大范圍運(yùn)動(dòng)懸臂梁理論模態(tài)計(jì)算與數(shù)值仿真＊

李晨曦，王云海，叢 偉，陳 鋒

（山東交通學(xué)院航空學(xué)院，山東 濟(jì)南 300357）

飛行器運(yùn)動(dòng)過程中氣動(dòng)力引起結(jié)構(gòu)變形，結(jié)構(gòu)變形誘發(fā)附加氣動(dòng)力效應(yīng)，構(gòu)成了廣為人知的氣動(dòng)彈性耦合系統(tǒng)[1]。若結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)是線性的，利用模態(tài)疊加法求系統(tǒng)的響應(yīng)無疑是最佳的方案[2]，其前提是獲得結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)條件下的模態(tài)數(shù)據(jù)（頻率和模態(tài)振型）。但有時(shí)，需要先行確認(rèn)結(jié)構(gòu)子系統(tǒng)受力之后的平衡位置，然后再做模態(tài)分析[3]。

經(jīng)典的懸臂梁模型[4]，如伯努利-歐拉梁，是基于四階偏微分方程的數(shù)學(xué)模型，不足以描述真實(shí)的飛行器機(jī)翼運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。本文擬以平面內(nèi)大范圍運(yùn)動(dòng)的懸臂梁模型[5]為研究對象，基于理論和數(shù)值仿真的方法研究其垂直平面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)模態(tài)。拓展后的梁模型可模擬出機(jī)翼根部的角位移以及飛行器整體沉浮運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)機(jī)翼結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的位移。為此，首先建立全局坐標(biāo)系和局部坐標(biāo)系。然后，基于哈密頓原理構(gòu)建結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程，以理論推導(dǎo)的方式完成大范圍平面運(yùn)動(dòng)梁模型的模態(tài)計(jì)算。同時(shí)基于ANSYS 仿真軟件，討論了三維空間運(yùn)動(dòng)形式下的懸臂梁模態(tài)計(jì)算，以及施加擺動(dòng)方向零位移約束后的懸臂梁模態(tài)計(jì)算（垂直平面內(nèi)的二維模態(tài)計(jì)算）。最后，討論了拓展梁模型的理論模態(tài)結(jié)果和基于數(shù)值仿真計(jì)算的模態(tài)結(jié)果之間的差異，提出了建議。

1 空間懸臂梁結(jié)構(gòu)建模

圖1 是經(jīng)典的懸臂梁模型，其中W為梁的撓度位移方向，L為梁的長度，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（固支約束條件），Y為飛行器翼展方向，P為翼梢部位受到的集中外載荷[6]，更常見的形式為分布式外載荷。

圖1 經(jīng)典的懸臂梁模型

飛行器的機(jī)身通常被視作剛體，它連同機(jī)翼部分一起做沉浮運(yùn)動(dòng)。機(jī)翼結(jié)構(gòu)受空氣外載荷分布力（力矩）的作用會繞翼根產(chǎn)生角位移，同時(shí)產(chǎn)生縱向撓度位移曲線，如圖2 所示。

圖2 大范圍運(yùn)動(dòng)懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖

對于空間運(yùn)動(dòng)的懸臂梁模型[7-8]，為使問題描述變得簡潔，本文選取2 套坐標(biāo)系統(tǒng)進(jìn)行描述。具體地說，地面坐標(biāo)系由單位正交標(biāo)架矢量所決定，機(jī)翼在翼根處的切線方向及其垂直方向構(gòu)成了局部隨體坐標(biāo)系，由單位正交標(biāo)架矢量所決定。描述機(jī)翼沉浮和轉(zhuǎn)動(dòng)的彈簧剛度分別定義為ky和kθ，機(jī)翼轉(zhuǎn)動(dòng)角定義為θ（t）。

定義：

根據(jù)矢量的仿射不變性，得到：

兩套坐標(biāo)系之間的變換為：

基于小變形假設(shè)，有sinθ≈θ。

于是，式（1）關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的線性部分為：

根據(jù)哈密頓原理：

這里，T、V、Wnc分別是系統(tǒng)的動(dòng)能、勢能和非保守外力功，分別為：

將式（3）—（5）代入式（2），依據(jù)哈密頓變分原理，得到如公式（6）所示的3 個(gè)控制方程以及公式（7）所示的邊界條件：

2 求解過程

假設(shè)懸臂梁模型做簡諧運(yùn)動(dòng)，則有：

式（8）中：V（u）、?、Y分別為3 個(gè)自由度運(yùn)動(dòng)方向的振幅；ω為系統(tǒng)的模態(tài)頻率。

考慮到θ（t）的轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)，圖2 中的P點(diǎn)在方向的位移可表示為：

