基于自由度約束的元?jiǎng)幼鲉卧`差傳遞路徑識(shí)別方法

李 健 張根保 冉 琰 王勇勤

重慶大學(xué)機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，重慶，400044

0 引言

機(jī)械系統(tǒng)的裝配精度對(duì)運(yùn)動(dòng)性能有顯著影響，因此，為保證機(jī)械產(chǎn)品的運(yùn)動(dòng)性能，需對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的裝配精度進(jìn)行分析，但機(jī)械系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜、零部件眾多，傳統(tǒng)的精度分析方法使用十分不便。LI等[1]根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)的特點(diǎn)，提出了“功能-運(yùn)動(dòng)-動(dòng)作(function-motion-action，F(xiàn)MA)”的結(jié)構(gòu)化分解方法。該方法將復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)分解為獨(dú)立的元?jiǎng)幼?，并將元?jiǎng)幼髯鳛榉治龅淖钚卧ＷC了元?jiǎng)幼鞯男阅芫湍鼙ＷC整機(jī)的性能。元?jiǎng)幼鹘Y(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單，分析和建模方便，因此在裝配誤差分析[2]、精度分析預(yù)測(cè)[3-4]、精度映射[5]、精度分配[6]等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。

元?jiǎng)幼鲉卧菣C(jī)械產(chǎn)品中最小的結(jié)構(gòu)單元，其誤差建模和分析是整機(jī)精度分析的基礎(chǔ)。學(xué)者對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的誤差分析和建模過程進(jìn)行了廣泛的研究，并提出多種誤差建模方法，如三角幾何法[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[7]、多體系統(tǒng)理論法[8-11]和裝配有向圖法[12]。上述方法在對(duì)機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行誤差建模的過程中，主要利用機(jī)械系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和裝配序列來表達(dá)誤差的傳遞路徑。機(jī)械系統(tǒng)中，一個(gè)零件可能與相鄰的多個(gè)零件存在裝配關(guān)系，導(dǎo)致存在多條誤差傳遞路徑，直接利用拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和裝配序列來表達(dá)機(jī)械系統(tǒng)中誤差的傳遞路徑會(huì)導(dǎo)致分析結(jié)果不準(zhǔn)確。為提高誤差建模和分析結(jié)果的準(zhǔn)確性，搜索和識(shí)別合適的誤差傳遞路徑至關(guān)重要。呂程等[13]研究了復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品誤差傳遞路徑的搜索方法，通過分析典型結(jié)合面的誤差傳遞屬性，定義結(jié)合面的信息集成表達(dá)符號(hào)，結(jié)合多色集合理論，建立了描述裝配關(guān)系、結(jié)合面類型、結(jié)合面誤差傳遞屬性的結(jié)合面符號(hào)矩陣，并在此基礎(chǔ)上提出了裝配體誤差傳遞路徑的搜索方法。該方法首先搜索基準(zhǔn)件到精度輸出件之間所有的誤差傳遞路徑，然后將精度輸出件誤差分量的最短誤差傳遞路徑作為最終的誤差傳遞路徑。此方法需要遍歷搜索所有誤差傳遞路徑，計(jì)算工作量較大，在實(shí)際應(yīng)用中存在一定局限性。針對(duì)元?jiǎng)幼鲉卧慕Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)，YANG等[4]提出一種誤差傳遞路徑的逆向搜索方法，通過分析元?jiǎng)幼鲉卧辛慵g的裝配關(guān)系，建立裝配有向圖，以精度輸出件、支撐件為誤差傳遞路徑搜索的起點(diǎn)和終點(diǎn)，逐層定性分析各結(jié)合面的誤差傳遞屬性，剔除誤差傳遞的中斷路徑，最終確定誤差傳遞路徑，但該搜索方法依然對(duì)起輔助作用的零件的誤差傳遞路徑進(jìn)行分析，增加了不必要的分析計(jì)算。

