柔性航天器預(yù)設(shè)性能及時間自抗擾姿軌跟蹤控制

曹 芊，賈慶賢，李化義，馬 晨，何文韜，張迎春

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2.南京航空航天大學(xué)航天學(xué)院，南京 210016)

0 引 言

未來航天器在電子設(shè)備方面，如在電路、傳感器和執(zhí)行器的設(shè)計上愈加趨于大功率化的同時，也向著小型化發(fā)展。而傳統(tǒng)的基于太陽能轉(zhuǎn)換的動力子系統(tǒng)，即星載的太陽能陣列卻不易實現(xiàn)小型化，反而在航天器電子設(shè)備的升級換代中越來越向大型化發(fā)展，這就導(dǎo)致陣列相對航天器整體的重量、體積和成本方面所占的比重越來越大，因此大功率衛(wèi)星上的太陽能陣列一般具有非常長的翼展[1]。這種太陽翼一般具有較高的柔性和較低的固有頻率[2]。目前的研究工作通常是進行地面或在軌測試以研究空間飛行過程中的太陽能陣列撓性動力學(xué)特性[3]。當太陽能陣列受到控制回路動力學(xué)或軌道機動加速度的激勵，其產(chǎn)生的彈性振動可能會對整星動力學(xué)產(chǎn)生擾動，進而可能會影響到衛(wèi)星的穩(wěn)定[4]，因此有必要在姿軌控制器的設(shè)計中考慮太陽能陣列柔性的影響。

柔性航天器是典型的多體系統(tǒng)，一般由中心剛體和多個柔性附件組成。姿軌控制系統(tǒng)的設(shè)計需要考慮到中心剛體同各種柔性附件的耦合。近年來關(guān)于剛?cè)狁詈虾教炱鞯难芯恐饕杏趯崿F(xiàn)航天器姿態(tài)控制，對航天器軌道位置控制的研究較少[5-7]。文獻[8-9]基于線性化的Newton-Euler方程提出了6自由度柔性航天器的線性化模型，并進一步實現(xiàn)了動力學(xué)模型的模塊化構(gòu)建[10]，大大簡化了復(fù)雜多體機械系統(tǒng)的建模工作。

兩航天器間的相對運動涉及姿態(tài)、軌道的變化，屬于6自由度空間運動范疇，其有著兩種不同的描述方法：一種稱為向量代數(shù)法，文獻[8]及文獻[11]的模型構(gòu)建均基于該方法；另一種稱為幾何力學(xué)法，又稱螺旋理論，幾何框架下描述的航天器運動往往具備更為簡潔的形式，文獻[12-13]在此框架下研究了不規(guī)則天體周圍航天器的導(dǎo)航與控制，文獻[14-17]依據(jù)此框架研究了航天器編隊的控制及小行星周圍航天器的懸?？刂疲墨I[18]在此框架下設(shè)計了高精度的終端滑模姿軌控制器。

基于上述研究，為實現(xiàn)柔性航天器在預(yù)定時間、預(yù)設(shè)性能下的姿軌跟蹤控制，本文首先推導(dǎo)了基于剛?cè)狁詈隙囿w航天器的相對耦合動力學(xué)模型并給出了預(yù)設(shè)性能約束后的相對姿軌運動學(xué)和動力學(xué)模型；然后設(shè)計了擾動觀測器來估計振動引起的擾動力矩；最后設(shè)計了預(yù)定義時間積分滑?？刂破鲗υ撃Ｐ瓦M行一體化控制。通過Lyapunov理論證明了系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性和跟蹤誤差收斂性。該算法通過對狀態(tài)誤差的實時監(jiān)測來調(diào)整執(zhí)行器的輸出，使控制器在系統(tǒng)存在柔性振動及空間環(huán)境干擾的情況下仍可實現(xiàn)高精度的姿軌跟蹤。仿真結(jié)果表明了該控制方案的有效性。

1 SE(3)上的運動學(xué)、動力學(xué)模型

本節(jié)在SE(3)框架下描述了處于任意位姿狀態(tài)的剛性航天器、柔性航天器的動力學(xué)模型以及二者間的相對動力學(xué)模型。動力學(xué)模型的建立基于以下假設(shè)：

