高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子及其圖像增強(qiáng)應(yīng)用

王相海 張文雅 邢俊宇 呂 芳 穆振華

1（遼寧師范大學(xué)地理科學(xué)學(xué)院 遼寧大連 116029）

2（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 遼寧大連 116029）

盡管分?jǐn)?shù)階微積分與整數(shù)階微積分幾乎同時(shí)期出現(xiàn)，但分?jǐn)?shù)階微積分不像整數(shù)階微積分一般具有較直觀的幾何含義和物理意義，這樣在發(fā)展初期，分?jǐn)?shù)階微積分由于缺少物理和工程等背景學(xué)科的支持，幾乎很少受到工程領(lǐng)域界的關(guān)注[1-2].隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分及分?jǐn)?shù)階微分方程研究的不斷深入，特別是當(dāng)物理及工程領(lǐng)域中遇到的一些實(shí)際問(wèn)題難以通過(guò)整數(shù)階微積分和整數(shù)階微分方程準(zhǔn)確地反映其復(fù)雜特性時(shí)，而分?jǐn)?shù)階微積分具有的諸如記憶性和非局部性等特性可為相應(yīng)問(wèn)題的解決奠定很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[3-4]，分?jǐn)?shù)階微積分被物理、工程、金融經(jīng)濟(jì)和生物學(xué)等諸多領(lǐng)域重視并得以應(yīng)用[5-7].近年來(lái)對(duì)于圖像處理領(lǐng)域，得益于分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)圖像邊緣、紋理信息的獨(dú)特應(yīng)用，即分?jǐn)?shù)階微分可在有效提高圖像高頻信息的同時(shí)，非線(xiàn)性地保留圖像的低頻信息；而分?jǐn)?shù)階積分則可在有效提高圖像低頻信息的同時(shí)非線(xiàn)性地保留圖像的高頻信息[8]，使得分?jǐn)?shù)階微積分被應(yīng)用于諸如圖像增強(qiáng)、圖像去噪、圖像配準(zhǔn)和圖像識(shí)別等重要領(lǐng)域，取得了很好的處理效果[9-10].

分?jǐn)?shù)階微積分問(wèn)題的討論最早可追溯到Newton和Leibniz 創(chuàng)立的微積分時(shí)代，但直到19 世紀(jì)末其理論體系才被建立并逐漸發(fā)展，直到20 世紀(jì)后期分?jǐn)?shù)階微積分的應(yīng)用性研究才得以快速發(fā)展.不同于傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分的定義通常會(huì)依據(jù)所研究問(wèn)題的角度而給出不同的表現(xiàn)形式，目前比較經(jīng)典的3 種定義形式[11-12]有：G-L（Grünwald-Letnikov）型、R-L（Riemann-Liouville）型和Caputo 型定義.其中，G-L 型分?jǐn)?shù)階微積分通過(guò)對(duì)整數(shù)階微積分差分近似公式的極限來(lái)定義，該種類(lèi)型的分?jǐn)?shù)階微積分將“微分”和“積分”統(tǒng)一為一種表達(dá)方式，通過(guò)階數(shù)參數(shù)的正、負(fù)取值來(lái)分別表示函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分和分?jǐn)?shù)階積分，并且具有計(jì)算的實(shí)值性、連續(xù)性和線(xiàn)性等特性，同時(shí)可通過(guò)卷積運(yùn)算來(lái)完成其數(shù)值計(jì)算；R-L 型分?jǐn)?shù)階微積分在一定意義上可以看成是對(duì)G-L 型分?jǐn)?shù)階微積分的改進(jìn)和擴(kuò)充，該類(lèi)型分?jǐn)?shù)階微積分以變限積分形式給出，這樣可通過(guò)分部積分公式和Taylor展開(kāi)對(duì)其進(jìn)行級(jí)數(shù)表示，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，特別對(duì)于確定一些簡(jiǎn)單函數(shù)分?jǐn)?shù)的解析解具有較大優(yōu)勢(shì)；Caputo 型分?jǐn)?shù)階微積分也可以看成是G-L 型分?jǐn)?shù)階微積分的改進(jìn)，其表現(xiàn)形式也是一種變限積分形式，但不同的是R-L 型分?jǐn)?shù)階微積分是先積分再微分，而Caputo 型分?jǐn)?shù)階微積分是先微分再積分，避免了R-L 型的超奇異特性，同時(shí)Caputo 定義方便解決分?jǐn)?shù)階微分方程的初邊值問(wèn)題，從而為工程領(lǐng)域分?jǐn)?shù)階微積分的有效應(yīng)用奠定了基礎(chǔ).盡管3 種分?jǐn)?shù)階微積分的定義從不同角度各有側(cè)重，但其在一定條件下具有等價(jià)性，具體理論分析可參見(jiàn)文獻(xiàn)[11].

