高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)教學(xué)中分類討論法的應(yīng)用

榮薈翠

教師對(duì)導(dǎo)數(shù)教學(xué)的各方面內(nèi)容進(jìn)行分類討論，可以幫助學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)，讓學(xué)生高效地掌握導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵，并靈活解決導(dǎo)數(shù)問題。

一、簡(jiǎn)化解題步驟

從近些年的高考題中我們不難看出“導(dǎo)數(shù)”已經(jīng)成為重點(diǎn)考查的內(nèi)容，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題是常見的題型。在解答此類導(dǎo)數(shù)問題時(shí)，就可應(yīng)用分類討論法對(duì)題目進(jìn)行分析，通過分類與逐層分析，可以讓解題過程更加簡(jiǎn)單，且能讓學(xué)生的解題步驟更加清晰、明確，對(duì)于知識(shí)的掌握也會(huì)更加深入。在應(yīng)用分類討論法的過程中，學(xué)生可以逐步明確函數(shù)的性質(zhì)，掌握問題的本質(zhì)。在具體的應(yīng)用過程中，教師需以具體的題型為引導(dǎo)，讓學(xué)生針對(duì)性地進(jìn)行分析與討論，通過化整為零的方式進(jìn)行分類，降低問題的難度。一般情況下，函數(shù)f（x）在區(qū)間［a，b］上可導(dǎo)，那么f（x）在區(qū)間［a，b］上最值的求法有以下三種：（1）求出f（x）在區(qū)間［a，b］上的極值；（2）計(jì)算f（x）在極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值；（3）對(duì)f（x）極值點(diǎn)和端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，寫出最大值、最小值。

案例一：已知函數(shù)f（x）=x3-3x，求函數(shù)在區(qū)間［-3，2］的最大值和最小值。

解析：由題中f（x）=x3-3x可以得出f ′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），則當(dāng)x∈（1，2］時(shí)，f（x）>0，所以［-3，-1］，［1，2］是函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)x∈［1，1］時(shí)，函數(shù)f ′（x）>0，所以可知［-1，1］是函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間。

又因f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，當(dāng)x=-3時(shí)，f（x）取得最小值，為-18，當(dāng)x=-1或者2時(shí)， f（x）取得最大值，為2。

二、解決導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)問題

導(dǎo)數(shù)是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，以導(dǎo)數(shù)為基礎(chǔ)的各種函數(shù)問題成為重點(diǎn)學(xué)習(xí)的內(nèi)容。在求解導(dǎo)數(shù)題目的過程中我們發(fā)現(xiàn)，題目中常包含多種參數(shù)，隨著參數(shù)的改變，解題的難度也會(huì)增加，所以通過分類討論的方式進(jìn)行答題非常關(guān)鍵。而在利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的問題中，我們重點(diǎn)需要考慮的問題就是函數(shù)的零點(diǎn)問題，解決此類問題需要考慮的重點(diǎn)就是二次項(xiàng)系數(shù)中是否含有參數(shù)，當(dāng)參數(shù)是“0”時(shí)，就需要將函數(shù)轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)進(jìn)行判斷，如果參數(shù)不為“0”時(shí)，就需要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行因式分解，并判斷，如果可以則表示存在零點(diǎn)。在討論零點(diǎn)問題的過程中，判斷正負(fù)非常關(guān)鍵，零點(diǎn)是正負(fù)的臨界點(diǎn)，會(huì)影響整個(gè)解題結(jié)果。針對(duì)導(dǎo)數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)案例，對(duì)學(xué)生進(jìn)行分類討論訓(xùn)練非常有必要，教師需針對(duì)具體的問題進(jìn)行多樣化訓(xùn)練，逐步提高學(xué)生的解題能力。

案例二：已知函數(shù)f（x）=x-blnx，f（x）有幾個(gè)零點(diǎn)？

解析：根據(jù)題干信息，f（x）=x-blnx，x>0則可以得出：f ′（x）=1+-=，如果令g（x）=x2-bx+1，Δ=b2-4；則可以得出下列結(jié)果：