假設(shè)1.目標航天器在地球軌道上穩(wěn)定運行，無控制力、力矩的輸入；追蹤航天器則存在控制指令的激勵，因此本文中僅考慮追蹤航天器的柔性，將目標航天器視為理想剛體。

1.1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及相關(guān)定義

如圖1所示，地球軌道上運行的航天器的位姿構(gòu)型空間為李群SE(3)，其是航天器所有平移運動及旋轉(zhuǎn)運動的集合，可表示為R3與旋轉(zhuǎn)群SO(3)的半直積：

圖1 慣性系下航天器的位姿表示Fig.1 Configuration of a spacecraft in the inertial frame

(1)

定義航天器角速度和線速度的一體化表示：速度旋量ξ(Twist)，力矩和力的一體化表示：力旋量φ(Wrench)，分別為：

(2)

式中：速度旋量和力旋量均定義在航天器體坐標系B中。

定義航天器的空間慣量矩陣：

(3)

式中：J,m分別為航天器的慣量矩陣和質(zhì)量。

定義映射(·)∧:R3→so(3)，R6→se(3),(·)∧是SO(3)或SE(3)的李代數(shù)表達，其滿足以下變換關(guān)系：

(4)

定義(·)∧的逆映射(·)∨:so(3)→R3,se(3)→R6。se(3)伴隨矩陣可以表示為：

(5)

SE(3)伴隨變換矩陣可以表示為：

(6)

1.2 運動學(xué)及動力學(xué)

考慮圖2所示的單陣列柔性航天器，其中陣列坐標系P附著在陣列上，太陽能陣列相對中心剛體的位姿可由g0表示為：

圖2 考慮陣列柔性的航天器Fig.2 A spacecraft considering array flexibility

(7)

式中：lBP為P系在B系中的位置；RBP為P系相對于B系的旋轉(zhuǎn)矩陣，其由陣列的傾角決定。

基于模塊化的多體動力學(xué)建模方法，結(jié)合剛體旋量公式,B系下單陣列的柔性航天器的動力學(xué)可以表示為：

(8)

式中：φsc,B=φg+u+de，u為控制力項，φg為重力梯度項，de為環(huán)境干擾項；φhub/sa,B為B系中中心剛體施加于陣列的力旋量；Ihub為中心剛體的空間慣量矩陣。

陣列與中心剛體間的動力學(xué)耦合關(guān)系由模態(tài)有效質(zhì)量方法描述[19]，耦合動力學(xué)依據(jù)懸臂模態(tài)模型描述[20]，陣列與中心剛體之間的連接為P系原點。則P系下陣列的動力學(xué)可以表述為：

(9)

式中：K為剛度矩陣；D為阻尼矩陣；η為模態(tài)位移列陣；L為陣列的模態(tài)有效質(zhì)量因子矩陣，L∈RNm×6，Nm為模態(tài)截斷的階數(shù)。

式(9)中P系下描述的力旋量需要通過SE(3)伴隨變換矩陣轉(zhuǎn)換至B系。

(10)

通過式(10)的變換關(guān)系，將變換后的式(9)代入式(8)可得到追蹤航天器的動力學(xué)方程：

(11)

基于剛體假設(shè)的目標航天器動力學(xué)方程為：

(12)

式中：φg表示目標航天器的重力梯度項；ξt表示目標航天器的速度旋量。

上述重力梯度項φg的計算表達式為[21]：

φg=

(13)

式中：rB=RTr；r為慣性系至航天器體系B的標量距離;μ為地球引力參數(shù)。

航天器的位姿運動學(xué)方程可以表示為：

(14)

式(14)的一體化表示形式為：

(15)

式(15)的指數(shù)坐標形式方程為：

(16)

式中：指數(shù)坐標ρ=[ΘT,βT]T，其中Θ∈R3,β∈R3分別表示航天器姿態(tài)和位置的指數(shù)坐標，ρ可通過對數(shù)映射：exp(ρ∧)=g∈SE(3)→ρ∧∈se(3)和(·)∨映射獲得，即ρ=(lng)∨。

