零耦合度部分運動解耦2T1R并聯(lián)機構拓撲與性能研究

沈惠平 朱晨陽 李 菊 李 濤

(常州大學現(xiàn)代機構學研究中心, 常州 213016)

0 引言

三自由度兩平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機器人機構因驅(qū)動元件少、制造方便，在工業(yè)生產(chǎn)中具有較高實用價值[1]，可用于空間物品的拾取操作、設備的姿態(tài)調(diào)整等[2]。國內(nèi)外機構學研究人員對此類機構已進行廣泛深入的研究。HUNT[3]于1983年設計了一種含2T1R及其奇生運動的3-DOF空間機構；KONG等[4]研究了含有球面支鏈或平行四邊形子支鏈的2T1R空間機構；LIU等[5]提出一組運動學求解和構造均較為簡單的2T1R型并聯(lián)機構；劉艷敏[6]研究機構的綜合方法，并優(yōu)選了部分2T1R新機型。

機構位置求解是并聯(lián)機構研究中最基礎、最重要的問題之一[7]，目前，大多數(shù)學者應用桿副法[8]、回路法[9]，來建立機構輸入-輸出位置方程，但為得到一般的非線性一元高次方程，其數(shù)學推導、消元過程十分復雜。楊廷力[10]提出了機構運動學分析的序單開鏈法；沈惠平[11]提出了并聯(lián)機構的拓撲特征運動學建模原理和方法，具有建模方便、計算量大大減少等優(yōu)勢。

動力學分析是保證機構動力學性能的前提。目前，機構的動力學分析方法主要有：虛功原理法[12-13]、拉格朗日法[14-15]、牛頓-歐拉法[16-17]、凱恩法[18-19]、動力學普遍方程[20]、Hamilton正則方程[21]等。拉格朗日法表現(xiàn)形式簡單，但其計算量較大；凱恩法有較為簡潔的計算方法，但對于力和力矩的分析相對匱乏[22]；牛頓-歐拉法對于構件較多的機構受力分析較復雜，但在構建動力學模型時易求出運動副的約束反力[23]；虛功原理同拉格朗日法一樣，表現(xiàn)形式統(tǒng)一、計算量較大，且無法得到構件的約束反力。

基于虛功原理的序單開鏈法，以子運動鏈為基本單元，不僅能求出各驅(qū)動副的驅(qū)動力，還能求出子運動鏈(SKC)連接處的支反力，這對機械結構強度設計至關重要[24]。

本文根據(jù)基于方位特征(POC)方程并聯(lián)機構拓撲設計理論[25]，提出一種零耦合度、含一條混合支鏈的空間2T1R并聯(lián)機構；對該機構進行拓撲特性和運動學分析；基于虛功原理的序單開鏈法建立該機構的逆向動力學模型，求解機構驅(qū)動力及部分運動副支反力；最后，對該機構應用于物流領域輸送帶之間物料的自動轉(zhuǎn)運、卸料裝置的應用場景，進行概念設計。

1 機構設計和分析

1.1 機構設計

1.1.1POC方程

串聯(lián)、并聯(lián)機構的POC集計算公式[25]為

(1)

(2)

式中MS——末端構件POC集

Mji——第i個運動副POC集

Mbi——第i條支鏈末端POC集

MPa——機構動平臺POC集

1.1.2機構設計思路

大量研究表明，含有混合支鏈的并聯(lián)機構一般具有耦合度低、輸入-輸出(部分)運動解耦、易得符號式位置正解等優(yōu)點[11,24]，且其運動學、剛度以及動力學綜合性能也較好；且含1-DOF、2-DOF混合支鏈數(shù)目越多，機構輸入-輸出(部分)運動解耦性能越好，其運動學/動力學求解越容易，因為(1～2)-DOF混合支鏈本身的位姿易求得；另外，兩支鏈并聯(lián)機構具有結構簡單、動平臺轉(zhuǎn)動能力強、干涉少等優(yōu)點[25]。

根據(jù)上述思路，一方面，為設計具有“零耦合度且運動解耦”特性的并聯(lián)機構，可以通過構造約束度為零、含部分驅(qū)動副且可獨立求出其位置回路的混合支鏈，以實現(xiàn)設計目標；另一方面，本文設計的2T1R并聯(lián)機構采用兩支鏈的結構來實現(xiàn)，這意味著兩條支鏈的末端運動輸出最少都須包含2個平移(2T)和1個轉(zhuǎn)動(1R)元素。

