基于數(shù)值方法的養(yǎng)老目標(biāo)基金的模型與算法綜述

楊雪瑩，李晨，陳逸東，陸忠華＊

1.中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)信息中心，北京 100083

2.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049

引 言

1994年，世界銀行提出了養(yǎng)老金體系 “三支柱”模式，該模式已成為我國(guó)養(yǎng)老保障體系發(fā)展趨勢(shì)。其中第一支柱為政府主導(dǎo)的基本養(yǎng)老保險(xiǎn)等公共養(yǎng)老金；第二支柱是企業(yè)建立的職業(yè)年金、企業(yè)年金等補(bǔ)充養(yǎng)老保險(xiǎn)制度；第三支柱是個(gè)人投資的養(yǎng)老儲(chǔ)蓄產(chǎn)品（例如商業(yè)壽險(xiǎn)等金融產(chǎn)品）。相較于第一支柱的絕對(duì)主導(dǎo)地位，我國(guó)養(yǎng)老金體系第二和第三支柱發(fā)展嚴(yán)重滯后。隨著我國(guó)人口老齡化進(jìn)程加快和基本養(yǎng)老保險(xiǎn)金支出壓力增大，大力發(fā)展第三支柱已成為社會(huì)各界的普遍共識(shí)。作為我國(guó)第三支柱個(gè)人養(yǎng)老金中一種相對(duì)較新的金融產(chǎn)品，養(yǎng)老目標(biāo)基金旨在為投資者提供一站式解決方案，以滿足投資者長(zhǎng)期投資的需求，為其退休后的資產(chǎn)提供保障。

養(yǎng)老目標(biāo)基金分為隨著時(shí)間推移降低風(fēng)險(xiǎn)的目標(biāo)日期基金（Target Date Funds,TDFs）和試圖保持風(fēng)險(xiǎn)不變的目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)基金（Target Risk Funds,TRFs），這兩類基金使用不同的方式進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)控制。在投資過(guò)程中，投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好與個(gè)人資產(chǎn)等特征會(huì)隨著年齡增長(zhǎng)而產(chǎn)生變化。為應(yīng)對(duì)這一變化，TDFs 通常會(huì)設(shè)置一個(gè)目標(biāo)日期作為預(yù)期退休年份，并隨著設(shè)定目標(biāo)日期的接近改變大類資產(chǎn)的配置比例。該比例隨著時(shí)間變化得到的曲線稱為下滑曲線（Glide Path），投資者可以根據(jù)自己擬退休的時(shí)間節(jié)點(diǎn)進(jìn)行目標(biāo)日期基金選擇。TRFs 采用的是目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)策略，根據(jù)特定的風(fēng)險(xiǎn)偏好設(shè)定權(quán)益類資產(chǎn)、非權(quán)益類資產(chǎn)的恒定配置比例，或使用廣泛認(rèn)可的方法定義組合風(fēng)險(xiǎn)（如波動(dòng)率），并采取有效措施控制基金組合風(fēng)險(xiǎn)，使投資者資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)刻維持在偏好的風(fēng)險(xiǎn)水平上，避免不必要的損失，提供更加靈活的投資選擇。

近年來(lái)，國(guó)內(nèi)外關(guān)于養(yǎng)老目標(biāo)基金的金融產(chǎn)品與學(xué)術(shù)研究越來(lái)越多。美國(guó)投資公司協(xié)會(huì)（Investment Company Institute,ICI）的數(shù)據(jù)顯示，自從1993年美國(guó)市場(chǎng)推出第一支養(yǎng)老目標(biāo)日期基金，至今養(yǎng)老目標(biāo)基金市場(chǎng)規(guī)模已超過(guò)1.5 萬(wàn)億元。盡管我國(guó)養(yǎng)老目標(biāo)基金市場(chǎng)起步較晚，但也正蓬勃發(fā)展。在政策的引導(dǎo)下，國(guó)內(nèi)養(yǎng)老目標(biāo)基金成為了補(bǔ)充我國(guó)第三支柱養(yǎng)老金體系的重要力量。2018年，證監(jiān)會(huì)發(fā)布《養(yǎng)老目標(biāo)證券投資基金指引》，推薦養(yǎng)老目標(biāo)基金采用基金中基金（Fund of Fund,FOF）的運(yùn)作方式。同年4月，財(cái)政部等五部委聯(lián)合發(fā)布《關(guān)于開展個(gè)人稅收遞延型商業(yè)養(yǎng)老保險(xiǎn)試點(diǎn)的通知》，同年8月，我國(guó)首批養(yǎng)老目標(biāo)基金獲準(zhǔn)發(fā)行。2020年2月，證監(jiān)會(huì)副主席在國(guó)務(wù)院新聞發(fā)布會(huì)中表示，將推動(dòng)個(gè)人養(yǎng)老金稅收遞延賬戶投資公募基金政策落地。截止到2020年12月11日，獲準(zhǔn)發(fā)行的養(yǎng)老目標(biāo)基金已超過(guò)100 只，市場(chǎng)規(guī)模超過(guò)500 億元。隨著我國(guó)的FOF 和養(yǎng)老目標(biāo)基金步入正軌，大量基金公司和投資者涌入養(yǎng)老金市場(chǎng)，如何推動(dòng)第三支柱個(gè)人養(yǎng)老金快速發(fā)展已成為養(yǎng)老金投資領(lǐng)域的一個(gè)熱門話題。

