多開多備設(shè)備組穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算方法研究

孫福廣，王克林，胡久韶，高振宇

（合肥通用機(jī)械研究院有限公司，安徽合肥 230031）

0 引言

近年來，RCM（Reliability Centered Maintenance，以可靠性為中心的維修）在各類大型工業(yè)領(lǐng)域越來越廣泛地得到工業(yè)企業(yè)的認(rèn)可與重視，并逐漸在石油化工、電力系統(tǒng)等領(lǐng)域的大型裝置中得到更廣泛的應(yīng)用[1]。RCM 技術(shù)最核心的作用就是，通過定量RCM 分析為系統(tǒng)設(shè)計(jì)與維修方案提供提供一定的理論依據(jù)，而定量RCM 分析最重要的指標(biāo)便是其可用度隨著時(shí)間變換的計(jì)算[2]。大型裝置系統(tǒng)可用度隨時(shí)間變換的計(jì)算，主要是通過馬爾科夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣[3-5]進(jìn)行迭代計(jì)算的，一般以1 h為單位，隨著使用時(shí)間的增加，系統(tǒng)的可用度逐漸趨向于一個(gè)定值，即穩(wěn)態(tài)可用度。但是現(xiàn)在，大型機(jī)械設(shè)備裝置已經(jīng)發(fā)展成為一個(gè)非常復(fù)雜的設(shè)備系統(tǒng)，而且機(jī)械設(shè)備運(yùn)行時(shí)間更長，對(duì)設(shè)備系統(tǒng)的運(yùn)行穩(wěn)定提出了更高的要求。通常情況下，大型設(shè)備系統(tǒng)裝置的運(yùn)行時(shí)間一般為幾萬小時(shí)或幾十萬小時(shí)起步，因而其裝置可用度的計(jì)算也帶來了幾十萬次的復(fù)雜矩陣轉(zhuǎn)換計(jì)算[6]。大多數(shù)情況下裝置的可用度會(huì)隨著時(shí)間的變化逐漸下降并收斂于一個(gè)穩(wěn)定值，形成平穩(wěn)分布[7]，即穩(wěn)態(tài)可用度。在大型石化、電力等企業(yè)，穩(wěn)態(tài)可用度往往對(duì)復(fù)雜大型裝置的設(shè)計(jì)具有一定參考價(jià)值，這就意味著需要計(jì)算時(shí)間趨向于無窮大時(shí)設(shè)備狀態(tài)的分布情況，為了滿足精度要求，帶來了更為繁重的計(jì)算任務(wù)。

在實(shí)際工程應(yīng)用當(dāng)中，用穩(wěn)態(tài)可用度來衡量系統(tǒng)可用度最為常見。但是在計(jì)算穩(wěn)態(tài)可用度的過程中，矩陣計(jì)算的計(jì)算量巨大且計(jì)算過程緩慢，有很大不便，導(dǎo)致采用矩陣轉(zhuǎn)換計(jì)算設(shè)備組穩(wěn)態(tài)可用度的方法在實(shí)際工程中遇到了很大瓶頸。尤其是石化、電力企業(yè)的大型生產(chǎn)裝置，當(dāng)同時(shí)需要計(jì)算幾十個(gè)設(shè)備所組成系統(tǒng)的可用度時(shí)，無論是空間復(fù)雜度過大還是時(shí)間復(fù)雜度過長，都會(huì)導(dǎo)致計(jì)算體驗(yàn)較差。此外，過于復(fù)雜的計(jì)算過程，也為裝置設(shè)計(jì)人員帶來了較大的不便[8]。

鑒于傳統(tǒng)計(jì)算方式的不便，可以推導(dǎo)相關(guān)的解析式[6]，并依據(jù)解析式來計(jì)算多開多備設(shè)備組的穩(wěn)態(tài)可用度。作為新穎的解決方法，盡管解析式可靠且方便，但因?yàn)榻馕鲞^程中涉及到解微分方程，對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)而言其推導(dǎo)過程過于復(fù)雜，很難得到多開多備復(fù)雜系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的解析解。在相關(guān)文獻(xiàn)中，即使多開多備系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度有解析解，也是假設(shè)備用設(shè)備的失效率與運(yùn)行設(shè)備失效率相同，而實(shí)際上備用設(shè)備的失效率與運(yùn)行設(shè)備的失效率完全不同且相差很大，其計(jì)算結(jié)果也是相差較大，相關(guān)的精確度難以得到保證。因此，在計(jì)算多開多備設(shè)備組的穩(wěn)態(tài)可用度時(shí)，需要一個(gè)較為貼合實(shí)際解析結(jié)果的快捷計(jì)算方法?？梢詾槎嚅_多備設(shè)備組的穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算，特別是大型成套裝置的穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算，提供一個(gè)具有參考意義的指標(biāo)。