1.1.3支鏈設計

設計一個兩滑塊兩平移空間并聯(lián)機構，如圖1a所示，它由分支1(P11‖R12‖R13‖R14)、分支2(P21⊥R22‖R23)并聯(lián)而成，其中，兩移動副P11和P21為重合共線，該機構簡記為：2P-5R，為闡述方便，在靜平臺0上，建立坐標系OXYZ，Y軸平行于P11(或P21)，Z軸平行于靜平臺0的法線。

圖1 3-DOF 2T1R 機構的設計過程

由式(1)可知，分支1、2末端構件的POC集均為

由式(2)可知，輸出構件2的POC集為

因此，輸出構件2將產(chǎn)生垂直于R22軸線的平面(YOZ)內(nèi)的兩維移動(2T)。

在輸出構件2的軸線上，直接串聯(lián)一個轉(zhuǎn)動副R24，如圖1b所示，即轉(zhuǎn)動副R24與R14共軸線(均平行于Y軸)，則構成另一條混合支鏈，它將連接動平臺1左端，由式(1)可知

MA=M2∪MR24=

(3)

(4)

使動平臺1上轉(zhuǎn)動副R35‖R24，且P31‖P11，從而設計出由混合支鏈、約束支鏈連接的2T1R并聯(lián)機構[26]，如圖1d所示；由式(2)知，其動平臺1的POC集為

因此，設計的并聯(lián)機構具有沿YOZ平面內(nèi)的兩維移動和繞Y軸的一維轉(zhuǎn)動。

1.2 拓撲分析

1.2.1機構自由度

(1)機構全周自由度計算公式[25]為

(5)

(6)

v=m-n+1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副自由度

m——運動副數(shù)

v——獨立回路數(shù)

n——構件數(shù)

ξLj——第j個獨立回路獨立位移方程數(shù)

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件的POC集

第1回路為2P-5R空間機構，由式(6)得其獨立位移方程數(shù)為

ξL1=dim.{Mb1∪Mb2}=

由式(5)得其自由度為

第2個回路由上述子并聯(lián)機構、轉(zhuǎn)動副R24及支鏈構成，由式(6)得其獨立位移方程數(shù)為

ξL2=dim.{MA∪MB}=

因此，由式(5)得機構自由度

因此，當選取靜平臺0上移動副P11、P21、P31作為驅(qū)動副，該機構動平臺1可實現(xiàn)YOZ平面內(nèi)的兩維平移以及繞Y軸的一維轉(zhuǎn)動的輸出運動。

1.2.2機構耦合度

由基于序單開鏈(SOC)的機構組成原理[25]知，機構均可劃分為若干(SKC)，而SKC又可分解為若干單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度為

(7)

式中mj——第j個SOCj運動副數(shù)

Ij——第j個SOCj驅(qū)動副數(shù)

則SKC耦合度κ為

(8)

1.2.1節(jié)已計算出ξL1=5、ξL2=5，因此，由式(7)可分別求出第1、2回路的單開鏈約束度為

易知，上述2個回路可分別獨自構成子運動鏈，即SKC1及SKC2，由式(8)可得其耦合度為

因此，SKC1、SKC2可獨立求解，從而可使機構求得符號式位置正解[26]。

至此，該機構主要拓撲性能(DOF、κ)已求出，并到達所期望的設計目標，其具有優(yōu)點：①由低副組成，加工制造容易。②機構為零耦合度，因此具有符號式位置正解。③含兩個子運動鏈且分別含有驅(qū)動副，因此具有部分運動解耦特性，從而有利于該機構運動學和動力學的建模與性能求解。

2 并聯(lián)機構運動學分析

機構運動學模型如圖2所示，靜平臺0上兩個導軌之間距離為l8。靜坐標系OXYZ的坐標原點O在導軌所在兩條直線的中線上，Y軸方向平行于A1A2連線，Z軸平行于導軌所在平面的法線方向，并指向動平臺1；動坐標系O′X′Y′Z′的原點位于動平臺1的R24幾何中心，X′、Y′軸分別重合、垂直于D2D3連線，而X軸、Z′軸方向均由右手定則確定。

圖2 機構運動學模型

2.1 位置正解分析

已知點Ai(i=1,2,3)驅(qū)動副輸入量y1、y2、y3，求解動平臺1上點O′的位置(x,y,z)及動平臺姿態(tài)角α。機構位置正解可由SKC1和SKC2分別求得。

(1)SKC1位置求解

易有A1=(l8/2，y1，0)，A2=(l8/2，y2，0)，B1=(l8/2，y1，l1)，B2=(l8/2，y2，l1)，D1=(l8/2，y1，z)，C2=(l8/2，y1+2l3，z)，D2=O′=(l8/2，y1+l3,z)。