現(xiàn)代投資理論起源于Markowitz[1]提出的均值-方差模型，該模型首次將數(shù)理統(tǒng)計(jì)用于進(jìn)行有效的資產(chǎn)配置。隨后Modigliani[2]提出了生命周期假說(shuō)，假設(shè)投資者會(huì)在考慮到未來(lái)收入的同時(shí)理性地規(guī)劃其一生的投資與消費(fèi)情況。在此假說(shuō)的基礎(chǔ)上，很多學(xué)者構(gòu)建了生命周期投資策略，通過(guò)穩(wěn)健投資為投資者提供養(yǎng)老保障，養(yǎng)老目標(biāo)基金就是一種生命周期基金。Merton[3]對(duì)養(yǎng)老目標(biāo)基金的發(fā)展做出了開創(chuàng)性工作，使用效用函數(shù)對(duì)投資者每一時(shí)刻的投資與消費(fèi)的效用建模。Bodie 等人[4]針對(duì)投資者的收入與投資選擇密切相關(guān)的問題，在模型構(gòu)建中首次引入了人力資本因素，并認(rèn)為人力資本因素促使投資者隨著時(shí)間的推移改變其風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的配置比例。年輕人有更大的工作彈性，因此比老年人有能力承擔(dān)更大的投資風(fēng)險(xiǎn)。此外，Cocco 等人[5]和Campbell的研究[6]等基于生命周期投資策略的經(jīng)典模型也已得到廣泛應(yīng)用。同時(shí)，養(yǎng)老目標(biāo)基金承擔(dān)的功能對(duì)其穩(wěn)健性提出了更高的要求，基于經(jīng)典模型構(gòu)建更為穩(wěn)健并符合交易需求的模型會(huì)導(dǎo)致模型復(fù)雜度大幅增加，進(jìn)一步增加計(jì)算復(fù)雜度，對(duì)研發(fā)基于高性能計(jì)算技術(shù)的模型求解算法提出了要求。在2021年中國(guó)高性能計(jì)算機(jī)TOP100 中，應(yīng)用于金融領(lǐng)域中的高性能計(jì)算機(jī)占6%，高性能計(jì)算的發(fā)展為研發(fā)相應(yīng)模型求解算法提供了支撐。

本文梳理了養(yǎng)老目標(biāo)基金的相關(guān)研究，總結(jié)了構(gòu)建相關(guān)模型過(guò)程中針對(duì)現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景的建模方法，包括目標(biāo)日期基金中納入消費(fèi)因素的模型、納入收入因素的模型、納入背景風(fēng)險(xiǎn)的模型等。分析探討了養(yǎng)老目標(biāo)基金模型的求解算法，對(duì)未來(lái)發(fā)展方向進(jìn)行了淺析。

本文的其余部分安排如下。在第1 節(jié)概述了養(yǎng)老目標(biāo)日期基金研究中需要關(guān)注的定義與研究路線。在第2 節(jié)中，詳細(xì)介紹了基于下滑曲線的養(yǎng)老目標(biāo)基金模型。在第3 節(jié)中，選取目前較為流行的養(yǎng)老目標(biāo)基金模型，概括模型求解算法與高性能計(jì)算在其中的應(yīng)用。在第4 節(jié)中，討論了養(yǎng)老目標(biāo)基金模型構(gòu)建的未來(lái)研究方向。第5 節(jié)總結(jié)了論文。

1 養(yǎng)老目標(biāo)基金概述

早在2015年，美國(guó)期貨市場(chǎng)量化投資的交易量已經(jīng)達(dá)到市場(chǎng)交易量的70%[7]，而中國(guó)的量化投資交易比例遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于這一數(shù)字。相比于金融市場(chǎng)更為成熟的發(fā)達(dá)國(guó)家，中國(guó)的計(jì)算金融研究有很大的發(fā)展空間。全球公募基金巨頭Vanguard 的 2021 How America Saves 研究顯示，在美國(guó)所有固定繳款退休計(jì)劃（Defined Contribution Plan,DC Plan）中有95%的計(jì)劃提供TDFs[8]，TDFs 已被美國(guó)養(yǎng)老金體系第三支柱廣泛使用，而我國(guó)的TDFs 研究起步較晚。2016年中美兩國(guó)養(yǎng)老金體系結(jié)構(gòu)對(duì)比如圖1所示[9]。