G(ρ)的計算式如下[22]：

(17)

1.3 相對運動學(xué)及動力學(xué)

根據(jù)文獻[16-17]，SE(3)上的相對運動學(xué)、動力學(xué)方程可表示為：

(18)

由式(11)和式(12)可推導(dǎo)出柔性航天器的相對運動學(xué)和動力學(xué)系統(tǒng)：

(19)

注 1.與航天器位姿及速度旋量參數(shù)相比，模態(tài)位移η的大小要小得多，但不可忽略；同時，由于模態(tài)變量的維數(shù)較大，因此分配在模態(tài)變量上的計算資源一般遠大于位姿和速度旋量。當機載計算資源和存儲空間有限時，關(guān)注其觀測估計值比實時精確計算出模態(tài)位移更為現(xiàn)實有效。

注2.追蹤航天器整個姿軌機動期間，在執(zhí)行器作用下，不可避免會激發(fā)撓性結(jié)構(gòu)的彈性振動，文中將彈性振動所產(chǎn)生的力旋量視為擾動項之一。

故式(19)可重述為：

(20)

2 控制器設(shè)計

2.1 假設(shè)、引理

本節(jié)控制器的設(shè)計將基于以下假設(shè)、引理和定理：

(21)

式中：q∈(0,1]。對于任意穩(wěn)定解x0，穩(wěn)定時間函數(shù)均滿足：T(x0)≤T，則T為弱預(yù)定義時間。則稱該系統(tǒng)是關(guān)于時刻T全局弱預(yù)定義時間穩(wěn)定的。

(22)

(23)

2.2 普通滑模控制器(SMC)

首先定義以下普通滑模面：

(24)

式中：s0=[s01,s02,s03,s04,s05,s06]T。

針對滿足上述假設(shè)條件的航天器姿軌跟蹤系統(tǒng)(20)，提出了本文的定理1。

定理 1.考慮式(20)的相對非線性系統(tǒng)，若滿足假設(shè)1～3，采取如下控制律：

(25)

證.定義如下Lyapunov候選函數(shù)：

(26)

使用式(24)～(25)，對式(26)求導(dǎo)得：

(27)

因此，當k2->0時，將是半負定的，則V0有界，因此位姿跟蹤誤差速度旋量跟蹤誤差有界。

對式(27)求導(dǎo)：

(28)

證畢。

2.3 預(yù)定義時間擾動觀測器

本節(jié)中擾動觀測器用于估計姿軌跟蹤系統(tǒng)中的集總擾動，基于文獻[23]中的跟蹤微分器及假設(shè)4，預(yù)定義時間干擾觀測器(Predefined time disturbance observer,PTDO)可以設(shè)計為：

(29)

式中：α1,α2,α3,b1,b2為設(shè)計的觀測器增益參數(shù)，b1tanhn(b2x)=[|x1|nb1tanh(b2x1),…,|xn|n·b1tanh(b2xn)]T。

根據(jù)文獻[23]定理4.8及備注4.10，參數(shù)值α1,α2,α3與收斂時間相關(guān)，為保證式(29)中的觀測器能夠在預(yù)定義的時刻To前實現(xiàn)跟蹤收斂，α1,α2,α3應(yīng)該滿足以下關(guān)系：

(30)

式中：γ>0;To為觀測器收斂時間的上界；k0為非負的未知常數(shù)，可通過取較大的參數(shù)來滿足。

注4.有關(guān)式(29)中預(yù)定義時間的跟蹤微分器的穩(wěn)定性證明可在文獻[23]找到，本文不再贅述。

注5.與文獻[23]不同，為避免計算過程中非連續(xù)性問題，文中將跟蹤微分器中的符號函數(shù)sign用雙曲正切函數(shù)tanh來進行替換，增益參數(shù)b1,b2取值越大，觀測效果越好，但同時也會耗費較大的計算資源，實際應(yīng)用中可根據(jù)觀測誤差要求及星載計算效率權(quán)衡取值。

2.4 自抗擾預(yù)設(shè)性能及時間積分滑模控制器(ADR-PPT-ISMC)

