解析常見(jiàn)錯(cuò)誤　掌握知識(shí)本質(zhì)

顧宏萍

在用“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，同學(xué)們或多或少會(huì)因?yàn)閷?duì)知識(shí)的錯(cuò)誤理解，從而出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。本文將通過(guò)一些常見(jiàn)錯(cuò)誤的解析，幫助同學(xué)們更好地掌握知識(shí)的本質(zhì)。

一、統(tǒng)計(jì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例1 為鼓勵(lì)學(xué)生積極參加體育鍛煉，某學(xué)校準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)一批運(yùn)動(dòng)鞋供學(xué)生借用，現(xiàn)從各年級(jí)隨機(jī)抽樣調(diào)查了部分學(xué)生所穿運(yùn)動(dòng)鞋的尺碼，繪制了統(tǒng)計(jì)圖1和圖2（不完整）。請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息，解答下列問(wèn)題：

（1）本次接受隨機(jī)抽樣調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為_(kāi)____________，圖1中m的值為_(kāi)____________；

（2）求本次調(diào)查樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；

（3）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，若學(xué)校計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)200雙運(yùn)動(dòng)鞋，建議購(gòu)買(mǎi)35碼運(yùn)動(dòng)鞋多少雙？

【解析】讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。本題最容易錯(cuò)的是第（2）問(wèn)，本次調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)是鞋號(hào)，出現(xiàn)次數(shù)最多的是35碼，共12人，所以眾數(shù)是35碼，而不是12。所有數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)圖2得第19到28個(gè)人的鞋碼都是36碼，也就是這組數(shù)據(jù)中間的兩個(gè)數(shù)都是36碼，所以中位數(shù)是36碼。

【答案】（1）40，15；（2）眾數(shù)35碼，中位數(shù)36碼；（3）60。

二、概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用

例2 在一個(gè)密閉不透明的袋子里有若干個(gè)白球，為估計(jì)白球個(gè)數(shù)，小張向其中投入11個(gè)黑球，攪拌均勻后隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色，再把它放入袋中，不斷重復(fù)摸球420次，其中77次摸到黑球，則估計(jì)袋中有白球_____________。

【錯(cuò)解】設(shè)估計(jì)袋中有x個(gè)白球，根據(jù)題意，得11∶x=77∶420，解得x=60。

【解析】運(yùn)用概率進(jìn)行估計(jì)，有些問(wèn)題需要設(shè)未知數(shù)，用頻率作為概率的估計(jì)值列出方程。錯(cuò)解中是忽略了總球數(shù)中含有11個(gè)黑球。

【正解】設(shè)估計(jì)袋中有x個(gè)白球，根據(jù)題意，得11∶（11+x）=77∶420，解得x=49。

這個(gè)“概率模型”在生活中被廣泛應(yīng)用，如在科學(xué)研究中，生物學(xué)家估計(jì)某個(gè)種群的數(shù)量；養(yǎng)魚(yú)專(zhuān)業(yè)戶估計(jì)魚(yú)塘里某種魚(yú)的條數(shù)等。

例3 從2021年起，江蘇省高考采用“3+1+2”模式：“3”是指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3科為必選科目，“1”是指在物理、歷史2科中任選1科，“2”是指在化學(xué)、生物、思想政治、地理4科中任選2科。若小明在“1”中選擇了物理，求他選科為物理、化學(xué)、生物的概率。

【解析】本題以生活中的實(shí)際背景呈現(xiàn)，但對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)還是有點(diǎn)陌生，所以在理解上存在一定的困難，需要在讀懂題意的基礎(chǔ)上，選擇合適的解題策略來(lái)解決。

此題表面上似乎是三步試驗(yàn)的概率問(wèn)題，但是細(xì)細(xì)分析下來(lái)，因?yàn)樵凇?”中已經(jīng)選定物理學(xué)科，所以只要在“2”中的4科中選擇2科即可，應(yīng)該用兩步試驗(yàn)來(lái)解決。符合在四個(gè)球中選擇兩個(gè)球的摸球試驗(yàn)的模型。但同時(shí)我們一定要注意，第一步選擇的科目在第二步不能再次選擇，俗稱(chēng)“不放回”。

