巧妙“引” 足夠“退” 徹底“拓”
——以小學(xué)數(shù)學(xué)“找次品”為例

甘肅省金昌市永昌縣第一小學(xué) 劉紹香

人教版數(shù)學(xué)五年級下冊數(shù)學(xué)廣角“找次品”是滲透優(yōu)化思想的典型課例。從多樣到優(yōu)化，從分析到概括，從紛雜知識體系的厘清到數(shù)學(xué)內(nèi)在機理的把握，對于五年級學(xué)生而言，是一個不小的挑戰(zhàn)，有難度，但不乏驚喜。如何引領(lǐng)學(xué)生感受解決問題策略的多樣性，積累解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗，提升聯(lián)系生活應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力，考驗著教師的設(shè)計水平。實踐證明，通過“引、退、拓”三字訣，能夠達(dá)成上述目標(biāo)。

一、善于“引”，巧“引”激興

成功的課堂首先體現(xiàn)在新課伊始。如果教師一開始就以聚焦性、形象性、趣味性的方式緊緊吸引學(xué)生的眼球，使之積累一探究竟的熱情，那么，教學(xué)無疑成功了一半。一旦課堂的初始階段充滿熱度，并且以搖曳生姿的情境聚焦學(xué)生，成為一種喚醒和解放的力量參與到學(xué)生的思維提升中，那么學(xué)生、課堂、教師的精彩融合就是必然，課堂后續(xù)的走向、發(fā)展及推進(jìn)也必定是充滿生機與活力的。就“找次品”的教學(xué)而言，是按照教材本身的安排引入新課，還是巧妙選擇，以一種更為形象與聚焦的方式吸引學(xué)生呢？

以下是兩位教師針對“找次品”一課的開頭設(shè)計：

A 教師：電子白板出示以下內(nèi)容：3 瓶口香糖。教師設(shè)問：“3 瓶口香糖外表看似完全相同，但其中的一瓶，因為工作人員比較貪吃，吃掉了3 粒，變成了次品。動腦筋想想，你能用什么方法找出次品？哪種方法是最快最好的？”

B 教師：出示動態(tài)視頻：1986 年1 月28 日，美國“挑戰(zhàn)者”號航天飛機在天空航行時爆炸，造成了人類航空史上的重大災(zāi)難——7 名宇航員全部罹難，價值12 億美元的飛機在升空73 秒后化作碎片。同學(xué)們，釀成如此重大事故的原因是什么呢？學(xué)生自由猜測，有的認(rèn)為是動力不足，有的認(rèn)為是操作失誤，有的認(rèn)為是天氣原因……在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步巧引：“僅僅升空才73 秒啊，與動力、天氣等原因有關(guān)嗎？”在多番猜測之后，教師出示結(jié)論：據(jù)調(diào)查，本次空難中，飛機助推器中一個不合格的次品O 形環(huán)是罪魁禍?zhǔn)?。對此，你的感觸是什么？假如你是工廠質(zhì)檢員，你如何對待不合格產(chǎn)品？你如何從多個產(chǎn)品中快速地找出次品從而避免經(jīng)濟或其它重大損失？

悉心比較，B 教師做到了善于“引”，巧妙的“引”。一方面，動態(tài)視頻相對于靜態(tài)文字，尤其是令人揪心的航空事故，更能激活學(xué)生的興趣與熱情。另一方面，情境出示之后，教師不是急于把“次品”的概念引出來，而是不疾不徐，先讓學(xué)生猜，盡情地猜，待學(xué)生“山窮水盡”時，教師再出示正確答案，使學(xué)生經(jīng)歷一個“急切、蹙眉、迷茫、醍醐灌頂”的思維爬坡過程。這樣的引入是有意義、有價值的——學(xué)生的興趣得以大面積激活，思維能力得以進(jìn)一步的開發(fā)。

新課伊始巧“引”的方法很多，引人入勝的故事、緊張刺激的視頻、短小有趣的謎語、優(yōu)美輕快的音樂等等，皆可以成為巧“引”的佐料。不論什么“佐料”，都應(yīng)該點燃學(xué)生的興趣之燈、思考之燈和探究之燈。這意味著教師的課前備課應(yīng)在“情境化、趣味性與形象化”方面下功夫，以此為課堂的精彩、順暢與高效奠定基礎(chǔ)。