本文提出一種基于精度輸出件自由度約束判斷誤差傳遞路徑新方法，通過分析元?jiǎng)幼鲉卧辛慵慕M成和主要功能，初步確定誤差傳遞路徑，然后根據(jù)誤差傳遞路徑中的結(jié)合面約束屬性，計(jì)算得到精度輸出件的自由度約束屬性，并將其與精度輸出件設(shè)計(jì)要求的自由度約束屬性對(duì)比，確定誤差傳遞路徑。

1 元?jiǎng)幼骼碚摻榻B

1.1 FMA結(jié)構(gòu)化分解樹

元?jiǎng)幼骼碚摾肍MA結(jié)構(gòu)化分解樹對(duì)復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分解，得到各個(gè)串聯(lián)的元?jiǎng)幼?，該理論在?shù)控機(jī)床可靠性、精度等研究領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[14-17]。FMA結(jié)構(gòu)化分解樹如圖1所示，整機(jī)的性能通過各個(gè)元?jiǎng)幼饕约霸獎(jiǎng)幼髦g連接的性能來實(shí)現(xiàn)。從元?jiǎng)幼鲉卧胧謱?duì)機(jī)械系統(tǒng)的誤差進(jìn)行建模和分析，可以大大提高分析的效率。

圖1 機(jī)電產(chǎn)品FMA結(jié)構(gòu)分解樹Fig.1 Schematic of the FMA decomposition tree

1.2 元?jiǎng)幼鞣诸惣捌鋯卧慕Y(jié)構(gòu)組成

元?jiǎng)幼鞲鶕?jù)運(yùn)動(dòng)形式的不同分為轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼骱鸵苿?dòng)元?jiǎng)幼鳌Ｔ獎(jiǎng)幼鲉卧饕?個(gè)要素組成，包括動(dòng)力輸入件、中間件、支撐件、緊固件和動(dòng)力輸出件，其結(jié)構(gòu)模型如圖2所示[15]。

圖2 元?jiǎng)幼鲉卧Y(jié)構(gòu)組成Fig.2 The structure of meta-action unit

在元?jiǎng)幼鲉卧校瑢?duì)機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)精度產(chǎn)生主要影響的是動(dòng)力輸入件和動(dòng)力輸出件的裝配精度。因此，對(duì)元?jiǎng)幼鲉卧M(jìn)行誤差分析時(shí)，動(dòng)力輸入件和動(dòng)力輸出件為精度輸出件，支撐件為基準(zhǔn)鍵。支撐件、中間件、動(dòng)力輸入件和動(dòng)力輸出件的裝配結(jié)合面構(gòu)成了元?jiǎng)幼鲉卧恼`差傳遞路徑。

2 結(jié)合面自由度約束分析

2.1 自由度約束表達(dá)

機(jī)械系統(tǒng)誤差傳遞分析主要利用小位移弦量(small displacement torsors，SDT)法描述結(jié)合面的誤差變動(dòng)[18-19]。若ε=(εx，εy，εz)=(u，v，w)，p=(px，py，pz)=(α，β，γ)，其中，u、v、w分別為沿坐標(biāo)軸X、Y、Z的移動(dòng)變化量，α、β、γ分別為繞坐標(biāo)軸X、Y、Z的轉(zhuǎn)動(dòng)變化量，則用SDT表示的誤差變化量為

T=(ε，p)=(u，v，w，α，β，γ)

(1)

為更加方便地利用SDT模型進(jìn)行誤差分析，呂程等[13]引入二進(jìn)制數(shù)表達(dá)方式，即將SDT模型表示的誤差變化量的非0元素用1表示，其余元素用0表示。SDT模型的二進(jìn)制數(shù)模型中，為1的元素表示該方向自由度被約束，為0的元素表示該方向自由度沒有被約束，因此SDT模型的二進(jìn)制數(shù)模型可方便地表示零件自由度的約束情況，即自由度約束屬性。