圖像增強(qiáng)的目的是有選擇地突出圖像中的重要特征，同時(shí)衰減和抑制圖像中不需要的噪聲，改善圖像質(zhì)量，為進(jìn)一步的圖像分析和理解奠定基礎(chǔ)，圖像增強(qiáng)作為圖像處理的一個(gè)重要分支一直受到重視[13-14].在圖像增強(qiáng)過(guò)程中，圖像的紋理、邊緣等有用特征一般都需要保護(hù)和增強(qiáng)，而污染的噪聲則需要去除.近年來(lái)隨著基于分?jǐn)?shù)階微積分圖像處理研究的不斷深入，越來(lái)越多的基于分?jǐn)?shù)階微分的圖像增強(qiáng)方法被提出[15-16].目前基于分?jǐn)?shù)階微積分的圖像增強(qiáng)方法總體包括變換域方法和空間域方法2 大類(lèi).變換域方法利用諸如分?jǐn)?shù)Fourier 變換和分?jǐn)?shù)Wavelet 變換等分?jǐn)?shù)變換[17-18]將圖像變換到分?jǐn)?shù)頻率域，依據(jù)各分?jǐn)?shù)變換的特性對(duì)頻率域系數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)以達(dá)到圖像增強(qiáng)的目的[19-21].由于分?jǐn)?shù)變換具有較強(qiáng)的處理非平穩(wěn)信號(hào)的能力，該類(lèi)方法通常能很好地提高圖像的對(duì)比度并獲得理想的紋理效果，該類(lèi)方法的不足在于在對(duì)圖像進(jìn)行變換處理的過(guò)程中通常會(huì)有少量噪聲被引入.基于空間域的方法是直接對(duì)圖像的像素實(shí)施分?jǐn)?shù)階微分操作以實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)[22-25]，在實(shí)現(xiàn)圖像增強(qiáng)的同時(shí)避免了噪聲的引入，同時(shí)具有較快的計(jì)算速度.在該類(lèi)方法中，分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的設(shè)計(jì)顯得尤為重要[22,26-28].然而，由于分?jǐn)?shù)階微積分圖像處理的研究相對(duì)較晚，再加上分?jǐn)?shù)階微積分目前還缺少一個(gè)統(tǒng)一的定義形式，而不同定義形式的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子研究進(jìn)展不平衡且表現(xiàn)出一定的差異性，比如目前相對(duì)于G-L 型和R-L 型定義形式，基于Caputo型定義形式的微分掩模算子相對(duì)較少，而G-L 型和RL 型形式的分?jǐn)?shù)階微分盡管對(duì)圖像紋理細(xì)節(jié)具有較好的增強(qiáng)效果，但對(duì)圖像對(duì)比度的提升較少[29].這樣對(duì)適應(yīng)不同定義形式分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的研究就顯得更為有意義，同時(shí)也為實(shí)際應(yīng)用所需要.

本文對(duì)高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子進(jìn)行研究，給出了一種基于向前差分的(1,2)階、(2,3)階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的表現(xiàn)形式，并進(jìn)行了誤差證明，同時(shí)對(duì)更高階Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子的一般形式進(jìn)行了分析和討論；在此基礎(chǔ)上將本文所提出的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子應(yīng)用于圖像增強(qiáng)處理中，針對(duì)不同階次、不同大小模板掩模算子進(jìn)行了圖像增強(qiáng)實(shí)驗(yàn).研究結(jié)果表明，高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)于提升圖像增強(qiáng)處理的整體質(zhì)量具有很好的效果，特別對(duì)于提升圖像的對(duì)比度、清晰度和平均梯度具有較為明顯的優(yōu)勢(shì).

1 相關(guān)工作

1.1 Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分定義及其工程應(yīng)用分析

在3 種經(jīng)典的分?jǐn)?shù)階微積分定義形式中，由意大利物理學(xué)家Caputo 提出的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微積分定義是距今最新的一種，其定義形式為[11,30]：

設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(a,b)上，n為整數(shù)，v為(n?1,n)間的分?jǐn)?shù)，定義f(x)的Caputo 型v階導(dǎo)數(shù)為式（1）

這里Γ(·)是Euler Gamma 函數(shù).

Caputo 型導(dǎo)數(shù)又可分為左側(cè)Caputo 型導(dǎo)數(shù)和右側(cè)Caputo 型導(dǎo)數(shù)，具體形式分別如式（2）和式（3）所示：

定義f(x)的Caputo 型v階積分為[11,31]

如果G-L 型和R-L 型表現(xiàn)形式在分?jǐn)?shù)階微積分理論和純數(shù)學(xué)應(yīng)用方面發(fā)揮著重要作用，Caputo 型表現(xiàn)形式則在現(xiàn)代工程應(yīng)用方面更加實(shí)用，其中的一個(gè)主要原因是由于在實(shí)際工程應(yīng)用中所構(gòu)建的分?jǐn)?shù)階微分系統(tǒng)通常要求利用物理上可解釋的初始條件，比如f(a) ，f′(a)等，而這一點(diǎn)只有Caputo 型表現(xiàn)形式可以做到，具體原因?yàn)椋?/p>

假設(shè)0≤n?1a，函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,T]內(nèi)有n+1階連續(xù)有界的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)式（1），由分部積分公式有

可以看出，Caputo 型微分定義不僅能像G-L 型和R-L型那樣提供整數(shù)階導(dǎo)數(shù)之間的插值，同時(shí)包含Caputo導(dǎo)數(shù)的分?jǐn)?shù)階微分方程的初始條件，呈現(xiàn)出與整數(shù)階微分方程相同的形式，而函數(shù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的物理意義是清晰和明確的，這一點(diǎn)對(duì)于工程應(yīng)用領(lǐng)域中選擇適當(dāng)?shù)腖aplace 變換公式求解實(shí)際問(wèn)題中的分?jǐn)?shù)階微分方程十分重要.

