數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生在親歷探究過(guò)程中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

摘要：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是教師引導(dǎo)學(xué)生在特定的任務(wù)（問(wèn)題）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，在數(shù)學(xué)思維參與下，理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的一種學(xué)習(xí)方式。 教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，積累“定位實(shí)驗(yàn)—驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)—引領(lǐng)實(shí)驗(yàn)—策劃實(shí)驗(yàn)—優(yōu)化實(shí)驗(yàn)—反思實(shí)驗(yàn)”的經(jīng)驗(yàn)，從而形成實(shí)驗(yàn)探究的能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；探究過(guò)程；學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2023）24-0084-05

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是教師引導(dǎo)學(xué)生在特定的任務(wù)（問(wèn)題）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，在數(shù)學(xué)思維參與下，理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的一種學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)具有工具性、操作性、情境性、探究性等基本特征，可以解決學(xué)習(xí)資源缺乏、學(xué)習(xí)方式單一以及學(xué)習(xí)過(guò)程不完整等問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)認(rèn)知、學(xué)會(huì)做事、學(xué)會(huì)共同生活、學(xué)會(huì)生存[1]?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的課程理念部分也明確指出，要“引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題”[2]?？梢?jiàn)，實(shí)驗(yàn)是分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要方法，教師要以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的探究過(guò)程，形成實(shí)驗(yàn)探究的能力，學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

一、結(jié)構(gòu)化思考，定位實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)是以理解數(shù)學(xué)知識(shí)、驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論為目的的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式。任何一個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)都應(yīng)有清晰的目標(biāo)定向，沒(méi)有目標(biāo)指引的活動(dòng)失去了其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，只是動(dòng)手操作而已。教師應(yīng)用結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化的視角將實(shí)驗(yàn)與學(xué)習(xí)內(nèi)容、實(shí)驗(yàn)與實(shí)驗(yàn)進(jìn)行勾連，對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行精準(zhǔn)定位，發(fā)揮實(shí)驗(yàn)應(yīng)有的教育功能。

（一）實(shí)驗(yàn)活動(dòng)要與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)聯(lián)

實(shí)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)習(xí)某個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容所采用的一種方式。教師要正確認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)和教學(xué)內(nèi)容的關(guān)系，防止出現(xiàn)“為活動(dòng)而活動(dòng)”的情況，將實(shí)驗(yàn)和內(nèi)容有機(jī)對(duì)接，把實(shí)驗(yàn)嵌入到適合的知識(shí)體系中，真正實(shí)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)的價(jià)值。如教學(xué)圖形分割時(shí)，教師沒(méi)有止步于讓學(xué)生學(xué)會(huì)“找中心分割圖形”的方法，而是進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生用“繞中心旋轉(zhuǎn)180o ”的方法檢驗(yàn)兩邊圖形是否重合。這樣的教學(xué)沒(méi)有將實(shí)驗(yàn)定位于掌握一種特殊分割方法，而是將其與中心對(duì)稱圖形關(guān)聯(lián)，把實(shí)驗(yàn)作為認(rèn)識(shí)和理解中心對(duì)稱圖形的方法，為實(shí)驗(yàn)找到內(nèi)容依附，賦予其新的、更大的意義。

（二）實(shí)驗(yàn)活動(dòng)之間要有關(guān)聯(lián)

教學(xué)中，通常要通過(guò)幾個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)才能解決某個(gè)問(wèn)題。這幾個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)不是孤立存在的，而是彼此關(guān)聯(lián)，共同引領(lǐng)和推進(jìn)學(xué)生的探索。教學(xué)時(shí)，教師要基于教學(xué)目標(biāo)，對(duì)各個(gè)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行準(zhǔn)確定位，妥善安排實(shí)驗(yàn)的順序，為學(xué)生的探索提供思維路徑。如為了能讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關(guān)系，教師設(shè)計(jì)了兩個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)?；顒?dòng)一，用尺規(guī)作圖法將3條等長(zhǎng)線段圍成三角形；活動(dòng)二，用尺規(guī)作圖法將3條不等長(zhǎng)的線段圍成三角形。以上兩個(gè)活動(dòng)是教師基于對(duì)學(xué)生認(rèn)知邏輯和知識(shí)內(nèi)在邏輯的認(rèn)識(shí)做出的最佳設(shè)計(jì)。三角形三邊關(guān)系的知識(shí)內(nèi)在邏輯是“任意兩邊長(zhǎng)度和大于第三邊”到“兩短之和大于最長(zhǎng)邊”，而學(xué)生認(rèn)知邏輯是“兩短之和大于最長(zhǎng)邊”。兩個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的設(shè)計(jì)和安排，有效解決了知識(shí)邏輯和認(rèn)知邏輯之間的矛盾?；顒?dòng)一從特殊三邊入手，得出“等長(zhǎng)的三邊能?chē)扇切巍?；活?dòng)二研究“不等長(zhǎng)三邊”，得出“兩短邊之和大于最長(zhǎng)邊”。在此基礎(chǔ)上，回到“特殊”，用活動(dòng)二得出的結(jié)論解釋活動(dòng)一的結(jié)論，推出“任意兩邊長(zhǎng)度和大于第三邊”。