為兼顧姿軌跟蹤系統(tǒng)跟蹤控制的動態(tài)性能，定義如下性能邊界函數(shù)：

pi(t)=(pi0-pi∞)exp(-at)+pi∞

(31)

式中：pi(t)為隨時間遞減的性能函數(shù)，其中i對應(yīng)各位姿自由度的預(yù)設(shè)性能函數(shù)；pi0為t=0時預(yù)設(shè)性能函數(shù)的取值；pi∞為t=+∞時預(yù)設(shè)性能函數(shù)的取值，i=1,2,…,6;a為跟蹤誤差的速率下界。

保證以下控制目標：

(32)

上述預(yù)設(shè)性能約束為不等式約束，為了簡化控制律的設(shè)計，將不等式約束轉(zhuǎn)換為等式約束，定義如下歸一化跟蹤誤差：

(33)

選擇光滑、嚴格單調(diào)遞增的誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)：

(34)

文中選取參數(shù)?i=1，則ftran(εi(t))=tanh(εi(t))。

利用誤差轉(zhuǎn)換函數(shù)對不等式約束進行處理：

(35)

ftran的逆函數(shù)可以表示為：

(36)

對式(36)求導(dǎo)：

(37)

通過上述定義及轉(zhuǎn)換，得到以下預(yù)設(shè)性能約束后的姿軌運動學(xué)和動力學(xué)模型：

(38)

根據(jù)相關(guān)預(yù)定義時間控制理論，定義以下積分滑模面：

(39)

針對滿足上述假設(shè)條件的航天器姿軌跟蹤系統(tǒng)(38)，提出了本文的定理2。

定理 2.考慮式(38)的相對非線性系統(tǒng)，在假設(shè)1～4成立的前提下，若采取式(39)的滑模面，且控制律(40)設(shè)計如下：

(40)

證.控制律(40)下的閉環(huán)系統(tǒng)可表示為：

(41)

(42)

對Lyapunov函數(shù)V求導(dǎo)，可得：

(43)

由假設(shè)3可知：

(44)

因此有：

(45)

當t≥T2時子系統(tǒng)(41)滿足以下關(guān)系：

(46)

因此根據(jù)引理2，系統(tǒng)(41)～(42)關(guān)于時間T2-T1是強預(yù)定義時間穩(wěn)定的。但由于強預(yù)定義時間T1僅是滑模面收斂至s=0的最小上界，因此并不能確保時間T2為滑模面s1=0收斂時間的最小上界，因此根據(jù)引理1，系統(tǒng)(38)～(40)是關(guān)于時間T2弱預(yù)定義時間穩(wěn)定的。

注8.控制器(40)，能夠在預(yù)定時間T1內(nèi)將跟蹤誤差驅(qū)動到定義的滑模面s=0，即跟蹤誤差在預(yù)定時間T1內(nèi)到達滑模面(到達階段)；后續(xù)可確?；＿\動在預(yù)定時間T2-T1時間內(nèi)實現(xiàn)控制目標(姿軌跟蹤誤差收斂至零)并在其后保持，即保證滑動階段的預(yù)定時間穩(wěn)定性。其中T1為強預(yù)定義時間，T2為弱預(yù)定義時間。

3 仿真校驗

為驗證本文基于ADR-PPT-ISMC的柔性航天器姿軌跟蹤控制器的跟蹤性能，本節(jié)對上述提出的方法進行仿真驗證。

設(shè)置仿真總時長60.0 s，時間步長0.1 s，地球引力參數(shù)μ=398600.44 km3/s2，兩航天器的質(zhì)量均為600 kg，慣量矩陣均為diag(110,100,115) kg·m2，其中追蹤航天器太陽能陣列傾角30°，陣列坐標系P在體系B中的位置坐標列陣為[0,0.3,0]Tm，截取陣列的前3階模態(tài)，陣列剛度矩陣為K=diag(8,15,20)，陣列阻尼矩陣為D=diag(0.05,0.05,0.05)，陣列的模態(tài)有效質(zhì)量陣

