頻序列,且最大部分漢明自相關(guān)為

其中k=1,2,…,Ha.

定理 9.11[24]通過選擇不同的PDPs,可以得到下列強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列:

2) 在構(gòu)造9.4中選擇一個(gè)大小為q的[2q+4,{2,3},2]PDP,由構(gòu)造9.10可以得到一個(gè)

((ξ-1)(2q+2),qξ,2)

3) 在構(gòu)造9.5中選擇一個(gè)大小為q的[2q+8,{2,3},2]PDP,由構(gòu)造9.10可以得到一個(gè)

((ξ-1)(2q+8),qξ,2)

9.2 無(wú)限類強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列的設(shè)計(jì)在本節(jié)中,基于構(gòu)造9.10,下面給出強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列的遞歸構(gòu)造.

定理 9.13[24]對(duì)于l=1,如果

(30)

那么,由構(gòu)造生成的跳頻序列s,s1,s2,…,su都是強(qiáng)最優(yōu)的.

根據(jù)構(gòu)造9.12,得到以下結(jié)果.

定理 9.14[24]通過選擇不同的PDPs,可以得到以下強(qiáng)最優(yōu)跳頻序列集:

3) 在構(gòu)造9.8中選擇一個(gè)大小為pm的[pm(pm-1),{pm-1},p]PDP,由構(gòu)造9.10可以生成一個(gè)大小為pmξ的[pm(pm-1)(ξ-1),▽′,p]PDP.那么,由構(gòu)造9.12生成一個(gè)

(p(pm-1)(ξ-1),pm-1,pmξ,p)

ξ≥2m-1(2m-1),

且m≥3,則S4是強(qiáng)最優(yōu)的.

10 結(jié)束語(yǔ)

跳頻序列一直是擴(kuò)頻通信領(lǐng)域的基礎(chǔ)理論研究課題.跳頻序列理論包括理論界與序列設(shè)計(jì)2個(gè)方面.長(zhǎng)期以來,跳頻序列的研究成果很豐富,但部分跳頻序列的研究結(jié)果不多.本文系統(tǒng)地闡述部分漢明相關(guān)跳頻序列(集)的研究成果.

表1中列出了具有最優(yōu)部分漢明相關(guān)的跳頻序列(集)的參數(shù).

表 1 具有最優(yōu)部分漢明相關(guān)的跳頻序列(集)

r>1是整數(shù),且r|gcd(e,q1-1,q2-1,…,qt-1);

d和n是正整數(shù),p是一素?cái)?shù),ξ和ξ′是一素?cái)?shù)冪;