月面大范圍空間機(jī)動(dòng)初步優(yōu)化

任 寬，申 麟，李 揚(yáng)，吳勝寶，胡冬生

月面大范圍空間機(jī)動(dòng)初步優(yōu)化

任 寬，申 麟，李 揚(yáng)，吳勝寶，胡冬生

（中國(guó)運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展部，北京，100076）

月面大范圍機(jī)動(dòng)技術(shù)將是未來探索以及開發(fā)月球的關(guān)鍵技術(shù)之一，月面機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化可以顯著減少機(jī)動(dòng)過程的燃料消耗。主要針對(duì)月面大范圍機(jī)動(dòng)軌跡進(jìn)行初步優(yōu)化，將整個(gè)機(jī)動(dòng)軌跡分為上升段、自由漂浮段、第1次動(dòng)力減速段、垂直動(dòng)力著陸段，前面3個(gè)飛行階段是對(duì)整個(gè)飛行任務(wù)的初制導(dǎo)，在達(dá)到飛行射程的同時(shí)使飛行終端滿足垂直著陸段的降落要求，通過垂直著陸段修正初制導(dǎo)誤差，使飛行器滿足目標(biāo)點(diǎn)精確著陸要求。首先，建立各個(gè)飛行階段的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，將前3個(gè)飛行階段作為一個(gè)軌跡優(yōu)化問題，采用遺傳優(yōu)化算法對(duì)優(yōu)化問題進(jìn)行求解。另外，將垂直動(dòng)力著陸段軌跡優(yōu)化問題通過無損凸化和離散的方式轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限維的二階錐凸問題，通過凸優(yōu)化求解器求解以實(shí)現(xiàn)在線軌跡優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，采用的軌跡優(yōu)化方法具有較高的任務(wù)適應(yīng)性和魯棒性，可以適應(yīng)不同機(jī)動(dòng)任務(wù)需求實(shí)現(xiàn)高精度垂直動(dòng)力著陸。

月面大范圍機(jī)動(dòng)技術(shù)；機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化；垂直動(dòng)力著陸；凸優(yōu)化

0 引 言

月球一直是載人探索最熱門目標(biāo)星球之一，美國(guó)在2017年正式宣布將重啟登月計(jì)劃并建立永久性月球基地，各國(guó)也紛紛將載人登月與月球開發(fā)作為未來航天發(fā)展的重點(diǎn)[1,2]。從人類發(fā)展角度來說，探索與開發(fā)月球是人類走出地球搖籃的必經(jīng)之路，因此，研究月面大范圍機(jī)動(dòng)技術(shù)對(duì)未來開發(fā)月球、建立月球基地、探索月面空間運(yùn)輸及地月空間運(yùn)輸技術(shù)具有重要意義。

月面空間運(yùn)輸與地球空間運(yùn)輸有較大差別，月球引力只有地球的六分之一，同時(shí)，月球沒有大氣，不用考慮氣動(dòng)、氣壓對(duì)空間運(yùn)輸?shù)挠绊?。月面大范圍機(jī)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)彈道設(shè)計(jì)有一定區(qū)別，需要考慮動(dòng)力減速的過程，飛行任務(wù)終端需要滿足較為嚴(yán)格的終端約束，包括位置和速度約束，同時(shí)，通常需要采用在線制導(dǎo)的方式以實(shí)現(xiàn)精確動(dòng)力軟著陸。