圖1 養(yǎng)老金體系結(jié)構(gòu)對(duì)比Fig.1 Comparison of pension system structure

1.1 基本概念

目標(biāo)日期基金的資產(chǎn)配置會(huì)隨著目標(biāo)退休日期的接近而變化，其中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例隨時(shí)間的變化方式由目標(biāo)日期基金的下滑曲線決定。Tang和Lin[10]將目標(biāo)日期基金的損失分為兩類：不當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)投資組合造成的損失和不當(dāng)下滑曲線造成的損失。通過(guò)數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)不當(dāng)?shù)南禄€是TDFs業(yè)績(jī)不好的主要決定因素。

此外，構(gòu)建投資模型時(shí)通常需考慮成本因素和擇時(shí)因素。若TDFs 采用FOF 的運(yùn)作方式，投資者需要同時(shí)支付TDFs 的管理費(fèi)用與標(biāo)的基金的管理、交易費(fèi)用，Elton 等人[11]的研究表明大多數(shù)TDFs 傾向于投資低成本份額的共同基金，因此TDFs 的投資成本僅略高于直接購(gòu)買標(biāo)的基金的成本。該研究通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)股票債券擇時(shí)決策并沒有提高TDFs 的業(yè)績(jī)。因此構(gòu)建相關(guān)模型時(shí)，如何計(jì)算各個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例仍是研究的主要目標(biāo)。

考慮到資產(chǎn)積累階段通常是從約25 歲到65 歲，一般模型的假設(shè)是投資者將部分收入用作個(gè)人或家庭消費(fèi)，通過(guò)投資與儲(chǔ)蓄將其余收入轉(zhuǎn)化為金融資本。在這種假設(shè)下，大多數(shù)投資者在職業(yè)生涯早期幾乎沒有金融資本；隨著退休日期的接近，未來(lái)可折現(xiàn)的人力資本會(huì)下降，金融資本在總資產(chǎn)中所占的比例越來(lái)越大；在退休日期，投資者持有的大部分資產(chǎn)都是金融資本。因此，隨著投資者投資時(shí)間的增長(zhǎng)，其人力資本和金融資本比例的變化會(huì)影響TDFs 資產(chǎn)配置。通過(guò)廣泛調(diào)研國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)與產(chǎn)品，構(gòu)建一個(gè)養(yǎng)老目標(biāo)基金投資策略的研究路線大致如下：

（1）對(duì)投資者的生命周期場(chǎng)景和投資環(huán)境進(jìn)行刻畫，其中生命周期場(chǎng)景主要變量包括退休年齡、風(fēng)險(xiǎn)厭惡水平、其他養(yǎng)老計(jì)劃收入等，投資環(huán)境主要變量包括股票收益率、股票波動(dòng)率、債券收益率等，以上變量將作為模型的輸入?yún)?shù)影響模型求解結(jié)果；

（2）進(jìn)行下滑曲線設(shè)計(jì)：選定滿足政策要求的資產(chǎn)類別列表；選定一組資本市場(chǎng)假設(shè)；選定一組約束列表；進(jìn)行勞動(dòng)收入建模；構(gòu)建養(yǎng)老目標(biāo)基金模型；基于算法進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重等變量求解。

（3）進(jìn)行資產(chǎn)類別內(nèi)部的基金選擇。

1.2 目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)基金

目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)基金在學(xué)術(shù)文獻(xiàn)和公眾媒體中都受到相對(duì)較少的關(guān)注，Lewis 通過(guò)研究表明，TRFs 與TDFs 之間有兩點(diǎn)重要關(guān)系：（1）等值TRFs 的股權(quán)配置等于TDFs 的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)除以股票的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)[12]；（2）等值TRFs 對(duì)股票的風(fēng)險(xiǎn)敞口等于TDFs 整個(gè)生命周期內(nèi)股票配置的平均值。

目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)基金理論研究最常出現(xiàn)三種下滑曲線：積極型、平衡型和穩(wěn)健型，這種分類也對(duì)應(yīng)著目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)基金產(chǎn)品名稱中的風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)。Elton 等人[13]比較了美國(guó)晨星公司基金家族中的基金表現(xiàn)，風(fēng)險(xiǎn)與TDFs 相匹配的目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)基金產(chǎn)生的回報(bào)比TDFs 高40 個(gè)基點(diǎn)，風(fēng)險(xiǎn)較低，夏普比率(Sharpe Ratio)也較高，因此對(duì)養(yǎng)老金計(jì)劃和個(gè)人來(lái)說(shuō)，目標(biāo)風(fēng)險(xiǎn)基金可能是目標(biāo)日期基金的合理替代方案。TDFs 和TRFs 的特點(diǎn)比較如表1所示。

表1 兩種養(yǎng)老目標(biāo)基金特點(diǎn)比較Table 1 Comparison of the characteristics of two types of pension target funds

1.3 養(yǎng)老目標(biāo)基金退休到期情況

Ibbotson 公司[14]認(rèn)為生命周期基金投資可以分為兩個(gè)階段：積累階段和退休階段。在積累階段，投資者以一定的“貢獻(xiàn)率”將其部分收入轉(zhuǎn)換為金融資本；在退休階段，個(gè)人幾乎沒有剩余的未來(lái)可折現(xiàn)人力資本，投資者以一定的“提款率”將其部分金融資本轉(zhuǎn)換為收入。