由桿長約束lB2C2=l4得位置約束方程，并求得

(9)

(2)SKC2位置求解

易有：A3=(-l8/2,y3,0)，B3=(-l8/2,y3,l1)。因兩導軌道間距離為l8，故D2-D3-C4組成的回路在XOZ面上的投影關系如圖3所示。

圖3 D2-D3-C4在XOZ面上的投影關系

顯然，有D3=(l8/2-l5cosα,y1+l3,z+l5sinα)，C4=(-l8/2,y1+l3,ZC4)，而C3=(-l8/2,y1+l3,ZC4-l7)。

(10)

由桿長約束lC3B3=l6得約束方程并解得

(11)

因此，由式(8)、(11)可得動平臺(x,y,z)及姿態(tài)角α。

2.2 位置逆解分析

已知動平臺1位置(x，y，z)及動平臺姿態(tài)角α，求驅(qū)動副輸入量y1、y2、y3。

由幾何約束條件lB3C3=l6得到

根據(jù)式(9)、(11)可得

(12)

由式(12)可知，驅(qū)動副輸入量y3、y2各有2組解，因此，此機構可有4組逆解。

2.3 正逆解實例驗算

設機構結構參數(shù)為l1=100 mm，l2=220 mm，l3=150 mm，l4=440 mm，l5=600 mm，l6=320 mm，l7=80 mm，l8=600 mm。

設3個驅(qū)動副輸入量y1、y2、y3分別為-340、50、60 mm。通過Matlab計算式(9)、(11)可得到6組位置正解，如表1所示。

將表1中序號1的數(shù)據(jù)代入式(12)，可以求得4組位置逆解。如表2所示，其中序號1的逆解數(shù)值與求解正解時給定的3個驅(qū)動輸入量一致。

表1 位置正解

表2 位置逆解

3 工作空間

并聯(lián)機構可達空間是指在考慮運動副轉(zhuǎn)角范圍、桿長不干涉情況下，末端執(zhí)行器的工作區(qū)域，是衡量并聯(lián)機器人性能的一個重要指標。

傳統(tǒng)的工作空間計算是基于位置反解求得的點，由這些點組成的三維圖即為該機構工作空間。

而本文機構具有符號式位置正解，因此，直接采用位置正解來計算工作空間，計算量少且工作空間邊界計算準確。

為此，確定3個驅(qū)動副位置搜索范圍為：-430 mm≤y1≤-320 mm，300 mm≤y2≤410 mm,-320 mm≤y3≤320 mm，搜索范圍只需大于桿件活動范圍即可。通過Matlab軟件編程，得到該并聯(lián)機構動平臺質(zhì)心點的三維工作空間如圖4a所示，其XOZ、YOZ截面如圖4b、4c所示。

圖4 機構動平臺質(zhì)心點工作空間

4 奇異性與速度分析

4.1 機構奇異性分析方法

(13)

其中

f11=-2(yD1-y)f12=0f13=0

f21=-2(yB2-yC2)f22=2(zB2-zC2)f23=0

f31=-2(yB3-yC3)f32=-2(zB3-zC3)

g11=-2(yD1-y)g22=-2(yC2-yB2)

g33=yC3-yB3

當機構不存在奇異位置時，Jp可逆，得

(14)

式(14)即為動平臺基點輸出速度。

為方便后續(xù)計算，現(xiàn)將動平臺速度矩陣分解為移動矩陣和轉(zhuǎn)動矩陣，即

由此，移動、轉(zhuǎn)動矩陣與原矩陣的關系可表示為

其中

這樣，動平臺基點的移動、轉(zhuǎn)動速度矩陣，與3個輸入角之間的關系可分別表示為

將式(13)對時間t求導，得到動平臺點O′加速度與輸入加速度之間的映射關系為

(15)

4.2 奇異性分析

4.2.1輸入奇異

當機構發(fā)生輸入奇異時，機構的執(zhí)行構件將失去某個方向的運動能力，此時，至少有1個運動鏈到達工作空間的邊界。

當det(Jq)=0，機構將發(fā)生輸入奇異，將方程的解集設為A，則A為

A={A1∪A2∪A3}

其中，Ai(i=1，2，3)為機構產(chǎn)生輸入奇異時的3種情況：當A1={yD1=y}不滿足構型要求，舍去。當A2={yC2=yB2},即點C2與點B2的y軸坐標相等，滿足A2的三維構型如圖5所示。當A3={yC3=yB3}，即點C3與點B3的y軸坐標相等時，機構發(fā)生輸入奇異，滿足A3的三維構型如圖6所示。