由于整個(gè)月面空間機(jī)動(dòng)將會(huì)經(jīng)歷多個(gè)飛行階段，所以月面機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化應(yīng)該是一個(gè)整體優(yōu)化的過程，各個(gè)飛行階段相互制約，相互影響，并且需要適應(yīng)不同發(fā)射任務(wù)。本文主要研究中遠(yuǎn)射程（≥500 km）的月面機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化，將整個(gè)機(jī)動(dòng)軌跡分為4個(gè)階段，分別是上升段、自由漂浮段、第1次動(dòng)力減速段、垂直動(dòng)力著陸段。根據(jù)月面機(jī)動(dòng)各飛行階段特性建立其動(dòng)力學(xué)模型，將整個(gè)機(jī)動(dòng)過程軌跡優(yōu)化問題分為2個(gè)軌跡優(yōu)化問題，分別是月面機(jī)動(dòng)任務(wù)軌跡優(yōu)化問題和終端垂直動(dòng)力段在線軌跡優(yōu)化問題。隨后，針對(duì)幾種飛行任務(wù)的機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行了數(shù)值分析，同時(shí)考慮垂直著陸段初始狀態(tài)偏差進(jìn)行蒙德卡洛仿真分析，驗(yàn)證了軌跡優(yōu)化算法的有效性及多任務(wù)適應(yīng)性。

1 月面機(jī)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型

整個(gè)月面大范圍機(jī)動(dòng)軌跡如圖1所示。

1.1 月面機(jī)動(dòng)參考坐標(biāo)系

為便于各個(gè)飛行階段的動(dòng)力學(xué)建模，本文采用圖2所示的3組坐標(biāo)系。

圖2 月面機(jī)動(dòng)坐標(biāo)系示意

考慮到月球自轉(zhuǎn)周期較長(zhǎng)，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響，假設(shè)月球?yàn)閯蛸|(zhì)圓球，不考慮月球攝動(dòng)以及地球引力的影響，假設(shè)飛行器在飛行過程中處于瞬時(shí)平衡狀態(tài)。

1.2 上升段

在月面大范圍機(jī)動(dòng)軌跡設(shè)計(jì)過程中，上升段是飛行器最初動(dòng)力加速的階段，上升段的終端參數(shù)決定了整個(gè)機(jī)動(dòng)軌跡的射程?？刂骑w行器在發(fā)射平面內(nèi)飛行，忽略側(cè)向運(yùn)動(dòng)，建立發(fā)射坐標(biāo)系下月面機(jī)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為

對(duì)于上升段軌跡，需設(shè)計(jì)的是俯仰程序角，一般將上升段軌跡分為垂直上升段、程序轉(zhuǎn)彎段、瞄準(zhǔn)段。

設(shè)計(jì)俯仰程序角表達(dá)式為

1.3 自由漂浮段

a）自由漂浮段射程計(jì)算。

因此，自由漂浮段的射程為

b）自由漂浮段段終端參數(shù)計(jì)算。

在發(fā)射坐標(biāo)系下，自由漂浮段段終端參數(shù)為

1.4 第1次動(dòng)力減速段

第1次動(dòng)力減速段是在自由漂浮段之后，開始動(dòng)力減速，主要作用是在降低飛行器的飛行速度的同時(shí)對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)點(diǎn)，使其終端的速度，速度傾角滿足實(shí)現(xiàn)垂直動(dòng)力軟著陸的要求。第1次動(dòng)力減速段在發(fā)射坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程與式（1）一樣。但推力在發(fā)動(dòng)機(jī)關(guān)機(jī)后為零，即：

對(duì)于第1次動(dòng)力減速段，同樣需要設(shè)計(jì)俯仰程序角，可將第1次動(dòng)力減速段分為固定程序角減速段、程序轉(zhuǎn)彎段、垂直下降段，如圖3所示。

設(shè)計(jì)俯仰程序角表達(dá)式為

1.5 垂直動(dòng)力著陸段

前3個(gè)飛行階段設(shè)計(jì)采用跟蹤標(biāo)準(zhǔn)軌跡的制導(dǎo)方法（即標(biāo)稱制導(dǎo)法），本文主要對(duì)月面機(jī)動(dòng)任務(wù)標(biāo)稱軌跡進(jìn)行優(yōu)化，而最后垂直動(dòng)力著陸段要求將飛行器精確地降落到目標(biāo)點(diǎn)且終端速度接近于零。為了實(shí)現(xiàn)垂直動(dòng)力著陸段在線精確制導(dǎo)，本文采用基于凸優(yōu)化的在線制導(dǎo)方式，切換高度設(shè)置在2000 m，主要研究基于凸優(yōu)化的在線軌跡優(yōu)化方法。

