具有飽和效應(yīng)的任意階自催化反應(yīng)擴(kuò)散模型的Turing不穩(wěn)定性和Hopf分支

郭改慧, 郭飛燕, 李紀(jì)純

(陜西科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院, 西安 710021)

0 引 言

Turing不穩(wěn)定性是指擴(kuò)散可能破壞反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)平衡, 并導(dǎo)致非均勻的空間模式[1].為驗(yàn)證該結(jié)論, 關(guān)于化學(xué)和生物背景下反應(yīng)擴(kuò)散模型的Turing不穩(wěn)定性研究得到廣泛關(guān)注.如Lengyel-Epstein反應(yīng)擴(kuò)散模型[2-3]和自催化化學(xué)反應(yīng)的Brusselator模型[4-5]等.當(dāng)反應(yīng)速率相同且反應(yīng)物初始濃度不變時(shí), 任意階自催化模型可表示為

(1)

其中:Ω?N(N≥1)為具有光滑邊界?Ω的有界開集,υ表示?Ω上的單位外法向量；u,v分別表示反應(yīng)物和催化劑的無(wú)量綱濃度, 通常認(rèn)為是非負(fù)的；d1,d2分別表示反應(yīng)物和催化劑的擴(kuò)散系數(shù), 均為正常數(shù)；Δ為L(zhǎng)aplace算子;a,p均為正常數(shù).

對(duì)于系統(tǒng)(1), 文獻(xiàn)[6]以a為分支參數(shù)證明了Hopf分支和穩(wěn)態(tài)分岔的存在性, 同時(shí)得到了由擴(kuò)散引起的Turing不穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[7]補(bǔ)充了文獻(xiàn)[6]的結(jié)果, 進(jìn)一步建立了由擴(kuò)散系數(shù)引起的Turing不穩(wěn)定區(qū)域, 同時(shí)討論了擴(kuò)散系數(shù)對(duì)Hopf分支存在性的影響; 文獻(xiàn)[8]討論了其唯一正常數(shù)平衡點(diǎn)穩(wěn)態(tài)分岔的穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[9]證明了當(dāng)p=2時(shí)其非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性和不存在性, 并討論了高維情形下其唯一正常數(shù)平衡點(diǎn)所產(chǎn)生的局部穩(wěn)態(tài)分岔.

飽和效應(yīng)是指反應(yīng)物與生成物之間的飽和程度.由于生物和化學(xué)反應(yīng)過程通常會(huì)受飽和效應(yīng)的影響, 因此研究模型在飽和效應(yīng)下的動(dòng)力學(xué)行為非常必要.文獻(xiàn)[10]討論了具有飽和效應(yīng)的Sel’kov模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性及非常數(shù)穩(wěn)態(tài)解的存在性和不存在性；文獻(xiàn)[11]研究了具有飽和效應(yīng)的Sel’kov模型周期解的Turing不穩(wěn)定性.本文在系統(tǒng)(1)的基礎(chǔ)上考慮一類具有飽和效應(yīng)的任意階自催化反應(yīng)擴(kuò)散模型：

(2)

其中k為飽和系數(shù).本文主要研究系統(tǒng)(2)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性、Hopf分支存在性以及由擴(kuò)散引起的Turing不穩(wěn)定性.顯然, 系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點(diǎn)(u*,v*)=(a1-p+ka,a).

1 常微分系統(tǒng)的穩(wěn)定性和Hopf分支

下面針對(duì)系統(tǒng)(2)相應(yīng)的常微分系統(tǒng)

(3)

給出其正平衡點(diǎn)(u*,v*)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性及穩(wěn)定性.

系統(tǒng)(3)在(u*,v*)處的Jacobi矩陣為

設(shè)其特征方程為λ2-Tλ+G=0, 其中

1) 若a>a0, 則系統(tǒng)(3)的唯一正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定;

2) 若a

3) 若a=a0, 則系統(tǒng)(3)在正平衡點(diǎn)(u*,v*)處產(chǎn)生Hopf分支, 且當(dāng)kp<1時(shí), 該Hopf分支方向?yàn)榇闻R界的, 分支周期解漸近穩(wěn)定; 當(dāng)kp>1時(shí), 該Hopf分支為超臨界的, 分支周期解不穩(wěn)定.