圖5 A2的輸入奇異位形

圖6 A3的輸入奇異位形

4.2.2輸出奇異

當det(JP)=0時，機構發(fā)生輸出奇異。由于Jq為下三角矩陣，故方程的解F={f11∪f22∪f33}，其中，f11、f22不滿足構型要求，舍去。

當f33=0，機構發(fā)生輸出奇異，有兩種情況：

第1種情況：當機構滿足ZC3=ZB3時，如圖6所示，即運動副C3和B3在水平方向平行時，機構無法繼續(xù)運動，此時機構發(fā)生輸出奇異，如圖7所示。

圖7 ZC3=ZB3的輸出奇異位形

第2種情況：當動平臺轉(zhuǎn)動角滿足

此時，機構將發(fā)生輸出奇異。

4.2.3綜合奇異

綜合奇異即輸入奇異與輸出奇異同時發(fā)生。當det(JP)=det(Jq)時，機構發(fā)生綜合奇異。此機構不存在綜合奇異位置。

4.3 桿件速度與加速度

桿件AiBi速度與加速度關系為

VBi=VAi+ωi×(l1ci)

(16)

式中VAi——驅(qū)動副(Pi)線速度

ωi——驅(qū)動桿AiBi角速度

ci——桿AiBi單位矢量

因驅(qū)動副在機架上且僅為移動驅(qū)動，所以ωi=0。對式(16)求導，得點Bi加速度為

aBi=aAi

式中aAi——驅(qū)動副Pi1線加速度

于是，桿件AiBi質(zhì)心速度、加速度分別為

(17)

桿件C1B1速度為

VC1=VB1+ω5×(l2C5)

(18)

兩邊叉乘C5可得

(19)

式中C5——桿件B1C1單位矢量

將式(18)兩邊對時間t求導，得

aC1=aB1+l2ε5×C5+l2ω5×(ω5×C5)

(20)

對式(20)兩邊叉乘C5，得桿件B1C1角加速度為

(21)

由式(18)、(20)得桿件B1C1質(zhì)心速度、加速度為

(22)

桿件C1D1速度與加速度關系為

VD1=VC1+ω6×(l2C6)

(23)

兩邊叉乘C6，得

(24)

式中C6——桿件C1D1單位矢量

將式(23)兩邊對時間t求導，得

aD1=aC1+l2ε6×C6+l2ω6×(ω6×C6)

(25)

對式(25)兩邊叉乘C6，得桿件C1D1角加速度為

(26)

由式(23)、(25)得桿件C1D1質(zhì)心速度與加速度為

(27)

桿件D1D2速度與加速度關系為

VD1=VC1aD1=aC1

則桿件D1D2質(zhì)心速度、加速度為

(28)

桿件C3C4速度與加速度關系為

VC4=VC3

aC4=aC3

則桿件C3C4質(zhì)心速度、加速度為

(29)

其余構件速度與加速度求法類似，故不再贅述，直接給出結果。

桿件B2C2、B3C3質(zhì)心速度、加速度分別為

(30)

(31)

(32)

(33)

桿件C2D2、D3C4質(zhì)心速度、加速度分別為

(34)

(35)

(36)

4.4 算例與仿真

給定3個驅(qū)動副的運動規(guī)律分別為

由式(14)、(15)，通過Matlab計算得到動平臺基點的理論速度和加速度，如圖8、9所示。

圖8 動平臺理論速度曲線

圖9 動平臺理論加速度曲線

通過ADAMS仿真，得到動平臺基點的速度與加速度曲線，分別如圖10、11所示。

圖10 動平臺仿真速度曲線

圖11 動平臺仿真加速度曲線

對比圖8和圖10，以及圖9和圖11，可知該機構速度、加速度理論值與仿真值一致，存在微小誤差，驗證了運動學模型的正確性。

5 動力學分析

5.1 基于虛功原理的序單開鏈法基本原理

5.2 部分構件雅可比矩陣

由于動平臺在Y、Z方向上移動并繞Y方向轉(zhuǎn)動，動平臺上另一點D3的速度與O′速度不同，且無法直接表達出動平臺質(zhì)心點處的雅可比矩陣，故采用與第4節(jié)相同的方法求解以點D3為基點時動平臺的雅可比矩陣。

(37)