1.當(dāng)-2≤b≤2時(shí)，g（x）≥0，當(dāng)x>0時(shí)，f ′（x）>0是恒成立的，那么f（x）就會(huì)單調(diào)遞增。又因f ′（1）=0，所以這時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)。

2.當(dāng)b<-2時(shí)，g（x）=0，此時(shí)函數(shù)會(huì)有兩個(gè)不等的實(shí)根，假設(shè)這兩個(gè)實(shí)根分別為x1，x2，那么根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系就可得到下列關(guān)系式x1+x2=b<0，x1、x2=1，則x1<0，x2<0，當(dāng)x>0時(shí)f ′（x）>0，恒成立，且此時(shí)函數(shù)f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)。

3.當(dāng)b>2時(shí)，g（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，假設(shè)這兩個(gè)實(shí)根分別為x1、x2，則當(dāng)x1+x2=b>0，x1x2=1，如果設(shè)0

則當(dāng)0

當(dāng)x1

當(dāng)x>x2時(shí)，f ′（x）<0，f（x）是單調(diào)遞增；

f（x1）>f（1）=0>f（x2）

由f（）=-eb+e2<0時(shí)，f（x）有三個(gè)零點(diǎn)。

f（eb）=eb--b2=-f（）>0

當(dāng)b≤2時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)，而當(dāng)b>2時(shí)，f（x）有三個(gè)零點(diǎn)，所以最終的答案是“f（x）有三個(gè)或者一個(gè)零點(diǎn)”。

三、命題等價(jià)轉(zhuǎn)換

在轉(zhuǎn)換的過程中，需落實(shí)“等價(jià)”原則，面對(duì)千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問題，須知“萬變不離其宗”，要想更加準(zhǔn)確地解答數(shù)學(xué)題目，在煩瑣的題干信息中篩選出有效信息，就需對(duì)題目信息進(jìn)行分類討論，善于觀察和聯(lián)想，對(duì)復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行歸類轉(zhuǎn)化，讓問題更加簡(jiǎn)單，學(xué)生的解答也更加順利。

案例三：已知函數(shù)f（x）=ax2-lnx（a是常數(shù)），如果a<0，那么在任意情況下x∈［1，e］，f（x）≥（a-2）x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析1：利用分類討論中的構(gòu)造法，整合出一個(gè)新的函數(shù)，再進(jìn)行求導(dǎo)。新函數(shù)為F（x）=f（x）-（a-2）x，由此就可將上述問題轉(zhuǎn)換成“對(duì)任意x∈［1，e］，F(xiàn)（x）≥0恒成立”進(jìn)一步進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就可得到F（x）min≥0，圍繞F（x）min這一核心問題，通過分類討論就可得到參數(shù)a的取值范圍。

解析2：可將函數(shù)中的參數(shù)a單獨(dú)剝離，這樣就可得到分離之后函數(shù)的最值，一般情況下處理恒成立的主要方式就是通過分類討論的方式得到最值，然后再解答不等式得到答案，再通過分離參數(shù)函數(shù)的具體情況進(jìn)行討論。

以上的兩種解題思路都與分類討論密切相關(guān)，解析1應(yīng)用了構(gòu)造法，通過對(duì)構(gòu)造函數(shù)F（x）min的參數(shù)a進(jìn)行分類討論，得到最終結(jié)果。在此處進(jìn)行分類討論的主要原因就是當(dāng)F′（x）=0時(shí)的其中一個(gè)根-是否在定義域內(nèi)，是否要大于另一個(gè)根。而解析2中主要是對(duì)變量進(jìn)行分類討論，主要是當(dāng)參數(shù)為a，不能確定函數(shù)系數(shù)x2-x的值是正、負(fù)，還是零。由此可見，以上兩種方法均需要應(yīng)用分類討論法的主要原因，就是結(jié)果存在不確定性，對(duì)于數(shù)值的大小、正負(fù)均無法確定。