證明： 當(dāng)a>a0時(shí),T<0且G>0, 此時(shí)Jacobi矩陣J的特征值均具有負(fù)實(shí)部, 故正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定; 當(dāng)a0且G>0, 此時(shí)Jacobi矩陣J存在具有正實(shí)部的特征根, 故正平衡點(diǎn)(u*,v*)不穩(wěn)定.

當(dāng)a=a0時(shí),J存在一對(duì)純虛根.設(shè)λ=α(a)±iβ(a)為J在a=a0附近的一對(duì)共軛復(fù)根, 其中

計(jì)算可得

(4)

方程組(4)可改寫為

(5)

其中F2(u,v,a)=-F1(u,v,a), 且

這里

顯然, 當(dāng)a=a0時(shí), 有

其中

下面通過計(jì)算d(a0)的符號(hào)給出Hopf分支方向以及周期解的穩(wěn)定性[12], 其中

(6)

(7)

將式(7)代入式(6), 并整理得

由于α′(a0)<0, 因此根據(jù)Poincare-Andronov-Hopf分支定理[12]可知, 系統(tǒng)(3)在正平衡點(diǎn)(u*,v*)處產(chǎn)生Hopf分支.當(dāng)kp<1時(shí), 該Hopf分支方向是次臨界的, 且分支周期解漸近穩(wěn)定; 當(dāng)kp>1時(shí), 該Hopf分支方向?yàn)槌R界的, 且分支周期解不穩(wěn)定.

2 擴(kuò)散系統(tǒng)的Turing不穩(wěn)定性和Hopf分支

下面在一維空間Ω=(0,π)上討論正平衡點(diǎn)(u*,v*)對(duì)系統(tǒng)(2)的穩(wěn)定性, 給出系統(tǒng)(2)的Turing不穩(wěn)定性及Hopf分支的存在性.

定義實(shí)Sobolev空間X={(u,v)∈H2(0,π)×H2(0,π): (ux,vx)|x=0,π=0},X的復(fù)延拓空間XC=X⊕iX={x1+ix2|x1,x2∈X}.算子-Δ在齊次Neumann邊界條件下的特征值為μn=n2(n∈0={0,1,2,…}), 且φn=cos(nx)(n∈0)為對(duì)應(yīng)μn的特征函數(shù).系統(tǒng)(2)在平衡點(diǎn)處的線性化算子為

L的所有特征值均可由Ln的特征值給出, 其中

設(shè)Ln的特征方程為μ2-Tnμ+Dn=0,n∈0, 其中

注意到二次函數(shù)

h(z)=a2pz2-2ap(p+1+kap)z+(1-p+kap)2

的判別式

因此h(z)=0存在兩個(gè)實(shí)根:

定理2設(shè)p>1.當(dāng)ad1z1時(shí), 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定.

下面討論a00, 方程

存在兩個(gè)正實(shí)根：

(8)

其中

R=d2A+d1N=-(1-p+kap)d1-apd2,D=ap(1+kap)>0.

令

易知當(dāng)00.因此對(duì)于所有的d1>0, 均有K′(d1)>0, 從而μ+(d1,d2)關(guān)于d1單調(diào)遞增.另一方面, 有

關(guān)于d1求導(dǎo), 可得

定義

Φ1={μ|μ≥0,μ-(d1,d2)<μ<μ+(d1,d2)},Φ2={μ0,μ1,μ2,…}.

下面討論由擴(kuò)散引起的Turing不穩(wěn)定性.若使0

對(duì)于任意的d1>0, 有0<μ+(d1,d2)<μ*.如果μ1>μ*, 則Φ1∩Φ2=?, 即對(duì)所有的n∈,Dn>0且Tn<0, 故系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定.從而可得：

證明： 固定d1, 令d2→0, 則

定理5設(shè)p>1, 且d1,d2滿足

(9)

則當(dāng)a=a0時(shí), 系統(tǒng)(2)在(u*,v*)處產(chǎn)生空間齊次的Hopf分支.

