新課程背景下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐研究

□甘肅省張掖市山丹縣第一中學(xué) 周相年

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模素養(yǎng)，對(duì)提高教學(xué)效率和加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解具有重要意義，且符合新課程改革的要求。本文以新課程背景下高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐策略為研究主題，分析了在高中數(shù)學(xué)開(kāi)展建模教學(xué)的意義，得出對(duì)提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和促進(jìn)學(xué)生綜合能力發(fā)展具有積極意義的結(jié)論，然后分析了高中建模教學(xué)需要遵循的基本原則，并探索了在新課教學(xué)中滲透建模知識(shí)、在習(xí)題講解中開(kāi)展建模教學(xué)、為學(xué)生提供建模訓(xùn)練機(jī)會(huì)、在教學(xué)評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)開(kāi)展建模反思的教學(xué)策略，以期為高中數(shù)學(xué)教師群體提供參考。

一、數(shù)學(xué)建模教學(xué)概述

數(shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)理論得到與研究對(duì)象相符合的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，建立該數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程被稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模。數(shù)學(xué)建模具有以下本質(zhì)特點(diǎn)：

第一，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)過(guò)程或者一種思考方式，并非一種題型或者解決方法，但是在數(shù)學(xué)建模思想的指導(dǎo)下，學(xué)生可以得出某一類(lèi)題型的具有廣泛適用性的解題方法，這一過(guò)程可看作一個(gè)狹義的數(shù)學(xué)建模過(guò)程。第二，利用數(shù)學(xué)建模來(lái)解決的問(wèn)題，一般具備較強(qiáng)的開(kāi)放性，學(xué)生可以在求解過(guò)程中積極主動(dòng)地做出決策，最終得到的數(shù)學(xué)模型也不盡相同。第三，數(shù)學(xué)建模并不是一個(gè)直線(xiàn)型的過(guò)程，其中可能存在建模錯(cuò)誤的情況，所以學(xué)生應(yīng)該在建成數(shù)學(xué)模型后對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證修改。第四，數(shù)學(xué)建模的核心工具是數(shù)學(xué)模型，數(shù)學(xué)模型的選擇和合理利用對(duì)建模過(guò)程具有重要影響。

二、高中數(shù)學(xué)開(kāi)展建模教學(xué)的意義

（一）減輕學(xué)生解題負(fù)擔(dān)

高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的難度和復(fù)雜程度都遠(yuǎn)高于初中數(shù)學(xué)內(nèi)容，所以高中學(xué)生的學(xué)習(xí)壓力比較大，且由于高中學(xué)生面臨升學(xué)壓力，再加上部分教師利用“題海戰(zhàn)術(shù)”，為學(xué)生提供大量數(shù)學(xué)練習(xí)，力求讓學(xué)生在解題過(guò)程中實(shí)現(xiàn)能力提升，但實(shí)際效果相反。高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)能夠幫助學(xué)生找到一種解決同類(lèi)問(wèn)題的解題方法，從而在遇到同類(lèi)題目時(shí)可以直接利用解題模型完成解答過(guò)程，學(xué)生的解題難度降低，有助于緩解學(xué)生的焦慮情緒。

（二）培養(yǎng)學(xué)生協(xié)作能力

為了幫助學(xué)生更好地理解建模思想和形成建模素養(yǎng)，教師通常會(huì)安排學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位，利用建模思想解決實(shí)際問(wèn)題。在此過(guò)程中，學(xué)生一方面能對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)產(chǎn)生更清晰、深刻的認(rèn)識(shí)，提升利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實(shí)際生活相聯(lián)系，真正認(rèn)識(shí)到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對(duì)未來(lái)生活和發(fā)展的意義；另一方面，在小組協(xié)作建模的過(guò)程中認(rèn)識(shí)到團(tuán)體協(xié)作的力量，重視開(kāi)發(fā)集體智慧，從而形成更加良好的協(xié)作能力。這不僅對(duì)學(xué)生的各學(xué)科學(xué)習(xí)具有很大幫助，還有利于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)自信心。

（三）提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)研究的重要方式，教師在實(shí)際教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，能夠提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使其掌握基本的數(shù)學(xué)研究方法。首先，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)由具體到抽象的認(rèn)知過(guò)程，有利于提升學(xué)生的邏輯思維能力。其次，數(shù)學(xué)建模是一個(gè)開(kāi)放性的過(guò)程，學(xué)生不僅要挑選用于建模的知識(shí)，還要學(xué)習(xí)新知識(shí)完成建模過(guò)程，所以數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)研究能力。最后，數(shù)學(xué)建模過(guò)程本身是一個(gè)創(chuàng)新過(guò)程，所以數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新能力。

