含類分?jǐn)?shù)階Hukuhara導(dǎo)數(shù)集值積分微分方程的穩(wěn)定性

王培光,畢佳慧,鮑俊艷

(河北大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 河北 保定 071002)

眾所周知,分?jǐn)?shù)微積分學(xué)在物理科學(xué)、工程、生物科學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.分?jǐn)?shù)階微分方程的基本理論參見文獻(xiàn)[1-2].關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的穩(wěn)定性問題, Lakshmikantham等[3]利用類Lyapunov函數(shù)證明了分?jǐn)?shù)階微分方程的比較定理以及兩度量穩(wěn)定性.Hristova等[4]研究了具有Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的微分方程的Lipschitz穩(wěn)定性,并且利用分?jǐn)?shù)階方程中的Lyapunov函數(shù)的2類導(dǎo)數(shù)得到方程的穩(wěn)定性條件.Agarwal等[5]在Caputo分?jǐn)?shù)階Dini導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)上,引入了Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)的一個(gè)新定義,給出該定義與標(biāo)量分?jǐn)?shù)階微分方程的比較結(jié)果,最后證明了解的嚴(yán)格穩(wěn)定性.分?jǐn)?shù)階方程的研究結(jié)果還可參見文獻(xiàn)[6-9].

近年來,集值微分方程理論受到學(xué)者們的普遍關(guān)注：文獻(xiàn)[10-11]介紹了Hukuhara導(dǎo)數(shù)意義下的集值微分方程的性質(zhì)以及應(yīng)用.集值積分微分方程作為集值分析理論的重要組成部分,目前的研究結(jié)果并不多見，Ahmad等[12-13]利用Lyapunov函數(shù)給出了集值積分微分方程解的穩(wěn)定性準(zhǔn)則；Martynyuk等[14]在集值微分方程中引入類分?jǐn)?shù)階Hukuhara導(dǎo)數(shù),并且討論了它在集值微分方程中的應(yīng)用.本文在此基礎(chǔ)上,利用比較原理及類Lyapunov函數(shù)方法,討論含類分?jǐn)?shù)階Hukuhara導(dǎo)數(shù)的集值積分微分方程解的穩(wěn)定性問題,給出方程解的等度穩(wěn)定性、一致穩(wěn)定性、等度漸近穩(wěn)定性和嚴(yán)格穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則.

1 預(yù)備知識(shí)

令Kc(Rn)表示Rn中所有非空緊凸子集的集合.對(duì)于A,B∈Kc(Rn),定義Hausdorff 度量如下

其中d(a,B)=inf[d(a,b):b∈B].特別地,D[A,θ]=supa∈Ad(a,θ),其中θ是Kc(Rn)中的零元素.

令A(yù),B,C∈Kc(Rn),λ∈R+,則D[·，·]滿足下列性質(zhì):D[A+C,B+C]=D[A,B],D[A,B]=D[B,A],D[λA,λB]=λD[A,B],D[A,B]≤D[A,C]+D[C,B].

令A(yù),B∈Kc(Rn),若存在一個(gè)子集C∈Kc(Rn),使得A=B+C,則稱C是A、B的Hukuhara差集,記為C=A?B.在一般條件下A?B≠A+(-1)B.

令Cq(I,Kc(Rn))為所有連續(xù)集值映射X:I→Kc(Rn)的集合,當(dāng) 0

類分?jǐn)?shù)階Hukuhara導(dǎo)數(shù)與Hukuhara導(dǎo)數(shù)之間有如下關(guān)系.

定義2[14]集值映射X(t)的類分?jǐn)?shù)階Hukuhara型積分

引理2[14]若集值映射X(t):I→Kc(Rn)在I上Hukuhara意義下q-可微,則

為方便本文討論,定義以下函數(shù)類：

本文考慮如下含類分?jǐn)?shù)階Hukuhara導(dǎo)數(shù)的集值積分微分方程

(1)

如果映射X∈Cq[I,Kc(Rn)]是方程(1)的解,當(dāng)且僅當(dāng)X滿足

為研究方程(1)解的穩(wěn)定性問題,首先引入下列函數(shù)類Λ.

定義3[15]若V(t,X)∈C[I×S(ρ),R+], 關(guān)于變量X滿足局部Lipschitz條件,即|V(t,X)-V(t,Y)|≤LD[X,Y],則稱函數(shù)V(t,X)屬于函數(shù)類Λ.