證明： 當(dāng)a=a0時(shí),T0=0且D0>0.因?yàn)棣蘮>0(n≥1)且d1,d2>0, 故對(duì)于任意的n≥1, 均有Tn(a0)<0.經(jīng)計(jì)算,

當(dāng)d1,d2滿足式(9)時(shí), 對(duì)任意的n≥1, 均有Dn(a0)>0.因此, 當(dāng)a=a0時(shí), 算子L除一對(duì)共軛純虛根外, 其他特征值均具有負(fù)實(shí)部.令μ=δ1(a)±iδ2(a)為算子L在a=a0附近的一對(duì)共軛復(fù)根, 則

由Hopf分支定理[12]知, 當(dāng)a=a0時(shí)系統(tǒng)(2)在(u*,v*)處產(chǎn)生空間齊次的Hopf分支.

3 數(shù)值模擬

對(duì)于常微分系統(tǒng)(3), 取p=2,k=15/49, 則a0=0.875.若取a=1>a0, 則由定理1知, 其正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定, 如圖1所示.若取a=0.87

圖1 當(dāng)參數(shù)a=1時(shí)系統(tǒng)(3)正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定Fig.1 Positive equilibrium point of system (3) is locally asymptotically stable when parameter a=1

對(duì)于偏微分系統(tǒng)(2), 取Ω=(0,π), 當(dāng)p=3,k=0.1時(shí),a0=1.220 5,a*=2.714 4.若取a=2, 則z1=0.019 1.當(dāng)d1=4,d2=7時(shí), 滿足d2>d1z1, 由定理2知系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)局部漸近穩(wěn)定, 如圖3所示.當(dāng)d1=1,d2=0.005時(shí), 滿足0

圖2 當(dāng)參數(shù)a=0.87時(shí)系統(tǒng)(3)產(chǎn)生穩(wěn)定周期閉軌Fig.2 System (3) produces stable periodic closed orbit when parameter a=0.87

圖3 當(dāng)參數(shù)d1=4, d2=7時(shí)系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)局部漸近穩(wěn)定Fig.3 Positive equilibrium point of system (2) is locally asymptotically stable when parameters d1=4, d2=7

圖4 當(dāng)參數(shù)d1=1, d2=0.005時(shí)系統(tǒng)(2)產(chǎn)生非常數(shù)穩(wěn)態(tài)分支Fig.4 System (2) produces nonconstant steady-state bifurcation when parameters d1=1, d2=0.005

圖5 當(dāng)參數(shù)d1=4, d2=7時(shí)系統(tǒng)(2)產(chǎn)生穩(wěn)定的分支周期解Fig.5 System (2) produces stable bifurcation periodic solution when parameters d1=4, d2=7

綜上所述, 本文在Neumann邊界條件下研究了一類具有飽和效應(yīng)的任意階自催化反應(yīng)擴(kuò)散模型.以a為分支參數(shù), 分別給出了常微分系統(tǒng)和擴(kuò)散系統(tǒng)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支的存在性.特別對(duì)于擴(kuò)散系統(tǒng), 給出了擴(kuò)散系數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的影響.結(jié)果表明: 當(dāng)a較小時(shí), 正平衡點(diǎn)不穩(wěn)定; 當(dāng)a較大時(shí), 正平衡點(diǎn)穩(wěn)定; 當(dāng)a介于某一范圍內(nèi)時(shí), 擴(kuò)散系數(shù)的比值d2/d1將影響平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性.當(dāng)d2/d1適當(dāng)大時(shí), 平衡點(diǎn)仍然是穩(wěn)定的; 當(dāng)d2/d1適當(dāng)小時(shí), 平衡點(diǎn)可能穩(wěn)定, 也可能出現(xiàn)Turing不穩(wěn)定現(xiàn)象; 當(dāng)d2/d1滿足一定條件時(shí), 系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生空間齊次的Hopf分支.