三、高中建模教學(xué)需要遵循的基本原則

（一）循序漸進(jìn)原則

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)需要遵循循序漸進(jìn)的基本原則，即在設(shè)計(jì)教學(xué)方案的過(guò)程中，教師應(yīng)該保證數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容由易到難、由簡(jiǎn)至繁、由相對(duì)具體到比較抽象。若沒(méi)有遵循循序漸進(jìn)原則，隨機(jī)選擇數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容，則教學(xué)過(guò)程不符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展過(guò)程，不僅不利于提高數(shù)學(xué)建模教學(xué)效率，還有可能挫傷學(xué)生的建模信心。

（二）問(wèn)題挑選原則

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)需要遵循問(wèn)題挑選原則，要求教師選擇適用數(shù)學(xué)建模思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題開(kāi)展教學(xué)，即規(guī)律性強(qiáng)、與實(shí)際生活聯(lián)系強(qiáng)、可操作性強(qiáng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，人教版高中數(shù)學(xué)教材中有助于數(shù)學(xué)建模的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)有函數(shù)、方程組、不等式、統(tǒng)計(jì)、概率、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)等。合適的數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)建模教學(xué)能夠取得“相得益彰”的效果，有利于降低學(xué)生的理解難度，從而提高教學(xué)效率。

（三）學(xué)生主體原則

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)需要遵循學(xué)生主體原則。數(shù)學(xué)建模教學(xué)屬于策略性教學(xué)內(nèi)容，很難通過(guò)提問(wèn)、默寫(xiě)等方式判斷學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量，所以教師應(yīng)該秉承學(xué)生主體原則，為學(xué)生設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目，鼓勵(lì)學(xué)生利用數(shù)學(xué)建模思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，虛心聽(tīng)取學(xué)生對(duì)建模教學(xué)過(guò)程的意見(jiàn)和建議，設(shè)計(jì)滿(mǎn)足學(xué)生學(xué)習(xí)需求、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的數(shù)學(xué)建模教學(xué)方案。

（四）適應(yīng)性原則

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)需要遵循適應(yīng)性原則，即教師設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)建模教學(xué)內(nèi)容應(yīng)該與課堂教學(xué)內(nèi)容相匹配。其中，課內(nèi)數(shù)學(xué)建模教學(xué)以加深學(xué)生對(duì)教材知識(shí)的理解并提升理論聯(lián)系實(shí)際能力為重要目標(biāo)，課外數(shù)學(xué)建模教學(xué)以拓寬學(xué)生的學(xué)習(xí)視野和提升學(xué)生舉一反三能力為重要目標(biāo)，避免任意拓寬數(shù)學(xué)知識(shí)和增加數(shù)學(xué)難度，避免加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

四、高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐策略

（一）在日常教學(xué)中滲透建模知識(shí)

高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐包括建模知識(shí)滲透、建模方式教學(xué)、開(kāi)展建模訓(xùn)練和建模能力評(píng)價(jià)四個(gè)過(guò)程。其中，建模知識(shí)滲透不僅是高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐的首要過(guò)程，還是高中數(shù)學(xué)建模實(shí)踐教學(xué)的開(kāi)展基礎(chǔ)，所以教師應(yīng)該在日常教學(xué)中滲透建模知識(shí)，包括什么是數(shù)學(xué)模型、什么是數(shù)學(xué)建模過(guò)程、數(shù)學(xué)建模思想的重點(diǎn)是什么、數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有什么積極影響、什么場(chǎng)景適用數(shù)學(xué)建模思想解題等。

教師應(yīng)該在日常教學(xué)中為學(xué)生講解數(shù)學(xué)建模思想的具體含義，幫助學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模思想形成基本的知識(shí)，了解數(shù)學(xué)建模過(guò)程的概念和數(shù)學(xué)建模思想的本質(zhì)。教師可以為學(xué)生創(chuàng)設(shè)與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的教學(xué)情境，使學(xué)生感受到所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，從而為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與實(shí)際生活建立聯(lián)系，進(jìn)而了解“數(shù)學(xué)建模是將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題再轉(zhuǎn)化為模型問(wèn)題”的概念。