在實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)不同的到期理念，TDFs 可分為“到點(diǎn)型（To）” 和“穿點(diǎn)型（Through）”。其中“到點(diǎn)型”下滑曲線在達(dá)到目標(biāo)日期后，股債的比例達(dá)到一個(gè)較低的穩(wěn)定值，并保持不變；而“穿點(diǎn)型”下滑曲線在到達(dá)目標(biāo)日期后股債的比例并沒有達(dá)到最低而且仍舊持續(xù)調(diào)整。因此一般而言，采用“到點(diǎn)型”下滑曲線的目標(biāo)日期基金更為保守，適合在退休后不再追求高回報(bào)的投資者。

目前中國(guó)市場(chǎng)中的 “到點(diǎn)型” 基金相對(duì)較多，美國(guó)市場(chǎng)中的“穿點(diǎn)型”基金相對(duì)較多。然而，理論研究對(duì)養(yǎng)老目標(biāo)基金退休到期情況有更多的討論。O’Hara 和Daverman[15]認(rèn)為退休日期當(dāng)天是個(gè)人一生中風(fēng)險(xiǎn)最大的一天，并認(rèn)為“穿點(diǎn)型”下滑曲線是對(duì)TDFs 的根本性誤解。Mindlin[16]認(rèn)為“到點(diǎn)型”與“穿點(diǎn)型”的分類有很大缺陷，應(yīng)該完全廢除。

1.4 養(yǎng)老目標(biāo)基金評(píng)價(jià)指標(biāo)

目前的養(yǎng)老目標(biāo)基金評(píng)估主要依賴于收益和風(fēng)險(xiǎn)度量。收益指標(biāo)包括收益、余額（30年后投資組合中所剩金融資產(chǎn)）和短缺率（在養(yǎng)老目標(biāo)基金存在提款率的情況下，投資組合余額為零的頻率）等[17]。重要的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)指標(biāo)還包括夏普比率等。

Tang 和Lin[10]基于Cocco 等人[5]的模型，開創(chuàng)了結(jié)合生命周期投資理論的評(píng)價(jià)方法，引入了兩個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)：不當(dāng)風(fēng)險(xiǎn)投資組合造成的損失和不當(dāng)下滑曲線造成的損失。

2 養(yǎng)老目標(biāo)基金模型

2.1 納入消費(fèi)因素的模型

Merton[3]奠定了養(yǎng)老目標(biāo)基金模型中效用最大化理論的基礎(chǔ)，構(gòu)建了納入投資者的消費(fèi)因素的模型。模型中的決策變量有兩個(gè)：為在時(shí)刻中單位時(shí)間投資者的消費(fèi)；為在時(shí)刻的總資產(chǎn)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的投資比例。投資組合優(yōu)化模型可由下式表示：

風(fēng)險(xiǎn)厭惡是Arrow[18]和Pratt[19]提出的一個(gè)概念，學(xué)術(shù)研究中已有多種效用函數(shù)可以用于估計(jì)投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度，其中最常見的是常相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡(Coefficient of Relative Risk Aversion,CRRA)效用函數(shù)：

對(duì)上述模型進(jìn)行求解可以得到最優(yōu)消費(fèi)：

求解得到的投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的最優(yōu)權(quán)重如下：

對(duì)于TDFs 的長(zhǎng)期投資者來(lái)說(shuō)，利率不確定性是一個(gè)重要的風(fēng)險(xiǎn)。從理論的角度來(lái)看，在市場(chǎng)模型中引入隨機(jī)利率是區(qū)分現(xiàn)金和債券以及提供長(zhǎng)期投資利率風(fēng)險(xiǎn)管理的唯一方法。在Merton[3]構(gòu)建的原始模型中，利率被假設(shè)為確定性的。S?rensen[20]給出了隨機(jī)利率過(guò)程下，有限期限投資者最優(yōu)投資組合的閉式解。Brennan 和Xia[21]構(gòu)建了一個(gè)模型并給出了相應(yīng)的閉式解，求得在代表通貨膨脹的風(fēng)險(xiǎn)因素下的最優(yōu)投資組合和消費(fèi)比例。Munk 和S?rensen[22]表明，利率期限結(jié)構(gòu)的函數(shù)形式對(duì)最優(yōu)投資組合有顯著影響。利率期限結(jié)構(gòu)的一個(gè)經(jīng)典且仍廣泛使用的函數(shù)形式是Vasicek[23]模型：

其中k、μ、σ均為常數(shù)，W(t)服從標(biāo)準(zhǔn)的維納過(guò)程。另一種常見的利率期限結(jié)構(gòu)是Hull 和White[24]的雙因素模型。

2.2 納入收入因素的模型

為考慮收入因素對(duì)消費(fèi)與投資決策的影響，Bodie[4]的研究假設(shè)投資者的總資產(chǎn)由金融資本和人力資本兩部分組成，奠定了在生命周期基金模型中引入人力資本因素理論基礎(chǔ)。假設(shè)投資者在時(shí)刻總資產(chǎn)為，人力資本用表示，金融資產(chǎn)用表示，則：