本題既可以用畫(huà)樹(shù)狀圖，又可以用列表的方法求解，相較而言，列表法要簡(jiǎn)潔得多。這就是考查思維的優(yōu)化意識(shí)——不僅僅是解決問(wèn)題，更是要簡(jiǎn)潔地解決問(wèn)題。

【答案】用樹(shù)狀圖表示所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

或列表如下（化學(xué)、生物、政治、地理分別用字母A、B、C、D代替）：

共有12個(gè)等可能的結(jié)果，其中選化學(xué)、生物的方案有2個(gè)。

∴他選物理、化學(xué)、生物的概率是[1/6]。

例4 甲、乙、丙3名學(xué)生各自隨機(jī)選擇到A、B兩個(gè)書(shū)店購(gòu)書(shū)。

（1）求甲、乙2名學(xué)生在不同書(shū)店購(gòu)書(shū)的概率;

（2）求甲、乙、丙3名學(xué)生在同一書(shū)店購(gòu)書(shū)的概率。

【解析】本題要厘清研究的對(duì)象是甲、乙、丙3名學(xué)生選擇A、B兩個(gè)書(shū)店的情況，不是書(shū)店選擇學(xué)生的情況，可以套用“三人分別拋一枚硬幣，研究三枚硬幣的正反面”的拋硬幣游戲的模型。

第（1）問(wèn)，因?yàn)榧?、乙兩人都可以隨機(jī)選擇A、B，所以在分兩步試驗(yàn)時(shí)，每個(gè)選項(xiàng)都可以重復(fù)選擇，俗稱(chēng)“有放回”。在畫(huà)樹(shù)狀圖或者列表求解時(shí)，一定要注意。

第（2）問(wèn)，因?yàn)榉治龅氖?名學(xué)生分別到2個(gè)書(shū)店的情況，需要三步試驗(yàn)完成，所以選擇畫(huà)樹(shù)狀圖來(lái)求解更合適。

【答案】（1）[1/2]；（2）[1/4]。

例5 某航空公司的保險(xiǎn)合同上有這樣一個(gè)條款：飛機(jī)一旦失事，將向每名乘客賠償人民幣50萬(wàn)元，但保險(xiǎn)公司需向每名乘客收取保險(xiǎn)費(fèi)20元。如果該航空公司航班平均每次約有120名乘客，那么平均來(lái)說(shuō)，當(dāng)飛機(jī)失事的概率不超過(guò)多少時(shí)，才能保證保險(xiǎn)公司的收入不小于支出？

【解析】看到這個(gè)實(shí)際問(wèn)題，同學(xué)們可能會(huì)無(wú)從下手。其實(shí)，本題考查的依舊是概率的含義。那么，根據(jù)所給的保險(xiǎn)公司的收入不少于支出這個(gè)不等量關(guān)系，我們可設(shè)飛機(jī)失事的概率為p，則在n次飛行中飛機(jī)平均失事np次，得120×20×n≥120×500000×np，解得p≤0.00004。

本章的學(xué)習(xí)難度并不大，卻有著非常重要的實(shí)際意義，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)、概率知識(shí)可以幫助我們?cè)谏钪凶龀龉烙?jì)、推斷、決策。在解題過(guò)程中，我們一定要仔細(xì)審題，注重提升從數(shù)據(jù)中提取信息并進(jìn)行簡(jiǎn)單推斷的能力，體會(huì)“概率模型”的作用以及運(yùn)用概率思考問(wèn)題的特點(diǎn)，體會(huì)“不同的問(wèn)題往往可以歸結(jié)為同一個(gè)概率模型”的模型思想，從而提升解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（作者單位：江蘇省無(wú)錫市東林中學(xué)）