計算過程模型的構(gòu)造
——從三個變量數(shù)值比較說起

陳凱 上海市位育中學(xué)

用計算機(jī)程序?qū)蓚€變量的數(shù)值進(jìn)行比較是非常容易的事，但若要對三個變量的數(shù)值進(jìn)行比較，雖然只是增加了一個變量，但是代碼卻要復(fù)雜很多，代碼的編寫方法也變得五花八門，這不免讓人對三這個數(shù)字投去特別的目光。有研究復(fù)雜系統(tǒng)的學(xué)者指出，兩個對象只能體現(xiàn)對比，而三個對象能產(chǎn)生交織，周期三蘊(yùn)含著混沌。[1]

中文里有許多帶數(shù)字三的詞匯，有時候這個三表示多，如三番五次、三令五申、三姑六婆，有時候也表示少，如三言兩語、三杯兩盞，有時候還用來表示頻繁，如接二連三、三天兩頭……三這個數(shù)字處在狀態(tài)發(fā)生變化的交界線上，老子說，道生一，一生二，二生三，三生萬物，那么為何是三生萬物。有學(xué)者揣摩老子的想法，認(rèn)為三這個數(shù)字能體現(xiàn)出陰陽二元對立中的激蕩變化，是造成復(fù)雜的氣化物生過程的初始值。[2]筆者認(rèn)為，在對變量數(shù)值大小進(jìn)行比較的任務(wù)中，三個變量數(shù)值相互比較的計算過程初步體現(xiàn)出復(fù)雜性，其中蘊(yùn)藏的某些可識別的模式可能成為形式化地構(gòu)造更為復(fù)雜的計算過程的開端，也可以作為三生萬物在計算思維范疇上的解釋。

●代碼變化的模式

要編寫比較兩個變量中數(shù)值大小的程序（假設(shè)變量值不相等），是相當(dāng)容易的事情，Python代碼片段如圖1所示。

圖1 打印兩個變量中存有較大數(shù)值的變量名

對初學(xué)者來說，若是用如圖2所示的嵌套分支結(jié)構(gòu)的語句，來對三個變量中的數(shù)值進(jìn)行比較，確認(rèn)哪個變量中的數(shù)值最大（假設(shè)變量值不相等），很大的難點(diǎn)在于邏輯的推斷過程。例如，應(yīng)該先比較哪兩個變量？比較完成后對不同的兩個結(jié)果，又應(yīng)該再比較哪兩個變量？

圖2 使用嵌套分支結(jié)構(gòu)打印三個變量中存有最大數(shù)值的變量名

可以將變量想象成三個形狀一樣的盒子，而盒子中裝有數(shù)量不等的球。當(dāng)盒子與盒子碰撞時，裝有更多球的盒子會閃光。那么，借助盒子閃光的狀況，最多碰撞兩次，就可以確定哪個盒子中球的數(shù)量最多了。設(shè)三個盒子為A、B、C，推理過程如下：將A盒與B盒碰撞，如A盒閃光，則將A盒與C盒碰撞，如A閃光則A盒中球最多，否則C盒中球最多；如果A盒與B盒碰撞后B盒閃光，則將B盒與C盒碰撞，如B閃光則B盒中球最多，否則C盒中球最多。這樣的推理過程可以平滑地轉(zhuǎn)換成高級語言中嵌套分支的代碼。如果將上述三個盒子之間的比較換作三個人之間進(jìn)行比武的場面，則更容易理解其中的判斷過程。顯然，相對于抽象的判斷過程而言，一般人的頭腦更擅長于具象的判斷過程。

不過，如果是四個盒子或五個盒子，甚至更多的盒子，比較過程是怎樣的呢？為了更清晰地看出比較過程的規(guī)律，可以將代碼改成“if-elif”的結(jié)構(gòu)，如圖3所示。

圖3 讓判斷條件更清晰的嵌套分支結(jié)構(gòu)代碼

將程序代碼中進(jìn)行比較的變量名單獨(dú)列出，不管其比較含義，只看變量名的順序和位置，就能發(fā)現(xiàn)其中存在某種模式：兩個變量名并列，以及兩個變量名前后交換并列，置放于左側(cè)另起的第一層，然后取出并列的變量名中的首個變量名，再和第三個變量名并列以及交換，然后重復(fù)剛才的動作（如圖4）。

圖4 分支結(jié)構(gòu)中的變量名變化模式

很顯然，如果只有兩個變量，是不可能歸納出任何變化模式的。然而，一旦領(lǐng)悟到三個變量的比較模式，對于更多變量，就可以一直套用這個模式進(jìn)行比較，就仿佛是頭腦中的三生萬物。圖5是對于四個變量找出存有最大數(shù)變量的模式和對應(yīng)的程序代碼。有趣的是，只需套用模式就能編寫出正確的程序代碼，而完全不用管其中涉及的邏輯原因。通過此模式，程序代碼可以被自動構(gòu)造出來，并經(jīng)由測試被證明是可行的。

圖5 使用嵌套分支結(jié)構(gòu)打印四個變量中存有最大數(shù)值的變量名的模式和程序代碼

想象有一個控制系統(tǒng)控制著機(jī)械手臂并通過盒子的碰撞來找出裝有最多球的盒子，假設(shè)從a、b、c開始編號的許多盒子已經(jīng)就位，而這個裝置用機(jī)械手臂取出各個盒子進(jìn)行比較，然后又將這些盒子放回原處，直到根據(jù)分支結(jié)構(gòu)的流程找到了裝有最多球的盒子。如果需要比較的盒子數(shù)量增加，那么需要改變的是控制系統(tǒng)的程序，而不需要改變盒子。

