基于Backstepping 的多矢量推力平流層飛艇控制方法研究

張恒，楊慧，王宇

（201620 上海市 上海工程技術(shù)大學(xué) 航空運輸學(xué)院）

0 引言

臨近空間指的是距離地面20～100 km 的空間區(qū)域，該區(qū)域包含了大氣平流層、中間層以及電離層的一部分區(qū)域，這一區(qū)域正好位于傳統(tǒng)飛行器的最高飛行高度和航天器的最低軌道高度之間。近些年來，該空間區(qū)域的平流層成為連接航空和航天的一個新的空間領(lǐng)域，在飛行器飛行方面越來越擁有著非凡意義和重要價值[1]。平流層飛艇指的是一種基于浮生氣體供給靜升力及依靠推進(jìn)與控制系統(tǒng)完成操縱飛行，且在平流層平均風(fēng)速較小的高度范圍進(jìn)行長期工作并執(zhí)行特定任務(wù)的浮空類飛行器。本文將介紹一種多矢量推力平流層飛艇，目前已普遍應(yīng)用在衛(wèi)星探測、應(yīng)急救災(zāi)、區(qū)域?qū)Ш?、安全偵查等領(lǐng)域。在性能方面，平流層飛艇具有無可比擬的優(yōu)越性：（1）可承載質(zhì)量較大；（2）在空間停留工作時間長；（3）具有一定的隱身性能；（4）在平流層空間的生存能力強(qiáng)。擁有諸多性能的平流層飛艇在效費比方面自然有著較高的優(yōu)越性，目前已經(jīng)成為航天航空領(lǐng)域的重點研究對象。

多矢量推力平流層飛艇在飛行及其工作過程中易受到各種外部干擾的影響，比如平流層中空氣濕度變化、風(fēng)力干擾等情況，這些外界干擾往往會使飛艇機(jī)體出現(xiàn)晃動，甚至導(dǎo)致飛艇的運動軌跡偏離既定的路線，因此通過各種控制方法設(shè)計出抗干擾能力強(qiáng)的魯棒飛行控制系統(tǒng)是十分有必要的[2]。

反演（Backstepping）設(shè)計方法，通常又被稱為后退法、回推法或反步法，主要是針對一種不確定性系統(tǒng)。Backstepping 設(shè)計的基本思想是：將一個復(fù)雜的非線性多階系統(tǒng)分解成多個一階子系統(tǒng)（不超過原系統(tǒng)階數(shù)），再為每個1 階子系統(tǒng)分別設(shè)計Lyapunov 函數(shù)以及中間虛擬控制量，通過構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)設(shè)計控制器，一步一步設(shè)計滿足要求的虛擬控制，從而設(shè)計出真正的控制律[3]。Backstepping 控制方法一般結(jié)合Lyapunov 型自適應(yīng)律使用，將控制律以及自適應(yīng)律作為一個整體考慮，讓整個閉環(huán)系統(tǒng)滿足預(yù)想中的動靜態(tài)性能指標(biāo)[4]。

本文重點研究飛艇軌跡跟蹤，將Backstepping控制理論應(yīng)用到多矢量推力平流層飛艇控制中。當(dāng)飛艇沿著既定的軌跡運動時，該控制方法會迫使飛艇跟隨給定點。在多矢量推力飛艇運動學(xué)和動力學(xué)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出多矢量推力平流層飛艇的非線性控制律，即使在風(fēng)擾動下也能跟蹤既定位置。仿真證實了所提出的Backstepping 控制算法能夠穩(wěn)定整個系統(tǒng)，并驅(qū)動飛艇達(dá)到期望的位置和偏航角軌跡。

1 多矢量推力平流層飛艇空間運動模型

在oxyz 坐標(biāo)系下，利用牛頓定律，對飛艇受作用于振中的力和力矩，得到其動力學(xué)方程：

式中：M——飛艇質(zhì)量矩陣；（xG，yG，zG）——飛艇重心位置；m——飛艇質(zhì)量；mii（i=1，2，…，6）——平流層飛艇的附加質(zhì)量；Ix，Iy，Iz——飛艇的3 個慣性矩；——平流層飛艇的3 個線加速度；——繞艇體的3 個角加速度。平流層飛艇所受外力和力矩分別為氣動力FA、重力和浮力FGB、科氏力FI和矢量推力FT。

根據(jù)飛艇的動力學(xué)和運動學(xué)模型可知[5-6]，平流層飛艇的氣動力為

式中：q∞——氣流的動態(tài)壓力；Cx——水平力氣動系數(shù)；Cz——垂直力的氣動系數(shù)；Cmy——主俯仰力矩的氣動系數(shù)；Sref=Vol2/3——參考區(qū)域；Lref=Vol1/3——參考長度；Vol——飛艇的體積。