將式（8）和（9）代入微分方程組表征的拓展懸臂梁模型式（6）和式（7）中，即可通過求解獲得飛行器懸臂梁系統(tǒng)簡諧振動(dòng)的模態(tài)解。

3 拓展模型與經(jīng)典模型之間的聯(lián)系

本文采取的懸臂梁模型拓展了經(jīng)典的懸臂梁模型，最主要的特征差異體現(xiàn)在自由度的增加，而經(jīng)典懸臂梁模型的控制方程僅相當(dāng)于本文多自由度懸臂梁模型式（6）的簡化，注意到經(jīng)典的情況下，有：

從式（10）可以看出，簡化模型忽視了機(jī)身剛體運(yùn)動(dòng)、機(jī)翼繞翼根部位轉(zhuǎn)動(dòng)引起的慣性力對機(jī)翼橫向位移的影響。

關(guān)于式（9）的理論解，具有如下形式：

關(guān)于式（10）的理論解，注意到u?x，有：

表1 懸臂梁模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 模態(tài)頻率理論值

將式（11）代入控制方程式（8）和邊界條件式（7），不妨假設(shè)，結(jié)構(gòu)參數(shù)仍采用表1 數(shù)據(jù)?；贛aple 程序求解系統(tǒng)的一階模態(tài)時(shí)，模態(tài)頻率變?yōu)?.855 Hz，與固支模型相比，降低了大約1.17%。若取Kθ=0，則模態(tài)頻率變?yōu)?.818 4 Hz，降低了約1.92%。

4 算例分析

ANSYS 算例分析的空間懸臂梁模型，結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1 所示，采用實(shí)體單元建模法（也可采用線體模型），結(jié)構(gòu)網(wǎng)格尺寸設(shè)置為0.65 mm，如圖3 所示。計(jì)算結(jié)果顯示，空間梁模型出現(xiàn)了擺動(dòng)方向上的頻率，除此之外，模態(tài)計(jì)算結(jié)果和我們的理論值高度吻合，誤差在0.5%左右，如表3 所示。

圖3 懸臂梁實(shí)體單元模型

表3 基于ANSYS 的空間梁模型的模態(tài)頻率分析

施加零位移約束條件如圖4 所示。圖4 顯示，若追加y軸方向的零位移約束條件，僅獲得基于ANSYS軟件的懸臂梁模型垂直平面內(nèi)的模態(tài)頻率結(jié)果。表4給出了ANSYS 軟件模態(tài)結(jié)果與理論計(jì)算模態(tài)結(jié)果的差異，相對誤差大約在4.85%附近。

圖4 施加零位移約束條件（y 軸方向）

表4 基于ANSYS 的平面運(yùn)動(dòng)梁模型模態(tài)頻率分析

5 結(jié)論

針對飛行器結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)具有多自由度的特點(diǎn)，本文拓展了經(jīng)典的懸臂梁模型，基于哈密頓原理建立了系統(tǒng)的控制方程和邊界條件。在轉(zhuǎn)動(dòng)角位移是小量的情況下，柔性懸臂梁模型相比經(jīng)典的固支懸臂梁模型，算例表明其模態(tài)頻率略有下降，大約在2%以內(nèi)。

此外，本文基于ANSYS 軟件建立了實(shí)體單元的固支懸臂梁模型。算例分析表明：固支條件下的空間梁模型會出現(xiàn)擺動(dòng)方向上的頻率信息。如果施加該方向的零約束條件，計(jì)算所得模態(tài)數(shù)據(jù)則會高于真實(shí)值，算例誤差可達(dá)4.85%。

綜上所述，基于本文提出的拓展懸臂梁模型和理論分析方法，計(jì)算結(jié)果和ANSYS 仿真結(jié)果高度一致。但是，ANSYS 軟件會產(chǎn)生多余的模態(tài)信息。消除多余模態(tài)信息所施加的零位移約束，相當(dāng)于提高了原始模型的剛度，從而帶來了較大的誤差，應(yīng)引起注意。