1.2 分?jǐn)?shù)階微分掩模算子分析

隨著分?jǐn)?shù)階微積分算子研究的不斷深入，人們對(duì)相應(yīng)掩模算子進(jìn)行了積極的研究，其中Tiansi 算子作為一種經(jīng)典的G-L 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子較早被提出[32-33]，該算子依托一元信號(hào)f(t)（持續(xù)期為[a,t]）的G-L 型v階微分的差分形式（按間隔為1 進(jìn)行持續(xù)時(shí)間等分）[34]：

進(jìn)一步，對(duì)二維圖像信號(hào)，分別以圖像的長(zhǎng)和寬區(qū)間作為x和y方向信號(hào)的持續(xù)期，選取各自方向信號(hào)按式（4）分解的前3 項(xiàng)，采取5×5的分?jǐn)?shù)階掩模構(gòu)造了如圖1 所示的8 方向的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子-Tiansi 算子，并將其應(yīng)用于圖像的邊緣提取，取得了較好的效果.由于Tiansi 算子本身是對(duì)分?jǐn)?shù)階微分的近似表示，這樣便為構(gòu)造更加精準(zhǔn)的微分掩模算子提供了進(jìn)一步改進(jìn)的空間，比如文獻(xiàn)[35]將8 方向的Tiansi 掩模算子分解為8 個(gè)具有獨(dú)立方向的3×3小模板，對(duì)于每一個(gè)像素可獲得按照這8 個(gè)模板的加權(quán)平均值，通過(guò)對(duì)這8 個(gè)值進(jìn)行分組處理獲得增強(qiáng)幅值的3 種方法，文獻(xiàn)[35]方法被用于巖石節(jié)理縫隙圖像的紋理信息增強(qiáng)取得了較好的效果.

Fig.1 G-L fractional order differential Tiansi operator圖1 G-L 型分?jǐn)?shù)階微分Tiansi 算子

進(jìn)一步，文獻(xiàn)[36]從G-L 型和R-L 型分?jǐn)?shù)階微分定義的去極限和去積分等近似表示入手，從便于計(jì)算和提高精度的角度給出了2 種類(lèi)型分?jǐn)?shù)階微分的不同近似表現(xiàn)形式，針對(duì)各種近似表現(xiàn)形式的系數(shù)構(gòu)建了一類(lèi)分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，該類(lèi)掩模算子共包括6 種形式，每種形式給出了負(fù)x軸方向、負(fù)y軸方向、正x軸方向、正y軸方向、左下對(duì)角線(xiàn)、右上對(duì)角線(xiàn)、左上對(duì)角線(xiàn)和右下對(duì)角線(xiàn)8 個(gè)方向的分?jǐn)?shù)微分掩模，取得了較傳統(tǒng)整數(shù)階微分算子更好地處理紋理信息等精細(xì)結(jié)構(gòu)的能力.該類(lèi)掩模算子在受到重視的同時(shí)，人們也在對(duì)其不斷地完善和改進(jìn)，比如文獻(xiàn)[37]針對(duì)其沒(méi)有考慮分?jǐn)?shù)階的優(yōu)化問(wèn)題提出一種無(wú)監(jiān)督優(yōu)化算法用于分?jǐn)?shù)階參數(shù)的選擇，并將改進(jìn)后的掩模算子應(yīng)用于圖像增強(qiáng)[38].此外，Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子的數(shù)值計(jì)算和掩模算子也受到重視，文獻(xiàn)[29]從一維信號(hào)的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分定義出發(fā)，按照前向差分格式確定其差分近似表達(dá)式，并通過(guò)將表達(dá)式轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單的加法、乘法運(yùn)算將其視為信號(hào)與系數(shù)函數(shù)的卷積，獲得卷積模板系數(shù)；進(jìn)一步將此過(guò)程推廣到二維圖像獲得8 個(gè)方向的卷積模板系數(shù)；最后通過(guò)將8 個(gè)方向的模板系數(shù)進(jìn)行合并形成最終的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子.文獻(xiàn)[39]針對(duì)左側(cè)Caputo 型導(dǎo)數(shù)進(jìn)行了數(shù)值化研究，通過(guò)基于分段兩次插值逼近實(shí)現(xiàn)了一種L1-2 離散方案；而文獻(xiàn)[40]則對(duì)右側(cè)Caputo 型導(dǎo)數(shù)的數(shù)值化進(jìn)行了研究，通過(guò)對(duì)右側(cè)α(0<α<1)階Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行L2-1 離散，獲得了逼近格式，這些結(jié)果為進(jìn)一步構(gòu)造高效的掩模算子奠定了基礎(chǔ).