固定工作制下金融資產(chǎn)中風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資比例為：

2.3 納入背景風(fēng)險(xiǎn)的模型

構(gòu)建更符合現(xiàn)實(shí)場(chǎng)景的養(yǎng)老目標(biāo)基金模型需要考慮投資者的勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)、長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)、住房風(fēng)險(xiǎn)等，這些來(lái)自金融市場(chǎng)以外的風(fēng)險(xiǎn)稱為背景風(fēng)險(xiǎn)。設(shè)為背景風(fēng)險(xiǎn)，則模型中需最大化的效用函數(shù)為：

Cocco 等人[5]的模型假定勞動(dòng)收入由持續(xù)性收入和外部沖擊構(gòu)成，持續(xù)性收入取決于投資者的年齡及其他特征，例如教育程度等。外部沖擊包括當(dāng)期社會(huì)平均收入面臨的沖擊 與個(gè)人受到的沖擊。

許多研究假設(shè)，勞動(dòng)收入符合駝峰型分布，在35 歲左右前迅速增長(zhǎng)，在45-50 歲緩慢增長(zhǎng)，此后緩慢下降[5]。然而駝峰型分布最近受到Rupert 和Zanella[25]的質(zhì)疑，他們認(rèn)為雖然勞動(dòng)收入在個(gè)人職業(yè)生涯早期迅速上升，但在退休前不會(huì)下降。此外，對(duì)于某些職業(yè)群體，勞動(dòng)收入與股權(quán)紅利相關(guān)，其常見的福利收入來(lái)源是公司股票或期權(quán)。對(duì)于此類投資者來(lái)說(shuō)，考慮人力資本內(nèi)在風(fēng)險(xiǎn)因素的模型更符合現(xiàn)實(shí)要求。因此，Benzoni 等人[26]提出了一個(gè)考慮了勞動(dòng)收入與股權(quán)紅利協(xié)同關(guān)系的模型。

以上研究只討論了人力資本對(duì)金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)因素的潛在風(fēng)險(xiǎn)敞口，這些風(fēng)險(xiǎn)可以通過(guò)子基金來(lái)對(duì)沖。然而，人力資本也可能包含長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)等其他風(fēng)險(xiǎn)因素的風(fēng)險(xiǎn)敞口，這些風(fēng)險(xiǎn)因素是子基金無(wú)法對(duì)沖的，例如投資者有成為殘疾或失業(yè)并失去勞動(dòng)收入的風(fēng)險(xiǎn)。Viceira[27]提出的動(dòng)態(tài)最優(yōu)生命周期投資組合模型就包含了這樣的勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)。這種模型的缺點(diǎn)是，求解須采用數(shù)值方法或者只能得到近似解。Munk 和S?rensen[28]在該背景下構(gòu)建了更復(fù)雜的模型，將各種形式的勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)納入模型中，并針對(duì)美國(guó)個(gè)人情況進(jìn)行了校準(zhǔn)。此外，投資者的總資產(chǎn)構(gòu)成，除了金融資本和人力資本外，一般還包括住房資產(chǎn)。養(yǎng)老目標(biāo)基金模型可以將住房風(fēng)險(xiǎn)考慮在內(nèi)[29]。養(yǎng)老目標(biāo)基金模型中的參數(shù)通常需要使用真實(shí)調(diào)研數(shù)據(jù)進(jìn)行估算，部分養(yǎng)老目標(biāo)基金模型的對(duì)比如表2所示[30]。

表2 兩個(gè)養(yǎng)老目標(biāo)基金模型的參數(shù)比較Table 2 Comparison of the parameters of two models of pension target funds

2.4 其他模型

Mindlin[31]開創(chuàng)了承諾驅(qū)動(dòng)型投資（Commitment Driven Investing,CDI）理論，旨在為具有資金承諾的機(jī)構(gòu)和個(gè)人投資者生成最優(yōu)資產(chǎn)配置，并基于CDI 理論構(gòu)建了最優(yōu)下滑曲線選擇模型。該模型包含幾個(gè)定義明確的輸入：投資目標(biāo)、資本市場(chǎng)假設(shè)、人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、財(cái)務(wù)承諾（現(xiàn)金流入和現(xiàn)金流出）以及風(fēng)險(xiǎn)度量和演變。在給定這些輸入的情況下，使用下滑曲線優(yōu)化器生成唯一的最佳下滑曲線。

Forsyth 等人[32]采用基于統(tǒng)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)的目標(biāo)函數(shù)，將模型轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)隨機(jī)控制問題，測(cè)評(píng)了幾個(gè)目標(biāo)函數(shù)，重點(diǎn)研究了條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值（CVaR）和投資組合在目標(biāo)日期余額為零的風(fēng)險(xiǎn)等度量方法。使用哈密頓-雅各比-貝爾曼方程（HJB 方程）求解該控制問題，并采用最優(yōu)控制的蒙特卡洛方法對(duì)性能指標(biāo)進(jìn)行了評(píng)估。在退休階段，基于目標(biāo)的方法（建立資產(chǎn)安全邊際）優(yōu)于直接最小化投資組合短缺率或CVaR 等風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo)的策略。

