融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布估計(jì)方法研究

江 聰，熊立華，黃俊哲，楊勝梅

(1.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)(武漢) 環(huán)境學(xué)院，湖北 武漢 430074；2.武漢大學(xué) 水資源與水電工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430072；3.長(zhǎng)江水利委員會(huì)長(zhǎng)江科學(xué)院，湖北 武漢 430010)

1 研究背景

洪水頻率分析是水利工程規(guī)劃、設(shè)計(jì)、運(yùn)行以及洪水風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的基礎(chǔ)性工作[1-2]。傳統(tǒng)的洪水頻率分布估計(jì)方法一般假設(shè)洪水序列服從某一給定的理論分布(例如我國(guó)水文設(shè)計(jì)規(guī)范推薦皮爾遜Ⅲ型(PⅢ)分布[1-3])，然后由理論分布直接擬合實(shí)測(cè)樣本并估計(jì)出相應(yīng)的分布參數(shù)。洪水樣本序列能否充分反映洪水事件發(fā)生的統(tǒng)計(jì)規(guī)律很大程度上決定了洪水頻率分析成果可靠性[1]。然而，我國(guó)眾多中小流域的水文站點(diǎn)設(shè)站時(shí)間普遍較晚，積累的水文資料有限，難以獲取較長(zhǎng)的洪水觀測(cè)樣本，導(dǎo)致洪水序列的代表性較差，影響了洪水頻率分布估計(jì)的精度。因此，在洪水頻率分析計(jì)算中，充分吸收和利用各種有助于洪水頻率分布估計(jì)的有效信息，對(duì)提高水文設(shè)計(jì)成果的可靠性具有重要的意義。

在實(shí)測(cè)洪水樣本有限的情況下，增加洪水樣本信息量的主要途徑包括引入歷史調(diào)查洪水、插補(bǔ)延長(zhǎng)洪水序列以及區(qū)域洪水頻率方法。通過(guò)研究古洪水或者考證歷史文獻(xiàn)獲取歷史調(diào)查洪水能夠大大延長(zhǎng)洪水的追溯期，進(jìn)而提高洪水樣本的代表性，這也是工程水文設(shè)計(jì)中最常用的方法[1-3]。插補(bǔ)延長(zhǎng)法通過(guò)建立洪水序列與某些參證變量的(如上下游相鄰水文站的資料、相同水文站的其他水文要素等)的函數(shù)關(guān)系，插補(bǔ)或延長(zhǎng)洪水序列，從而增加樣本容量[2]。區(qū)域洪水頻率方法能夠引入相鄰區(qū)域多個(gè)站點(diǎn)的洪水樣本信息，基于水文相似性原理，建立區(qū)域洪水統(tǒng)計(jì)參數(shù)與流域一些特征變量的函數(shù)關(guān)系，該方法可以克服單站洪水樣本量較為有限的缺點(diǎn)，有助于減小洪水頻率分布估計(jì)的不確定性，并且可用于推求無(wú)資料站點(diǎn)的洪水頻率分布[4-7]。需要指出的是，歷史調(diào)查洪水的獲取需要大量的考證工作，且歷史洪水量級(jí)的估算也存在較大不確定性；插補(bǔ)延長(zhǎng)洪水序列需要相關(guān)性較高的參證變量，同時(shí)還需要參證站具有較長(zhǎng)的觀測(cè)期，在資料缺乏的地區(qū)上述條件較難同時(shí)滿足；區(qū)域洪水頻率分析方法較為復(fù)雜，所需的資料繁多，目前主要以理論研究為主。

除了歷史洪水樣本或區(qū)域洪水樣本信息外，一些與洪水具有物理或統(tǒng)計(jì)相關(guān)的變量(如降雨、大氣環(huán)流指數(shù)等)也可以用于估計(jì)洪水頻率分布[8-11]。大部分流域的洪水由暴雨形成，洪水與降雨之間往往存在顯著的相關(guān)性[12]，國(guó)內(nèi)外一些研究將降雨變量作為洪水頻率分布參數(shù)的協(xié)變量，基于廣義回歸模型構(gòu)建隨降雨變化的洪水頻率分布[9-11]。以上研究通常將降雨變量默認(rèn)為一種確定性的變量，然而降雨本身作為一種自然現(xiàn)象，其量級(jí)大小必然具有一定的隨機(jī)性，得到的洪水頻率分布會(huì)隨降雨的劇烈變化而劇烈變化，這種劇烈變化可能與實(shí)際情況并不相符。因此，在洪水頻率分析中將降雨變量處理成確定性變量并不能合理反映洪水頻率分布的變化規(guī)律。