近年來(lái)，人們?cè)诓粩嗤诰蛴行У姆謹(jǐn)?shù)階微分掩模算子，將其應(yīng)用于不同的圖像處理領(lǐng)域.比如，文獻(xiàn)[41]從G-L 型分?jǐn)?shù)階微積分定義出發(fā)，依據(jù)式（2）的近似表示系數(shù)和圖像像素間的局部相關(guān)性構(gòu)建了8 方向的3×3 掩模，并將其求和，形成最終的3×3 掩模算子，該算子被用于腦部醫(yī)學(xué)核磁共振（magnetic resonance imaging,MRI）圖像的增強(qiáng)；文獻(xiàn)[42]基于R-L 型分?jǐn)?shù)階微積分的卷積表示系數(shù)，構(gòu)建了一種具有自適應(yīng)分?jǐn)?shù)階優(yōu)化的R-L 型微分掩模算子，并將其應(yīng)用于尺度不變特征變換（scale-invariant feature transform,SIFT）算法；文獻(xiàn)[43]依據(jù)R-L 型分?jǐn)?shù)階微積分的2階后向差分表示方案對(duì)傳統(tǒng)的8 方向微分掩模算子進(jìn)行了改進(jìn)并將其應(yīng)用于指紋圖像增強(qiáng)；文獻(xiàn)[44]對(duì)Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分提出一種基于Lagrange 差值的近似方案，給出了其局部截?cái)嗾`差分析，并將其應(yīng)用于一類(lèi)拓展的邊值方法來(lái)求解問(wèn)題.

1.3 (0,1)區(qū)間分?jǐn)?shù)階微分掩模算子分析

對(duì)于Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分定義（參見(jiàn)式（1）），對(duì)于階數(shù)v∈(0,1)，此時(shí)定義式中的n=1；不失一般性，選取a=0，即f(x)的定義域區(qū)間為[0,x]，將[0,x]進(jìn)行N等分（每個(gè)等分大小為?x=x/N），并令xk=k?x=kx/N，則按照前向差分格式獲得相應(yīng)的一維信號(hào)(0,1)區(qū)間Caputo 分?jǐn)?shù)階微分的差分格式（此時(shí)可設(shè)h=?x=1）[29]：

其中

進(jìn)一步，對(duì)二維圖像f(x,y)分別沿x，y方向進(jìn)行微分的近似差分近似表示，其中沿x，y方向定義域區(qū)間的間隔步長(zhǎng) ?x和 ?y均選為1，獲得f(x,y) 沿x，y方向(0,1)區(qū)間Caputo 型分?jǐn)?shù)階偏微分的差分格式，其表示如式（7）:

為了使掩模算子在圖像處理中具有抗旋轉(zhuǎn)性，與上述x，y正方向的分解系數(shù)相似，獲取0°，45°，90°，135°，180°，225°，270°，315°，共8 個(gè)方向的偏導(dǎo)數(shù)分解系數(shù)，并據(jù)此構(gòu)建如圖2 所示的5×5 Caputo 型微分掩模算子.

Fig.2 Caputo fractional order differential mask operator with order in (0,1)圖2 (0,1)區(qū)間Caputo 分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

2 分?jǐn)?shù)階微積分算子階數(shù)對(duì)信號(hào)的影響

對(duì)于平方可積的能量函數(shù)f(x)∈L2(R)，其Fourier變換為

對(duì)f(x)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階v(v∈R+)微分[45]:

進(jìn)一步，由Fourier 變換特性可得

為了進(jìn)一步分析分?jǐn)?shù)階微積分中階數(shù)的大小對(duì)信號(hào)分析的影響，圖3 和圖4分別依據(jù)對(duì)v∈(0,3)的分?jǐn)?shù)階微分算子和v∈(?3,0)的分?jǐn)?shù)階積分算子的幅頻特征曲線(xiàn)進(jìn)行了繪制，其中橫軸代表頻率 ω，縱軸代表幅值

Fig.3 Amplitude frequency characteristic curves of fractional order differential圖3 分?jǐn)?shù)階微分的幅頻特征曲線(xiàn)

Fig.4 Amplitude frequency characteristic curves of fractional order integral圖4 分?jǐn)?shù)階積分的幅頻特征曲線(xiàn)

由圖3 可以看出，對(duì)于信號(hào)的高頻部分（ω>1），分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)信號(hào)具有增強(qiáng)作用，且隨著階數(shù)的提高，幅值在一定程度上也隨之增加，比如屬于(1,2)和(2,3)區(qū)間階的分?jǐn)?shù)階微分算子的高頻幅值明顯高于(0,1)區(qū)間階的分?jǐn)?shù)微分算子的高頻幅值;同時(shí)對(duì)于信號(hào)的低頻部分（ω<1），分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)信號(hào)具有一定的非線(xiàn)性削減作用，且隨著階數(shù)的提高，削減的幅度在一定程度上得以減少，比如屬于(2,3)和(1,2)區(qū)間階的分?jǐn)?shù)階微分算子的低頻幅值要低于(0,1)區(qū)間階的分?jǐn)?shù)階微分算子的低頻幅值.這樣基于高階次的分?jǐn)?shù)階微分算子較低階次的分?jǐn)?shù)階微分算子在圖像處理過(guò)程中總體上具有可更加有效地對(duì)高頻信息進(jìn)行區(qū)分和對(duì)低頻信息進(jìn)行保護(hù)的特性，從而為提高諸如在圖像增強(qiáng)、圖像分割和圖像識(shí)別等圖像處理的質(zhì)量奠定了基礎(chǔ).