Mladina[33]提出了一種跨期資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)分配方法。Mladina 和Grant[34]基于跨期投資組合理論的基本原理，構(gòu)建了基于目標(biāo)的資產(chǎn)分配模型。模型求解結(jié)果是一個(gè)有關(guān)退休儲(chǔ)蓄、退休消費(fèi)和風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的函數(shù)，金融資產(chǎn)在整個(gè)生命周期內(nèi)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分配。

3 模型求解算法

現(xiàn)階段，養(yǎng)老目標(biāo)基金模型的求解主要有以下幾種方法：

第一種是基于鞅過(guò)程的求解方法。養(yǎng)老目標(biāo)基金模型可以看做是一類非自融資策略，養(yǎng)老金的配置是一個(gè)動(dòng)態(tài)的隨機(jī)過(guò)程，如果可以將非自融資的問題轉(zhuǎn)化為自融資的問題，則模型可以采用鞅方法求出每一個(gè)時(shí)刻的閉式解[35]。

第二種是基于隨機(jī)最優(yōu)控制理論的求解方法。養(yǎng)老目標(biāo)基金模型中有一類是隨機(jī)最優(yōu)控制問題，這一類問題的最優(yōu)解可以通過(guò)求解哈密頓-雅可比-貝爾曼方程（HJB 方程）得到[32]。目前基于常見風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)的HJB 方程[36]已經(jīng)有較好的解析解[37]。然而對(duì)于一般的風(fēng)險(xiǎn)效用函數(shù)，HJB 方程沒有解析解，可以采用數(shù)值方法求解方程。常用的數(shù)值解方法包括有限差分法和馬爾科夫鏈近似法。養(yǎng)老目標(biāo)基金模型中有一類是馬爾可夫決策過(guò)程，這一類問題的最優(yōu)解可以通過(guò)求解貝爾曼方程（Bellman Equation）得出。在該類問題中，有5 個(gè)要素，分別是個(gè)體（Agent）、狀態(tài)（State）、行為（Action）、獎(jiǎng)勵(lì)（Reward）和策略（Policy）。養(yǎng)老目標(biāo)基金模型中，不同的狀態(tài)代表不同的投資年份，行為即為養(yǎng)老目標(biāo)基金在投資年份對(duì)資產(chǎn)的投資管理，獎(jiǎng)勵(lì)代表當(dāng)年投資收益，狀態(tài)價(jià)值函數(shù)衡量了個(gè)體在當(dāng)前策略下，未來(lái)所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)的期望。時(shí)刻的狀態(tài)價(jià)值函數(shù) 與時(shí)刻的狀態(tài)價(jià)值函數(shù)的關(guān)系也被稱作貝爾曼方程。貝爾曼方程的常用求解方法有值迭代法、策略迭代法等，可由蒙特卡洛方法（Monte Carlo Methods）求解。

4 未來(lái)發(fā)展

為了保持養(yǎng)老基金投資管理期間絕對(duì)收益的穩(wěn)定性，為了約束和監(jiān)控極端風(fēng)險(xiǎn)，通常需要進(jìn)行穩(wěn)健的動(dòng)態(tài)資產(chǎn)配置和組合管理。由經(jīng)典模型中衍生出更復(fù)雜的模型是重要的研究方向之一。

此外，Balduzzi 和Reuter[38]認(rèn)為，在目標(biāo)日期基金的風(fēng)險(xiǎn)屬性與投資者的風(fēng)險(xiǎn)特征（勞動(dòng)收入風(fēng)險(xiǎn)和風(fēng)險(xiǎn)偏好）之間缺乏匹配時(shí)，可能會(huì)產(chǎn)生大量的效用成本。為了避免這一效用成本，未來(lái)的研究趨勢(shì)之一是為投資者開發(fā)個(gè)性化養(yǎng)老目標(biāo)基金模型，這要求在實(shí)際應(yīng)用中考慮更多樣的下滑曲線形態(tài)。

模型求解的計(jì)算量與模型規(guī)模和投資者賬戶量相關(guān)聯(lián)，計(jì)算時(shí)間將成為實(shí)際應(yīng)用瓶頸，對(duì)高性能計(jì)算技術(shù)的需求十分強(qiáng)烈。