2 月面機(jī)動(dòng)任務(wù)軌跡優(yōu)化

c）終端約束：

采用經(jīng)典的四階龍格庫(kù)塔法對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程積分以得到整個(gè)機(jī)動(dòng)軌跡的終端參數(shù)，采用遺傳算法對(duì)整個(gè)優(yōu)化問題進(jìn)行求解，將終端約束作為優(yōu)化問題的非線性約束，控制優(yōu)化變量使目標(biāo)函數(shù)最小，同時(shí)，對(duì)遺傳算法多次循環(huán)迭代避免陷入局部最優(yōu)，最終得到優(yōu)化后的機(jī)動(dòng)軌跡。

3 垂直動(dòng)力著陸段在線軌跡優(yōu)化

垂直動(dòng)力著陸段是飛行器著陸最后的修正階段，要實(shí)現(xiàn)這一階段的在線制導(dǎo)，首先需要研究的就是這一階段的在線軌跡優(yōu)化算法，對(duì)于在線軌跡優(yōu)化算法，近年來以凸優(yōu)化為基礎(chǔ)的在線軌跡優(yōu)化算法具備較強(qiáng)的可行性，本文在垂直動(dòng)力著陸段軌跡優(yōu)化采用無損凸化的在線軌跡優(yōu)化算法。

a）推力大小約束。

推力大小不能超出發(fā)動(dòng)機(jī)的可調(diào)節(jié)范圍，即滿足：

b）推進(jìn)劑約束：

可用推進(jìn)劑量滿足如下約束條件：

c）地形約束：

d）著陸終端約束：

著陸終端要求飛行器的位置、速度相對(duì)目標(biāo)點(diǎn)偏差均為0。同時(shí)，要求著陸時(shí)水平橫向和側(cè)向加速度為0，考慮推力方向沿著飛行器軸向的假設(shè)，即要求降落姿態(tài)保持垂直。

參見文獻(xiàn)[4]，將非凸推力約束引入一個(gè)松弛變量進(jìn)行無損凸化，可以將整個(gè)垂直動(dòng)力著陸問題轉(zhuǎn)化為凸優(yōu)化問題，再將整個(gè)凸優(yōu)化問題離散得到一個(gè)二階錐凸問題（SOCP），具體推導(dǎo)過程見文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[7]，這里直接給出得到的離散化的二階錐凸優(yōu)化問題。

針對(duì)上述離散化的二階錐問題，可以通過內(nèi)點(diǎn)法求解器進(jìn)行求解。

4 月面機(jī)動(dòng)任務(wù)軌跡優(yōu)化仿真

月面機(jī)動(dòng)任務(wù)軌跡優(yōu)化主要是針對(duì)飛行目標(biāo)設(shè)計(jì)一條燃料消耗較少的機(jī)動(dòng)軌跡，仿真考慮設(shè)置3種不同射程距離的飛行任務(wù)，具體的任務(wù)參數(shù)和仿真參數(shù)設(shè)置見表1，優(yōu)化后的優(yōu)化變量列于表2。

表1 機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化仿真參數(shù)

Tab.1 Optimization Simulation Parameters of Maneuvering Trajectory

任務(wù)參數(shù) 飛行任務(wù)1 發(fā)射點(diǎn)經(jīng)緯度/(°)(-138，-9.5)目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)緯度/(°)(-53，32) 飛行任務(wù)2 發(fā)射點(diǎn)經(jīng)緯度/(°)(-138，-9.5)目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)緯度/(°)(-63，-51) 飛行任務(wù)3 發(fā)射點(diǎn)經(jīng)緯度/(°)(-138，-9.5)目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)緯度/(°)(-162，30) 彈道參數(shù) 垂直起飛時(shí)間/s5俯仰角速率/(°/s)5 終端最大速度m/s120終端高度/m2000 飛行器參數(shù) 起飛質(zhì)量/t20干重/t7 比沖/s380額定工作推力/N100000 月球環(huán)境參數(shù) 月球引力常數(shù)4.904×1012月球半徑R/km1738