同理由圖4 的分?jǐn)?shù)階積分算子的幅頻特征曲線(xiàn)也可獲得相應(yīng)的結(jié)論.該算子對(duì)于信號(hào)低頻信息的敏感程度遠(yuǎn)大于分?jǐn)?shù)階微分算子信號(hào)低頻信息的敏感程度，同時(shí)可以非線(xiàn)性地對(duì)高頻信號(hào)進(jìn)行精細(xì)化處理，從而為諸如圖像去噪等圖像處理應(yīng)用提供了有效工具.

3 高階次Caputo 分?jǐn)?shù)階微分算子研究

3.1 (1,2)區(qū)間階 Caputo 分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

對(duì)于階數(shù)v∈(1,2)的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分，其定義為

將f(x)的定義域區(qū)間[0,x]進(jìn)行N等分，令h=x/N，記xk=kh，其中k∈{0,1,···,N}，0=x0

進(jìn)一步通過(guò)(xN?ξ)進(jìn)行換元可得

由向前差分格式可得

對(duì)于圖像信號(hào)，相鄰像素之間的間距為1，故可令微分步長(zhǎng)h=1，從而有n=[x/h]h=1=[x]，xk=kh=k，此時(shí)式（12）變換為

其中

引理1.設(shè)函數(shù)f(x)∈C2[0,x]，將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=kh，0 ≤k≤n，0=x0

其中

證明.對(duì)區(qū)間[xk?1,xk]?[0,x] 及ξ ∈[xk?1,xk]，對(duì)f(xn?ξ)進(jìn)行線(xiàn)性插值，有

進(jìn)而有

可以看出，一階向前差分格式可以看成對(duì)應(yīng)端點(diǎn)線(xiàn)性插值的一階導(dǎo)數(shù).

進(jìn)一步，有

由分部積分法可得

其中

而由插值余項(xiàng)定理可得

定理1.設(shè)函數(shù)f(x)∈C3[0,x]，將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=kh，0 ≤k≤n，0=x0

證明.令g(x)=f′(x)，α=v?1，則有α ∈(0,1)，g(x)∈C2[0,x].

由階數(shù)在(1,2)區(qū)間的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分的定義（參見(jiàn)式（11））可得

由引理有：

對(duì)二維圖像按對(duì)其x和y方向進(jìn)行分離，可分別獲得沿著這2 個(gè)方向的式（13）的離散格式，進(jìn)一步可利用其前3 項(xiàng)分解系數(shù)構(gòu)造如圖5 所示的(1,2)區(qū)間階5×5 Caputo 型微分掩模算子.

Fig.5 Caputo fractional order differential mask operator with order in (1,2)圖5 (1,2)區(qū)間Caputo 分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

3.2 (2,3)區(qū)間階Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子

對(duì)于階數(shù)v∈(3,4)區(qū)間的分?jǐn)?shù)階微分，根據(jù)定義有：

將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=k h，0 ≤k≤n，即0=x0

由向前差分格式可得

考慮圖像處理情況中行或列相鄰像素之間單位間距為1，這樣離散過(guò)程中可選取h=1，從而有xk=kh=k(0 ≤k≤n).此時(shí)，式（19）可化簡(jiǎn)為式（20）.由此我們得到階數(shù)在（2,3）區(qū)間的Caputo 分?jǐn)?shù)階微分的離散形式為式（21）.

其中

定理2.設(shè)函數(shù)f(x)∈C4[0,x]，將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=kh，0 ≤k≤n，0=x0

其中

證 明.令φ(x)=f′′(x)，β=v?2，則 有β ∈(0,1)，φ(x)∈C2[0,x].

由階數(shù)在（3,4）區(qū)間的Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分的定義（參見(jiàn)式（15））可得

由引理有

同理對(duì)二維圖像，可按對(duì)其x和y方向進(jìn)行分離，分別獲得沿著這2 個(gè)方向的離散格式.在此基礎(chǔ)上可構(gòu)造如下的（2,3）區(qū)間階Caputo 型微分掩模算子：

1）3×3 型掩模算子

取式（17）的前2 項(xiàng)分解系數(shù)，即f(x) 和f(x?1)項(xiàng)的系數(shù)，按照如圖6 所示的形式構(gòu)造（2,3）區(qū)間階Caputo 微分的3×3 型掩模算子.

Fig.6 Caputo fractional order differential 3×3-type mask operator with order in (2,3)圖6 （2,3）階Caputo 分?jǐn)?shù)階微分3×3型掩模算子

2）5×5 型掩模算子

取式（17）的前3 項(xiàng)分解系數(shù)，即f(x) ，f(x?1)，f(x?2)項(xiàng)的系數(shù)，按照如圖7 所示的形式構(gòu)造（2,3）區(qū)間階Caputo 微分的5×5 型掩模算子，其中

Fig.7 Caputo fractional order differential 5×5-type mask operator with order in (2,3)圖7 （2,3）階Caputo 分?jǐn)?shù)階微分5×5 型掩模算子

事實(shí)上對(duì)于式（20）的（2,3）區(qū)間的Caputo 分?jǐn)?shù)階微分的離散形式，理論上可以依據(jù)其n+1 系數(shù)（參見(jiàn)式（18））構(gòu)造其(n+1)×(n+1)型的分?jǐn)?shù)階微分掩模算子，但實(shí)際圖像處理應(yīng)用中由于圖像所具有的局部相關(guān)性，該掩模算子一般不宜過(guò)大.

