工業(yè)機(jī)器人軌跡規(guī)劃及軌跡優(yōu)化研究綜述

段昊宇翔，張宇，陳昊然，張倩玉

（650500 云南省 昆明市 昆明理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院）

0 引言

隨著全球“工業(yè)4.0”的時(shí)代大背景與我國提出的“中國制造2025”戰(zhàn)略計(jì)劃的不斷推進(jìn)[1-2]，生產(chǎn)自動(dòng)化、智能化的要求被視為建設(shè)智能工廠的首要目標(biāo)，工業(yè)機(jī)器人更是被視為建設(shè)智能工廠的關(guān)鍵[3]。在制造業(yè)中，搬運(yùn)、碼垛、裝配等一系列工況中工業(yè)機(jī)器人得到了廣泛的應(yīng)用，在這樣的大背景下，業(yè)內(nèi)對機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)能力提出了更高的要求[4-5]。機(jī)器人軌跡的規(guī)劃對生產(chǎn)效率和使用壽命產(chǎn)生直接的影響，因此，如何規(guī)劃機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)軌跡方式具有重要的研究意義。

1 軌跡規(guī)劃算法

1.1 軌跡規(guī)劃基礎(chǔ)建模描述

機(jī)器人建模是軌跡規(guī)劃和優(yōu)化的基礎(chǔ)。1955年，Denavit 和Hartenberg 首先提出機(jī)器人建模方法，提出一種依附關(guān)節(jié)鏈中的每個(gè)桿件建立坐標(biāo)系的矩陣方法，稱為DH 建模法[6]，本文引用最常見的Puma560 型[7]機(jī)器人進(jìn)行建模，具體參數(shù)如表1 和圖1 所示。

表1 Puma560 機(jī)器人D-H 參數(shù)表Tab.1 D-H parameters of Puma560 manipulator

圖1 連桿坐標(biāo)系Fig.1 Link coordinate system

使用DH 參數(shù)法建?？梢愿鶕?jù)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的知識(shí)進(jìn)行機(jī)器人各個(gè)關(guān)節(jié)間的轉(zhuǎn)換矩陣運(yùn)算，從而把機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)理問題[8]。

1.2 軌跡規(guī)劃

軌跡規(guī)劃是機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)，其旨在控制機(jī)器人的末端位姿[9]，軌跡規(guī)劃是否合理對于機(jī)器人是否能完成作業(yè)任務(wù)有著直接的影響。

1.2.1 關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃

關(guān)節(jié)空間中的軌跡規(guī)劃。該軌跡規(guī)劃方式為一個(gè)從輸入給機(jī)器人相關(guān)參數(shù)、目標(biāo)點(diǎn)位到輸出一系列控制機(jī)器人各關(guān)節(jié)的位置、速度、加速度的時(shí)間序列的過程[10]。關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡單，而且由于不進(jìn)行機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的計(jì)算，所以不會(huì)出現(xiàn)機(jī)器人的奇異性問題。但其缺點(diǎn)也很明顯，如對機(jī)器人末端的軌跡表達(dá)不直接，且機(jī)器人的各個(gè)關(guān)節(jié)變化末端位姿變化并沒有線性關(guān)系。

1.2.2 笛卡爾空間軌跡規(guī)劃

該軌跡規(guī)劃方式是對直角坐標(biāo)系中從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的直接規(guī)劃，它能精確地確定機(jī)器人運(yùn)行的軌跡，特別是在一些對行走軌跡有嚴(yán)格要求的場景，比如弧焊、噴涂等。缺點(diǎn)是在笛卡爾坐標(biāo)系中規(guī)劃要進(jìn)行機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算各個(gè)關(guān)節(jié)的相關(guān)參數(shù)以達(dá)到控制機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的目的，但這個(gè)過程計(jì)算量巨大，而且還可能出現(xiàn)機(jī)器人的奇異性問題，造成機(jī)器人停止工作任務(wù)的后果[11-12]。

1.2.3 基本軌跡規(guī)劃算法

無論是關(guān)節(jié)空間規(guī)劃還是笛卡爾空間規(guī)劃，在規(guī)劃的過程中都會(huì)運(yùn)用到插補(bǔ)的算法，國內(nèi)外學(xué)者對這一個(gè)方面做了大量研究，主要分為以下幾種:

（1）3 次多項(xiàng)式插補(bǔ)。該插補(bǔ)方式計(jì)算簡單，容易實(shí)現(xiàn)，可以得到一條位置，速度平滑的軌跡，適用于一些簡單的運(yùn)動(dòng)。張力[13]等提出一種以三次多項(xiàng)式為基礎(chǔ)的加減速NURBS 插補(bǔ)算法，這一算法需進(jìn)行數(shù)據(jù)預(yù)處理、預(yù)測和實(shí)時(shí)規(guī)劃，通過尋找優(yōu)化速度敏感點(diǎn)的方式，實(shí)現(xiàn)了數(shù)控加工中進(jìn)給的速度平滑，有效地控制了速度急劇變化時(shí)出現(xiàn)的抖動(dòng)問題；符愛周[14]等引入時(shí)間分割原理對三次多項(xiàng)式加減速控制算法進(jìn)行了研究，提出了微小線段的加減速控制策略。

（2）5 次多項(xiàng)式插補(bǔ)。相比起三次多項(xiàng)式插補(bǔ)來說，五次多項(xiàng)式插補(bǔ)計(jì)算量偏大，對機(jī)器人的加速度緯度進(jìn)行了約束，減少了沖擊，適用于高速高性能高精度的運(yùn)動(dòng)。Shen 等[15]把五次多項(xiàng)式插補(bǔ)和三次多項(xiàng)式插補(bǔ)進(jìn)行了誤差對比，從控制精度誤差、速度誤差等方面證明五次多項(xiàng)式插補(bǔ)均優(yōu)于三次多項(xiàng)式插補(bǔ)。

（3）多段組合多項(xiàng)式插補(bǔ)。該插補(bǔ)方式可以根據(jù)各段軌跡不同的技術(shù)需求去進(jìn)行規(guī)劃，缺點(diǎn)在于無法保證各段軌跡連接的平滑性。值得注意的是，在多項(xiàng)式插補(bǔ)過程中并不是插補(bǔ)的函數(shù)次數(shù)越高，插補(bǔ)效果越好，次數(shù)過高也會(huì)伴隨龍格庫塔現(xiàn)象的發(fā)生；張金明等[16]提出一種新型3 段“414”插值算法，使關(guān)節(jié)的加速度變化更加平穩(wěn)，融合了低次多項(xiàng)式加速度小和高次多項(xiàng)式易控的優(yōu)點(diǎn)，有效降低了機(jī)器人傳動(dòng)過程中對關(guān)節(jié)產(chǎn)生的沖擊；楊靜[17]等提出一種“353”多項(xiàng)式插補(bǔ)方式。該算法有效降低了機(jī)器人的最大速度和最大加速度，使加速度變化更為平滑，從而提升了機(jī)器人運(yùn)行的平穩(wěn)性。

（4）B 樣條曲線插補(bǔ)。該插補(bǔ)方式優(yōu)點(diǎn)在于，某個(gè)中間點(diǎn)改變對軌跡的影響僅局限于改變點(diǎn)周圍，而對其他區(qū)域的軌跡沒有影響，且這種插補(bǔ)算法的曲線有凸包性。該方法的缺點(diǎn)在于規(guī)劃的樣條曲線并不能通過型值點(diǎn)，必須通過規(guī)劃點(diǎn)反求型值點(diǎn)，這個(gè)過程很復(fù)雜。董甲甲[18]等提出一種基于改進(jìn)B 樣條的軌跡規(guī)劃算法，通過對樣條曲線產(chǎn)生的方式加以改進(jìn)，解決了傳統(tǒng)B 樣條不能通過型值點(diǎn)的問題，給出改進(jìn)B 樣條曲線在應(yīng)用于軌跡規(guī)劃中的實(shí)現(xiàn)細(xì)節(jié)，通過圓弧實(shí)驗(yàn)，驗(yàn)證了該方法的有效性；皇甫立群[19]提出了一種動(dòng)態(tài)B 樣條曲線插補(bǔ)方法，通過改變傳統(tǒng)B樣條曲線的基函數(shù)，對其重新參數(shù)化，使之在不同參數(shù)下B 樣條曲線的點(diǎn)與參數(shù)域的點(diǎn)對應(yīng)關(guān)系不同。

