基于廣義梯形模糊數(shù)的基本概率指派方法

宋香鵬，肖建于，吳克鳳，伏明蘭

(淮北師范大學 計算機科學與技術學院，安徽 淮北 235000)

D-S證據(jù)理論[1]中基本概率指派(Basic Probability Assignment，BPA)是應用D-S證據(jù)理論識別框架(Frame of Discernment,FOD)的核心和關鍵。其中BPA的構造與確定并沒有一個固定的模式，需要考慮不同應用背景下的復雜條件，這是制約證據(jù)理論應用推廣的首要原因[2-3]。國內(nèi)外眾多學者對此問題進行了研究，并且也提出了不同的解決方案。Deng和Wang[4]提出在信任區(qū)間上使用多子集焦點元素的BPA轉換方法；Zhang和Deng[5]提出了根據(jù)屬性值構造的三角模糊數(shù)來指派BPA；Fan等[6]提出利用基于三角模糊數(shù)的K-means++算法構造BPA；Qin和Xiao[7]使用測試樣本與模型間的相似度來進行基本概率賦值。

文獻[4-7]主要思想是通過利用模糊數(shù)對不同目標類的各種屬性進行建模，然后根據(jù)模糊數(shù)的隸屬度得到各個焦元的信任度，最終進行歸一化處理，計算出滿足條件的BPA。其中三角模糊數(shù)在處理BPA的構造具有很高的應用性，但是當處理區(qū)分度較小的數(shù)據(jù)時，容易引起焦元“爆炸”(即焦元呈指數(shù)級數(shù)增長)。本文利用機器學習中的鳶尾花數(shù)據(jù)集，以廣義梯形模糊數(shù)為基礎，建立了單元素命題和多元素命題的表示模型，并計算出模糊數(shù)的隸屬度來構造BPA。此構造方法相對簡捷，有效減少了焦元增加問題，對各類數(shù)據(jù)有更強的適用性，為證據(jù)理論在目標識別和變壓器故障診斷等工業(yè)應用中提供了理論依據(jù)。

1 廣義模糊數(shù)的構造

1.1 廣義模糊數(shù)的定義

論域U到[0,1]上任意映射，確定U上的廣義梯形模糊數(shù)為A=(a,b,c,d;w)，對應的隸屬度函數(shù)為[8]：

(1)

其中-∞

1.2 廣義模糊數(shù)的構造

針對目標識別問題，可以利用已有的歷史數(shù)據(jù)集獲得其中某指標的最大值和最小值，并且求得其中的三等分均值?；谶@三等分均值可以構造出一個梯形模糊數(shù)來描述命題。假設某識別問題的FOD為Θ={θ1,θ2,…θi,…,θn}，且Θ中的每個元素都是互斥的。系統(tǒng)中用S表示傳感器，即傳感器收集的識別類別的第m個指標為Sm；系統(tǒng)需要識別的目標可表示為p(p∈θi,i=1,…,n)；屬于θi類的樣本為Hik，Tm(Hik)為傳感器Sm對此樣本的度量向量。構造梯形模糊數(shù)表示模型的具體步驟如下：

Step 1：確定度量向量。

針對每個類別θi，各傳感器Sm對于某類別θi的訓練樣本Hik的度量向量為

Step 2：計算梯形模糊數(shù)值。

假設類別θi有Zm個訓練樣本，其中屬于指標m的梯形模糊數(shù)值為：

(2)

(4)

(3)

(5)

Step 3：梯形模糊數(shù)交集分析。

Step 4：確定廣義模糊數(shù)。

梯形模糊數(shù)的交集部分可能為梯形或三角形，根據(jù)實際情況確定隸屬度w，稱此類模糊數(shù)為廣義梯形模糊數(shù)或是廣義三角模糊數(shù)。

2 基于廣義梯形模糊數(shù)的BPA指派

2)若測量值并未出現(xiàn)在初始梯形模糊數(shù)表示模型范圍中，則有兩種處理方式：①當系統(tǒng)屬于開放世界假設情況下，說明此測量值屬于未知的類別，處理方法則是將BPA全部指派給空集?，即表示為m(?)=1。②當系統(tǒng)屬于封閉世界假設情況下，說明訓練集選擇可能不完善，處理方法則是將BPA全部指派給全集Θ，即表示為m(Θ)=1。但是在實際工程應用中，一般在確定此數(shù)據(jù)類型后，然后將其加入到訓練集中，重新修正并確定相應類別的梯形模糊數(shù)。

3)依次計算出各命題的隸屬度之后，可通過以下方法進行BPA的指派：首先用1減去最大隸屬度，然后賦值給全集Θ，即認為此部分的信息屬于未知空間。為計算方便以及保證BPA之和為1，將計算出的隸屬度進行歸一化處理。具體公式如下：

(6)

(7)

(9)

(8)

(10)

其中p,q,z分別是梯形模糊數(shù)、交疊的梯形模糊數(shù)、三角模糊數(shù)模型的焦元個數(shù)。根據(jù)公式依次計算出各屬性的BPA指派。

4)某一證據(jù)對某屬性的基本概率分配為0，會導致最終合成的mass函數(shù)結果為0，即使其他證據(jù)對該事件分配的概率較高或增加新證據(jù)表明該事件有較大概率也無法影響合成結果[10-11]。為避免沖突證據(jù)影響合成結果不準確，故使用以下合成方法：m1,m2,…,mn所對應的證據(jù)集為F1,F2,…,Fn，并設證據(jù)集i和j之間的沖突大小為kij，則