二、設(shè)計(jì)挑戰(zhàn)性任務(wù)，驅(qū)動(dòng)實(shí)驗(yàn)

學(xué)生是實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的主體，只有喚起學(xué)生內(nèi)在的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，才能幫助學(xué)生調(diào)用所有的經(jīng)驗(yàn)和智慧，參與到探究過(guò)程。教師要通過(guò)設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)或問(wèn)題將教學(xué)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，引導(dǎo)和激勵(lì)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)。設(shè)計(jì)指向?qū)W生高階思維發(fā)展的學(xué)習(xí)任務(wù)（問(wèn)題），是將學(xué)生引入到實(shí)驗(yàn)探究“軌道”的關(guān)鍵。教師要關(guān)注真實(shí)性、實(shí)踐性和挑戰(zhàn)性任務(wù)的設(shè)計(jì)，引發(fā)學(xué)生思考，激活學(xué)生實(shí)驗(yàn)的內(nèi)需。

（一）真實(shí)性

任務(wù)中的情境應(yīng)該是真實(shí)的，真實(shí)情境不是指在現(xiàn)實(shí)生活中真實(shí)存在的，可以是模擬真實(shí)情境的卡通情境，只要事件、場(chǎng)景的問(wèn)題是合理的，能引發(fā)學(xué)生真實(shí)思考的，都具有真實(shí)性。教師要設(shè)計(jì)基于真實(shí)情境的任務(wù)，激活學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和情緒體驗(yàn)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價(jià)值，引發(fā)“共情”，從而主動(dòng)投入到問(wèn)題的解決過(guò)程中。如教學(xué)“認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方體和正方體”時(shí)，要求學(xué)生“求出教師制作的長(zhǎng)方體紙盒（指定），至少需要鐵絲多少厘米？硬紙板多少平方厘米？”這個(gè)任務(wù)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)就是真實(shí)、可信的，在日常生活中，制作長(zhǎng)方體紙盒需要考慮到鐵絲和硬紙板的用料，這個(gè)計(jì)算又是為老師解決問(wèn)題，這些都能讓學(xué)生產(chǎn)生完成任務(wù)的沖動(dòng)。

（二）實(shí)踐性

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的任務(wù)解決要有利于學(xué)生開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)。設(shè)計(jì)時(shí)，要考慮任務(wù)具有實(shí)踐性，也就是能讓學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)活動(dòng)探索問(wèn)題。如“圖形的分割”一課，教師先布置了分割圖形的任務(wù)，即“畫(huà)一條直線，將給定圖形分成2個(gè)完全相同的部分”，再分兩批出示軸對(duì)稱圖形和平行四邊形。這樣安排的目的是讓學(xué)生從軸對(duì)稱圖形轉(zhuǎn)向?qū)Ψ禽S對(duì)稱圖形的關(guān)注，啟發(fā)學(xué)生從全新的視角思考平行四邊形的多種分割方法。但是，無(wú)論怎么畫(huà)分割線，學(xué)生都要根據(jù)圖形之間的關(guān)系，通過(guò)動(dòng)手操作驗(yàn)證自己的猜想。