●數(shù)據(jù)變化的模式

仔細(xì)揣摩上述嵌套分支結(jié)構(gòu)中變量比較的模式，或者干脆將多個盒子之間的比較的場景換成多人比武的場景，發(fā)現(xiàn)存在這樣的模式，是對應(yīng)有現(xiàn)實(shí)上的原因的，上述變量比較模式變化的含義，實(shí)質(zhì)上是將大小比較中“失敗”的變量拋棄掉，而用“獲勝”的變量與下一個變量進(jìn)行比較。值得一提的是，筆者自己并不是直接領(lǐng)悟了此原因，而是從模式變化中猜想到了這個原因并通過運(yùn)行代碼驗(yàn)證了其可行性。

從這個本質(zhì)原因出發(fā)，可以重新構(gòu)造其他類型的比較模式，想象有一系列代表變量的盒子，每兩個盒子比較后，將“失敗”的盒子拋棄，這個過程可以用列表形象地展現(xiàn)出來，如圖6所示。只有在存在三個盒子或更多盒子的情況下，這種“比較—拋棄”的模式才能被清晰地顯現(xiàn)出來。

圖6 比較兩次并拋棄兩次“失敗者”

三個變量需要執(zhí)行兩次分支結(jié)構(gòu)的判斷，顯然，可以推理知道n個變量需要n-1次分支結(jié)構(gòu)的判斷。因此，代碼可以改成循環(huán)結(jié)構(gòu)的形式，如圖7所示。

圖7 用循環(huán)結(jié)構(gòu)比較并拋棄“失敗者”

根據(jù)以上代碼可以想象出如下圖景：盒子被整齊地放成一排，有兩只機(jī)械手臂抓起相鄰盒子判斷盒子內(nèi)球的多少，并根據(jù)判斷結(jié)果做出拋棄某一個盒子的動作，在這個過程中，只要剩下的盒子自動靠攏排整齊，那么機(jī)械手臂的行為方式就始終是一致的，控制機(jī)械手臂的控制系統(tǒng)無需因?yàn)楹凶訑?shù)量的增加而更換代碼。不過，和上一小節(jié)比較過程形成鮮明區(qū)別的是，比較過程中盒子的數(shù)量會發(fā)生變化。

也可以設(shè)想另一種圖景：存在一種可以“分身”的控制系統(tǒng)，它用一只機(jī)械手臂抓著一個盒子，而另一只機(jī)械手臂抓取的盒子是由這個控制系統(tǒng)的“分身”選取出的比較勝利者。這個圖景在現(xiàn)實(shí)中顯然是不可能存在的，但這個虛構(gòu)的控制系統(tǒng)卻能對應(yīng)真正的計算過程，按此種圖景可以編寫出利用函數(shù)的模塊化比較三個變量數(shù)值大小的程序代碼，如圖8所示。

圖8 一種利用函數(shù)模塊化比較三個變量數(shù)值大小的程序代碼

●模式變化的層次

回到嵌套分支結(jié)構(gòu)尋找裝有最多球盒子的問題，當(dāng)盒子數(shù)量發(fā)生變化后，控制中心就需要修改控制的方式，不過，因?yàn)楸容^方式的變化本身也存在規(guī)律，所以就存在一種可能，可以另外設(shè)計一個能夠修改此控制系統(tǒng)控制方式的上一層次的控制系統(tǒng)。但怎么實(shí)現(xiàn)呢？考慮到控制指令本身也可以是一種數(shù)據(jù)，那么只要對數(shù)據(jù)進(jìn)行有規(guī)律的迭代，就能得到有規(guī)律的控制指令。圖9所示的是一種比較指令生成的片段與運(yùn)行結(jié)果，其中用數(shù)字1代表變量a，數(shù)字2代表變量b，以此類推，可以將此運(yùn)行結(jié)果和圖5中的變量比較變換模式作對比。雖然只是片段，但已經(jīng)證明了用程序代碼生成程序代碼的可能性。程序代碼中對存放比較指令的數(shù)據(jù)做了兩次迭代，顯然，迭代代碼本身也存在著規(guī)律的變化模式，還可以進(jìn)一步用循環(huán)結(jié)構(gòu)使迭代過程更加自動化。

圖9 按變化模式生成比較指令的程序代碼

勉強(qiáng)用語言來描述這個多層次的控制系統(tǒng)的運(yùn)行方式：一個內(nèi)部控制系統(tǒng)根據(jù)已有的存儲區(qū)域中盒子里的球的數(shù)量，有規(guī)則地按替換模式更換盒子。而所更換的盒子里的球的數(shù)量也就是數(shù)據(jù)，則成為外部控制系統(tǒng)進(jìn)行比較時抓取哪一個盒子的依據(jù)。

本文重點(diǎn)不在編程語言，也不在算法，而是算法在某些特定環(huán)境條件約束下的變化模式，圖景想象的方法是一種有用的工具，它將人從用算法解決實(shí)際問題的思維框架中拉出，借助復(fù)雜性的思維來思考算法本身可能存在的變化模式。