例談玻爾原子理論中的量子化條件與應(yīng)用

許冬保

(江西省九江第一中學(xué) 332000)

1 玻爾原子理論基本假設(shè)

玻爾理論是繼普朗克量子假說和愛因斯坦光子理論之后，向微觀研究領(lǐng)域跨出的重要一步，開創(chuàng)了原子現(xiàn)象研究的先河.玻爾理論中軌道量子化條件表明，普朗克常量在原子現(xiàn)象中起著十分重要的作用，它不僅決定了原子的大小、原子的能級(jí)結(jié)構(gòu)，同時(shí)它也能很好地說明氫原子光譜.

1.1 現(xiàn)行高中教材的表述

在人教版物理教材中，在“氫原子光譜和玻爾的原子模型”一節(jié)中，介紹了玻爾原子理論的基本假設(shè)，其內(nèi)容要點(diǎn)包括2方面內(nèi)容，即：

(1)軌道量子化與定態(tài)：玻爾認(rèn)為，原子中的電子在庫侖力的作用下，繞原子核做圓周運(yùn)動(dòng)……；電子運(yùn)行的軌道半徑不是任意的，只有當(dāng)半徑的大小符合一定條件，這樣的軌道才是可能的.也就是說電子的軌道是量子化的.

(2)頻率條件：當(dāng)電子從能量較高的定態(tài)軌道(其能量記為En)躍遷到能量較低的定態(tài)軌道(能量記為Em，)時(shí)，會(huì)放出能量為hν的光子(h是普朗克常量)，這個(gè)光子的能量由前后兩個(gè)能級(jí)的能量差決定，即hν=En-Em.

1.2 玻爾氫原子量子化條件

現(xiàn)行教材中，玻爾提到的軌道量子化，僅僅局限在文字描述的層面，未給出定量的表達(dá)式，存在明顯的缺陷，由此帶來學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的斷裂.玻爾量子化條件表述如下：

考察氫原子，若核外電子的質(zhì)量為m，在半徑為r的圓周軌道上以速率v運(yùn)動(dòng)；普朗克常量為h，約化普朗克常量為?，則有

上式為玻爾量子化條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，n為量子數(shù).

表達(dá)式中的“mv·r”是動(dòng)量與半徑的乘積，為電子運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量大小.

2 應(yīng)用分析

補(bǔ)充了氫原子軌道量子化條件，完善了玻爾氫原子模型的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)于有關(guān)問題的分析便不再存在困惑.

2.1 玻爾軌道量子化條件與德布羅意波長(zhǎng)之間的關(guān)系

例1 德布羅意指出：玻爾模型與電子的德布羅意波長(zhǎng)之間存在著一個(gè)很有意思的關(guān)系，敘述并推導(dǎo)這個(gè)關(guān)系.

解析德布羅意認(rèn)為，實(shí)物粒子也具有波動(dòng)性，與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波.德布羅意發(fā)現(xiàn)，玻爾提出氫原子中電子的圓軌道模型，剛好能容納整數(shù)個(gè)電子的德布羅意波長(zhǎng)，否則氫原子便是不穩(wěn)定的.

設(shè)電子的德布羅意波長(zhǎng)為λ，如上所述，對(duì)于氫原子核外電子，玻爾軌道量子化條件，表述為

2πr=nλ(n=1，2，3…)

該式的物理意義是：電子繞核運(yùn)動(dòng)周長(zhǎng)等于其德布羅意波長(zhǎng)的整數(shù)倍.

評(píng)述在歷史上，玻爾1913年提出氫原子理論.1924年德布羅意提出物質(zhì)波的概念，至此，玻爾軌道量子化條件才具有較直觀的物理意義.

2.2 玻爾氫原子模型

例2設(shè)無限遠(yuǎn)處氫原子體系的電勢(shì)能為零，已知電子電荷量為e，質(zhì)量為m，普朗克常量為h，靜電力常量為k，試求量子數(shù)為n時(shí)：

(1)核外電子軌道半徑的表達(dá)式；

(2)氫原子處于基態(tài)時(shí)的電離能.