四、數(shù)形結(jié)合直觀反映

從導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的實(shí)際教學(xué)情況來看，很多高中生面對(duì)此類題目，時(shí)常不知所措，心存畏懼。而教師也與學(xué)生有一樣的感覺，在教學(xué)中也深感無所適從，不知從何角度能幫助學(xué)生更好地理解導(dǎo)數(shù)問題。導(dǎo)數(shù)之所以難教、難學(xué)，我認(rèn)為有兩方面原因：一方面是導(dǎo)數(shù)對(duì)學(xué)生來講屬于一個(gè)新詞，有一種陌生感；同時(shí)，教師并未過多地講解過導(dǎo)數(shù)，猛然間提及導(dǎo)數(shù)，學(xué)生就會(huì)感到一臉茫然，不知所措。另一方面在于導(dǎo)數(shù)是“數(shù)”與“形”之間的相互融合，與以往單一形式的“數(shù)”的教學(xué)與“形”的教學(xué)有一定差異，由此產(chǎn)生對(duì)導(dǎo)數(shù)教學(xué)的兩種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。首先，部分教師僅將導(dǎo)數(shù)作為一門獨(dú)立學(xué)科對(duì)待，僅重視代數(shù)教學(xué)而忽視圖形教學(xué)；其次，教師也認(rèn)為導(dǎo)數(shù)、函數(shù)分析的重點(diǎn)是圖形，僅關(guān)注圖形而忽視代數(shù)教學(xué)。從常識(shí)角度來看，不管是導(dǎo)數(shù)，還是函數(shù)，都是“圖形”與“代數(shù)”相結(jié)合的橋梁，且存在于數(shù)學(xué)教學(xué)的整個(gè)過程中。因此，數(shù)形結(jié)合法是分類討論的有效手段之一，可以讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有更清楚的認(rèn)識(shí)，并且在圖形的支持下，數(shù)量之間的關(guān)系也更加明朗。函數(shù)教學(xué)之前，教師應(yīng)確保學(xué)生對(duì)函數(shù)有正確的理解，并能夠?qū)瘮?shù)本質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)，即函數(shù)是一種對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要體現(xiàn)在量與量之間。

案例四：已知函數(shù)f（x）=+alnx，a∈R，此函數(shù)需過點(diǎn)（0，2），那么過此點(diǎn)的函數(shù)可以作幾條與函數(shù)y=f（x）相切的直線，為什么？

解析：本題目的答案為a≤0時(shí)，有一條切線，a>0時(shí)有兩條切線，理由如下：

假設(shè)將切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為［x0，f（x0）］，根據(jù)題意就可得到=，即可得到+alnx0-2=a-，對(duì)算式進(jìn)行化簡(jiǎn)就可以得到：+alnx0-2-a=0，假設(shè)F（x）=+alnx-2-a（a>0），可以得到函數(shù)F（x）在（0，+∞）區(qū)間上的零點(diǎn)數(shù)量，也就是相切曲線的數(shù)量。而結(jié)合F（x）的性質(zhì)可以得到圖象有以下幾種情況：

對(duì)圖1中的圖象進(jìn)行觀察，只要分類討論x=1時(shí)是否穿過了x軸，就可對(duì)交點(diǎn)情況進(jìn)行逐一驗(yàn)證。

五、精準(zhǔn)定位問題特征

在分類討論時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生找到分類討論的正確依據(jù)，明確分類討論的原因、引起分類討論的因素、采取分類討論的合理方法。學(xué)生是否將問題簡(jiǎn)化，且解出正確答案，取決于其在分類討論的過程中能否做到合理、準(zhǔn)確的推理與判斷。因此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析基于各種條件下數(shù)學(xué)研究對(duì)象呈現(xiàn)出來的異同點(diǎn)，并進(jìn)行精準(zhǔn)劃分，再分別求解，以得出正確的結(jié)論。

案例五：已知a∈R，函數(shù)f（x）=x2|x-a|，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［1，2］上的最小值。