3.3 關(guān)于更高階Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子的討論

對(duì)于v階（0

將區(qū)間[0,x]進(jìn)行n等分，令h=x/n，xk=kh,0 ≤k≤n，0=x0

進(jìn)一步按照向前差分格式可得

其中

實(shí)際應(yīng)用中可令h=1，n=[x/h]h=1=[x]，則有

由此便可根據(jù)m來(lái)確定其分?jǐn)?shù)階微分算子.然而，式（25）的表現(xiàn)形式還是很復(fù)雜，從而給具體應(yīng)用帶來(lái)困難.本文對(duì)其做進(jìn)一步的簡(jiǎn)化，給出基于矩陣化的表現(xiàn)形式.為此令

其中Qk為關(guān)于參數(shù)k的m+2維行向量，Cm為關(guān)于參數(shù)m的m+2維列向量，即有

簡(jiǎn)化 式（26）的 計(jì)算 中，對(duì)Qk中k?(m?i)<0或k?(m?i)>n(i=1,2,···,m?1,m)的情況，令(k?(m?i))m?v=0.

4 Caputo 分?jǐn)?shù)階微分算子的圖像增強(qiáng)應(yīng)用

分?jǐn)?shù)階微分可以增強(qiáng)圖像高頻部分的幅值并同時(shí)非線(xiàn)性保留低頻信息，因此分?jǐn)?shù)階微分算子常被應(yīng)用于圖像增強(qiáng).具體通過(guò)將掩模算子與像素點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的區(qū)域依次進(jìn)行卷積操作實(shí)現(xiàn)圖像的空間濾波.

4.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)及實(shí)驗(yàn)圖像

本文實(shí)驗(yàn)中對(duì)圖像增強(qiáng)質(zhì)量采用主、客觀評(píng)價(jià)方式評(píng)判，其中客觀評(píng)價(jià)采用了平均梯度、信息熵、清晰度和對(duì)比度4 種指標(biāo).具體計(jì)算方法為：

設(shè)圖像I的大小為M×N，I(i,j)為圖像中(i,j)位置處像素的灰度值，其中i=0,1,···,M?1；j=0,1,···,N?1.

2）信息熵（S）

S反映圖像中的紋理豐富程度，圖像越平滑信息熵越小；紋理越豐富信息熵越大.其定義為

其中Pi j是模板內(nèi)具有與I(i,j)相同灰度值的概率.

3）清晰度（D）

D反映圖像的局部信息及邊界的清晰程度，圖像中邊緣輪廓越模糊，清晰度越低，而邊緣輪廓越清晰，清晰度則越高，其定義為

其中Ix(i,j) 和Iy(i,j)分別表示圖像I在x和y方向上的導(dǎo)數(shù).

4）對(duì)比度（C）

C表示圖像從黑到白的漸變層次，對(duì)比度越大圖像的漸變層次越多，色調(diào)越豐富.其計(jì)算公式為

其中δ(i,j)=|i?j|表示相鄰像素間灰度值的差值，Pδ(i,j)表示相鄰像素灰度值差值為δ(i,j)的分布概率.實(shí)驗(yàn)圖像選擇了如圖8 所示的3 幅灰度圖像.

Fig.8 Experimental images圖8 實(shí)驗(yàn)圖像

4.2 Caputo 微分掩模算子的其他表現(xiàn)形式

對(duì)于3.2 節(jié)中給出的(2,3)階Caputo 微分掩模算子的表現(xiàn)形式（參見(jiàn)圖7），本文依據(jù)其對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像進(jìn)行了增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)增強(qiáng)后的圖像在邊緣處會(huì)出現(xiàn)一些“偽影”現(xiàn)象，并且隨著模板尺寸的增大而變得明顯.進(jìn)一步，本文給出了(2,3)階Caputo 微分掩模算子的其他表現(xiàn)形式（參見(jiàn)圖9），其中{e1,e2,e3}參見(jiàn)式（21）.

Fig.9 The other forms of Caputo differential mask operator圖9 Caputo 微分掩模算子的其他種表現(xiàn)形式

圖10 列出了利用2 種（2,3）階Caputo 微分掩模算子模板分別對(duì)“輪胎”圖像增強(qiáng)后的結(jié)果，其中，第1 種模板參見(jiàn)圖6、圖7；第2 種模板參見(jiàn)圖9.