評(píng)述在推導(dǎo)氫原子核外電子軌道半徑及氫原子能級(jí)的過程中，依照經(jīng)典電磁理論、牛頓運(yùn)動(dòng)定律及軌道量子化條件建立方程，其中，玻爾軌道量子化條件是量子論思想的表現(xiàn)，也是玻爾氫原子理論精髓之處.氫原子能級(jí)表達(dá)式也可由巴耳末公式導(dǎo)出.過程如下：

2.3 玻爾類氫離子模型

例3已知電子電荷量為e，質(zhì)量為m，普朗克常量為h，靜電力常量為h.根據(jù)玻爾原子模型導(dǎo)出He+的能量表達(dá)式.

解析設(shè)電子電荷量為e，質(zhì)量為m，運(yùn)動(dòng)速率為v，軌道半徑為r.由玻爾軌道量子化條件，有

在庫侖力作用下電子做圓周運(yùn)動(dòng)滿足的方程為

取無窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零，He+具有的電勢(shì)能

評(píng)述He+離子中原子核帶兩個(gè)單位的正電荷，核外一個(gè)電子，與氫原子結(jié)構(gòu)相仿，稱為類氫離子，玻爾理論仍然成立.導(dǎo)出過程中所用的思維方法完全相同.

2.4 類氫原子模型

例4(清華大學(xué)2020年強(qiáng)基計(jì)劃測(cè)試題)氫原子核外電荷若被粒子μ-取代，已知它的質(zhì)量是電子的207倍，電荷與電子相同，則與電子相比，其基態(tài)的能量、角動(dòng)量、軌道半徑分別為原先的多少倍( ).

解析由例1知，處于基態(tài)的氫原子，其軌道半徑及能級(jí)分別為

取氫原子核質(zhì)量為電子質(zhì)量m的1836倍；氫原子核外電荷若被粒子μ-取代，則系統(tǒng)的約化質(zhì)量μ為

設(shè)氫原子基態(tài)能量為EH.若氫原子核外電荷被粒子μ-取代，基態(tài)能量記為Eμ，有

由玻爾軌道量子化條件，有

當(dāng)n=1時(shí)，基態(tài)角動(dòng)量相等.

設(shè)氫原子基態(tài)軌道半徑為rH.若氫原子核外電荷被粒子μ-取代，基態(tài)軌道半徑記為rμ，得

綜上，正確選項(xiàng)是D.

點(diǎn)評(píng)分析μ-繞原子核的運(yùn)動(dòng)如同電子繞原子核的運(yùn)動(dòng)，分析中所使用的物理方法相同.基于玻爾氫原子模型的分析，氫原子核外電荷若被粒子μ-取代，則需要將電子的質(zhì)量改為系統(tǒng)的約化質(zhì)量.

2.5 奇特原子模型

例5 (2012清華保送生測(cè)試)物理學(xué)家在微觀領(lǐng)域發(fā)現(xiàn)了“電子偶素”這一現(xiàn)象.所謂“電子偶素”就是由一個(gè)負(fù)電子和一個(gè)正電子繞它們的質(zhì)量中心旋轉(zhuǎn)形成的相對(duì)穩(wěn)定的系統(tǒng).已知正、負(fù)電子的質(zhì)量均為m，電荷量大小均為e，普朗克常數(shù)h，靜電力恒量k.

(1)用玻爾模型推算“電子偶素”的基態(tài)半徑；

(2)求賴曼線產(chǎn)生光子的最高頻率.

解析(1)由牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

“電子偶素”系統(tǒng)具有的能量

評(píng)述奇特原子類似氫原子體系，通常由μ±子、τ±子、π±介子、D±介子、正電子、反質(zhì)子、Σ±超子和Ω-超子等粒子組成，它們分別取代普通原子中的電子、原子核或取代兩者通過電磁作用形成的原子.其中原子核被取代的粒子稱為粒子素.不難發(fā)現(xiàn)，例4中的μ-子替換電子后，氫原子成為奇特原子.本例中的“電子偶素”即由正電子取代原子核而成，“電子偶素”可視為類氫原子，顯然玻爾理論仍適用.