（三）挑戰(zhàn)性

挑戰(zhàn)性任務(wù)是指有一定的思維難度，需要學(xué)生通過(guò)自身的努力或同伴合作，運(yùn)用已有的知識(shí)和方法、借助外在的工具、憑借意志和耐力等才能完成的任務(wù)。挑戰(zhàn)性任務(wù)的解決路徑、方法和答案都可以是開(kāi)放的，通常采用主題學(xué)習(xí)和項(xiàng)目學(xué)習(xí)的方式解決問(wèn)題。如：教學(xué)“升和毫升”單元，可以讓學(xué)生“了解自己家庭一周用水情況”。這一任務(wù)的完成需要至少一周的時(shí)間，學(xué)生要和家庭成員一起協(xié)作，通過(guò)觀察、記錄、計(jì)算和推算等活動(dòng)才能夠完成。

三、引發(fā)合情猜想，引領(lǐng)實(shí)驗(yàn)

學(xué)生的實(shí)驗(yàn)需求一旦被激活，就會(huì)遵循原有的思維習(xí)慣，自覺(jué)運(yùn)用自己熟悉的方式進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。這是未經(jīng)加工和雕琢的原生態(tài)的操作，是學(xué)生現(xiàn)有思維狀態(tài)的外在體現(xiàn)，可能產(chǎn)生一些錯(cuò)誤和偏差。教師要在學(xué)生產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)動(dòng)機(jī)后，幫助學(xué)生進(jìn)一步澄清和明確問(wèn)題，并基于直觀或借用已有經(jīng)驗(yàn)，對(duì)問(wèn)題結(jié)論進(jìn)行數(shù)學(xué)猜想，在發(fā)展學(xué)生直覺(jué)思維的同時(shí)，明確行動(dòng)的方向。教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、分析和推想，形成實(shí)驗(yàn)假設(shè)。

（一）在“觀察”中形成猜想

觀察是智慧最重要的能源。與動(dòng)手操作相比，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的展開(kāi)需要基于對(duì)結(jié)論的猜想。教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)研究對(duì)象全面、細(xì)致的觀察和分析，感悟和發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象之間的共同之處以及各要素之間的關(guān)聯(lián)，從而形成數(shù)學(xué)猜想。如教學(xué)“圖形分割”時(shí)，教師將學(xué)生個(gè)性化的圖形分割圖作為觀察對(duì)象，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察多條分割線的位置，發(fā)現(xiàn)所有的分割線都相交于中心一點(diǎn)——中心，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生反向思考，得出“只要是經(jīng)過(guò)中心點(diǎn)的直線就能將平行四邊形分割成2個(gè)完全相同的部分”的猜想。

（二）在“變化”中提出假設(shè)

教師通過(guò)改變研究對(duì)象的某個(gè)要素，引發(fā)學(xué)生對(duì)關(guān)鍵點(diǎn)的關(guān)注，并基于“變”與“不變”的思考，產(chǎn)生對(duì)新研究對(duì)象特征和對(duì)象之間關(guān)系的猜測(cè)。如教學(xué)平行四邊形時(shí)，可先出示長(zhǎng)方形框架，復(fù)習(xí)面積計(jì)算方法，再拉動(dòng)長(zhǎng)方形框架將其變?yōu)槠叫兴倪呅?，組織學(xué)生觀察并思考“圖形變化過(guò)程中，什么不變？什么變了？”學(xué)生通過(guò)前后圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)圖形周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)不變，面積和高在發(fā)生變化，自然產(chǎn)生“平行四邊形的面積和底、高有關(guān)系”“平行四邊形面積=底×高”等一系列連續(xù)性的猜想。

（三）在“類比”中進(jìn)行推想

通過(guò)類比推理形成猜想是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的一種方式。在研究某個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，教師會(huì)引導(dǎo)學(xué)生關(guān)聯(lián)與具有相似屬性的研究對(duì)象，借助已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)推斷、猜想新研究對(duì)象特征或要素關(guān)系。類比推理形成的猜想具有一定的合理性，教學(xué)時(shí)教師要相機(jī)運(yùn)用。如教學(xué)圓錐體積時(shí)，可以先讓學(xué)生明確圓錐體積與底面積和高有關(guān)，再進(jìn)一步提問(wèn)“是不是底面積乘高算出的就是圓錐體積？為什么？”引導(dǎo)學(xué)生將圓錐和圓柱進(jìn)行關(guān)聯(lián)，并通過(guò)直接觀察，猜想“圓錐體積可能是與它等底等高圓柱體積的? ?或

”，為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)探究指明方向。

四、聚焦關(guān)鍵要素，策劃實(shí)驗(yàn)