2.2 典型結(jié)合面自由度約束屬性

機(jī)械系統(tǒng)中，典型的結(jié)合面包括平面結(jié)合面、圓柱結(jié)合面和圓錐結(jié)合面。典型結(jié)合面對(duì)被約束零件的自由度約束屬性如表1所示，其中，A為約束零件，B為被約束零件。

表1 典型結(jié)合面自由度約束屬性Tab.1 Constraint property of DOF fortypical joint surface

2.3 相鄰結(jié)合面自由度約束屬性

機(jī)械系統(tǒng)中，相鄰結(jié)合面分為串聯(lián)結(jié)合面和并聯(lián)結(jié)合面[20]，如圖3所示，圖中，P1、P2、P3表示零件，F(xiàn)1、F2表示結(jié)合面，箭頭表示零件的裝配順序。圖3a中，零件P1、P2、P3分別通過結(jié)合面F1、F2連接，因此結(jié)合面F1、F2為串聯(lián)結(jié)合面。圖3b中，零件P1、P2同時(shí)通過結(jié)合面F1、F2連接，此時(shí)的結(jié)合面P1、P2為并聯(lián)結(jié)合面。

(a)串聯(lián)結(jié)合面 (b)并聯(lián)結(jié)合面圖3 串聯(lián)結(jié)合面與并聯(lián)結(jié)合面Fig.3 Series joint surface and parallel joint surface

零件之間通過結(jié)合面約束被裝配零件的自由度，對(duì)于串聯(lián)結(jié)合面，若TF1、TF2分別為零件P2、P3受結(jié)合面F1、F2約束時(shí)的自由度約束屬性，則P3的各個(gè)方向自由度的約束情況受F1、F2的共同影響，通過對(duì)TF1、TF2進(jìn)行邏輯“積”運(yùn)算，得到串聯(lián)條件下P3的自由度約束屬性[13]：

(2)

(3)

在機(jī)械系統(tǒng)中，常見的并聯(lián)結(jié)合面主要為平面結(jié)合面&平面結(jié)合面、圓柱結(jié)合面&平面結(jié)合面、圓柱結(jié)合面&圓柱結(jié)合面[21-22]。并聯(lián)結(jié)合面對(duì)被約束零件的自由度約束屬性如表2所示。

表2 并聯(lián)結(jié)合面自由度約束屬性Tab.2 Constraint property of DOF for parallel joint surface

元?jiǎng)幼鲉卧嬖谌哂嘟Y(jié)構(gòu)時(shí)，冗余結(jié)構(gòu)對(duì)被約束零件構(gòu)成并聯(lián)約束關(guān)系，被約束零件的誤差受并聯(lián)約束關(guān)系的綜合影響，因此可以將冗余結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的并聯(lián)約束關(guān)系等同于并聯(lián)結(jié)合面進(jìn)行處理。

3 元?jiǎng)幼鲉卧`差傳遞路徑分析

由元?jiǎng)幼鲉卧Y(jié)構(gòu)組成可知，元?jiǎng)幼鲉卧Y(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單。通過分析單元中5個(gè)組成要素的裝配關(guān)系，可以很容易得到誤差傳遞路徑，即支撐件-中間件-精度輸出件(動(dòng)力輸入件和動(dòng)力輸出件)。元?jiǎng)幼鲉卧械闹虚g件較多，分為傳遞動(dòng)力和輔助定位兩種。選擇傳遞動(dòng)力的中間件作為誤差傳遞路徑中的元素，可得初始誤差傳遞路徑，然后對(duì)該路徑進(jìn)行分析判斷，確定該誤差傳遞路徑為所求路徑。