表2 優(yōu)化結(jié)果

Tab.2 Result of Optimization

優(yōu)化變量飛行任務(wù)1飛行任務(wù)2飛行任務(wù)3 上升段關(guān)機(jī)時(shí)間t2/s269.173 0259.904 2237.993 1 上升段終端俯仰角/(°)23.155827.563435.6203 開機(jī)高度/m50 299.099 454 772.116 154 519.886 6

續(xù)表2

減速段固定俯仰角/(°)76.248 889.451 8108.050 6 固定程序角減速時(shí)間/s147.760 3144.416 0134.544 1 垂直動(dòng)力減速時(shí)間/s0.594 71.094 10.070 34 軌跡終端參數(shù) 燃料消耗/kg11 617.527 511 268.734 910 240.213 4 終端速度/(m·s-1)119.503 2119.314 8119.305 0

飛行參數(shù)變化如圖4至圖6所示。

圖4 質(zhì)量變化

圖5 速度變化

圖6 高度變化

從仿真優(yōu)化的機(jī)動(dòng)任務(wù)軌跡可以看出，終端高度，速度，俯仰角均滿足飛行任務(wù)終端約束，燃料消耗占總質(zhì)量的58.09%（任務(wù)1），56.34%（任務(wù)2），51.20%（任務(wù)3）。從表2、圖5對(duì)比不同射程飛行任務(wù)的軌跡優(yōu)化結(jié)果發(fā)現(xiàn)，上升段終端速度隨目標(biāo)射程增大而增大，而上升段終端俯仰角隨射程增大而減小。這是因?yàn)轱w行器無動(dòng)力滑行占據(jù)絕大部分射程，滑行時(shí)間主要由上升段縱向速度分量決定，當(dāng)目標(biāo)射程越短需要的上升段終端速度越小，俯仰角較大可以增大縱向速度分量，使得無動(dòng)力滑行時(shí)間更長(zhǎng)，飛行射程更遠(yuǎn)；而目標(biāo)射程越長(zhǎng)需要的上升段終端速度越大，只需較小的俯仰角就可保證足夠的無動(dòng)力滑行時(shí)間，更大的橫向速度分量可以使得飛行器射程更遠(yuǎn)。

5 垂直動(dòng)力著陸段在線軌跡優(yōu)化仿真

表3 垂直著陸段軌跡優(yōu)化仿真參數(shù)

Tab.3 Optimization Simulation Parameters of Vertical Landing rajectory

任務(wù)參數(shù) 目標(biāo)位置/m[0;0;0]終端速度m/s[0;0;0] 最大斜坡角/(°)10最大推力/N100000 最小可調(diào)推力/N0.3最大可調(diào)推力/N0.8 飛行器參數(shù) 干重/kg7000比沖/s380 仿真參數(shù) 月球引力加速度/(m·s-2)1.618飛行時(shí)間/s35

圖7 三維軌跡

圖8 x，z坐標(biāo)變化

圖9 x，y軸坐標(biāo)變化

圖10 位置和速度變化

圖11 總推力大小和質(zhì)量變化

根據(jù)初始狀態(tài)的概率分布函數(shù)隨機(jī)生成400組垂直著陸段初始狀態(tài)，將垂直動(dòng)力著陸軌跡優(yōu)化問題通過凸化處理得到二階錐凸問題，仿真采用CVX凸優(yōu)化工具包求解二階錐凸問題，內(nèi)置求解器選擇Mosek求解器，單次優(yōu)化平均時(shí)間在0.7 s左右，若采用定制化得凸優(yōu)化求解器可以進(jìn)一步提升求解速度，使其具備彈上機(jī)條件。仿真結(jié)果表明各個(gè)初始狀態(tài)均能通過該算法得到到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的優(yōu)化軌跡，且優(yōu)化軌跡均滿足約束條件。在所有初始狀態(tài)仿真中，燃料消耗最大為474.175 6 kg，最小為348.944 8 kg，平均燃料消耗為405.923 0 kg。燃料消耗均小于剩余推進(jìn)劑質(zhì)量，因此算法優(yōu)化得到的軌跡可行。