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的猜想不是事實(shí)，僅僅是一種數(shù)學(xué)假設(shè)，可能正確也可能錯(cuò)誤。為了能得到正確的結(jié)論，需要進(jìn)一步通過(guò)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)加以驗(yàn)證，如證實(shí)則猜想正確，如果證偽則猜想錯(cuò)誤，需要重新猜想，開(kāi)始新一輪實(shí)驗(yàn)探究。從猜想到驗(yàn)證是培養(yǎng)學(xué)生推理能力的重要路徑，教師要指導(dǎo)學(xué)生自主策劃實(shí)驗(yàn)方案，驗(yàn)證自己的猜想。

（一）思路構(gòu)想

實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的策劃要經(jīng)歷從整體到局部，不斷細(xì)化的過(guò)程。教師要先帶領(lǐng)學(xué)生構(gòu)想實(shí)驗(yàn)路徑，明確研究的思路。如教學(xué)三角形內(nèi)角和時(shí)，教師通過(guò)提問(wèn)“怎么知道任意一個(gè)多邊形內(nèi)角和呢？”啟發(fā)學(xué)生想到“先找?guī)讉€(gè)圖形研究，找到規(guī)律，再運(yùn)用規(guī)律求內(nèi)角和”。當(dāng)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)思路有了大致的規(guī)劃后，再引導(dǎo)學(xué)生細(xì)化方案，使得各個(gè)實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)清晰化、明朗化?？梢赃M(jìn)一步追問(wèn)“選幾個(gè)圖形研究，才能找到規(guī)律？”“從哪個(gè)圖形開(kāi)始研究？”幫助學(xué)生明確“找規(guī)律”要遵循以下三點(diǎn)：一是由易到難，從簡(jiǎn)單的入手；二是研究對(duì)象要滿足一定數(shù)量，至少有3個(gè)及以上；三是及時(shí)驗(yàn)證規(guī)律。隨著實(shí)驗(yàn)方案的不斷完善，實(shí)驗(yàn)的可行性不斷增強(qiáng)。

（二）工具選擇

與其他學(xué)科實(shí)驗(yàn)相比，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)對(duì)材料、工具的要求比較低。只要具備操作性、可重復(fù)操作的實(shí)物、圖形或模具等都可以作為實(shí)驗(yàn)的素材。在教學(xué)中，教師除了要為學(xué)生準(zhǔn)備充足的實(shí)驗(yàn)材料供學(xué)生自主選擇，還要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)選擇合適的實(shí)驗(yàn)材料（工具）。如教學(xué)圓錐體積時(shí)，可以出示圓錐體、長(zhǎng)方體、正方體和圓柱體等一些底、高不一的容器，讓學(xué)生自主選擇實(shí)驗(yàn)工具并說(shuō)明理由，呼應(yīng)猜想。另外，教師可以利用多媒體技術(shù)，讓學(xué)生借助幾何畫(huà)板或網(wǎng)絡(luò)畫(huà)板等工具完成實(shí)驗(yàn)，提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的精確度。

（三）數(shù)據(jù)收集

實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)結(jié)論的參考和依據(jù)。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量，直接關(guān)系到結(jié)論的得出。實(shí)驗(yàn)前，教師要組織學(xué)生討論收集實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的方法，以提高實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可信度。如教學(xué)“可能性”時(shí)，可以通過(guò)教師示范摸球和提問(wèn)等方式，讓學(xué)生明確為得到正確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果需要多次摸球。另外，為了解決課堂時(shí)間和摸球次數(shù)之間的矛盾，需要對(duì)各個(gè)小組摸球數(shù)據(jù)匯總。在進(jìn)行“怎樣滾得遠(yuǎn)”這一實(shí)驗(yàn)時(shí)，還需要讓學(xué)生計(jì)算出平均數(shù)，使實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)具有代表性。

五、關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，優(yōu)化實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)方案涉及活動(dòng)選擇的材料、工具和大致的實(shí)驗(yàn)流程，對(duì)學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)具有一定的指導(dǎo)作用，但不是萬(wàn)能的。實(shí)際操作過(guò)程中，學(xué)生可能因?qū)χR(shí)本質(zhì)理解不到位，無(wú)法精準(zhǔn)使用正確的、高效的實(shí)驗(yàn)方法，從而影響到實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。為此，教師要根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，改進(jìn)和優(yōu)化實(shí)驗(yàn)方法，從而提高實(shí)驗(yàn)品質(zhì)，提升學(xué)生的思維能力。