本文基于層次模型構(gòu)建一種融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布推導(dǎo)方法，將與洪水相關(guān)的降雨變量定義為隨機(jī)變量，并估計(jì)相應(yīng)的頻率分布描述其發(fā)生規(guī)律，然后基于廣義回歸模型構(gòu)建洪水對(duì)降雨變量的條件概率分布，最后由全概率公式推導(dǎo)出洪水頻率分布。選取浙江省蘭江流域蘭溪水文站的年最大洪峰流量作為研究實(shí)例，引入年最大15天前期影響雨量作為洪峰流量的相依性變量，由層次模型推導(dǎo)該流域洪水頻率分布，并進(jìn)一步探討引入降雨隨機(jī)變量對(duì)提高洪水頻率分布估計(jì)精度的意義。

2 融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布推導(dǎo)法

2.1 層次模型定義本研究基于層次模型，提出了一種融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布推導(dǎo)方法。定義某流域洪水變量為Y，其相依性降雨變量(如年降雨極值變量、不同時(shí)段的降雨量、雨強(qiáng)、暴雨籠罩面積等)定義為X，由一個(gè)條件概率分布表示Y與X的相關(guān)關(guān)系，即：

P(Y≤y|X=x)=FY|X(y|x)

(1)

式中FY|X(y|x)為Y在X=x條件下的概率函數(shù)，其密度函數(shù)fY|X(y|x)表達(dá)為：

(2)

式中：f(x，y)為洪水變量Y和降雨變量X的聯(lián)合概率密度函數(shù)；fX(x)為X的概率密度函數(shù)。將式(2)寫為：

f(x，y)=fX(x)·fY|X(y|x)

(3)

根據(jù)全概率公式[13]，洪水變量Y的概率密度函數(shù)fY(y)有如下表達(dá)式：

(4)

由上式可知，除了直接由某一假定的理論頻率分布直接擬合洪水樣本序列之外，洪水變量Y的頻率分布還可以由降雨變量X的概率分布fX(x)與條件分布fY|X(y|x)推導(dǎo)得到。根據(jù)式(4)，洪水變量Y的頻率分布可以表示為一個(gè)兩階段層次模型，即：

(5)

式中Y|X為Y對(duì)X的條件分布。

本研究采用PⅢ分布表示降雨變量X的頻率分布，為了便于表示分布的統(tǒng)計(jì)特征值，PⅢ分布的概率密度函數(shù)寫成如下形式：

(6)

2.2 條件分布構(gòu)建采用基于正態(tài)分布的廣義回歸模型刻畫洪水變量Y與降雨變量X的關(guān)系，即：

(7)

(8)

式中α0、α1、β0和β1分別為廣義回歸模型的參數(shù)，由極大似然法估計(jì)得到[14]。μY|X和σY|X的具體表達(dá)式根據(jù)貝葉斯信息準(zhǔn)則(BIC)[15]從線性、指數(shù)和對(duì)數(shù)方程中優(yōu)選。由上可以看出，在廣義回歸模型中，條件分布的位置參數(shù)μY|X刻畫了洪水變量Y條件期望值與降雨變量X的關(guān)系，尺度參數(shù)σY|X刻畫了隨機(jī)誤差項(xiàng)εY|X的分布，即實(shí)測(cè)洪水值y在其期望值μY|X附近的離散情況，表征了降雨變量X之外的隨機(jī)因素(如降雨空間分布、雨強(qiáng)、蒸發(fā)等因素)對(duì)洪水變量Y的影響。此外，尺度參數(shù)σY|X間接反映了Y與X之間的相關(guān)性，具體來(lái)說(shuō)，σY|X越大說(shuō)明洪水變量與降雨變量之間的相關(guān)性越弱。