例如，在“函數(shù)的概念及其表示”教學(xué)時(shí)，教師為學(xué)生提出這樣一個(gè)問(wèn)題，即當(dāng)一杯100℃的水和一杯50℃的水兌在一起，則水溫變化情況是怎樣的。為解決這一問(wèn)題，學(xué)生想出了用溫度計(jì)測(cè)水溫并記錄的方式，有的學(xué)生利用表格記錄水溫，能夠比較清晰地看出水溫的變化趨勢(shì)，但是不夠直觀。有的學(xué)生利用函數(shù)知識(shí)解決問(wèn)題，先利用表格提供的數(shù)據(jù)繪制直角坐標(biāo)系第一象限圖，以時(shí)間為橫坐標(biāo)，以水溫為縱坐標(biāo)，利用表格數(shù)據(jù)在坐標(biāo)系中描點(diǎn)，再利用比較平滑的曲線(xiàn)將點(diǎn)連接起來(lái)。通過(guò)觀察圖像，不僅可以清晰明了地看出水溫變化趨勢(shì)，還能比較直觀地了解水溫變化速度，發(fā)現(xiàn)隨著時(shí)間的變化，水溫變化幅度逐漸減小這一規(guī)律。教師要求學(xué)生選擇函數(shù)來(lái)描述水溫變化圖，由于每組學(xué)生記錄水溫變化的時(shí)間間隔不一樣，所以學(xué)生計(jì)算出來(lái)的函數(shù)解析式也各不相同。在此過(guò)程中，教師應(yīng)告知學(xué)生將“水溫變化情況”這一實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)問(wèn)題，并利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法予以解決的過(guò)程即數(shù)學(xué)建模過(guò)程，數(shù)學(xué)建模過(guò)程是一個(gè)開(kāi)放的數(shù)學(xué)過(guò)程，不同的數(shù)學(xué)方法得出的數(shù)學(xué)模型在精度和適用性上都不相同，所以應(yīng)該在建成數(shù)學(xué)模型后對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證修改。

（二）在習(xí)題講解中開(kāi)展建模教學(xué)

數(shù)學(xué)建模過(guò)程包括提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、假設(shè)模型、建設(shè)模型和驗(yàn)證模型五個(gè)過(guò)程，教師可以在習(xí)題講解中開(kāi)展建模教學(xué)，使學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)建模思想對(duì)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極影響，從而主動(dòng)自覺(jué)地開(kāi)展數(shù)學(xué)建模練習(xí)，提升自身數(shù)學(xué)建模能力，同時(shí)幫助學(xué)生總結(jié)解題模型，提高解題效率。

例如，在講解如圖1 所示的題目時(shí)，首先，教師要求學(xué)生仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)并以學(xué)習(xí)小組為單位討論3 分鐘，選派代表發(fā)言。由于該題目提供表格信息含量較大，所以不同小組會(huì)得出不同的結(jié)論，如“水深最大值為7.5 米，水深最小值為2.5 米”“水深變化呈周期性”等。

圖1 高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)例題

其次，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用函數(shù)模型知識(shí)，嘗試?yán)帽砀駭?shù)據(jù)繪制水深變化圖像，學(xué)生繪制結(jié)果如圖2所示。通過(guò)觀察水深變化圖像，學(xué)生發(fā)現(xiàn)水深呈現(xiàn)周期性變化且與學(xué)過(guò)的正弦函數(shù)圖像比較相似。教師引導(dǎo)學(xué)生利用正弦函數(shù)知識(shí)求出水深變化圖像的函數(shù)解析式，得到刻畫(huà)水深與時(shí)間關(guān)系的三角函數(shù)模型。在該過(guò)程中，教師利用現(xiàn)實(shí)生活例子提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生分析問(wèn)題，并引導(dǎo)學(xué)生思考該題目與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，進(jìn)而使學(xué)生將水深變化圖與正弦函數(shù)圖像聯(lián)系起來(lái)，利用正弦函數(shù)圖像知識(shí)解決這一問(wèn)題，最終弄得出水深與時(shí)間關(guān)系的三角函數(shù)模型。數(shù)學(xué)建模還包括檢驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦@一過(guò)程，所以教師還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生檢驗(yàn)所得三角函數(shù)模型是否精確。

