基于問題解決的高中數(shù)學(xué)情境教學(xué)

付春紅 譚昀飛

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力遠(yuǎn)比單純記憶公式更為重要。本次情境教學(xué)案例以隨機(jī)抽樣為主題，旨在通過實際場景引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)在現(xiàn)實中的應(yīng)用，提升他們的數(shù)學(xué)思維和統(tǒng)計學(xué)技能。

一、利用生活體驗問題情境，形成問題意識

創(chuàng)設(shè)生活化的問題情境有助于學(xué)生形象、直觀地理解問題本身的含義，同時便于培養(yǎng)學(xué)生在生活中用數(shù)學(xué)眼光看待實際問題的思維。

以“隨機(jī)抽樣”為例，首先場景設(shè)定為學(xué)校舉辦了一次奶茶品嘗活動，旨在了解學(xué)生對不同奶茶品牌的喜好，以便在學(xué)校食堂引入更受歡迎的奶茶。每個學(xué)生都有機(jī)會品嘗來自不同品牌的奶茶，然后投票選擇自己最喜歡的。

老師：早上好，同學(xué)們！我們今天有一個有趣的活動—— 一起來品嘗不同品牌的奶茶。接下來，我們將借此機(jī)會了解大家對奶茶的喜好。如果你是學(xué)校食堂負(fù)責(zé)人，你會怎樣了解全校同學(xué)對不同品牌奶茶的喜好呢？

學(xué)生：我可能會在班級群里發(fā)一個投票，看看大家都喜歡哪個牌子。

老師：那是一個好方法，但是你有沒有考慮到每個班級的學(xué)生口味可能不太一樣呢？我們希望能夠全面了解整個學(xué)校學(xué)生的喜好，所以有沒有其他更全面的方式呢？

學(xué)生：難道要全校所有同學(xué)都嘗一遍嗎？這樣好像太費時間了。

老師：不一定需要每個人都嘗試，我們可以通過一種“隨機(jī)抽樣”的方法來了解整個學(xué)校學(xué)生的口味。這樣可以更有效地了解大家的喜好。你們知道“隨機(jī)抽樣”是什么嗎？

學(xué)生：是不是就是從整個群體里隨機(jī)挑一部分人參與調(diào)查？

老師：很好！就是這個意思。這樣我們就能夠更全面、更客觀地了解學(xué)校同學(xué)的口味，而不僅僅是在一個小范圍內(nèi)。讓我們來思考一下，如何設(shè)計一個合理的隨機(jī)抽樣方案呢？假設(shè)我們只在一個班級里進(jìn)行投票，會不會得出一個準(zhǔn)確反映全校同學(xué)口味的結(jié)果呢？

學(xué)生：可能不太準(zhǔn)確，因為每個班級學(xué)生的口味可能有差異。

老師：對，你說得很對。如果我們希望了解整個學(xué)校的情況，我們就需要考慮到所有班級的差異。那么，如果我們要從每個班級中選擇代表性的學(xué)生，應(yīng)該怎么辦呢？

學(xué)生：我們可以從每個班級中隨機(jī)選擇一些人來參與。

老師：很好，你提到了隨機(jī)選擇，這正是隨機(jī)抽樣的核心。通過隨機(jī)抽樣，我們能夠在全體學(xué)生中公平地選擇代表樣本，避免了僅僅在一個班級中進(jìn)行調(diào)查可能導(dǎo)致的片面性。

學(xué)生：但是，老師，我們要怎么確保隨機(jī)抽樣的公正性呢？

老師：這是一個很關(guān)鍵的問題。我們可以使用不同的方法，比如使用學(xué)生的學(xué)號進(jìn)行編號，然后利用隨機(jī)數(shù)生成器或其他方法進(jìn)行抽樣。這樣，每個同學(xué)都有平等的機(jī)會被選中，確保了抽樣的公正性。

學(xué)生：原來如此，這樣就可以更全面地了解大家的口味了。

老師：是的，通過合理的隨機(jī)抽樣，我們可以在不浪費太多時間的情況下獲取更全面、更準(zhǔn)確的信息。這也是數(shù)學(xué)在實際中的應(yīng)用之一。你們覺得呢？

學(xué)生：感覺數(shù)學(xué)還挺實用的，以前沒想到還能這樣運用。

老師：數(shù)學(xué)在解決實際問題中發(fā)揮著重要作用，而隨機(jī)抽樣就是其中一個很好的例子。希望大家在日常生活中也能靈活運用數(shù)學(xué)的思維方式，發(fā)現(xiàn)更多有趣的問題。

通過這種生活化的問題情境，學(xué)生更直觀地理解了隨機(jī)抽樣的概念，并開始思考如何在實際生活中運用這個方法。教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度思考問題，培養(yǎng)了他們對問題解決的主動思考意識。

二、設(shè)置猜想驗證問題情境，探明問題根本

在問題情境中設(shè)置猜想并進(jìn)行驗證可以引導(dǎo)學(xué)生主動進(jìn)行問題探究并逐步探明問題的根本。我們繼續(xù)以“隨機(jī)抽樣”為例進(jìn)行詳細(xì)闡述。