2.3 洪水頻率分布計(jì)算與擬合優(yōu)度分析理論上洪水變量Y的累積概率函數(shù)可由式(4)推求得到，即：

(9)

(10)

采用Kolmogorov-Smirnov(KS)方法[16]檢驗(yàn)洪水頻率分布擬合優(yōu)度，如果檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的p值大于某一閾值，則表明頻率分布可以通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，本研究中KS檢驗(yàn)p值的閾值取0.05。為定量評(píng)估洪水頻率分布擬合偏差大小，計(jì)算理論頻率和經(jīng)驗(yàn)頻率值的均方根誤差RMSE，具體表達(dá)式如下：

(11)

式中：m為實(shí)測(cè)洪水樣本容量；rank(yi)為實(shí)測(cè)洪水樣本yi在總體樣本中的從小到大的序號(hào)。

3 實(shí)例研究

3.1 研究區(qū)域與數(shù)據(jù)選取位于浙江省的蘭江流域作為研究區(qū)域，蘭江是錢塘江上游面積最大的支流，發(fā)源于浙、皖、贛交界的蓮花尖，東行經(jīng)開化、常山、衢縣、龍游、蘭溪，在梅城與新安江匯合入富春江，其流域面積為19 240 km2，河長(zhǎng)為304 km。蘭江流域?qū)賮啛釒Ъ撅L(fēng)氣候，多年平均降雨量達(dá)到了1600 mm，雨量多集中在3—9月，占超過(guò)七成全年降雨量，洪水主要由鋒面雨或臺(tái)風(fēng)雨形成，最大洪水多出現(xiàn)在6月份。

圖1 蘭江流域

蘭溪水文站是蘭江流域的控制性站點(diǎn)，集水面積為 18 230 km2，約占全流域面積的95%。本研究收集了蘭溪站1953—2020年間的年最大洪峰流量序列，同時(shí)收集了蘭江流域內(nèi)和周邊8個(gè)國(guó)家基準(zhǔn)氣象站的逐日降雨資料，并通過(guò)泰森多邊形法進(jìn)行插值得到整個(gè)流域逐日面雨量。經(jīng)過(guò)分析，時(shí)間長(zhǎng)度為15 d折減系數(shù)為0.91的年最大前期影響雨量與年最大洪峰流量的相關(guān)性最好，皮爾遜相關(guān)系數(shù)達(dá)到了0.845，顯著性水平為0.01。年最大前期影響雨量綜合了年極值雨量以及流域的前期蓄水量，且采用年極大值取樣，不依賴場(chǎng)次洪水的信息，便于從實(shí)測(cè)的降雨序列計(jì)算得到，因此選取該變量作為年最大洪峰流量的相依性降雨隨機(jī)變量。

3.2 融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布推導(dǎo)在層次模型框架下，首先估計(jì)年最大15 d前期影響雨量的頻率分布及洪峰流量對(duì)前期影響雨量的條件分布。年最大15 d前期影響雨量的頻率分布估計(jì)結(jié)果如表1與圖2所示，總體而言，PⅢ分布對(duì)前期影響雨量序列有較合理的擬合效果，且能夠通過(guò)顯著性水平為0.05的KS檢驗(yàn)。

表1 蘭江流域年最大15 d前期影響雨量與年最大洪峰流量頻率分布估計(jì)結(jié)果

圖2 蘭江流域年最大15 d前期影響雨量頻率曲線

根據(jù)廣義回歸模型的估計(jì)結(jié)果，蘭溪站年最大洪峰流量對(duì)年最大15 d前期影響雨量的條件分布參數(shù)有如下表達(dá)式：

(12)

根據(jù)以上結(jié)果可知年最大洪峰流量條件分布的位置參數(shù)μY|X(即條件期望值)與尺度參數(shù)σY|X(即均方差)均為年最大15 d前期影響雨量的對(duì)數(shù)函數(shù)。從圖3看出，基于正態(tài)分布的廣義回歸模型能夠較好地刻畫洪峰流量對(duì)前期影響雨量的相依關(guān)系，實(shí)測(cè)點(diǎn)據(jù)較為均勻地分布在條件期望值的兩側(cè)。此外，圖3還給出了不同典型前期影響雨量條件下，洪峰流量條件分布的概率密度曲線，可以看出洪水變量的條件期望值與實(shí)測(cè)值的離散程度也會(huì)隨著前期影響雨量增加而變大。