定義類分?jǐn)?shù)階Lyapunov函數(shù)的廣義Dini導(dǎo)數(shù)

通過引入兩Lyapunov函數(shù)和比較原理, 給出方程(1)解的穩(wěn)定性的判別準(zhǔn)則.為此, 首先引入含類分?jǐn)?shù)階Hukuhara導(dǎo)數(shù)的純量形式的積分微分方程

(2)

下面給出穩(wěn)定性的定義.

1)等度穩(wěn)定, 對(duì)于任意ε>0,t0∈R+,存在δ=δ(t0,ε)>0,使得D[X0,θ]<δ時(shí),D[X(t),θ]<ε;

2)一致穩(wěn)定, 若1)中的δ和t0無關(guān);

3)等度吸引,對(duì)于任意ε>0,t0∈R+,存在δ=δ(t0)>0,T=T(t0,ε),使得當(dāng)D[X0,θ]<δ時(shí),有D[X(t),θ]<ε,t≥T+t0;

4)一致吸引, 若 3)中的δ,T和t0無關(guān);

5)等度漸近穩(wěn)定, 若 1)和 3)同時(shí)成立;

6)一致漸近穩(wěn)定, 若 2)和 4)同時(shí)成立;

7)嚴(yán)格穩(wěn)定, 對(duì)于任意的ε1>0,t0∈R+,存在δ1=δ1(t0,ε1)>0,使得當(dāng)D[X0,θ]<δ1時(shí),有D[X(t),θ]<ε1,并且對(duì)于任意的δ2=δ2(t0,ε1),δ2∈(0,δ1],存在ε2=ε2(t0,δ2),ε2∈(0,δ2],使得當(dāng)D[X0,θ]>δ2時(shí),有D[X(t),θ]>ε2;

8)一致嚴(yán)格穩(wěn)定,若 7)中的δ和t0無關(guān).

定義5[5]設(shè)(u(t,t0,u0),v(t,t0,v0))為系統(tǒng)(2)的解, 定義系統(tǒng)(2)平凡解的穩(wěn)定性.

1)嚴(yán)格穩(wěn)定,對(duì)于任意的ε1>0,t0∈R+,存在δ1=δ1(t0,ε1)>0,使得當(dāng)|u0|<δ1時(shí),有|u(t,t0,u0)|<ε1,并且對(duì)于任意的δ2=δ2(t0,ε1),δ2∈(0,δ1],存在ε2=ε2(t0,δ2),ε2∈(0,δ2],使得當(dāng)|v0|>δ2時(shí),有|v(t,t0,v0)|>ε2;

2)一致嚴(yán)格穩(wěn)定,若1)中的δ和t0無關(guān).

2 主要結(jié)果

引理3假設(shè)下列條件成立.

1)函數(shù)V∈Λ;

(3)

r(t,t0,u0)為當(dāng)t≥t0時(shí)式(3)的最大解,其中u∈R+.則當(dāng)V(t0,X0)≤(≥)u0時(shí),有V(t,X(t))≤(≥)r(t,t0,u0)成立.

證明:情況1，當(dāng)V(t0,X0)≤u0時(shí),V(t,X(t))≤r(t,t0,u0).令m(t)=V(t,X(t)),h=ω(t-t0)1-q,0

m(t+h)-m(t)=V(t+h,X(t+h))-V(t,X(t))≤V(t+h,X(t)+hq(F(t,X(t))+

令X(t+h)=X(t)+Z(t,h),其中Z(t,h)是X(t+h)與X(t)的Hukuhara差集.可得

當(dāng)h→0+時(shí),兩邊同時(shí)取極限,可得

情況2，當(dāng)V(t0,X0)≥u0時(shí),V(t,X(t))≥r(t,t0,u0).其證明類似情況1,只需將情況1的證明中m(t)=V(t,X(t))改成m(t)=-V(t,X(t))即可.在此略去.引理3證畢.

推論1若引理3中的g(t,u)≡0,則V(t,X(t))≤(≥)V(t0,X0),t≥t0.

定理1假設(shè)下列條件成立.

2)對(duì)于η>0,V2∈C[R+×S(ρ)∩Sc(η),R+],V2(t,X)關(guān)于X滿足局部Lipschitz條件,并且

b(D[X(t),θ])≤V2(t,X(t))≤a(D[X(t),θ]),a,b∈K,

3)比較方程

(4)

(5)

式(4)的平凡解是穩(wěn)定的,式(5)的平凡解是一致穩(wěn)定的,則方程(1)的解是等度穩(wěn)定的.