觀測器、控制律增益參數(shù)取值見表1，兩航天器的初始狀態(tài)見表2。

表1 控制器與觀測器增益參數(shù)Table 1 Gain parameters of controllers and observers

表2 初始狀態(tài)Table 2 Initial states

兩航天器相對姿態(tài)可由初始相對主旋轉(zhuǎn)角及相對角速度確定。其中目標航天器的狀態(tài)更新依賴于式(12)，其初始狀態(tài)由一組低地球軌道參數(shù)給出，如表3所示。

表3 目標航天器的開普勒軌道參數(shù)Table 3 Keplerian orbit parameters of the target spacecraft

性能邊界函數(shù)相關(guān)參數(shù)列陣如下：

圖3 集總擾動力矩的跟蹤軌跡Fig.3 Tracking trajectories of lumped disturbance torque

圖4 集總擾動力的跟蹤軌跡Fig.4 Tracking trajectories of lumped disturbance force

圖5～圖6為預(yù)設(shè)性能控制方法下的兩航天器相對姿態(tài)和位置變化曲線，圖7～8為無預(yù)設(shè)性能函數(shù)控制方法下的兩航天器相對姿態(tài)和位置變化曲線。分別對比圖5與圖7，圖6與圖8，可以明顯看出相對姿態(tài)與相對位置的超調(diào)量均有明顯降低，此外由于性能函數(shù)(31)自身的衰減速度，使得系統(tǒng)整體的收斂速度也有所加快。文中性能函數(shù)(31)的作用主要在于改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，盡管性能函數(shù)中也定義了誤差界限以對系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能提前界定，但系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能主要還是依賴于文中所提出的ARC-PT-ISMC，因此為提高計算效率，pi∞的取值可適當放寬。

圖5 相對姿態(tài)指數(shù)坐標的變化曲線(預(yù)定義性能)Fig.5 Variation of the relative attitude exponential coordinates (prescribed performance)

圖6 相對位置指數(shù)坐標的變化曲線(預(yù)定義性能)Fig.6 Variation of the relative position exponential coordinates (prescribed performance)

圖7 相對姿態(tài)指數(shù)坐標的變化曲線(未預(yù)定義性能)Fig.7 Variation of the relative attitude exponential coordinates (unprescribed performance)

圖8 相對位置指數(shù)坐標的變化曲線(未預(yù)定義性能)Fig.8 Variation of the relative position exponential coordinates (unprescribed performance)

圖9 相對角速度Fig.9 The relative angular velocity

圖10 相對速度Fig.10 The relative velocity

圖11～12給出了集成自抗擾的復(fù)合控制方法(ADR-PPT-ISMC)和不考慮擾動控制方法(PPT-ISMC)作用下位姿指數(shù)坐標范數(shù)的變化情況?？梢钥闯鑫词褂肁DR控制方案的姿態(tài)、位置誤差范數(shù)受到系統(tǒng)擾動的影響，最終的指數(shù)坐標收斂誤差分別收斂到10-4rad和5×10-5m，而該收斂誤差精度要差于文中所提出的ADR-PPT-ISMC方法。上述分析表明，含ARC的復(fù)合控制方案的跟蹤性能在收斂精度及抗干擾方面優(yōu)于未使用ADR的控制方案。

圖11 相對姿態(tài)指數(shù)坐標的范數(shù)Fig.11 The norm of the relative attitude exponential coordinates

圖12 相對位置指數(shù)坐標的范數(shù)Fig.12 The norm of the relative position exponential coordinates

4 結(jié) 論

對于考慮彈性振動及空間環(huán)境干擾下的柔性航天器姿軌跟蹤問題，本文利用預(yù)定義時間穩(wěn)定性理論給出一種預(yù)設(shè)性能及時間的自抗擾積分滑模魯棒跟蹤控制器設(shè)計方法，按照該方法設(shè)計的控制器，可以保證系統(tǒng)在預(yù)設(shè)性能參數(shù)及時間下漸近跟蹤到預(yù)先設(shè)定的參考輸入。采用預(yù)定義時間的擾動觀測器以補償彈性振動及外部干擾的影響,使其具有較好的魯棒性。文中給出的仿真實例表明了該方法的有效性。