從圖10 的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，第2 種（2,3）階Caputo 微分掩模算子模板不僅沒(méi)有“偽影”現(xiàn)象，無(wú)論是3×3形式模板，還是5×5形式模板，均能使增強(qiáng)后圖像的紋理邊緣較原圖更加清晰，可以清楚看到輪胎銜接處紋理及凹凸變化處的邊緣.值得說(shuō)明的是第2 種算子模板形式是在第1 種算子模板形式的基礎(chǔ)上通過(guò)系數(shù)“收縮”微調(diào)，并通過(guò)大量仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證獲得.以下對(duì)比實(shí)驗(yàn)中關(guān)于（2,3）階Caputo 微分掩模算子均采用了第2 種模板形式.

Fig.10 Comparison of image enhancemental effects of two kinds of Caputo differential mask operator templates with order in (2,3)圖10 2 種(2,3)階Caputo 微分掩模算子模板的圖像增強(qiáng)效果對(duì)比

4.3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證本文所提出(1,2)，(2,3)區(qū)間階次Caputo型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的有效性，將其與G-L 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子[35]、R-L 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子[46]以及(0,1)區(qū)間階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子[33]進(jìn)行了圖像增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)對(duì)比.實(shí)驗(yàn)環(huán)境為：操作系統(tǒng)Windows 10，處理器Inter?CoreTMi7-4790CPU@ 3.60 GHz，內(nèi)存16.0 GB.

4.3.1 3 種類(lèi)型算子的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

從主觀視覺(jué)效果來(lái)看（參見(jiàn)圖11～13），總體而言Caputo 型掩模算子能夠使增強(qiáng)后圖像的邊緣信息更加豐富，同時(shí)圖像也更加清晰，R-L 型掩模算子次之，G-L 型掩模算子相對(duì)最差；同時(shí)對(duì)于相同階數(shù)，5×5模板的增強(qiáng)效果總體上要好于3×3模板的增強(qiáng)效果.

Fig.11 Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8(a)圖11 不同微分掩模算子模板對(duì)圖8（a）的增強(qiáng)效果

從客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)效果來(lái)看，依據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的占優(yōu)情況（參見(jiàn)表1～3 的黑體數(shù)字指標(biāo)），表4～6 分別對(duì)3 種類(lèi)型掩模算子的總體占優(yōu)率及分項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)占優(yōu)率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì).從表4～6 統(tǒng)計(jì)表可以看出: 1）從表4 中實(shí)驗(yàn)的總體指標(biāo)來(lái)看，Caputo 型算子的占優(yōu)率最高，占48.61%，其次是R-L 型算子，占31.94%，最后是G-L 算子，占19.94%，這與主觀評(píng)價(jià)的結(jié)果一致；同時(shí)從整體的平均梯度、信息熵、清晰度和對(duì)比度來(lái)看，G-L 型算子的信息熵的占優(yōu)率為77.78%，明顯高于其他2 種算子，而Caputo 型算子的其他3 項(xiàng)指標(biāo)占優(yōu)率均達(dá)到了50%以上.2）從表5 中實(shí)驗(yàn)的3×3模板和5×5 模板指標(biāo)分別來(lái)看，總體趨勢(shì)與表4 相一致，特別是G-L 型算子信息熵的占優(yōu)率在仍延續(xù)了占優(yōu)優(yōu)勢(shì)的情況下，5×5 模板的信息熵占優(yōu)率達(dá)到了100%，明顯高于3×3 模板信息熵占優(yōu)率的55.56%.3）從表6 中掩模算子的階數(shù)來(lái)看，階數(shù)為0.3 時(shí)，Caputo 型算子的平均梯度、清晰度和對(duì)比度的占優(yōu)率均為最高，而G-L 型算子和R-L 型算子的信息熵要高于 Caputo 算子；階數(shù)為1.9 時(shí)，R-L 型算子的平均梯度、清晰度和對(duì)比度的占優(yōu)率均為最高，而G-L型算子的信息熵要高于其他2 個(gè)算子；階數(shù)為2.4時(shí)，Caputo 型算子的平均梯度、清晰度和對(duì)比度的占優(yōu)率呈現(xiàn)最高的情況，而G-L 型算子的信息熵則為最高.

Fig.12 Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8 (b)圖12 不同微分掩模算子模板對(duì)圖8（b）的增強(qiáng)效果

4.3.2 與其他類(lèi)型算子的對(duì)比實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步說(shuō)明本文提出的高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分掩模算子的效果，將其與經(jīng)典的Laplacian算子和直方圖均衡化方法進(jìn)行了圖像增強(qiáng)對(duì)比實(shí)驗(yàn).

Fig.13 Enhancemental effects of different differential mask operator templates on Fig.8 (c)圖13 不同微分掩模算子模板對(duì)圖8（c）的增強(qiáng)效果

圖14 給出了實(shí)驗(yàn)圖像通過(guò)Laplacian 算子和直方圖均衡化方法處理后的可視化效果，表7 是與之對(duì)應(yīng)的客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)計(jì)算結(jié)果.為了更明顯突出算法特征，經(jīng)Laplacian 算子處理后的實(shí)驗(yàn)圖像并未進(jìn)行歸一化處理.