二、善于“退”，以“退”為進(jìn)

著名數(shù)學(xué)家華羅庚“以退為進(jìn)”的理論，至今對學(xué)生的學(xué)習(xí)仍有啟迪意義，他的“善于‘退’，足夠的‘退’”不僅僅是一種策略，也是一種理念：由易到難或由難到易，都是相對于以生為本而言——學(xué)生掌握得快，就“進(jìn)”；學(xué)生迷惑不解，就“退”?！巴艘徊健辈⒎恰爸y而退”，而是為了兼顧更多的中等生及學(xué)困生；“退一步”，退到問題的源頭處，能夠幫助學(xué)生更好地理解知識的發(fā)生及發(fā)展脈絡(luò)；“退一步” 還意味著教學(xué)路線圖的重構(gòu)，教學(xué)支架或梯度的重新架構(gòu)，便于學(xué)生思維的開發(fā)。

“退”的環(huán)節(jié)：

教師出示例題：某巧克力制造廠，由于機器故障，某個袋子中少裝了3 粒巧克力。工作人員不小心把這一次品混入到合格品中。出廠之際還有機會查漏補缺，如果你是質(zhì)檢員，如何從3 袋產(chǎn)品中找出次品？如果手頭恰好有天平，你能保證幾次找到次品？

教師引領(lǐng)學(xué)生自由猜次數(shù)，但因為學(xué)生初次接觸此類題型，且毫無經(jīng)驗，幾乎難有猜中的同學(xué)。有的說至少3 次，有的說至少2次……面對這一現(xiàn)象，教師化難為易：“我們研究‘2’找‘1’，這下，你可以猜中最少次數(shù)吧？”學(xué)生異口同聲：“1 次”。教師請其中一個同學(xué)解釋為什么一次就能找出次品的理由：“天平兩邊的秤盤中各放一袋巧克力，輕的那一袋肯定是次品，只需一次就夠了，從天平的不平衡中可以看出來?！痹诖嘶A(chǔ)上，教師引領(lǐng)學(xué)生思考“3”中找“1”：“就像‘2’中找‘1’那樣，先把兩袋巧克力分別放在天平左右兩邊的秤盤上，如果天平不平衡，那么一眼可以看出次品；如果天平平衡，那么，次品在哪里？”反應(yīng)快的學(xué)生大聲喊：“在手中?！庇谑菍W(xué)生都恍然大悟，既然次品在手中，那么，無須再上秤，已經(jīng)圓滿完成任務(wù)。

以上教學(xué)歷程就是“退”。當(dāng)學(xué)生的思維不夠靈活、不夠開闊，呈現(xiàn)出停滯、猶豫、迷茫時，教師需要“退一步”，重構(gòu)學(xué)生思考的方向、起點與路線圖，重新確定適合于學(xué)生實情的坡度。先適當(dāng)?shù)亍巴恕?，足夠的“退”，然后再適當(dāng)?shù)摹斑M(jìn)”，拾級而上，符合小學(xué)生的年齡與思維認(rèn)知特點。

“進(jìn)”的環(huán)節(jié)：

教師引入：“通過剛剛的學(xué)習(xí)，大家掌握了一個竅門：因為篩選與排除，有的次品不能上秤就能確定，從而用最少次數(shù)解決問題，而這就是優(yōu)化思想。依據(jù)這一點，我們來做一個競猜活動，同學(xué)們說具體數(shù)字（表示要檢測物品的個數(shù)，其中一個是次品），我來快速口算最少幾次能找到次品，開始——”于是，學(xué)生“你方唱罷我登場”，紛紛出數(shù)字，但老師毫無意外地快速回答問題。一些學(xué)生不禁既佩服又疑惑：“為什么這么快，老師的竅門是什么？”教師適時出示以下內(nèi)容表格：