飛艇所受重力和浮力的矢量和為

式中：θ，ψ，φ——飛艇的俯仰角、偏航角、滾轉(zhuǎn)角；x，y，z——飛艇的位置坐標(biāo)。

設(shè)控制輸入uinput=[fxfyfzmxmymz]T，動力學(xué)方程（1）、運動學(xué)方程（8）、（9）可根據(jù)以下狀態(tài)向量將其改寫為狀態(tài)空間形式：

飛艇的結(jié)構(gòu)示意圖如圖1 所示。

圖1 飛艇結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Structure diagram of an airship

2 基于Backstepping 的控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

通過Backstepping 控制方法，可以使得系統(tǒng)（1）遵循所需軌跡的控制律。為此我們通過以下步驟構(gòu)造控制律：

定義跟蹤誤差：

因此，通過Lyapunov 穩(wěn)定性理論，控制律式（20）使得上述跟蹤誤差漸近收斂至0。所以，通過式（11）—式（20），整個系統(tǒng)（10）對于控制律是漸近穩(wěn)定的：

3 仿真結(jié)果

為了驗證所提出的基于Backstepping 控制得到的控制律的有效性，采用變步長Rung-Kutta 方法對多矢量推力平流層飛艇進(jìn)行了仿真。飛艇主要參數(shù)如表1 所示[8]。

表1 平流層飛艇模型參數(shù)Tab.1 Parameters of stratospheric airship model

針對基于Backstepping 設(shè)計的控制器，設(shè)定控制參數(shù)c1=5eye（6）和c2=eye（6）；初始條件為x1=[0 0 0 0 0 0]T和uinput=[0 0 0 0 0 0]T；參考軌跡為。

圖2—圖5 分別給出了多矢量推力平流層飛艇的位置和跟蹤誤差。圖2 和圖3 中，位置x，y，z 和偏航角均可快速收斂（約2 s），并可以保持預(yù)期的軌跡。位置和偏航誤差指數(shù)都收斂于零，這是由于當(dāng)跟蹤誤差開始變大時，反饋控制能夠保證系統(tǒng)狀態(tài)高速收斂到期望值，由此可見平流層飛艇能夠快速地沿著預(yù)期的軌跡飛行。此外，由圖4 可見，傾斜角度（俯仰角和滾轉(zhuǎn)角）優(yōu)化，從而使用最小的能量。對于控制輸入信號，如控制輸入和偏轉(zhuǎn)角μ1，μ2，μ3，μ4，均可有效跟蹤所需軌跡，并能夠迅速趨于穩(wěn)定。最后，外部推進(jìn)器可以提供等量的力，垂直向上，以平衡浮力（如圖6 和圖7 所示），這在物理學(xué)上是可以實現(xiàn)的。

圖2 x，y 位置跟蹤信號圖Fig.2 Position tracking signal diagram of x and y

圖3 位置z 和偏航角ψ 跟蹤信號圖Fig.3 Position tracking signal diagram of z and yaw angleψ

圖4 滾轉(zhuǎn)角φ 和俯仰角θ 跟蹤信號圖Fig.4 Position tracking signal diagram of roll angleφ and pitch angleθ

圖5 x，y，z 和ψ 的跟蹤誤差Fig.5 The tracking error of x，y，z andψ

圖6 4 個矢量推進(jìn)器的控制輸入Fig.6 Control inputs for four vector thrusters

圖7 4 個矢量推進(jìn)器的偏轉(zhuǎn)角度Fig.7 The deflection Angle of the four vector thrusters

4 結(jié)論

本文介紹了一種多矢量推力平流層飛艇動力學(xué)建模，基于Backstepping 理論推導(dǎo)出多矢量推力平流層飛艇非線性控制律，該控制律能夠使得文中所述系統(tǒng)具有Lyapunov 穩(wěn)定性；利用MATLAB軟件進(jìn)行了仿真分析。仿真結(jié)果顯示，所提出的Backstepping 控制算法能夠穩(wěn)定整個系統(tǒng)，并將飛艇驅(qū)動到所要求的位置和偏航角的軌跡上。此外，對比非線性系統(tǒng)的Backstepping 控制與傳統(tǒng)控制方法，Backstepping 控制在抗風(fēng)擾能力、克服非線性的干擾、工程實現(xiàn)方面取得了較大的進(jìn)步，很大程度上提高了平流層飛艇的飛行控制的魯棒性和精確性。