證明: 令0<ε<ρ,t0∈R+.由于方程(5)的平凡解是一致穩(wěn)定的,則對(duì)于給定的b(ε)>0,存在δ0=δ0(ε)>0,當(dāng)v0<δ0時(shí),有v(t,t0,v0)0,使得a(δ2)<δ0/2.由方程(4)的平凡解是穩(wěn)定的,則對(duì)于上述δ0>0,存在δ*=δ*(t0,ε),當(dāng)u0<δ*時(shí),有u(t,t0,u0)<δ0/2,t≥t0,其中,u(t,t0,u0)是方程(4)的任意解.

選擇u0=V1(t0,X0),V1(t,X)連續(xù),V1(t,θ)=0,則存在δ1>0,使得D[X0,θ]<δ1,V1(t0,X0)<δ*.

同理可得,V1(t1,X(t1))≤r1(t1,t0,V1(t0,X0)),其中r1(t,t0,u0)是方程(4)的最大解.

可得V1(t1,X(t1))<δ0/2.有V2(t1,X(t1))≤a(δ2)<δ0/2.進(jìn)一步可得b(ε)≤b(D[X(t2),θ])≤V2(t2,X(t2))≤m(t2)≤r2(t2,t1,m(t1))

定理2假設(shè)下列條件成立.

1)函數(shù)V1∈Λ,并且

3)存在充分小ρ0,使得V1(t,X)≤a0(D[X,θ]),(t,X)∈I×S(ρ0),a0∈K;

4)比較方程

(6)

的平凡解是一致穩(wěn)定的.

方程(1)的解是等度漸近穩(wěn)定的.

證明: 根據(jù)定理1,令ε=ρ,當(dāng)D[X0,θ]<δ(t0,ρ),有D[X(t),θ]<ρ,t≥t0.

(7)

接下來證明,當(dāng)t≥t0+T時(shí),D[X(t),θ]<ε.假設(shè)不然,證明過程同定理1,可以得到, 當(dāng)D[X0,θ]<δ(t0,ρ)時(shí),D[X(t),θ]<ε,t≥t0+T成立.定理2證畢.

下面利用比較定理, 給出方程(1)解的穩(wěn)定性判別準(zhǔn)則.

定理3假設(shè)下列條件成立.

1)函數(shù)V∈Λ,并且有b(t,D[X(t),θ])≤V(t,X)≤a(t,D[X,θ]),a,b∈K;

(8)

r(t,t0,u0)是式(8)的最大解,那么比較方程(8)解的穩(wěn)定性(漸近穩(wěn)定性)蘊(yùn)含方程(1)解的等度穩(wěn)定性(等度漸近穩(wěn)定性).

證明: 情況1,首先證明方程(1)解的等度穩(wěn)定性.令0<ε<ρ,t0∈R+.假設(shè)方程(8)的解是穩(wěn)定的,則對(duì)于給定的b(ε),t0∈R+,存在δ1=δ1(t0,ε)>0,使得當(dāng)u0<δ1時(shí),有

u(t,t0,u0)

(9)

其中,u(t,t0,u0)是方程(8)的任意解.

令u0=V(t0,X0),δ=δ(t0,ε)>0,滿足

a(δ)<δ1,

(10)

那么當(dāng)D[X0,θ]<δ時(shí),有D[X(t),θ]<ε,t≥t0.事實(shí)上,假設(shè)不然,則存在t1>t0,使得當(dāng)D[X0,θ]<δ時(shí),有

D[X(t1),θ]=ε,D[X(t),θ]≤ε<ρ,t0≤t≤t1.

(11)

根據(jù)引理3,則有

V(t,X(t))≤u(t,t0,u0),t0≤t≤t1.

(12)

進(jìn)一步,可得V(t0,X0)≤a(D[X0,θ])

得到矛盾.所以方程(1)的解是等度穩(wěn)定的.

情況2,其次證方程(1)解的等度漸近穩(wěn)定性.假設(shè)方程(8)的解是漸近穩(wěn)定的,那么它的解是吸引的.因此,對(duì)于ε=ρ,存在δ=δ(t0,ρ)>0,令0<η<ρ,對(duì)于給定的b(η),存在δ2=δ2(t0)>0,T=T(t0,η),使得當(dāng)u0<δ2時(shí),有

u(t)

(13)

令u0=V(t0,X0),δ3=δ3(t0)>0且

a(δ3)<δ2.

(14)

令δ=min{δ2,δ3},結(jié)合式(14),有b(D[X(t),θ])≤V(t,X(t))≤u(t,t0,u0)

即方程(1)的解是等度吸引的, 從而可得方程(1)的解是等度漸近穩(wěn)定的.定理3證畢.