通過生活化問題情境的創(chuàng)設(shè)，學(xué)生對隨機(jī)抽樣的方法產(chǎn)生了興趣，并且想知道是否存在一種更簡單、更直觀的方法來進(jìn)行奶茶品嘗調(diào)查。他們希望能夠通過一種猜想驗證的方式探明問題的根本，即是否有一種模式能夠更有效地了解全校學(xué)生對奶茶的喜好。

老師：那么，同學(xué)們，我們現(xiàn)在已經(jīng)了解到了隨機(jī)抽樣的方法，但是你們有沒有想過是否存在一種更簡便的方式可用來推斷全校學(xué)生對奶茶的喜好呢？

學(xué)生：可以根據(jù)學(xué)生的年級來抽樣，比如每個年級抽取一些學(xué)生。

老師：這是一個有趣的猜想！那么，我們來驗證一下這個猜想。你們認(rèn)為根據(jù)年級抽樣能夠代表全校學(xué)生的喜好嗎？

學(xué)生：如果每個年級學(xué)生的口味都相似的話，應(yīng)該可以吧。

老師：非常好的分析！我們現(xiàn)在來看看之前的奶茶品嘗活動記錄，整理出每個年級學(xué)生對奶茶的喜好情況。我們將根據(jù)這些數(shù)據(jù)來驗證你們的猜想。我們先來看看下面這份模擬數(shù)據(jù)：（見表1）

學(xué)生：我們還需要考慮到每個年級的學(xué)生人數(shù)可能會不一樣。怎么處理這個問題呢？

老師：很敏銳的問題！我們可以考慮按照每個年級學(xué)生人數(shù)的比例進(jìn)行抽樣，這樣可以更公平地代表每個年級學(xué)生的喜好。你們覺得怎么樣？

學(xué)生：好像挺合理的，這樣每個年級學(xué)生的喜好就能夠比較均衡地反映出來。

通過這個猜想驗證情境，學(xué)生在老師的引導(dǎo)下思考了根據(jù)年級抽樣的可能性，并且在實際數(shù)據(jù)處理中考慮了人數(shù)的差異。

三、融入數(shù)學(xué)史故事情境，升華問題內(nèi)涵

在問題解決的背景下，高中數(shù)學(xué)教師在創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境中應(yīng)當(dāng)積極融入數(shù)學(xué)史故事情境。這樣不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能幫助學(xué)生更加深入地了解數(shù)學(xué)歷史。

如在隨機(jī)抽樣中，老師決定通過一個數(shù)學(xué)史故事情境來深入探討隨機(jī)抽樣的問題，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。故事的背景：20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家阿倫·圖靈在研究計算機(jī)科學(xué)的過程中提出了著名的“隨機(jī)數(shù)生成器”概念。他意識到在計算機(jī)中引入一定的隨機(jī)性可以增加算法的復(fù)雜性和不可預(yù)測性。

老師：今天，我們要談?wù)撘粋€數(shù)學(xué)史上的故事，它涉及計算機(jī)科學(xué)奠基人之一——阿倫·圖靈。在20世紀(jì)初，他提出了一個非常有趣的概念——隨機(jī)數(shù)生成器。這個概念是如何幫助計算機(jī)更好地完成任務(wù)的呢？

學(xué)生：隨機(jī)數(shù)生成器是用來生成隨機(jī)數(shù)的工具，但計算機(jī)怎么可能生成真正的隨機(jī)數(shù)呢？

老師：很好的問題！實際上，圖靈意識到真正的隨機(jī)數(shù)在計算機(jī)中是很難實現(xiàn)的，因此他提出的是偽隨機(jī)數(shù)生成器。這個生成器通過一種算法產(chǎn)生看似隨機(jī)的數(shù)字序列。現(xiàn)在，我們把這個概念與我們之前討論的隨機(jī)抽樣聯(lián)系起來。

學(xué)生：難道這和我們平時在調(diào)查中用的隨機(jī)樣本有關(guān)系嗎？

老師：正是如此！圖靈的想法啟發(fā)了我們在統(tǒng)計學(xué)和調(diào)查中使用隨機(jī)抽樣的方法。現(xiàn)在，我們來思考一下，如果圖靈在當(dāng)時要進(jìn)行一個有趣的實驗，如研究當(dāng)時英國人對茶的口味偏好，他可能會如何設(shè)計隨機(jī)抽樣實驗？

學(xué)生：也許他可以從不同地區(qū)隨機(jī)選取一些家庭，然后詢問他們對茶的喜好。

老師：很好的點子！這就是一個應(yīng)用隨機(jī)抽樣的例子。圖靈可以通過從不同地區(qū)隨機(jī)選擇一些家庭，了解到不同地區(qū)人們的口味偏好，而不僅僅是在一個地方調(diào)查。這樣，他就可以更全面地了解整個英國的人們對茶的口味。