注：上邊數(shù)字表示最少次數(shù)，下邊表示這個次數(shù)所能檢查的最大數(shù)字范圍。

教師進(jìn)一步追問：“測5 次呢？6 次呢？其中有什么規(guī)律沒有？如果有規(guī)律，能否用一個簡單的公式表示出來？”通過反復(fù)討論，師生共同得出結(jié)論：最少n 次可以在3n-1+1——3n個物品中檢測出次品。

實踐證明，“以退為進(jìn)”的策略，不僅僅有利于學(xué)生思維的逐步開闊，也有利于數(shù)學(xué)問題的逐步解決，有利于數(shù)學(xué)高效課堂的打造。數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該在該“退”時，引領(lǐng)學(xué)生足夠的“退”；該“進(jìn)”時，引領(lǐng)學(xué)生有分寸的“進(jìn)”。

三、善于“拓”，“拓”中遷移

“找次品”的教學(xué)進(jìn)行到這里，基本方法的探尋已經(jīng)初步完成，教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成也初見成效。緊接著，通過必要的鞏固與一定的拓展就成為必然。關(guān)鍵在于這種拓展要基于全體學(xué)生，力爭達(dá)到覆蓋全體學(xué)生的目的。以下分層訓(xùn)練題目就很好地體現(xiàn)了上述理念。

基礎(chǔ)過關(guān)題：爸爸買了12 袋方便面，其中11袋是合格品，質(zhì)量相等；另一袋是次品，稍微輕一些。如何運用天平最少次數(shù)找到次品？請你設(shè)計最優(yōu)方案。

能力提升題：20 瓶洗發(fā)水中有一個不合格，相較于合格的而言，其質(zhì)量輕一些。請你使用天平找出來，并說明“最少次數(shù)”的理由及方案。

拓展探究題：100 片藥片中有一個稍微輕一點兒，屬于次品。給你天平做工具，你最少幾次能找出來？能否由少到多，總結(jié)出一個普遍性的規(guī)律？

從“12”到“20”再到“100”，不僅僅是題型上的由此及彼，也是提升學(xué)生思維水平過程中的由此及彼。這樣的拓展中，絕大多數(shù)學(xué)生的能力在遷移，學(xué)習(xí)經(jīng)驗在積累，思維過程在優(yōu)化，并且最終總結(jié)出三字訣并牢牢記在心里：“找次品，方法多；三而均，最合適；無法均，相差一；請牢記，找得易?！?/p>

課末，教師還應(yīng)該秉持如下的思路進(jìn)一步“拓”中遷移：設(shè)計的拓展性學(xué)習(xí)題目是否有新的生成點與拓展點？是否將遷移點的確定建立在全體學(xué)生都有所提高的基礎(chǔ)上？是否在拓展中獲得了恰到好處的增量與附加值？

設(shè)計及探究：

1.思考：前面的訓(xùn)練中多次出現(xiàn)了“3”以及3的倍數(shù)，這樣的數(shù)的選擇對于“找次品”意味著什么？如果一開始選擇“2”或者“4”會怎么樣？請作出推理和解釋。

2.嘗試運用前面的經(jīng)驗或方法解決從“27、81、243”個待測物體中找次品的問題，在此基礎(chǔ)上總結(jié)其中的規(guī)律并談?wù)勗砼c感悟。

3.如果不是“3”的倍數(shù)，其中若干個待測物體中找次品有無規(guī)律？能否將前面的方法與規(guī)律遷移到非“3”或非3 倍數(shù)找次品問題中？其中的最佳策略是什么？如何運用優(yōu)化思想或方法？

總之，“優(yōu)化”二字看似簡單，但深入進(jìn)去，值得師生展開溯源性思考與創(chuàng)新性步伐。優(yōu)化思想運用得好不好，在于它是否點燃了學(xué)生的興趣之火，在于是否進(jìn)退有據(jù)，是否是一個既有一定限制亦能多元探究的拓展空間。當(dāng)學(xué)生的思維過程被優(yōu)化時，當(dāng)生活的諸多細(xì)節(jié)被優(yōu)化時，當(dāng)諸如解決“找次品”等問題被優(yōu)化時，課堂的精彩、學(xué)生的精彩和更大范圍內(nèi)的精彩，一定會豁然顯現(xiàn)出來。