同時(shí)，凸優(yōu)化在線軌跡優(yōu)化可以與模型預(yù)測(cè)控制結(jié)合，這種制導(dǎo)方法的核心是將軌跡優(yōu)化算法作為制導(dǎo)指令生成器，通過在線滾動(dòng)時(shí)域內(nèi)執(zhí)行優(yōu)化計(jì)算，不斷根據(jù)當(dāng)前狀態(tài)更新最優(yōu)指令，并將最新指令直接用作制導(dǎo)信號(hào)，因此這種在線制導(dǎo)方式具備較強(qiáng)的魯棒性，且制導(dǎo)精度與更新計(jì)算效率相關(guān)，同時(shí)整個(gè)制導(dǎo)方法還必須保證每個(gè)更新周期內(nèi)優(yōu)化問題求解的遞歸可行性，即如在初始時(shí)刻優(yōu)化問題計(jì)算可行，那么在問題時(shí)域內(nèi)任何一次優(yōu)化更新計(jì)算均可行。文獻(xiàn)[8]對(duì)基于MPC框架中凸優(yōu)化算法的遞歸可行性進(jìn)行了證明。因此對(duì)于垂直著陸段，如果以誤差范圍內(nèi)的初始狀態(tài)設(shè)計(jì)的優(yōu)化軌跡可行，那么整個(gè)著陸過程的更新計(jì)算均可行。

綜合分析，任務(wù)1、任務(wù)2、任務(wù)3機(jī)動(dòng)方案燃料消耗率（加上垂直著陸段燃料消耗）分別約為60.11%、58.37%、53.23%。燃料消耗均小于初始推進(jìn)劑質(zhì)量，優(yōu)化軌跡滿足任務(wù)要求。

4 結(jié)束語

本文主要研究中遠(yuǎn)射程（不小于500 km）的月面機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化，根據(jù)月面機(jī)動(dòng)各飛行階段的特性分別建立動(dòng)力學(xué)模型，將整個(gè)機(jī)動(dòng)過程的軌跡優(yōu)化問題分為兩個(gè)軌跡優(yōu)化問題：月面機(jī)動(dòng)任務(wù)軌跡優(yōu)化問題和終端垂直動(dòng)力段在線軌跡優(yōu)化問題，分別對(duì)兩個(gè)軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行了數(shù)值分析，驗(yàn)證了軌跡優(yōu)化算法的有效性及多任務(wù)適應(yīng)性。首先，針對(duì)不同目標(biāo)點(diǎn)飛行任務(wù)進(jìn)行大范圍機(jī)動(dòng)軌跡優(yōu)化，優(yōu)化得到的機(jī)動(dòng)任務(wù)軌跡均滿足飛行任務(wù)終端約束以及較低的燃料消耗。繼動(dòng)力減速段之后，垂直著陸段考慮初始狀態(tài)偏差進(jìn)行蒙德卡洛仿真分析，仿真結(jié)果表明基于凸優(yōu)化的在線軌跡優(yōu)化算法具有較高的計(jì)算效率且魯棒性較強(qiáng)。最后結(jié)合兩部分的軌跡優(yōu)化結(jié)果可以大致估算出整個(gè)機(jī)動(dòng)任務(wù)的燃料消耗，任務(wù)的燃料消耗滿足燃料約束條件，故整個(gè)機(jī)動(dòng)優(yōu)化軌跡可行。

[1] Bridenstine J. Artemis plan—NASA’s lunar exploration program overview[R]. NASA, 2020.

[2] NASA. Roscosmos sign joint statement on researching, exploring deep space[N/OL]．(2017-09-27)[2018-01]．https://www．nasa．gov/feature/nasa- roscosmos-sign-joint-statement-on-researching-exploring-deep-space．

[3] 陳克俊, 劉魯華, 孟云鶴. 遠(yuǎn)程火箭飛行動(dòng)力學(xué)與制導(dǎo). 北京: 國(guó)防工業(yè)出版社. 2014.