學(xué)生：那我們能不能自己設(shè)計一個實驗，使用圖靈的偽隨機(jī)數(shù)生成器來進(jìn)行隨機(jī)抽樣呢？

老師：有趣的提問！實際上，我們可以嘗試使用偽隨機(jī)數(shù)生成器來設(shè)計一個實驗，了解同學(xué)們對不同學(xué)科的興趣。通過這樣的實踐，我們可以更好地理解圖靈的思想，并將其應(yīng)用于解決實際問題。

老師：我們剛才討論了圖靈的偽隨機(jī)數(shù)生成器，他在當(dāng)時的計算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。現(xiàn)在，我們來思考一下隨機(jī)抽樣和隨機(jī)數(shù)生成器在當(dāng)代科技中的應(yīng)用。有沒有同學(xué)知道一些現(xiàn)實中使用到隨機(jī)性的例子？

學(xué)生：是不是密碼生成器用到了隨機(jī)數(shù)？

老師：很聰明！沒錯，密碼生成器通常會使用偽隨機(jī)數(shù)生成器來增加密碼的復(fù)雜性，提高安全性。

學(xué)生：在計算機(jī)游戲中，有些隨機(jī)事件的發(fā)生也可能用到隨機(jī)數(shù)吧？

老師：沒錯！在游戲中，為了增強趣味性，設(shè)計者會使用隨機(jī)數(shù)來決定一些事件的發(fā)生，如道具的出現(xiàn)、敵人的行動等，使游戲更富挑戰(zhàn)性和變化性。

通過融入數(shù)學(xué)史故事情境，學(xué)生不僅了解了數(shù)學(xué)的歷史，還將數(shù)學(xué)理論與實際問題相結(jié)合，拓展了對隨機(jī)抽樣的理解，提高了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的興趣。

四、開展活動創(chuàng)設(shè)問題情境，豐富問題內(nèi)容

為了加深學(xué)生對隨機(jī)抽樣的理解并提升學(xué)生對知識的實際應(yīng)用能力，教師決定開展一場實際的隨機(jī)抽樣活動，以構(gòu)建問題情境，豐富問題內(nèi)容。學(xué)生將在活動中親身體驗隨機(jī)抽樣的過程，從而更深刻地理解相關(guān)概念。

老師：大家好！今天我們將進(jìn)行一次實際的隨機(jī)抽樣活動，通過這個活動來感受隨機(jī)抽樣的過程，也讓我們的學(xué)習(xí)更生動、有趣。

學(xué)生：好期待這個活動！

老師：首先，我們要決定我們調(diào)查的主題。你們有什么感興趣的話題可以進(jìn)行樣本調(diào)查呢？

學(xué)生：我們可以調(diào)查同學(xué)們對不同種類零食的喜好。

老師：非常好！那么，我們將這個話題作為我們的調(diào)查對象。接下來，我們要確定如何進(jìn)行隨機(jī)抽樣。有什么好的建議嗎？

學(xué)生：我們可以寫下同學(xué)們的名字，然后隨機(jī)從中抽取。

老師：好主意！現(xiàn)在請你們一起動手，寫下同學(xué)們的名字，并準(zhǔn)備進(jìn)行隨機(jī)抽樣。

（學(xué)生動手寫下名字，教師輔助并提供指導(dǎo)。）

學(xué)生：我們寫好了，接下來呢？

老師：現(xiàn)在，我們進(jìn)行抽樣。我將使用這個裝有名字的容器，搖一搖，然后抽出一個名字。這位同學(xué)將成為我們的樣本。

（教師進(jìn)行抽樣，抽出一個名字）

學(xué)生：好刺激??！這樣抽樣感覺很公平。

老師：是的，隨機(jī)抽樣的過程就是這么簡單又有趣。接下來，你們可以分組進(jìn)行實地調(diào)查，收集同學(xué)們對不同零食的喜好數(shù)據(jù)。

（學(xué)生分組進(jìn)行實地調(diào)查。）

學(xué)生：老師，我們可以用什么圖表來展示我們的調(diào)查結(jié)果呢？

老師：這是一個很好的問題！你們可以使用柱狀圖、餅圖等清晰地呈現(xiàn)同學(xué)們的喜好。這將是一個很有趣的展示環(huán)節(jié)。

通過這個活動，學(xué)生在實踐中深入理解了隨機(jī)抽樣的過程，同時也培養(yǎng)了團(tuán)隊合作和數(shù)據(jù)分析的能力。這樣的問題情境構(gòu)建使學(xué)習(xí)更加具體而生動。學(xué)生在生動有趣的情境中不僅理解了隨機(jī)抽樣的原理和方法，還培養(yǎng)了邏輯思維、團(tuán)隊協(xié)作能力和數(shù)據(jù)分析的能力。數(shù)學(xué)不再是單純的公式和符號，而是解決現(xiàn)實問題的利器。這種基于問題解決的教學(xué)方法旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力和實際運用能力，使他們在未來能夠運用數(shù)學(xué)思維靈活應(yīng)對各種挑戰(zhàn)。

（作者單位：1.上海健康醫(yī)學(xué)院附屬衛(wèi)生學(xué)校；? ? ?2.上海市桃浦中學(xué)）

編輯：常超波