（一）發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，調(diào)整活動(dòng)

教師要關(guān)注實(shí)驗(yàn)活動(dòng)與知識(shí)本質(zhì)的契合度，及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在原有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，聚焦本質(zhì)調(diào)整實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。如教學(xué)“圖形分割”時(shí)，為了讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到中心對(duì)稱圖形的特征，教師在學(xué)生用原始的測(cè)量方法分割圖形后，引導(dǎo)學(xué)生從圖形名稱入手，聚焦“中心”對(duì)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行再思考，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)“繞中心旋轉(zhuǎn)180o”觀察圖形兩邊是否重合這一方法，從而在用新方法實(shí)驗(yàn)時(shí)不斷感悟中心對(duì)稱圖形的本質(zhì)。

（二）確認(rèn)本質(zhì)，修正活動(dòng)

實(shí)驗(yàn)?zāi)苁箤W(xué)生內(nèi)隱的思維過(guò)程外顯化，反過(guò)來(lái)，外在的操作活動(dòng)能夠反應(yīng)出學(xué)生的思維動(dòng)態(tài)。教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)情況分析和判斷學(xué)生思維狀態(tài)，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。特別是在學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤操作時(shí)，要相機(jī)引導(dǎo)，幫助學(xué)生回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，修正數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)。如學(xué)生在用分三角形的方法求多邊形內(nèi)角和時(shí)，出現(xiàn)了隨意分成三角形的情況。其根本原因是對(duì)三角形內(nèi)角和本質(zhì)沒(méi)有正確的認(rèn)知。此時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生再次回歸概念本身，重新理解“內(nèi)角和”的本質(zhì)，進(jìn)而選擇適切的用分三角形方法求內(nèi)角和。

（三）強(qiáng)化本質(zhì)，優(yōu)化活動(dòng)

學(xué)生在判斷直角三角形是否按2∶1的比放大時(shí)，很容易受制于概念本質(zhì)，在驗(yàn)證對(duì)應(yīng)斜邊的比中出現(xiàn)困難。教師要及時(shí)介入，基于學(xué)生的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，幫助學(xué)生進(jìn)行方法的優(yōu)化?？梢韵冉M織學(xué)生思考“2條對(duì)應(yīng)直角邊的比相同，能否判斷對(duì)應(yīng)斜邊也具有相同的比？”，并組織學(xué)生通過(guò)測(cè)量或重疊的方法研究斜邊比，證明猜想。從而得出，用對(duì)應(yīng)直角邊的比判斷圖形放大或縮小的簡(jiǎn)單方法。接著，讓學(xué)生通過(guò)判斷任意三角形的放大檢驗(yàn)新方法，進(jìn)一步明確新方法的局限性。在以上過(guò)程中，學(xué)生經(jīng)歷了判斷方法的由“繁”到“簡(jiǎn)”，再到有選擇使用的過(guò)程，加深了對(duì)圖形放大本質(zhì)的理解。

六、回顧探究過(guò)程，反思實(shí)驗(yàn)

波利亞在《怎么解題》中指出，數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思。對(duì)探究過(guò)程的回顧和反思，可以深化對(duì)問(wèn)題的理解，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的理解，優(yōu)化思維過(guò)程，促進(jìn)知識(shí)和方法的遷移與運(yùn)用。教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生回顧借助實(shí)驗(yàn)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的歷程，聚焦探究的關(guān)鍵進(jìn)行反思，幫助學(xué)生將學(xué)習(xí)經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，從而學(xué)會(huì)實(shí)驗(yàn)，學(xué)會(huì)借助實(shí)驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。