2 軌跡優(yōu)化算法

軌跡優(yōu)化指的是為改善整體性能而對機(jī)器人進(jìn)行最佳路徑規(guī)劃的過程，最佳路徑也可理解為用最好關(guān)節(jié)規(guī)劃控制機(jī)器人行走的最佳策劃，優(yōu)化過程的主要目的是找到對優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)的最佳解決方案。隨著智能算法的發(fā)展，越來越多的智能算法被應(yīng)用到軌跡優(yōu)化中[20]。軌跡優(yōu)化在機(jī)器人中的研究涉及單一目標(biāo)，也有很多研究考慮的是多目標(biāo)設(shè)計(jì)，去最小化的執(zhí)行某些任務(wù)或者將機(jī)器人的末端從一個(gè)起始位姿移動(dòng)到目標(biāo)位姿[21]。

2.1 最優(yōu)時(shí)間

機(jī)器人的工作效率直接決定了生產(chǎn)的效率，所以機(jī)器人對時(shí)間維度上的優(yōu)化是比較敏感的，時(shí)間也被認(rèn)為是最常用優(yōu)化目標(biāo)。最優(yōu)時(shí)間指的是機(jī)器人在滿足自身運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)的約束下，求解使其運(yùn)行完指定軌跡的最短時(shí)間-位置序列。對于最優(yōu)時(shí)間的研究一般從求解最優(yōu)時(shí)間軌跡規(guī)劃的約束條件、求解算法以及對時(shí)間目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)研究幾個(gè)方面入手。Rojas 等[22]提出一種介于梯形速度曲線和5 次多項(xiàng)式樣條曲線之間的新樣條曲線，以減少關(guān)聯(lián)運(yùn)動(dòng)的執(zhí)行時(shí)間，在保證最小沖擊的同時(shí)，盡可能地保證機(jī)器人運(yùn)動(dòng)的平滑性，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的有效性；Barnett 等[23]引入了二分算法，并使用了動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法來解決最優(yōu)時(shí)間軌跡規(guī)劃問題。該方法可以將全局問題劃分為一系列簡單的子問題，與直接計(jì)算軌跡的方法相比，問題的約束數(shù)量越多，這種方法的優(yōu)勢就越明顯；與其他動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法相比，二分算法不需要尋找最大速度曲線和軌跡規(guī)劃過程中找到準(zhǔn)確的加速度變化點(diǎn)。實(shí)驗(yàn)證明，二分算法比最近提出的算法更簡單、更快、魯棒性更強(qiáng)，也驗(yàn)證了二分算法可以在最優(yōu)時(shí)間軌跡優(yōu)化這個(gè)問題上的廣泛適用性。張?jiān)圃耓24]等提出一種采用二次順序規(guī)劃的最優(yōu)時(shí)間軌跡規(guī)劃算法，考慮了時(shí)間和沖擊之間的平衡，使用三次樣條插補(bǔ)得到最優(yōu)軌跡。實(shí)驗(yàn)表明，該算法使機(jī)器人運(yùn)行期間更加平穩(wěn)，效率更高；孟一平[25]等人提出一種把路徑與時(shí)間相結(jié)合以提高效率的最優(yōu)時(shí)間軌跡規(guī)劃，通過粒子群優(yōu)化算法在笛卡爾坐標(biāo)系中去尋找出最短路徑，再使用自適應(yīng)遺傳算法尋找出最優(yōu)時(shí)間插補(bǔ)，并通過試驗(yàn)驗(yàn)證了該混合算法的有效性。

2.2 最低能量

對于企業(yè)來說，生產(chǎn)中的能量消耗對于生產(chǎn)利潤起著決定性作用，所以如何在有限的能量供給里盡可能延長機(jī)器人工作的時(shí)間有重要的研究意義。最低能量指如何以最低的能量消耗去完成指定的工作要求，對最低能量的研究一般從能耗函數(shù)的合理性、不同能耗函數(shù)下不同軌跡優(yōu)化的結(jié)果比較以及最優(yōu)能量模塊分配這幾個(gè)方面入手。Kim 等[26]利用最小Pontryagin 原理對不同約束條件下的多段軌跡進(jìn)行了最小能量規(guī)劃，建立了兩種有效的最小能量多段軌跡生成算法，提出一種新型函數(shù)應(yīng)用于在線軌跡修正和保持能量效率控制，并驗(yàn)證了此算法能有效降低能量損耗；Vidussi[27]等提出一種新型的能量性能指標(biāo)，該指標(biāo)建立了機(jī)器人能耗與其慣性的聯(lián)系，且無需通過廣泛的動(dòng)態(tài)仿真進(jìn)行計(jì)算。在考慮機(jī)器人工作點(diǎn)的位置影響的同時(shí)，將傳統(tǒng)能量分析公式與所提出的軌跡能量指數(shù)Tel 的理論公式的預(yù)測進(jìn)行比較,驗(yàn)證了Tel 指標(biāo)與機(jī)器人軌跡有效能耗的良好一致性。