解析：通常在解題時(shí)可以先將函數(shù)f（x）化為分段函數(shù)，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)對(duì)比函數(shù)在區(qū)間［1，2］上的單調(diào)性，以解出最小值。在此過程中能夠明確無法與字母的取值分開，因此可以確定字母是引起分類討論的因素。此時(shí)學(xué)生會(huì)對(duì)先整體還是先局部以及分類的標(biāo)準(zhǔn)產(chǎn)生疑問，對(duì)此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)解題時(shí)的“分歧點(diǎn)”展開分析，也就是在函數(shù)f（x）圖象上，區(qū)間［1，2］所處的位置。教師可以先讓學(xué)生從整體出發(fā)，觀察函數(shù)f（x）圖象，發(fā)現(xiàn)無法確定函數(shù)f（x）的零點(diǎn)等于0或x=a的大小，進(jìn)而應(yīng)對(duì)三種情況展開討論：a<0，a=0，a>0。在求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)后，可以對(duì)區(qū)間［1，2］與x=、x=a的關(guān)系展開分析，當(dāng)∈［1，2］時(shí)，應(yīng)明確f（1）與f（2）的大小關(guān)系后才能求出最小值。此題需要分三層展開分類討論，若想化解去絕對(duì)值和分段函數(shù)的問題，可以根據(jù)函數(shù)f（x）=x2|x-a|的結(jié)構(gòu)特征與函數(shù)的定義域［1，2］對(duì)a和x的大小關(guān)系進(jìn)行分析，然后再分別對(duì)a≤1，12進(jìn)行討論即可。

六、理解分類討論的標(biāo)準(zhǔn)

分類討論法是解決導(dǎo)數(shù)綜合問題時(shí)常用的方法，不僅能夠考查學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，還能考查他們解決數(shù)學(xué)問題時(shí)的綜合能力。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，以不重不漏且恰到好處。

（一）根據(jù)參數(shù)的正負(fù)進(jìn)行分類

求導(dǎo)后，若導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)因參數(shù)受到限制，為了以更便利的方式求出單調(diào)區(qū)間，可以根據(jù)參數(shù)的正負(fù)進(jìn)行分類討論。

案例六：已知函數(shù)f（x）=ex（ex-a）-a2x，對(duì)函數(shù)f（x）的單調(diào)性進(jìn)行討論。

解析：先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，整理后得出f ′（x）=（2ex+a）（ex-a），因?yàn)閑x>0成立，所以導(dǎo)數(shù)的正負(fù)取決于參數(shù)a的正負(fù)，因此a>0，a=0，a<0三種情況為分類討論的標(biāo)準(zhǔn)。需要注意的是，由于f（x）的單調(diào)性不同，因此不能將a=0并入a>0或a<0。

（二）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)根與給定區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類

求導(dǎo)后，如果存在這兩種情況：一是導(dǎo)函數(shù)為零的方程有實(shí)根；二是導(dǎo)函數(shù)的分子可以分解因式，但不能確定導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根能否落于函數(shù)的定義域中，通常會(huì)根據(jù)令導(dǎo)函數(shù)為零的實(shí)根等于定義域的端點(diǎn)值求解分點(diǎn)，以展開分類討論。

案例七：已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=（x-a），求解函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間。

解析：求出函數(shù)的定義域［0，+∞］，再求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，得出f ′（x）=，令f ′（x）=0，可以求出x=，這時(shí)需要對(duì)是否落在函數(shù)的定義域［0，+∞］內(nèi)進(jìn)行分析，從a>0和a≤0分別展開分類討論，以求出參數(shù)a的取值。

綜上所述，分類討論法不僅是一種數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是常用的解題方法，能夠聚焦于整體中的關(guān)鍵部分，簡(jiǎn)化復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題，拓寬學(xué)生的解題思路。

（作者單位：天津市靜海區(qū)獨(dú)流中學(xué)）

編輯：溫雪蓮