（一）反思實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

受實(shí)驗(yàn)工具、條件和方法等制約，由實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)往往會(huì)有誤差。實(shí)驗(yàn)誤差會(huì)讓學(xué)生陷入思維困境，懷疑和動(dòng)搖學(xué)生的猜想，阻礙和影響數(shù)學(xué)結(jié)論的得出。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生直面實(shí)驗(yàn)誤差，反思實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的成因，幫助學(xué)生走出思維的“迷障”。如認(rèn)識(shí)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，學(xué)生通過(guò)量角器測(cè)量計(jì)算得到180o、179o、174o等不同的內(nèi)角和，顯然，這些不同的數(shù)據(jù)不利于驗(yàn)證“三角形內(nèi)角和是180o”的猜想。為此，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)“174o”和“179o”這兩個(gè)與“180o”不同的數(shù)據(jù)進(jìn)行成因分析和數(shù)據(jù)再測(cè)，從而認(rèn)識(shí)到174o是實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤，179o是由量角器、手測(cè)和所畫(huà)三角形邊線的粗細(xì)等所導(dǎo)致的實(shí)驗(yàn)誤差。實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤可以避免，但實(shí)驗(yàn)誤差是客觀存在。

（二）反思實(shí)驗(yàn)結(jié)論

基于觀察、操作和推理等活動(dòng)得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)論是歸納推理的結(jié)果，不是嚴(yán)格意義上的數(shù)學(xué)結(jié)論。為了增強(qiáng)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的可靠性，教師要盡可能地通過(guò)追溯原理幫助學(xué)生從本質(zhì)上理解和解釋結(jié)論。如學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到多邊形內(nèi)角和“（n-2）×180o”后，教師要通過(guò)提問(wèn)算式意義并追問(wèn)“為什么要計(jì)算（n-2）個(gè)180o？”讓學(xué)生進(jìn)一步根據(jù)將多邊形分三角形的經(jīng)驗(yàn)，用“頂角與對(duì)邊‘一一對(duì)應(yīng)”或“分割線和三角形‘一一間隔”等個(gè)性化的、樸素的語(yǔ)言進(jìn)行解釋。這樣從不同的角度認(rèn)識(shí)規(guī)律，不僅能加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)結(jié)論的理解，還能豐富實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)，提高數(shù)學(xué)推理能力。

（三）反思實(shí)驗(yàn)方案

學(xué)生按預(yù)定的實(shí)驗(yàn)方案進(jìn)行數(shù)學(xué)探究時(shí)并不總是順利的，常常會(huì)根據(jù)實(shí)際需要調(diào)整方案。教師要通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生反思探究過(guò)程，幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)到實(shí)驗(yàn)方案需要不斷地調(diào)整和優(yōu)化。如探究“釘子板上的多邊形”時(shí)，原定的實(shí)驗(yàn)方案是同時(shí)研究“邊點(diǎn)數(shù)”“內(nèi)點(diǎn)數(shù)”兩個(gè)變量，找到釘子板上多邊形的面積公式。事實(shí)上，大多數(shù)學(xué)生沒(méi)有能力通過(guò)幾個(gè)例子的觀察和研究，發(fā)現(xiàn)“邊點(diǎn)數(shù)”“內(nèi)點(diǎn)數(shù)”與多邊形面積之間的關(guān)系。此時(shí)，教師讓學(xué)生反思實(shí)驗(yàn)方案“邊點(diǎn)數(shù)和內(nèi)點(diǎn)數(shù)都在變化，同時(shí)研究不容易看出它們與面積之間的關(guān)系，怎么辦？”幫助學(xué)生想到通過(guò)控制變量探索面積公式。

回顧實(shí)驗(yàn)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程時(shí)，除了引導(dǎo)學(xué)生反思數(shù)據(jù)、結(jié)論和方案，還可以反思工具、方法等。只要能幫助學(xué)生獲得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)思想和方法的活動(dòng)環(huán)節(jié)，都要經(jīng)由反思幫助學(xué)生將活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的能力。

綜上所述，教師要引導(dǎo)學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)情境下，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)作為解決問(wèn)題的重要方法，貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)探究的全過(guò)程；幫助學(xué)生將“做”和“思”有機(jī)融合，親歷數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)全過(guò)程；形成和發(fā)展自主設(shè)計(jì)和優(yōu)化實(shí)驗(yàn)方案，搜集和選用實(shí)驗(yàn)工具，調(diào)整和改進(jìn)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，回顧和反思實(shí)驗(yàn)過(guò)程等能力，積累借助實(shí)驗(yàn)探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的變革[J].全球教育展望，2020，（9）.

[2]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：3.

責(zé)任編輯：顏瑩

收稿日期：2023-11-05

作者簡(jiǎn)介：吳靜，江陰市澄江中心小學(xué)校長(zhǎng)，正高級(jí)教師，無(wú)錫市學(xué)科帶頭人。