2.3 最優(yōu)沖擊

在機(jī)器人的使用過程中，機(jī)器人產(chǎn)生的抖動(dòng)被認(rèn)為是對機(jī)器人使用壽命衰減最大的挑戰(zhàn)之一。沖擊使關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)不平穩(wěn)，劇烈的沖擊會(huì)造成機(jī)械臂的振動(dòng)、磨損，最終導(dǎo)致機(jī)器故障，所以為了減少以上現(xiàn)象，就需要對機(jī)器人的沖擊進(jìn)行優(yōu)化。對于沖擊優(yōu)化的研究思路一般從界定沖擊大小的指標(biāo)（根據(jù)不同工況來確定具體指標(biāo)，如指標(biāo)為工作周期內(nèi)平均沖擊大小、對機(jī)器關(guān)節(jié)有一個(gè)沖擊極限的沖擊最大值指標(biāo)等）和如何使用優(yōu)化算法到具體的沖擊問題中入手。劉松國[28]提出一種新型沖擊指標(biāo)，把一種關(guān)于時(shí)間的積分函數(shù)與關(guān)節(jié)沖擊相聯(lián)系作為指標(biāo)，成功地把機(jī)器人沖擊問題轉(zhuǎn)化為時(shí)間問題，并在機(jī)器人相關(guān)參數(shù)約束下，選用7 次多項(xiàng)式插補(bǔ)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，證明了該指標(biāo)的有效性，并且得到最優(yōu)的沖擊軌跡；Ohno[29]等提出一種基于軌跡力矩函數(shù)檢測機(jī)器人被動(dòng)關(guān)節(jié)是否存在間隙的方法，引入一種聯(lián)合沖擊指數(shù)（JII）來評(píng)估關(guān)節(jié)沖擊的大小，提出兩種帶間隙球面節(jié)點(diǎn)的約束模型，用以研究節(jié)點(diǎn)單元之間的關(guān)系和判斷關(guān)節(jié)檢測間隙是否存在具體軌跡，采用三次多項(xiàng)式的方式進(jìn)行插補(bǔ)，并驗(yàn)證了該方法的有效性。

3 總結(jié)與展望

經(jīng)過幾十年的研究與發(fā)展，無論是軌跡規(guī)劃還是軌跡優(yōu)化，均出現(xiàn)了一些相對成熟穩(wěn)定的算法應(yīng)用。本文首先對機(jī)器人軌跡規(guī)劃和機(jī)器人軌跡優(yōu)化問題進(jìn)行了描述，然后分別從軌跡規(guī)劃、插補(bǔ)算法和軌跡優(yōu)化算法方面進(jìn)行了闡述。軌跡規(guī)劃通常而言是進(jìn)行關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃，但如果工作任務(wù)對機(jī)器人末端軌跡有精確要求，需選用笛卡爾空間軌跡規(guī)劃，所以需要去判斷在不同的工況下如何使用不同的軌跡規(guī)劃方法。插補(bǔ)算法主要探討的是如何讓機(jī)器人在精確度、平滑性、算法實(shí)現(xiàn)難度和計(jì)算速度之間做出平衡，不同的任務(wù)要求對應(yīng)著不同的標(biāo)準(zhǔn)，靈活選用插補(bǔ)算法，保證了機(jī)器人能出色地完成工作任務(wù)。軌跡優(yōu)化算法是在完成基本路徑的基礎(chǔ)上對機(jī)器人完成任務(wù)時(shí)間、能量損耗和所受沖擊大小進(jìn)行重新規(guī)劃，從而達(dá)到延長機(jī)器人使用壽命、提高機(jī)器人工作質(zhì)量等目的。隨著計(jì)算機(jī)性能的提高，機(jī)器人能實(shí)現(xiàn)一些復(fù)雜工況下的作業(yè)，機(jī)器人也朝著高精度、高效率、模塊化、自動(dòng)化、智能化的方向發(fā)展。