為了得到多開多備設(shè)備組可用度的快捷計(jì)算方法，同時(shí)滿足工作所需的精度要求，本文首先對(duì)一開一備設(shè)備組穩(wěn)態(tài)可用度的通用解析解（注意，運(yùn)行設(shè)備與備用設(shè)備失效率不同）進(jìn)行推導(dǎo)。隨后依據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)［2］與多年的從業(yè)經(jīng)驗(yàn)，將多開多備設(shè)備組設(shè)備組等效成相似的一開一備設(shè)備組，進(jìn)一步研究其穩(wěn)態(tài)可用度，得到應(yīng)用于多開多備設(shè)備組的穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算方法。最后，通過傳統(tǒng)矩陣轉(zhuǎn)換的可用度計(jì)算結(jié)果與該計(jì)算方法得到的穩(wěn)態(tài)可用度計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，確保了該計(jì)算方法在一定精度要求范圍內(nèi)是有效的。

1 一開一備設(shè)備組穩(wěn)態(tài)可用度解析式

為了推導(dǎo)出一開一備設(shè)備組穩(wěn)態(tài)可用度的解析解，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)一開一備設(shè)備組模型，根據(jù)設(shè)備組模型繪制出了模型的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖，接著依據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖得到設(shè)備組的狀態(tài)微分方程，隨后借助拉普拉斯變換與拉普拉斯逆變換對(duì)狀態(tài)微分方程進(jìn)行推導(dǎo)求解，得到了常規(guī)一開一備設(shè)備組穩(wěn)態(tài)可用度的解析式。

在本文的一開一備設(shè)備組中，設(shè)備組由兩個(gè)性能屬性相同的設(shè)備A 與設(shè)備B 組成（在工程應(yīng)用中通常也是由參數(shù)相同的設(shè)備組成一開一備或多開多備設(shè)備組）。

在設(shè)備組中，兩個(gè)設(shè)備的運(yùn)行失效率與備用失效率分別為λ、λs，失效時(shí)，兩設(shè)備的修復(fù)率均為μ。用x（t）表示t 時(shí)刻系統(tǒng)的狀態(tài)，則該一開一備設(shè)備組系統(tǒng)共有5 種狀態(tài)，分別是：

該一開一備設(shè)備組的狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖如圖1 所示，每個(gè)狀態(tài)由3 個(gè)方框及字母表示。3 個(gè)方框中，第一個(gè)方框內(nèi)標(biāo)記著運(yùn)行設(shè)備，第二個(gè)方框內(nèi)標(biāo)記著備用設(shè)備，第三個(gè)方框內(nèi)則標(biāo)記著在維修的設(shè)備。字母A 和B 分別代表著設(shè)備A 與設(shè)備B。只有當(dāng)兩個(gè)設(shè)備都處于故障時(shí)，該一開一備設(shè)備組系統(tǒng)故障，即系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。因此，當(dāng)該系統(tǒng)處于狀態(tài)s0、狀態(tài)s1、狀態(tài)s2、狀態(tài)s3時(shí)，系統(tǒng)均處于穩(wěn)定狀態(tài)。

圖1 狀態(tài)轉(zhuǎn)換

根據(jù)該一開一備設(shè)備組系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖，可以得到該一開一備設(shè)備組系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程為：

根據(jù)式（1）可知，狀態(tài)s0與s1類似（僅僅是設(shè)備A 與設(shè)備B所處的狀態(tài)互換），狀態(tài)s2與s3也僅僅式設(shè)備A 與設(shè)備B 的狀態(tài)互換，因此本文定義狀態(tài)0 為狀態(tài)s0與s1二者的狀態(tài)，狀態(tài)1為狀態(tài)s0與s1二者的狀態(tài)，狀態(tài)2 為狀態(tài)s4，該得到該系統(tǒng)新的狀態(tài)。結(jié)合前文，該系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)為狀態(tài)1 和狀態(tài)2。該系統(tǒng)的狀態(tài)微分方程為：