從實(shí)驗(yàn)的視覺(jué)效果來(lái)看，Laplacian 算子作為經(jīng)典的整數(shù)階微分算子，在圖像增強(qiáng)處理中更傾向于邊緣的銳化，對(duì)邊緣更敏感，但顯然對(duì)噪聲也比較敏感；直方圖均衡化作為圖像增強(qiáng)的基本方法，其能夠提升圖像的對(duì)比度，且操作可逆，但會(huì)導(dǎo)致圖像細(xì)節(jié)的丟失，這一現(xiàn)象在圖8（b）的平坦區(qū)域體現(xiàn)得較為明顯.總體而言高階次Caputo 型掩模算子能夠在對(duì)高頻信息進(jìn)行區(qū)分的同時(shí)對(duì)低頻信息進(jìn)行保護(hù)，達(dá)到更好的效果；而從客觀評(píng)價(jià)指標(biāo)來(lái)看，Laplacian算子與高階次Caputo 型掩模算子性能指標(biāo)差距不是很大，且對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像的類(lèi)型要求較為穩(wěn)定，而不同類(lèi)型實(shí)驗(yàn)圖像均對(duì)直方圖均衡化方法的性能有較大影響.

Table 1 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental Effects on Fig.8 (a)表1 圖8（a）增強(qiáng)效果的客觀指標(biāo)結(jié)果對(duì)比

Table 2 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental effects on Fig.8 (b)表2 圖8（b）增強(qiáng)結(jié)果的客觀指標(biāo)結(jié)果對(duì)比

續(xù)表 2

Table 3 Comparison Results of the Objective Indicators of Enhancemental Effects on Fig.8 (c)表3 圖8（c）增強(qiáng)結(jié)果的客觀指標(biāo)結(jié)果對(duì)比

Table 4 Statistics of Overall Dominance Rate of Objective Indicators of Experimental Images表4 實(shí)驗(yàn)圖像客觀指標(biāo)總體占優(yōu)率統(tǒng)計(jì)%

Table 5 The Dominant Rate Statistics of Objective Indicators of Experimental Images According to the Size of Template表5 按模板大小統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)圖像客觀指標(biāo)占優(yōu)率%

Table 6 The Dominance Rate Statistics of Objective Indicators of Experimental Images According to Different Orders表6 按不同階數(shù)統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)圖像客觀指標(biāo)占優(yōu)率%

Fig.14 Enhancement effects of Laplacian operator and histogram equalization method on experimental images圖14 Laplacian 算子和直方圖均衡化方法對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像的增強(qiáng)效果

Table 7 The Objective Indicators Results of the Enhancemental Effects of Laplacian Operator and Histogram Equalization Method on Experimental Images表7 Laplacian 算子和直方圖均衡化方法對(duì)實(shí)驗(yàn)圖像的增強(qiáng)效果客觀指標(biāo)結(jié)果

5 結(jié)束語(yǔ)

分?jǐn)?shù)階微積分所具有的記憶性、非局部性等為相應(yīng)工程問(wèn)題的解決奠定了很好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).近年來(lái)得益于分?jǐn)?shù)階微積分對(duì)圖像邊緣、紋理信息的獨(dú)特應(yīng)用，其在圖像處理領(lǐng)域受到關(guān)注.不同于傳統(tǒng)的整數(shù)階微積分，分?jǐn)?shù)階微積分的定義通常會(huì)依據(jù)所研究問(wèn)題的角度而呈現(xiàn)不同的表現(xiàn)形式，每種形式又各有側(cè)重.由于分?jǐn)?shù)階微積分圖像處理的研究相對(duì)較晚，從目前常見(jiàn)的G-L 型、R-L 型和Caputo 型3種定義形式來(lái)看，基于Caputo 型定義形式的微分掩模算子相對(duì)較少，而G-L 型和R-L 型形式的分?jǐn)?shù)階微分盡管對(duì)圖像紋理細(xì)節(jié)具有較好的增強(qiáng)效果，但對(duì)圖像對(duì)比度、清晰度的提升相對(duì)較弱.目前針對(duì)圖像處理的Caputo 型微分掩模算子多限于對(duì)（0,1）范圍內(nèi)的低階情況，而對(duì)高階次情況的研究相對(duì)較少，本文對(duì)（1,2）階次和（2,3）階次的Caputo 型微分掩模算子進(jìn)行了研究，給出了具體掩模算子的表現(xiàn)形式，同時(shí)對(duì)更高階Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子的一般形式進(jìn)行了分析和討論；在此基礎(chǔ)上將其應(yīng)用于圖像增強(qiáng)處理中，針對(duì)不同階次、不同模板大小的應(yīng)用情況進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)分析和對(duì)比.研究結(jié)果表明，高階次Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分算子對(duì)于提升圖像增強(qiáng)處理的質(zhì)量，特別是提升圖像的對(duì)比度、清晰度和平均梯度具有良好的效果.

作者貢獻(xiàn)聲明:王相海負(fù)責(zé)提出論文思路、研究工作指導(dǎo)和論文修改；張文雅負(fù)責(zé)理論推導(dǎo)、實(shí)驗(yàn)程序設(shè)計(jì)及論文撰寫(xiě)；邢俊宇負(fù)責(zé)定理的證明；呂芳負(fù)責(zé)理論推導(dǎo)與數(shù)據(jù)分析；穆振華負(fù)責(zé)實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與整理.