圖2 水深變化圖

最后，完成上述步驟后，教師為學(xué)生講解數(shù)學(xué)建模過(guò)程及各個(gè)過(guò)程所應(yīng)用的數(shù)學(xué)方法，使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)形成更加直觀的認(rèn)識(shí)，從而在解決其他類(lèi)型題目的過(guò)程中利用數(shù)學(xué)建模思想高效解決問(wèn)題。

（三）為學(xué)生提供建模訓(xùn)練機(jī)會(huì)

數(shù)學(xué)建模教學(xué)是一種策略性教學(xué)，教師可以利用項(xiàng)目式學(xué)習(xí)法，通過(guò)布置數(shù)學(xué)建模任務(wù)來(lái)檢查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)情況。在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)建模任務(wù)時(shí)，為了提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)，教師可以設(shè)計(jì)難度較大的數(shù)學(xué)建模任務(wù)，要求學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位解決問(wèn)題。

首先，為了激發(fā)各學(xué)習(xí)小組之間的競(jìng)爭(zhēng)意識(shí)，教師應(yīng)該平衡各學(xué)習(xí)小組的“實(shí)力”，即組間同質(zhì)、組內(nèi)異質(zhì)。教師可以先統(tǒng)計(jì)班級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)、思維水平、學(xué)習(xí)態(tài)度等綜合能力并排名，將班級(jí)學(xué)生分為6 個(gè)學(xué)習(xí)小組，將1—6 的學(xué)生按序分配給A、B、C、D、E、F 六個(gè)小組，然后將排名為7—12的學(xué)生按序分配給F、E、D、C、B、A，以此類(lèi)推，保證各學(xué)習(xí)小組間整體實(shí)力均衡。

其次，設(shè)計(jì)與教學(xué)內(nèi)容相匹配的數(shù)學(xué)建模任務(wù)。例如，在完成“指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)”的教學(xué)后，為了利用數(shù)學(xué)建模任務(wù)實(shí)現(xiàn)單元復(fù)習(xí)目的，教師可以設(shè)計(jì)“利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”課題任務(wù)，要求學(xué)生通過(guò)調(diào)查研究獲取數(shù)據(jù)，建立“每周課外書(shū)閱讀時(shí)間（時(shí)）與語(yǔ)文成績(jī)（分）之間的關(guān)系”函數(shù)模型。

最后，為了增強(qiáng)學(xué)生的合作意識(shí)和提升學(xué)生的綜合能力，教師可以將數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練與項(xiàng)目式學(xué)習(xí)結(jié)合起來(lái)，要求學(xué)生以學(xué)習(xí)小組為單位完成課題報(bào)告，包括課題名稱(chēng)、課題組成員及分工、選題意義、研究計(jì)劃、研究過(guò)程、研究成果、收獲與體會(huì)等。為了提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，教師可以為學(xué)生提供開(kāi)放性的課題研究主題，如根據(jù)教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)多個(gè)研究課題供學(xué)生挑選；根據(jù)教學(xué)內(nèi)容限制研究范圍，要求學(xué)生自由選擇課題研究主題等。

（四）在教學(xué)評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)開(kāi)展建模反思

新課改背景下，教師應(yīng)該重視數(shù)學(xué)建模本身，采取有效的方法引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)模型的運(yùn)用和轉(zhuǎn)化，利用教學(xué)評(píng)價(jià)開(kāi)展建模反思。

首先，教師改變教學(xué)評(píng)價(jià)模式，重視數(shù)學(xué)建模的過(guò)程性評(píng)價(jià)，針對(duì)學(xué)生在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中的表現(xiàn)提出具有建設(shè)性的發(fā)展建議，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)和數(shù)學(xué)建模能力。其次，教師利用數(shù)學(xué)建模項(xiàng)目來(lái)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模全部情況，如給予學(xué)生一定的問(wèn)題情境，要求學(xué)生根據(jù)給定問(wèn)題情境分享數(shù)學(xué)建模過(guò)程，重點(diǎn)描述如何將問(wèn)題情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題和利用哪些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決這一問(wèn)題。

五、結(jié)語(yǔ)

總而言之，高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)有利于降低學(xué)生的解題難度、培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作能力和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該秉承循序漸進(jìn)、問(wèn)題挑選、學(xué)生主體和適應(yīng)性原則，積極探索高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐策略，為學(xué)生提供更高質(zhì)量的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的探究興趣，為我國(guó)培養(yǎng)高質(zhì)量的數(shù)學(xué)人才。