根據(jù)該系統(tǒng)新的狀態(tài)微分方程，對(duì)方程組進(jìn)行拉普拉斯變換。結(jié)合該系統(tǒng)的初始條件P0（0）=1，Pi（0）=0，i=1，2，對(duì)式（2）進(jìn)行求解，可以得到求解結(jié)果：

同時(shí)，考慮到在穩(wěn)定狀態(tài)下，系統(tǒng)各狀態(tài)的概率不隨時(shí)間變化，為恒定常數(shù)，因此系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)滿足滿足t→∞：Pj（t）→Pj（j=0，1,2）。根據(jù)該條件，得到該方程組的解析解為：

2 多開多備設(shè)備組穩(wěn)態(tài)可用度快捷計(jì)算方法

為了得到多開多備設(shè)備組穩(wěn)態(tài)可用度的快捷計(jì)算方法，本文首先查閱了文獻(xiàn)［2］、文獻(xiàn)［6］，得到串聯(lián)系統(tǒng)與并聯(lián)系統(tǒng)的等效失效率、修復(fù)率，然后將多開多備設(shè)備組等效為一開一備設(shè)備組，根據(jù)企業(yè)對(duì)系統(tǒng)的不同要求、標(biāo)準(zhǔn)，將多開多備設(shè)備組分為裝置停車、降負(fù)荷兩種情況，并結(jié)合工程應(yīng)用實(shí)踐得到了多開多備設(shè)備組在裝置停車、降負(fù)荷兩種情況下的等效運(yùn)行失效率、等效備用失效率以及等效修復(fù)率等相關(guān)等效參數(shù)。

在處理多開多備設(shè)備組系統(tǒng)的過程中，可以根據(jù)該系統(tǒng)內(nèi)的各個(gè)設(shè)備的狀態(tài)（工作狀態(tài)/備用狀態(tài)）將復(fù)雜的多開多備設(shè)備組分為工作子系統(tǒng)與備用子系統(tǒng)。在工作子系統(tǒng)與備用子系統(tǒng)內(nèi)部繼續(xù)進(jìn)行工作子系統(tǒng)、備用子系統(tǒng)的進(jìn)一步劃分，直到劃分到具體的單個(gè)設(shè)備。在劃分過程中，分別根據(jù)式（9）與式（11）得到不同設(shè)備以及子系統(tǒng)所組成系統(tǒng)的失效率與修復(fù)率。隨后再進(jìn)一步采用由兩臺(tái)設(shè)備所組成的并聯(lián)可用度解析式進(jìn)行下一步的計(jì)算。根據(jù)文獻(xiàn)［2］可以得到串聯(lián)子系統(tǒng)失效率λs為：

其中，λi（i=1，2，…n）為設(shè)備失效率。

在由失效率分別為λ1與λ2所組成的兩設(shè)備并聯(lián)子系統(tǒng)中，根據(jù)文獻(xiàn)［6］可得到該并聯(lián)系統(tǒng)的可用度解析式為：

式中各參數(shù)表達(dá)含義為：

查閱文獻(xiàn)［2］可以得到關(guān)于并聯(lián)系統(tǒng)的失效率與修復(fù)率的解析式，根據(jù)該式進(jìn)一步進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算，可以得到并聯(lián)系統(tǒng)的等效失效率λp：

2.1 導(dǎo)致裝置停車情況的設(shè)備組可用度

在大型裝置中，同一多開多備設(shè)備組系統(tǒng)的所有設(shè)備參數(shù)相同。每個(gè)設(shè)備的工作失效率、備用失效率與修復(fù)率分別為λ、λst和μ。與此同時(shí)，在實(shí)際工程中多開多備設(shè)備組的所有設(shè)備在物理上是并聯(lián)的，當(dāng)所有的并聯(lián)設(shè)備全部停止工作時(shí)，設(shè)備組所有設(shè)備會(huì)進(jìn)入維修狀態(tài)，從而導(dǎo)致整個(gè)裝置停車。在這種情況下，多開多備設(shè)備組的所有運(yùn)行設(shè)備在邏輯上也是并聯(lián)的。與運(yùn)行裝備一樣，備用設(shè)備在物理上、邏輯上也都是并聯(lián)的。另外，在大型企業(yè)中，物資、人力資源較為充沛，因此對(duì)于任意子系統(tǒng)的修復(fù)率視作恒常量μ。

基于以上思路，本文分別給出了常見泵組一開一備、兩開一備、三開一備、四開一備以及五開兩備泵組中λ1，λ2，μ1μ2（一開一備設(shè)備組等效參數(shù)）的計(jì)算公式（表1）。

