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      巧用六大模型 輕松解決四面體外接球問題

      2023-02-20 04:09:18黃偉亮
      數(shù)理化解題研究 2023年1期
      關鍵詞:球心外接圓四面體

      黃偉亮

      (廣東省佛山市南海區(qū)石門中學 528248)

      幾何體外接球問題是高中數(shù)學的一個難點,對學生空間想象能力有較高的要求,能很好地考查學生的數(shù)學素養(yǎng),因此成為了高中階段各類考試的高頻考點.幾何體外接球的球心必在經(jīng)過幾何體任意一個平面的外心且與該平面垂直的垂線上,兩個平面的外心的垂線相交于一點,該點就是幾何體的球心.四面體是空間中最基本的幾何體,且四面體一定有外接球.本文介紹解決四面體外接球問題的六大模型,利用這六大模型,能大大降低四面體外接球問題的難度,從而能輕松解決四面體外接球問題.

      1 正方體模型

      常見的能夠轉化為正方體模型的有3種四面體,特征如下:

      圖1 圖2 圖3

      (1)墻角三棱錐——三條兩兩互相垂直的線段(線段長度相等),如圖1;

      (2)鱉臑——三條兩兩互相垂直的線段(線段長度相等),如圖2;

      (3)正四面體,如圖3.

      例1 (2019年全國新課標Ⅰ卷)如圖4,已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是邊長為2的正三角形,E,F(xiàn)分別是PA,AB的中點,∠CEF=90°,則球O的體積為( ).

      解法1不妨設側棱長為2a,則EF=a.

      CE2=CF2-EF2=3-a2.

      圖4

      從而PA,PB,PC兩兩垂直.

      解法2 三棱錐P-ABC為正三棱錐,因為正三棱錐的對棱互相垂直,所以PB⊥AC.

      因為EF⊥CE,EF∥PB,

      所以PB⊥CE.

      又AC∩CE=C,所以PB⊥平面PAC.

      解析如圖5,取AC中點M,連接SM,BM,因為AB=BC,SA=SC,所以SM⊥AC,BM⊥AC.

      圖5

      所以∠SMB就是二面角S-AC-B的平面角.

      設S在底面ABC上的射影為S1,則S1在BM的延長線上,且S1M=SMcos(π-∠SMB)=1,于是四邊形ABCS1是正方形.

      2 長方體模型

      常見的能夠轉化為長方體模型的有3種四面體,特征如下:

      圖6 圖7 圖8

      (1)墻角三棱錐——三條兩兩互相垂直的線段(線段長度不完全相等),如圖6;

      (2)鱉臑——三條兩兩互相垂直的線段(線段長度不完全相等),如圖7;

      (3)對棱相等,如圖8.

      評注正方體模型是長方形模型的特殊情況,圖1-圖3分別是圖6-圖8的特殊情況.

      解析該三棱錐對棱相等,可轉化為長方體模型.設長方體的長寬高分別為a,b,c,則a2+b2=20,a2+c2=20,b2+c2=8.

      于是球心到平面ABC的距離為

      例4(2022年衡水金卷一模)如圖9,兩個腰長均為10cm的等腰直角三角形拼成一個四邊形ABCD,現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折成直二面角A-BD-C,則三棱錐A-BCD的外接球的體積為____cm3.

      圖9

      3 圓柱模型

      常見的能夠轉化為圓柱模型的四面體特征為:有一條棱垂直于一個平面,如圖10.

      圖10

      評注長方形模型是圓柱模型的特殊情況,圖3和圖6是圖10的特殊情況.

      例5(2019年汕頭一模)三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=30°,△APC的面積為2,則三棱錐P-ABC的外接球體積的最小值為____.

      于是△ABC的外接圓半徑r=x.

      4 圓錐模型

      常見的能夠轉化為圓錐模型的四面體特征為:一個頂點在平面α(設另外三個點所在的平面為α)上的射影是這三個點的外接圓圓心,如圖11.

      圖11

      評注該四面體的特征也可以是3條棱相等.

      解析由PA=PB=PC=4可知點P在平面ABC上的射影就是△ABC的外心,所以四面體P-ABC可轉化為圓錐模型.

      5 二面角模型

      證明如圖12,設△ABC和△BCD的外接圓圓心分別為O1和O2,過點O1和O2分別作平面ABC和平面BCD的垂線,兩垂線交于點O,則點O就是四面體A-BCD的外接球球心.

      圖12

      BC中點為M,O,O1,M,O2四點共圓,其外接圓直徑就是MO.

      由于一般的二面角模型公式比較難記,建議按照以下步驟進行計算:

      第1步:計算公共棱長度l;

      例7(2015年江西高考)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D,則四面體ABCD的外接球的體積為( ).

      例8 三棱錐P-ABC中,平面PAC⊥底面ABC,AB⊥AC,AB=BC=2,PA=PC=3,則三棱錐P-ABC外接球的表面積為____.

      解析平面PAC⊥底面ABC,△ABC是直角三角形且直角是公共棱所對的角,所以三棱錐P-ABC外接球半徑等于△PAC的外接圓半徑.

      6 建系模型

      選擇適當?shù)目臻g直角坐標系,設球心坐標為O(x,y,z),外接球半徑為R,根據(jù)OA=OB=OC=OD=R,構建一個四元二次方程組,解出球心坐標以及球的半徑.一般地,只要我們建立適當?shù)淖鴺讼?,使得球心的坐標未知?shù)只有一個,同時使得某些點的坐標較容易寫,就能得到比較簡單的方程,從而能快速求出球心坐標及外接球半徑.

      A.100π B.108π C.110π D.111π

      圖13

      所以外接球的表面積為111π.故選D.

      根據(jù)四面體的不同特征,將四面體轉化為不同的模型,就能使用相應的模型公式迅速解決四面體外接球問題.六大模型部分內(nèi)容是兼容互通的,同一個四面體,根據(jù)其特征的不同往往可以轉化為多種模型.如例1的2019年全國新課標Ⅰ卷的題目,由PA=PB=PC可將四面體轉化為圓錐模型.又如例9的2022年佛山一模的題目,由側面PAC⊥底面ABC,∠BAC=90°可知BA⊥平面PAC,由此可將四面體轉化為圓柱模型(以△ABC外接圓圓面為底面,PA為母線長的圓柱).總而言之,利用六大模型,能快速地解決四面體外接球問題,而對模型的甄別是解決四面體外接球問題的關鍵.

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