圖3 蘭溪站年最大洪峰流量對(duì)年最大15 d前期影響雨量條件分布

在估計(jì)年最大15 d前期影響雨量頻率分布以及洪峰流量條件概率分布的基礎(chǔ)上，由層次模型推導(dǎo)出蘭溪站年最大洪峰流量頻率分布。KS檢驗(yàn)的結(jié)果表明，融合降雨變量的洪水頻率分布通過(guò)了顯著性水平為0.05的擬合優(yōu)度檢驗(yàn)(見表1)，相應(yīng)的頻率曲線對(duì)大部分實(shí)測(cè)點(diǎn)據(jù)也有較好的擬合效果(如圖4所示)。

圖4 蘭溪站年最大洪峰流量頻率曲線

為了與傳統(tǒng)的洪水頻率分布估計(jì)方法相對(duì)比，采用PⅢ分布直接擬合實(shí)測(cè)洪水樣本，由極大似然估計(jì)分布參數(shù)，具體參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1所示。KS檢驗(yàn)結(jié)果表明，PⅢ分布對(duì)實(shí)測(cè)洪水序列同樣具有較好的擬合效果。表1對(duì)比了融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布和PⅢ分布統(tǒng)計(jì)參數(shù)的差異，總體而言，兩者得到的分布參數(shù)差別不大，PⅢ分布的均值、Cv和Cs值略大于前者的參數(shù)值。蘭溪站年最大洪峰流量頻率分布的PP圖如圖5所示，可以看出融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布整體擬合效果略優(yōu)于PⅢ分布，前者的RMSE值為0.030，小于后者的RMSE值(0.037)。另一方面，PⅢ分布頻率曲線的上尾部分對(duì)最大實(shí)測(cè)洪水值的擬合效果更好(如圖4所示)。

圖5 蘭溪站年最大洪峰流量頻率分布PP圖

3.3 抽樣統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)分析通過(guò)前文分析可知，在前期影響雨量樣本容量與洪水樣本容量相同的條件下，由層次模型推導(dǎo)的融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布一定程度上減小了頻率曲線的整體擬合偏差，但由于降雨序列并未延長(zhǎng)洪水頻率分布估計(jì)信息的追溯期，可能并不能有效提高洪水頻率分布的估計(jì)精度。下面將重點(diǎn)探討在降雨觀測(cè)期長(zhǎng)于洪水觀測(cè)期的情況下，引入長(zhǎng)系列降雨隨機(jī)變量對(duì)減小洪水頻率分布估計(jì)抽樣誤差以及提高水文設(shè)計(jì)成果可靠性的意義。

采用隨機(jī)抽樣方法，從68年的總體洪水樣本中抽取一定長(zhǎng)度的子樣本序列，然后由子樣本序列構(gòu)建洪水對(duì)相應(yīng)降雨變量的條件概率分布，最后結(jié)合前期影響雨量總體樣本的頻率分布(參數(shù)估計(jì)結(jié)果如表1所示)由層次模型推導(dǎo)出洪水頻率分布。與之對(duì)比，采用PⅢ分布直接擬合洪水子樣本序列，并由極大似然法估計(jì)出相應(yīng)的分布參數(shù)。此外，基于線性回歸方法建立洪水變量和前期影響雨量的函數(shù)關(guān)系，然后通過(guò)前期影響雨量總體樣本序列對(duì)洪水序列進(jìn)行插補(bǔ)延長(zhǎng)，最后由PⅢ分布擬合插補(bǔ)延長(zhǎng)后的洪水序列進(jìn)而估計(jì)相應(yīng)的頻率分布。為分析洪水樣本序列長(zhǎng)度對(duì)洪水頻率分布估計(jì)結(jié)果的影響，抽樣長(zhǎng)度分別設(shè)為20、30、40、50、60以及65，針對(duì)不同的抽樣長(zhǎng)度，分別重復(fù)上述統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)1000次。