表1 多開多備停車情況的相關(guān)參數(shù)

2.2 導(dǎo)致裝置降負(fù)荷情況的設(shè)備組可用度

在與上一節(jié)條件相同的多開多備設(shè)備組系統(tǒng)中，雖然多開多備設(shè)備組在物理上是并聯(lián)的，但是在實(shí)際工程的過程中，當(dāng)運(yùn)行設(shè)備的數(shù)量減少同時(shí)備用設(shè)備故障時(shí)，由于設(shè)備組的運(yùn)行設(shè)備數(shù)量減少，裝置會(huì)進(jìn)入降負(fù)荷工作的狀態(tài)，故而各設(shè)備之間在邏輯上屬于串聯(lián)狀態(tài)。圖2 為兩開一備該種狀態(tài)下的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖。

圖2 兩開一備降負(fù)荷情況狀態(tài)轉(zhuǎn)換

在兩開一備設(shè)備組中，當(dāng)損壞設(shè)備達(dá)到兩臺(tái)之后，系統(tǒng)降量工作，認(rèn)為系統(tǒng)處于不可用狀態(tài)。根據(jù)兩開一備的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖，可以得到類似一開一備的狀態(tài)微分方程：

本文同樣對(duì)三開一備、四開一備等設(shè)備組進(jìn)行了研究，由于其狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖與一開一備、兩開一備十分接近且過于復(fù)雜，本文只給出其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)微分方程。

（1）三開一備的狀態(tài)微分方程：

（2）四開一備的狀態(tài)微分方程：

對(duì)比式（2）、式（12）、式（13）與式（14），對(duì)多開一備設(shè)備組印證了前文中所提到的工作設(shè)備在邏輯上是串聯(lián)的。

同樣，本文對(duì)多開多備設(shè)備組進(jìn)行了研究，給出了一開兩備、五開兩備設(shè)備組的狀態(tài)微分方程。

（3）一開兩備的狀態(tài)微分方程：

（4）五開兩備的狀態(tài)微分方程：

對(duì)比式（15）與式（16），對(duì)多開多備設(shè)備組同樣印證了前文中提到的“工作設(shè)備在邏輯上是串聯(lián)的，備臺(tái)設(shè)備在物理上、邏輯上都是并聯(lián)的”。根據(jù)以上分析，本文分別給出了多開多備泵組中λ，λs，μ1μ2（一開一備設(shè)備組系統(tǒng)等效參數(shù)）的計(jì)算公式。

3 實(shí)例計(jì)算

假設(shè)在多開多備離心泵組中，單臺(tái)泵的運(yùn)行失效率為λ=5×10-5失效/h，備用失效率為λst=5×10-7失效/h，修復(fù)率恒定為μ=0.008 修復(fù)/h。離心泵組常用的組合方式有一開一備、兩開一備、三開一備、四開一備、五開兩備，通過等效一開一備的處理方式來計(jì)算泵組的不可用度。上述泵組的一開一備等效參數(shù)及不可用度見表3。

表3 多開多備泵組不可用度計(jì)算表

由表2 和表3 可知，多開多備導(dǎo)致裝置停車的事件概率非常低。工程上，多開多備泵組主要問題是導(dǎo)致裝置降負(fù)荷運(yùn)行。從降負(fù)荷概率來看，多開一備的可用度比一開一備的會(huì)更低，這也與實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)相符。

表2 多開多備降負(fù)荷情況的相關(guān)參數(shù)

4 結(jié)論

本文從一開一備設(shè)備組可修系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)換方程入手，推導(dǎo)工作失效率與備用失效率不同的一開一備設(shè)備組穩(wěn)態(tài)不可用度計(jì)算的解析式。并根據(jù)一開一備設(shè)備組的可用度表達(dá)式推導(dǎo)出多開多備設(shè)備組可用度的等效表達(dá)式，通過將多開多備設(shè)備組等效為一開一備設(shè)備組的處理方式解決了多開多備設(shè)備組可修系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度的復(fù)雜計(jì)算問題，在滿足一定精度條件的前提下大大提高穩(wěn)態(tài)可用度的計(jì)算效率。實(shí)踐證明，該處理方式能夠滿足實(shí)際工程需要，尤其是適用于大批量設(shè)備組的可用度計(jì)算，這對(duì)RCM 技術(shù)在我國過程成套裝置的推廣應(yīng)用具有重要意義。