3.1 基于自由度約束的誤差傳遞路徑分析方法

通過機(jī)械系統(tǒng)內(nèi)部零件之間的裝配關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)零件各個(gè)方向自由度的約束，未被約束的方向則可實(shí)現(xiàn)規(guī)定的運(yùn)動(dòng)。因此，對(duì)于元?jiǎng)幼鱽碚f，通過單元中各個(gè)零件及結(jié)合面的裝配關(guān)系，約束了精度輸出件(動(dòng)力輸入件和動(dòng)力輸出件)的5個(gè)自由度，而未被約束的運(yùn)動(dòng)即為元?jiǎng)幼餍枰獙?shí)現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)。對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼?，未被約束的自由度為繞X軸(Y軸或Z軸)的轉(zhuǎn)動(dòng)；對(duì)于移動(dòng)元?jiǎng)幼?，未被約束的自由度為沿X軸(Y軸或Z軸)的移動(dòng)。

3.2 元?jiǎng)幼鲉卧`差傳遞路徑分析流程

元?jiǎng)幼鲉卧`差傳遞路徑分析流程如圖4所示，具體步驟如下：

圖4 元?jiǎng)幼鲉卧`差傳遞路徑分析流程圖Fig.4 Flow chart of error transfer path analysis for meta-action unit

(1)分析元?jiǎng)幼鞴δ芗霸獎(jiǎng)幼鲉卧慕Y(jié)構(gòu)，將單元中的零件分為支撐件、中間件、緊固件、動(dòng)力輸入件和動(dòng)力輸出件。

(2)確定元?jiǎng)幼鲉卧獎(jiǎng)恿斎爰蛣?dòng)力輸出件的設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，得到其自由度約束屬性T=(T(Ipart)，T(Opart))。

(3)分析元?jiǎng)幼鲉卧闹渭?、中間件(傳遞動(dòng)力)和精度輸出件(動(dòng)力輸入件和動(dòng)力輸出件)，初步確定誤差傳遞路徑。

(4)分析誤差傳遞路徑中零件間的配合關(guān)系，識(shí)別零件間的主要結(jié)合面。

(5)根據(jù)表1和表2，得到各個(gè)結(jié)合面的自由度約束屬性。

(8)輸出元?jiǎng)幼鲉卧`差傳遞路徑。

4 實(shí)例分析

1.螺母 2.輸入齒輪 3.鍵 4.左軸承端蓋 5.箱體 6.左軸承 7.軸套 8.傳動(dòng)軸 9.輸出齒輪 10.鍵 11.右軸承 12.右軸承端蓋圖5 齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.5 The structure diagram of gear rotation meta-action unit

通過分析齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧慕Y(jié)構(gòu)，確定精度輸出件為輸入齒輪和輸出齒輪，基準(zhǔn)件為箱體，主要傳遞動(dòng)力的中間件為左軸承、傳動(dòng)軸和右軸承。因此，初步確定單元的誤差傳遞路徑：箱體-左軸承/右軸承-傳動(dòng)軸-輸入齒輪(輸出齒輪)。

誤差傳遞路徑中，零件之間的結(jié)合面關(guān)系以及結(jié)合面的自由度約束屬性如圖6所示。箱體為基準(zhǔn)件，6個(gè)自由度均被限制，因此規(guī)定箱體的自由度約束屬性為(1，1，1，1，1，1)；箱體與軸為雙支撐結(jié)構(gòu)，包括2條并聯(lián)的支路徑，即箱體-左軸承-傳動(dòng)軸、箱體-右軸承-傳動(dòng)軸。右軸承與傳動(dòng)軸、傳動(dòng)軸與輸入齒輪、傳動(dòng)軸與輸出齒輪分別有2個(gè)相鄰結(jié)合面，而且它們均為并聯(lián)關(guān)系。因此，利用式(3)的計(jì)算方法，得到輸入齒輪和輸出齒輪的自由度約束屬性：

圖6 齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧`差傳遞路徑Fig.6 Error transmission path of gear rotation meta-action unit

(4)

圖7 改進(jìn)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧`差傳遞路徑Fig.7 Improved error transmission path of gear rotation meta-action unit

(5)

齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧恼`差項(xiàng)包括輸入齒輪和輸出齒輪的X向、Y向和Z向的移動(dòng)誤差，以及繞Y軸和Z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)誤差。為說明本文方法的優(yōu)勢(shì)，利用文獻(xiàn)[13]、文獻(xiàn)[4]的方法計(jì)算齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)元?jiǎng)幼鲉卧妮敵鳊X輪各個(gè)方向誤差的傳遞路徑，然后將其與本文方法所得結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。為比較各個(gè)方法的計(jì)算效率，用分析過程中的路徑分析總數(shù)表示計(jì)算量，路徑分析總數(shù)越小表示分析計(jì)算效率越高。表3為各個(gè)方法的傳遞路徑分析計(jì)算量，圖8所示為輸出齒輪的各個(gè)方向誤差傳遞路徑。

(a)文獻(xiàn)[13]方法

(b)文獻(xiàn)[4]方法與本文方法圖8 輸出齒輪誤差傳遞路徑Fig.8 The error transfer path of output gear

由圖8可以看出，文獻(xiàn)[13]的方法基于誤差傳遞路徑最短來識(shí)別最佳誤差傳遞路徑，因此輸出齒輪有2條誤差傳遞路徑，而本文所述方法與文獻(xiàn)[4]得到的結(jié)果相同。文獻(xiàn)[13]沒有考慮零件之間并聯(lián)結(jié)合面的影響，而且在分析過程中只能對(duì)單個(gè)方向的誤差傳遞路徑進(jìn)行分析。而且對(duì)計(jì)算工作量(表3)的統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，對(duì)每個(gè)方向的誤差傳遞路徑分析過程中，需要遍歷分析單元中所有的誤差傳遞路徑，然后將最短路徑作為最佳誤差傳遞路徑。對(duì)機(jī)械系統(tǒng)的誤差分析通常是對(duì)5個(gè)被約束方向的誤差的分析，采用文獻(xiàn)[13]方法的計(jì)算量將非常大。文獻(xiàn)[4]和本文的方法可以直接對(duì)機(jī)械系統(tǒng)中5個(gè)被約束方向的誤差進(jìn)行分析，大大減少了計(jì)算量。

表3 計(jì)算量對(duì)比Tab.3 Comparison of calculationburden

本文方法所需分析的路徑比文獻(xiàn)[4]少，那是因?yàn)楸疚姆椒ㄔ诜治鰰r(shí)沒有對(duì)元?jiǎng)幼鲉卧械奶淄策M(jìn)行分析。套筒的功能是輔助定位，并沒有傳遞動(dòng)力，而且僅對(duì)輸出齒輪產(chǎn)生3個(gè)方向的約束。文獻(xiàn)[4]的方法沒有考慮零件的主要功能，因此需要對(duì)所有零件分析，導(dǎo)致分析的路徑較多。

5 結(jié)語

本文方法從元?jiǎng)幼鲉卧牧慵δ艹霭l(fā)，建立誤差傳遞路徑并進(jìn)行分析，省略了對(duì)輔助零件的分析，降低了分析的難度。本文方法可同時(shí)對(duì)元?jiǎng)幼鲉卧葟?fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的5個(gè)被約束方向的誤差傳遞路徑進(jìn)行分析，極大地減少工作量，提高分析和計(jì)算的效率。

本文方法在分析過程中，對(duì)于元?jiǎng)幼鲉卧谐醪酱_定的誤差傳遞路徑和迭代分析過程中需要添加到誤差傳遞路徑中的零件，需要結(jié)合經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷分析，初始誤差傳遞路徑的選擇或添加的零件不合適會(huì)增加迭代分析次數(shù)，導(dǎo)致計(jì)算量變大，計(jì)算效率降低。

今后需要在元?jiǎng)幼鲉卧慵诸惖幕A(chǔ)上，對(duì)每一類零件的具體功能進(jìn)行深入分析和研究，確定每一類零件的主要功能和在誤差傳遞過程中的作用，從而在誤差分析過程中快速定位并識(shí)別主要零件，提高分析的準(zhǔn)確性和效率。