綜上所述，為了讓機(jī)器人實(shí)現(xiàn)高精度、高效率、模塊化、自動(dòng)化、智能化，需要對其軌跡規(guī)劃和軌跡優(yōu)化做進(jìn)一步研究探討，未來的研究發(fā)展趨勢主要考慮以下幾個(gè)方面：

（1）提高結(jié)合實(shí)際工況的軌跡規(guī)劃可靠性。文中提到的軌跡研究大多都只是對于軌跡函數(shù)的數(shù)理化研究，所謂的最優(yōu)只是一個(gè)理論最優(yōu)值，而且在這個(gè)過程中很多細(xì)節(jié)都不會(huì)被充分地考慮，如在研究動(dòng)力學(xué)方面通常不會(huì)去考慮電機(jī)和連桿間剛?cè)狁詈弦蛩氐挠绊?，并且使用的模型一般為線性剛度動(dòng)力學(xué)模型，并不會(huì)涉及非線性因素。但在實(shí)際的軌跡工作過程中，還需要考慮其他因素對機(jī)器人運(yùn)動(dòng)質(zhì)量的影響，如電機(jī)損耗情況、負(fù)載的材料特性和質(zhì)量、周圍工況環(huán)境對于機(jī)器人的影響等。故需要提高軌跡規(guī)劃的可靠性，做到更合理的規(guī)劃。

（2）混合最優(yōu)的軌跡規(guī)劃的科學(xué)性。無論是時(shí)間最優(yōu)、能量最優(yōu)，還是沖擊最優(yōu)，都無法完整表達(dá)規(guī)劃最優(yōu)，而且隨著機(jī)器人在各種復(fù)雜工況中的應(yīng)用，除這3 個(gè)指標(biāo)，還必將引入一些新的性能指標(biāo)，如路徑等。目前來看，多目標(biāo)優(yōu)化更多的還是采用權(quán)重系數(shù)這一方式把各個(gè)指標(biāo)相關(guān)聯(lián)，但這一方式主觀性太強(qiáng)，所以如何把各個(gè)指標(biāo)有效、合理地聯(lián)系起來，如何使用跟準(zhǔn)確的指標(biāo)去描述規(guī)劃函數(shù)也會(huì)成為未來研究優(yōu)化問題的一個(gè)重要方向。

（3）基于機(jī)器視覺的實(shí)時(shí)軌跡規(guī)劃。由于機(jī)器人在實(shí)際作業(yè)中的情況會(huì)與理論規(guī)劃存在誤差，對于機(jī)器人末端的準(zhǔn)確性造成了不可忽視的影響，而且當(dāng)誤差累積到一定程度時(shí)，就會(huì)使實(shí)際軌跡與規(guī)劃軌跡相去甚遠(yuǎn)。隨著機(jī)器視覺技術(shù)的發(fā)展，可通過傳感器實(shí)時(shí)獲取機(jī)器人末端和工件的位姿信息，根據(jù)設(shè)計(jì)好的軌跡規(guī)劃方式進(jìn)行自動(dòng)規(guī)劃，以達(dá)到提高機(jī)器人工作質(zhì)量的目的。在此基礎(chǔ)上，還可以引入AI 和機(jī)器學(xué)習(xí)提高實(shí)時(shí)運(yùn)算速度和機(jī)器人自適應(yīng)的能力。

（4）機(jī)器人軌跡規(guī)劃的可視化界面。機(jī)器人軌跡規(guī)劃的可視化、集成化、模塊化旨在降低使用者的操作門檻。目前來看，如果不是專業(yè)的機(jī)器人軌跡規(guī)劃領(lǐng)域的工程師，是無法通過編程對出現(xiàn)故障、因工況要求需要改變規(guī)劃方式的機(jī)器人作出調(diào)整的，這就給使用者造成了極大的不便。因此，如何去設(shè)計(jì)簡單易懂、對操作者友好的可視化集成界面是極其重要的，相信在未來的某一天，操作者只需要閱讀使用說明書，就能自己完成軌跡規(guī)劃的設(shè)計(jì)。也只有這樣，機(jī)器人行業(yè)才能得到更好的發(fā)展。