4.1 更復(fù)雜的模型

典型的目標(biāo)日期基金下滑曲線是基于相對(duì)簡(jiǎn)單的風(fēng)險(xiǎn)假設(shè)求解得到的。在實(shí)際金融市場(chǎng)中，債券和股票的預(yù)期超額回報(bào)和風(fēng)險(xiǎn)以可預(yù)測(cè)的方式隨著時(shí)間的推移而變化。Campbell 和Viceira 建立了模型來(lái)描述這種風(fēng)險(xiǎn)與投資期限之間的關(guān)系，也就是風(fēng)險(xiǎn)期限結(jié)構(gòu)[39]。Yoon[40]引入了一種納入了風(fēng)險(xiǎn)期限結(jié)構(gòu)的模型來(lái)定義目標(biāo)日期基金下滑曲線，構(gòu)建了一種動(dòng)態(tài)的資產(chǎn)配置策略，該策略同時(shí)考慮了預(yù)先定義的風(fēng)險(xiǎn)預(yù)算和當(dāng)前的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。投資者的退休時(shí)間不應(yīng)是決定目標(biāo)日期基金資產(chǎn)下滑曲線的唯一變量，最好同時(shí)使用“基于年齡”和“基于風(fēng)險(xiǎn)”的策略。

Cosares[41]考慮到投資者對(duì)預(yù)期投資收益目標(biāo)和目標(biāo)日期資產(chǎn)損失風(fēng)險(xiǎn)目標(biāo)的不同偏好，構(gòu)建了一種包括“下滑曲線強(qiáng)度”參數(shù)的模型，該參數(shù)允許投資者選擇與風(fēng)險(xiǎn)最小化目標(biāo)的偏離程度。該模型用于生成一系列下滑曲線，傾向于生成投資區(qū)間內(nèi)每年的風(fēng)險(xiǎn)收益水平相同的策略（即“直線”策略），該策略進(jìn)一步降低了達(dá)到目標(biāo)的失敗概率，為投資者提供了以其他方式無(wú)法獲得的透明度。對(duì)于給定的基金列表，提供了一種方法：投資者可以使用模型的參數(shù)(即目標(biāo)、繳費(fèi)時(shí)間表、下滑曲線強(qiáng)度等)來(lái)評(píng)估與其目標(biāo)基金當(dāng)前資產(chǎn)配置相關(guān)的下滑曲線。

Butt 等[42]和Dahlquist 等[43]使模型構(gòu)建所依據(jù)的CRRA 效用函數(shù)假設(shè)與投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡保持一致，并認(rèn)為應(yīng)該為不同風(fēng)險(xiǎn)厭惡的投資者提供一系列生命周期策略，而不是向所有投資者提供單一默認(rèn)產(chǎn)品。Khemka[44]的研究同樣證明了風(fēng)險(xiǎn)厭惡假設(shè)的重要性，并表明根據(jù)余額和年齡的動(dòng)態(tài)調(diào)整策略可以對(duì)養(yǎng)老目標(biāo)基金產(chǎn)品進(jìn)行適度改進(jìn)。在模型設(shè)定中將工資收入水平作為參照依賴效用函數(shù)的重要輸入，最終得到最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重函數(shù)。參照依賴效用函數(shù)的特征與冪效用函數(shù)不同[45]。例如，該效用函數(shù)通?？梢陨蒛 形風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)權(quán)重以增強(qiáng)動(dòng)態(tài)資產(chǎn)組合的優(yōu)勢(shì)。

4.2 更多的下滑曲線形態(tài)

養(yǎng)老目標(biāo)基金的投資期很長(zhǎng)，通常為20-40年，傳統(tǒng)的投資理論建議，TDFs 的下滑曲線中股權(quán)配置的比例應(yīng)為百分之100 減去投資者年齡的數(shù)值[46]。例如，30 歲的投資者應(yīng)該持有70%的股票，70 歲的投資者應(yīng)該持有30%的股票。這是因?yàn)閭鹘y(tǒng)觀點(diǎn)認(rèn)為，隨著投資者退休日期的接近，投資組合應(yīng)該變得更加保守，養(yǎng)老目標(biāo)基金投資組合中股票比例越低。然而，近期的理論和實(shí)證文獻(xiàn)對(duì)此類下滑曲線方法的有效性提出了質(zhì)疑。

Arnott 等人[47]證明遞減下滑曲線方法無(wú)法在實(shí)現(xiàn)最大化投資收益的同時(shí)，最大程度地減少預(yù)期收益的不確定性。在債券收益率跌至接近創(chuàng)紀(jì)錄低點(diǎn)的情況下，如果將下滑曲線恢復(fù)到歷史狀態(tài)，使投資者承擔(dān)來(lái)自股票的風(fēng)險(xiǎn)，可以在不犧牲收益的情況下控制持續(xù)期風(fēng)險(xiǎn)和貝塔系數(shù)。

有研究提出了反向下滑曲線。Schleef[48]將典型的遞減下滑曲線（隨著時(shí)間的推移減少股票配置）與相應(yīng)的反向下滑曲線（隨著時(shí)間的推移增加股票配置）進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)反向下滑曲線達(dá)到余額目標(biāo)的失敗概率較小。