定理4假設(shè)下列條件成立.

1)函數(shù)gi∈C[R+×R+,R+],gi(t,0)=0,i=1,2;

2)存在函數(shù)V1∈Λ,當(dāng)t∈I,V1(t,θ)=0,使得

②

a(D[X(t),θ])≤V1(t,X)≤b(D[X(t),θ]),t∈I,a,b∈K.

3)存在函數(shù)V2∈Λ,使得

③

④

c(D[X(t),θ])≤V2(t,X)≤d(D[X(t),θ]),t∈I,c,d∈K.

4)

(15)

(u(t,t0,u0),v(t,t0,v0))為比較方程的解,那么方程(15)解的嚴(yán)格穩(wěn)定性(一致嚴(yán)格穩(wěn)定性)蘊(yùn)含方程(1)解的嚴(yán)格穩(wěn)定性(一致嚴(yán)格穩(wěn)定性).

證明:情況1,證明方程(1)解的嚴(yán)格穩(wěn)定性.假設(shè)系統(tǒng)(15)的解是嚴(yán)格穩(wěn)定的, 則對(duì)于任意的ε1>0,存在δ1=δ1(t0,ε)≥0,并且對(duì)于任意的δ2∈(0,δ1],存在ε2∈(0,δ2],使得u0<δ1,v0>δ2,有

u(t,t0,u0)

(16)

v(t,t0,v0)>ε2,t≥t0.

(17)

由V1(t0,θ)=0,則存在δ3=δ3(t0,ε),δ3∈(0,δ1),使得當(dāng)D[X,θ]<δ3時(shí),有V1(t0,X)<δ1.令δ4∈(0,δ3],則存在δ5∈(0,δ1],使得c(δ4)>δ5.存在ε2∈(0,δ5],使得v0>δ5.進(jìn)一步,選擇ε3∈(0,δ4],使得b(ε3)<ε2,并且有δ4

令u0=V1(t0,X0),v0=V2(t0,X0).(u(t,t0,u0),v(t,t0,v0))是系統(tǒng)(15)的解,使得u(t,t0,u0)是第1個(gè)方程的最大解,v(t,t0,v0)是第2個(gè)方程的最小解,并且u0<δ1.因此u(t,t0,u0)滿足式(16).根據(jù)X0和條件3)④,有v0=V2(t0,X0)≥c(D[X0,θ])>c(δ4)>δ5.因此v(t,t0,v0)滿足式(17).

根據(jù)引理3和條件2)②, 得到a(D[X(t),θ])≤V(t,X(t))≤u(t,t0,u0)

根據(jù)引理3和條件3)④, 得到d(D[X(t),θ])≥V(t,X(t))≥v(t,t0,v0)>ε2>d(ε3),t≥t0.因此,D[X(t),θ]>ε3.定理得證.

情況2,其次證方程(1)解的一致嚴(yán)格穩(wěn)定性假設(shè)系統(tǒng)(15)的解是一致嚴(yán)格穩(wěn)定的, 則對(duì)于任意常數(shù)ε1∈(0,A],存在δ1=δ1(ε1)>0,對(duì)于任意δ2∈(0,δ1],存在ε2∈(0,δ2], 使得當(dāng)u0<δ1,v0>δ2時(shí),有

u(t,t0,u0)

(18)

v(t,t0,v0)>ε2,t≥t0.

(19)

選擇δ3∈(0,A),使得b(δ3)<δ1,并且令D[X0,θ]<δ3.

令u0=V1(t0,X0).u(t,t0,u0)是系統(tǒng)(15)第1個(gè)方程的最大解.根據(jù)條件2)②,可以得到u0=V1(t0,X0)≤b(D[X0,θ])

假設(shè)不等式

D[X(t),θ]

(20)

不成立,則存在t*>t0,使得D[X(t),θ]

V1(t,X(t))≤u(t,t0,u0),t∈[t0,t*].

(21)

根據(jù)式(18)和式(21)和條件2)①,可以得到

a(A)=a(D[X(t*),θ])≤V1(t*,X(t*))≤u(t*,t0,u0)

(22)

矛盾,即不等式(20)成立.根據(jù)條件2)②和式(18),可以得到a(D[X(t),θ])≤V1(t,X(t))≤u(t*,t0,u0)

根據(jù)引理3, 有

V(t,X(t))≥v(t,t0,v0),t≥t0.

(23)

根據(jù)式(23)、(19)和條件3)④,可以得到

(24)

因此,不等式D[X(t),θ]>ε3,t≥t0成立.定理4得證.