圖6給出了由不同長(zhǎng)度子樣本序列估計(jì)得到的洪水頻率分布對(duì)總體樣本的擬合偏差?？梢钥闯鲭S著樣本長(zhǎng)度增加，由子樣本估計(jì)得到的頻率分布參數(shù)逐漸逼近整體樣本的參數(shù)估計(jì)結(jié)果，頻率分布的RMSE值也隨之減小，以上結(jié)果表明無(wú)論是基于PⅢ分布的洪水頻率分布估計(jì)方法還是本文提出的層次模型，樣本序列長(zhǎng)度都是決定洪水頻率分布估計(jì)精度的重要因素。與直接由PⅢ分布擬合實(shí)測(cè)洪水樣本的方法相比，插補(bǔ)延長(zhǎng)法以及本文提出的層次模型都融合了長(zhǎng)系列降雨信息，可以在不同程度上改進(jìn)洪水頻率分布的擬合效果，從圖6(d)可以看出，后兩種方法的整體擬合偏差(RMSE值)要明顯更小。圖6(a)—(c)可見，插補(bǔ)延長(zhǎng)法可以明顯提高洪水頻率分布均值的估計(jì)效果，但對(duì)高階參數(shù)的估計(jì)存在明顯偏差，在子樣本序列較短的情況下會(huì)顯著低估Cv值和Cs值，這是由于插補(bǔ)延長(zhǎng)法以線性回歸模型的期望值作為插補(bǔ)延長(zhǎng)值，忽略了模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)。相比之下，本文構(gòu)建的層次模型一方面充分利用了長(zhǎng)系列降水信息，同時(shí)還通過(guò)廣義回歸模型誤差隱含地考慮了其他隨機(jī)因素對(duì)洪水頻率分布的影響，其得到的洪水頻率分布參數(shù)基本落在由總體樣本序列估計(jì)得到的分布參數(shù)附近，沒有明顯的系統(tǒng)性偏差，因此結(jié)果更加合理；此外，模型的RMSE值整體上也要明顯小于插補(bǔ)延長(zhǎng)法的RMSE值。

圖6 基于子樣本序列洪水頻率分布的估計(jì)偏差

根據(jù)隨機(jī)抽樣洪水序列的頻率分布估計(jì)結(jié)果，圖7給出了相應(yīng)水文設(shè)計(jì)值的90%不確定性區(qū)間。與圖6結(jié)果相對(duì)應(yīng)，隨著洪水樣本量的增加，抽樣誤差對(duì)水文設(shè)計(jì)值的影響也逐漸減小，另外一方面，隨著設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)提高(即洪水超過(guò)概率減小)，抽樣誤差所帶來(lái)的水文設(shè)計(jì)值不確定性也越來(lái)越大。插補(bǔ)延長(zhǎng)法與層次模型由于引入了更長(zhǎng)的降雨信息，可以顯著減小抽樣誤差所帶來(lái)的水文設(shè)計(jì)值不確定性。如圖7(a)所示，在子樣本序列長(zhǎng)度為20的情況下，直接由PⅢ分布擬合實(shí)測(cè)洪水序列推求得到的千年一遇(即0.1%超過(guò)概率)水文設(shè)計(jì)值的90%不確定性區(qū)間寬度超過(guò)了26 000 m3/s，而其他兩種方法相應(yīng)的水文設(shè)計(jì)值不確定性區(qū)間寬度不到10 000 m3/s。同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)，插補(bǔ)延長(zhǎng)序列雖然能減小水文設(shè)計(jì)值的不確定性，但由于低估了Cv值，導(dǎo)致水文設(shè)計(jì)值上尾部分的90%不確定性區(qū)間整體落在基于總體實(shí)測(cè)樣本序列的頻率曲線下方，水文設(shè)計(jì)值明顯偏小。相比之下，由層次模型推求得到的水文設(shè)計(jì)值的90%不確定性區(qū)間較為均勻地落在基于總體洪水樣本序列的頻率曲線兩側(cè)，沒有明顯的系統(tǒng)性偏差，結(jié)果較延長(zhǎng)插補(bǔ)法的結(jié)果更為合理。