研究表明，初始市場(chǎng)環(huán)境對(duì)最優(yōu)下滑曲線形狀有較大影響。Blanchett[49]介紹了一種模型，該模型結(jié)合了不同水平的初始債券收益率和股票市場(chǎng)估值。使用蒙特卡洛方法模擬，發(fā)現(xiàn)遞增下滑曲線在較高收益率環(huán)境中表現(xiàn)最佳，而遞減下滑曲線在較低收益率環(huán)境中表現(xiàn)較好。使用基于長(zhǎng)期歷史收益率平均值來(lái)代表收益率的模型，更有可能導(dǎo)致未來(lái)更高的短缺率。

下滑曲線的研究趨勢(shì)是將從傳統(tǒng)的遞減下滑曲線轉(zhuǎn)變到基于不同的市場(chǎng)環(huán)境確定的差異性曲線形態(tài)；從事先決定的靜態(tài)曲線轉(zhuǎn)變到動(dòng)態(tài)調(diào)整的下滑曲線；從統(tǒng)一的下滑曲線到針對(duì)投資者生命周期場(chǎng)景進(jìn)行個(gè)性化定制的下滑曲線。

4.3 高性能計(jì)算的應(yīng)用

高性能計(jì)算在養(yǎng)老目標(biāo)基金中的應(yīng)用可分為兩類，一類是求解大規(guī)模模型時(shí)針對(duì)模型與算法進(jìn)行并行化分解，另一類是對(duì)基于大規(guī)模復(fù)雜場(chǎng)景組合的模型進(jìn)行并行化求解。

養(yǎng)老目標(biāo)基金中，不確定參數(shù)規(guī)模較小的模型初始最優(yōu)解之間相差很大，而參數(shù)規(guī)模較大的模型初始最優(yōu)解是穩(wěn)定的。如Gondzio 和Kouwenberg[50]構(gòu)建的資產(chǎn)負(fù)債管理問題，相應(yīng)的隨機(jī)線性規(guī)劃有12,469,250 個(gè)約束和24,938,502 個(gè)變量。該模型的等價(jià)問題由63,552,952 個(gè)非零元素組成，直接加載到線性規(guī)劃求解器中將大約需要14GB 的工作空間。將大規(guī)模問題分解為多個(gè)子問題，并使用高性能技術(shù)對(duì)多個(gè)子問題進(jìn)行并行求解，可以進(jìn)行高效的內(nèi)存管理。此外，大規(guī)模蒙特卡洛算法以及HJB 方程求解算法的并行化也是未來(lái)的發(fā)展方向。

在個(gè)性化產(chǎn)品設(shè)計(jì)過(guò)程中，針對(duì)投資者生命周期場(chǎng)景以及市場(chǎng)環(huán)境的假設(shè)有多個(gè)維度。Blanchett[51]在研究中使用八組不同的假設(shè)用于分析：（1）初始提款率；（2）股票分配；（3）社會(huì)保障覆蓋的退休收入總額的百分比；（4）名義回報(bào)；（5）通貨膨脹；（6）預(yù)期壽命；（7） 短缺風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避；（8）遺贈(zèng)偏好。每個(gè)假設(shè)有三個(gè)可能的值：低、中或高，共有6,561 個(gè)場(chǎng)景。這啟發(fā)我們，針對(duì)個(gè)性化下滑曲線設(shè)計(jì)過(guò)程中產(chǎn)生的基于大規(guī)模復(fù)雜場(chǎng)景的模型，串行求解將耗費(fèi)大量時(shí)間，可以應(yīng)用高性能計(jì)算來(lái)對(duì)模型求解過(guò)程進(jìn)行加速。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文主要介紹了養(yǎng)老目標(biāo)基金的基本特點(diǎn)、構(gòu)建相關(guān)模型的主要目標(biāo)與研究路線，并詳細(xì)闡述了養(yǎng)老目標(biāo)基金模型與求解算法的相關(guān)研究成果。

目前中國(guó)的養(yǎng)老目標(biāo)基金實(shí)踐處于起步階段，基于中國(guó)市場(chǎng)環(huán)境參數(shù)與交易數(shù)據(jù)的產(chǎn)品業(yè)績(jī)與量化實(shí)證均較少，針對(duì)中國(guó)市場(chǎng)的養(yǎng)老目標(biāo)基金理論研究有廣闊空間。為推進(jìn)我國(guó)多支柱養(yǎng)老資產(chǎn)管理體系的建立進(jìn)程，未來(lái)的研究可以從以下幾個(gè)方面開展：

（1）構(gòu)建具有中國(guó)特色且符合政策要求的穩(wěn)健養(yǎng)老目標(biāo)基金模型，例如可考慮將房地產(chǎn)信托投資基金（REITs）作為投資標(biāo)的之一，使用中國(guó)國(guó)民勞動(dòng)與消費(fèi)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，構(gòu)建充分考慮背景風(fēng)險(xiǎn)等細(xì)粒度風(fēng)險(xiǎn)的模型等。

（2）針對(duì)構(gòu)建的養(yǎng)老目標(biāo)基金模型，設(shè)計(jì)滿足交易需求的高效求解算法；基于高性能計(jì)算環(huán)境實(shí)現(xiàn)算法并行化，提高求解速度。

利益沖突聲明

所有作者聲明不存在利益沖突關(guān)系。