式中β——桿件D3D2繞Y軸方向的夾角

由式(37)可得，動平臺質(zhì)心處、D3C4質(zhì)心處的雅可比矩陣分別為

式中，JC4可由點C4速度直接表達出。

5.3 受力分析

作用于構件質(zhì)心上的力有重力和慣性力，而力矩僅為慣性力矩。

對于動平臺，作用在質(zhì)心的力和力矩分別為

式中f′、τ——作用在動平臺的外力和外力矩

R——在靜坐標系{o}中動平臺質(zhì)心處的慣量矩陣，為旋轉(zhuǎn)矩陣

Ip——動平臺質(zhì)心處慣量矩陣

對于各支鏈，假設重力是唯一的外力，則作用在各構件上的力和力矩分別為

Fi=mig-miamidi

Mi=-oIiεi-ωi×(oIiωi) (i=1，2，…，12)

式中oIi——在靜坐標系{o}中各桿件質(zhì)心處的慣量矩陣

5.4 動力學方程

對于SKC2，解除運動副D2處的約束，于是支反力FD2轉(zhuǎn)換為未知外力，由虛功原理可得

(38)

在靜坐標系{o}中，以桿D2D3為研究對象，并將力系向D3處簡化，可得

(39)

對于SKC1，將支反力FD2視為未知外力，由虛功原理可得

(40)

由式(38)～(40)可得機構的驅(qū)動力F11、F21、F31，以及運動副D2處的支反力FD2。

5.5 數(shù)值仿真算例

機構各構件尺寸參數(shù)如表3所示。

表3 2T1R并聯(lián)機構尺寸參數(shù)

僅考慮動平臺受沿Z軸方向的載荷。各構件均為形狀規(guī)則、質(zhì)量均勻的剛體，且驅(qū)動副采用與4.4節(jié)相同的運動規(guī)律，通過Matlab編程計算式(38)、(40)，得驅(qū)動力F關于時間t的曲線，如圖12a所示；將虛擬樣機導入ADAMS中，并設定各構件的材料屬性、運動副的約束類型，施加豎直向下的重力，選取仿真步長0.01 s，仿真時間5 s，動力學仿真曲線如圖12b所示。

圖12 2T1R并聯(lián)機構驅(qū)動力曲線

而點D2支反力的理論值與仿真值如圖13所示。

圖13 點D2處支反力

由傳統(tǒng)虛功原理可知

(i=1，2，…，12)

(41)

由式(41)可知，傳統(tǒng)的虛功原理采用的是整體建模思想，而基于虛功原理的序單開鏈法則按照機構拓撲結構分解的順序，分別建立各SKC的動力學模型，不僅建模思路清晰，而且使得機構的結構學、運動學以及動力學具有統(tǒng)一性。同時，可以得到不同SKC連接處運動副的支反力，有助于后續(xù)機構結構設計。

6 應用場景概念設計

該機構可用于物流領域兩條平行布置、相距較遠輸送帶(E、F)之間的物料的自動輸送、轉(zhuǎn)運和卸料，其平面示意圖如圖14a所示；該機構和輸送帶在空間的位置布置，以及送料、接料方式如圖14b所示，圖14c為其三維概念設計。

圖14 用于物料輸送與轉(zhuǎn)運的3-DOF 2T1R并聯(lián)機構

其工作原理是：當取靜平臺上的P11、P21和P31為主動副時，動平臺1可實現(xiàn)YOZ平面內(nèi)的兩維平移以及繞R24軸線的一維轉(zhuǎn)動，其中，兩維平移(2T)能調(diào)整并聯(lián)機構動平臺1在Y、Z方向上的位移與輸送帶(E、F)的高度位置一致，而一維轉(zhuǎn)動(1R)能使動平臺1繞轉(zhuǎn)動副R24軸線轉(zhuǎn)動，從而使動平臺1能適應自動接收來自輸送帶E上的物料，或?qū)悠脚_1上的物料自動傾翻至輸送帶F上。

7 結論

(1)根據(jù)基于POC方程的并聯(lián)機構拓撲結構設計理論與方法，提出了一種純低副組成的、制造方便的3-DOF兩平移一轉(zhuǎn)動并聯(lián)機構；拓撲分析表明，該機構由兩個零耦合度的SKC組成，具有符號式位置正解，且具有輸入-輸出運動部分解耦性。

(2)求解了該機構的符號式位置正反解，分析了該機構的工作空間和奇異位置；并由雅可比矩陣推導出該機構動平臺基點的加速度曲線，表明其變化連續(xù)、平穩(wěn)。

(3)根據(jù)虛功原理的序單開鏈法，建立了該機構的逆向動力學模型，并求解了機構的驅(qū)動力以及SKC連接處運動副的支反力，表明所需驅(qū)動力變化平穩(wěn)。

(4)對該機構應用于物流領域輸送帶之間物料的自動轉(zhuǎn)運、卸料裝置的應用場景，進行了概念設計。