圖7 基于不同抽樣長(zhǎng)度水文設(shè)計(jì)值的90%不確定性區(qū)間

在整個(gè)洪水實(shí)測(cè)期內(nèi)，蘭溪站年最大洪峰流量出現(xiàn)在1955年，觀測(cè)值為19 500 m3/s，明顯高于其他年份的洪峰流量值。為分析最大洪水樣本缺失對(duì)水文設(shè)計(jì)成果的影響，圖8給出了剔除最大實(shí)測(cè)洪水樣本的洪水頻率曲線。從中可以看出基于實(shí)測(cè)洪水樣本的PⅢ分布估計(jì)結(jié)果對(duì)最大洪水樣本的缺失非常敏感，頻率曲線的上尾部分與基于總體洪水樣本的頻率曲線相比明顯向下偏離，得到的千年一遇水文設(shè)計(jì)值減小了將近5000 m3/s。插補(bǔ)延長(zhǎng)方法一定程度可以減小樣本缺失對(duì)洪水頻率分布估計(jì)結(jié)果的影響，但推求得到的千年一遇設(shè)計(jì)洪水值仍然較基于總體樣本的設(shè)計(jì)值減小了約2500 m3/s。而最大實(shí)測(cè)洪水樣本的缺失對(duì)層次模型推求的水文設(shè)計(jì)值影響不大，從圖8可以看出，基于總體樣本的洪水頻率曲線與剔除最大洪水樣本的洪水頻率曲線幾乎重合，只有上尾部分略有偏離。以上對(duì)比結(jié)果表明，通過(guò)層次模型引入長(zhǎng)系列降雨信息能夠減小個(gè)別樣本缺失對(duì)洪水頻率分布估計(jì)結(jié)果的影響，使水文設(shè)計(jì)結(jié)果更加穩(wěn)健。

圖8 剔除最大洪水樣本的水文設(shè)計(jì)值

4 結(jié)論與展望

本文在層次模型的框架下，提出了一種融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布推導(dǎo)方法，并將該方法應(yīng)用于推求蘭江流域年最大洪峰流量的頻率分布，并且進(jìn)一步探討了該方法對(duì)提高洪水頻率分析成果可靠性的意義。主要結(jié)論為：采用基于正態(tài)分布的廣義回歸模型構(gòu)建了蘭江流域年最大洪峰流量對(duì)年最大15天前期影響雨量條件概率，結(jié)果表明洪水條件概率分布的均值和均方差與前期影響雨量存在函數(shù)關(guān)系。在洪水序列和降雨序列樣本容量相同的條件下，由層次模型推導(dǎo)的融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布與直接擬合實(shí)測(cè)洪水樣本得到的PⅢ分布都能通過(guò)擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，前者的擬合效果略好于后者。

通過(guò)抽樣統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)分析，在前期影響雨量序列樣本長(zhǎng)于實(shí)測(cè)洪水樣本的條件下，基于層次模型推求的洪水頻率分布充分利用了長(zhǎng)系列降水信息，同時(shí)還通過(guò)廣義模型誤差隱含地考慮了其他隨機(jī)因素對(duì)洪水頻率分布的影響，相較于直接由PⅢ分布擬合實(shí)測(cè)洪水樣本的方法以及插補(bǔ)延長(zhǎng)法，本文提出的方法一定程度上可以提高洪水頻率分布的估計(jì)精度，減小抽樣誤差導(dǎo)致的水文設(shè)計(jì)值不確定性。

在我國(guó)，氣象站的設(shè)立時(shí)間通常要早于水文測(cè)站，氣象資料的連續(xù)性與可靠性一般也要好于水文資料且更加容易獲取，因此，本文提出的融合降雨隨機(jī)變量的洪水頻率分布推導(dǎo)方法為解決水文觀測(cè)資料匱乏區(qū)域的水文設(shè)計(jì)問(wèn)題提供了一種可行途徑。另外，本文提出的方法還適用于推求未來(lái)降雨發(fā)生變化條件下的洪水頻率分布，例如可根據(jù)觀測(cè)數(shù)據(jù)建立洪水對(duì)降雨的條件分布，然后通過(guò)氣候模式預(yù)測(cè)未來(lái)不同情景下的降雨數(shù)據(jù)并推求相應(yīng)的降雨變量頻率分布，最后將降雨頻率分布代入層次模型即可推導(dǎo)出未來(lái)情景下的洪水頻率分布。