Chen Kejun, Liu Luhua, Meng Yunhe. Launch vehicle flight dynamics and guidance. Beijing: National Defense Idustry Press, 2014.

[4] Acikmese B, Ploen S R. Convex programming approach to powered descent guidance for mars landing[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics, 2007, 30(5): 1353-1366．

[5] Blackmore L, Acikmese B, Scharf D P. Minimum landing error powered descent guidance for mars landing using convex optimization[J]. Journal of Guidance Control & Dynamics, 2010, 33(4): 1161-1171.

[6] Acikmese B, Carson J M, Blackmore L. Lossless convexification of nonconvex control bound and pointing constraints in the soft landing optimal control problem[J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2013, 21( 6): 2104-2113.

[7] 張志國(guó), 馬英, 耿光有, 余夢(mèng)倫. 火箭垂直回收著陸段在線制導(dǎo)凸優(yōu)化方法[J]. 彈道學(xué)報(bào), 2017, 29(1): 9-16.

Zhang Zhiguo, Ma Ying, Geng Guangyou, Yu Menglun. Convex optimization method used in the landing-phase online guidance of rocket vertical recovery[J]. Journal of Ballistics, 2017, 29(1): 9-16.

[8] 王勁博. 可重復(fù)使用運(yùn)載火箭在線軌跡優(yōu)化與制導(dǎo)方法研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2019.

Wang Jinbo. Research on online trajectory optimization and guidance methods for reusable rocket[D]. Harbin: Harbin Institute of Technology, 2019.

[9] 馬林. 垂直起降運(yùn)載火箭動(dòng)力軟著陸軌跡優(yōu)化方法研究[D]. 杭州: 浙江大學(xué), 2019.

Ma Lin. Trajectory optimization or powered landing of vertical takeoff and vertical landing launch vehicles[D]. Hangzhou: Zhejiang University, 2019.

Initial Optimization of Lunar Large-scale Space Maneuver

Ren Kuan, Shen Lin, Li Yang, Wu Sheng-bao, Hu Dong-sheng

(R&D Department, China Academy of Launch Vehicle Technology, 100076, Beijing)

The large-scale lunar maneuvering technology will be one of the key technologies for future exploration and development of the moon. The optimization of lunar maneuvering trajectory can significantly reduce fuel consumption during the maneuvering process. The initial optimization of the lunar large-scale maneuvering trajectory is focused on, and the entire maneuvering trajectory is divided into ascending section, free-floating section, first dynamic deceleration section, vertical dynamic landing section. The first three flight sections are the initial guidance for the flight mission. While reaching the flight range, the flight terminal meets the landing requirements of the vertical power landing section, and the vertical power landing section is to correct the initial guidance error so that the aircraft can accurately land at the target point. Firstly, the kinetic model of each flight section, the first three flight sections is established are considered as a trajectory optimization problem, and genetic optimization algorithm is used to solve the optimization problem. In addition, the trajectory optimization problem of the vertical dynamic landing section is transformed into a finite-dimensional SOCP (second-order cone program) problem through lossless convexification, and solved by the convex optimization problem solver to achieve online trajectory optimization. The simulation results show that the trajectory optimization method adopted has high task adaptability and robustness, and can achieve high-precision vertical power landing adapting to different maneuver task requirements.

large-scale lunar maneuvering technology; optimization of lunar maneuvering trajectory; vertical power landing; convex optimization

2097-1974(2023)01-0052-07

10.7654/j.issn.2097-1974.20230111

V476.3

A

2020-09-18；

2021-01-23

任 寬（1996-），男，工程師，主要研究方向?yàn)轱w行器制導(dǎo)與控制。

申 麟（1970-），男，研究員，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。

李 揚(yáng)（1981-），女，研究員，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。

吳勝寶（1985-），男，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)轱w行器總體設(shè)計(jì)。

胡冬生（1982-），男，高級(jí)工程師，主要研究方向?yàn)閺椀揽傮w設(shè)計(jì)。