(11)

m(Θ)=0,

m(A)=p(A)+k·ε·q(A),A≠?,X，

(12)

(14)

m(X)=p(X)+k·ε·q(X)+k(1-ε)，

(13)

(15)

3 目標識別實驗

鳶尾花數(shù)據(jù)集(Iris data)共有150個樣本數(shù)據(jù)，包含3個類別，分別是Setosa(Se)、Versicolour(Ve)和Virginica(Vi)，每個類別各有50個實例樣本。并且Iris數(shù)據(jù)集還提供4個屬性：萼片長度(SL)、萼片寬度(SW)、花瓣長度(PL)、花瓣寬度(PW)。在以下實驗中，每個屬性都被認為是獨立的傳感信息源，每類各隨機抽取25個實例樣本數(shù)據(jù)，剩下的25個實例樣本數(shù)據(jù)作為測試樣本[12]。

3.1 基本識別實驗

本實驗中，根據(jù)隨機抽取的樣本數(shù)據(jù)得到鳶尾花萼片長度的梯形模糊數(shù)值如表1所示，圖3給出了鳶尾花4個屬性的梯形模糊數(shù)表示模型，表2則是3類鳶尾花交疊部分為三角形的三角模糊數(shù)值。

表1 萼片長度的梯形模糊數(shù)值

表2 3類鳶尾花交疊部分的廣義模糊數(shù)

假設由傳感器系統(tǒng)測得一個鳶尾花的樣本值為(4.70、3.20、1.60、0.20 cm)，對于此花的萼片長度4.70 cm，利用本文的BPA指派方法，得到的BPA如下：

m(Se)=0.8696,m(Θ)=0.1304，

此樣本的4個屬性指派的BPA如表3所示。

為避免沖突證據(jù)的影響，使用公式(11)—(15)進行證據(jù)間的合成。其合成結果為：

m(Se)=0.7860,m(Se,Vi)=0.0521,m(Θ)=0.1619。

最后根據(jù)決策支持系統(tǒng)中，BPA最大的種類即為樣本所屬類別，故此樣本屬于Se。

表3 某樣本生成的BPA

3.2 封閉世界假設模擬實驗

采取封閉世界假設實驗[13],即認為樣本數(shù)據(jù)集是完全的，在本實驗中則是確定數(shù)據(jù)集中具有Se、Ve和Vi的類別數(shù)據(jù)。將利用神經(jīng)網(wǎng)絡方法[14]，Zhang的三角模糊數(shù)方法[5]和本文的BPA指派方法進行對比實驗。實驗數(shù)據(jù)同上，數(shù)據(jù)中50%作為訓練集，剩下50%作為測試集。實驗結果如表4和表5所示：

表4 有噪聲環(huán)境下完全FOD的不同方法識別率

表5 無噪聲環(huán)境下完全FOD的不同方法識別率

在本節(jié)中,使用Iris數(shù)據(jù)集所有類別來建立目標模型，即識別框架是完全的,測試實例也是已知的。主要區(qū)別是有無噪聲環(huán)境，即訓練數(shù)據(jù)集中是否含有每個類別的最大值與最小值，若無最大值或最小值，則認為是噪聲環(huán)境，反之則認為是無噪聲環(huán)境。從表4和表5中的實驗結果可以得出：在完全FOD下使用神經(jīng)網(wǎng)絡方法進行識別分類，在有無噪聲環(huán)境情況下，平均識別率都為73.3%，這是因為訓練數(shù)據(jù)過少，導致神經(jīng)網(wǎng)絡的學習并不完善，從而影響到識別率較低。Zhang使用的三角模糊數(shù)交叉區(qū)域識別方法在噪聲環(huán)境下的平均識別率為80.00%，無噪聲環(huán)境下平均識別率為81.33%，相比于神經(jīng)網(wǎng)絡方法，識別率顯著提高。但與本文改進的方法相比，由于其焦元的增加，識別率并沒有本文的方法表現(xiàn)優(yōu)良。本文利用梯形模糊數(shù)模型的方法在有無噪聲環(huán)境下的平均識別率分別達到86.67%和89.33%。

3.3 開放世界假設模擬實驗

在開放世界假設實驗下[15-16]，將Se類和Ve類視為已知類，Vi類為未知類，其他的參數(shù)與之前實驗相同。通過Se類和Ve類訓練出的梯形模糊數(shù)模型分別識別測試樣本中的Se類和Ve類，同時根據(jù)此模型識別未知類Vi。實驗結果如表6和表7所示：

表6 有噪聲環(huán)境下不完全FOD的不同方法識別率

表7 無噪聲環(huán)境下不完全FOD的不同方法識別率

通過對比實驗發(fā)現(xiàn)，在不完全的識別框架下，噪聲環(huán)境是否存在對識別率的影響并不是很大，由于整體的未知量增加，對已知類判斷更加準確。其中本文的改進方法效果最好，在無噪聲環(huán)境下，對各類別的識別率均達到了96.00%。其根本原因是利用梯形模糊數(shù)的模型有效減少了焦元的生成量，可以更加準確地完成BPA的指派，由此說明改進的方法在實際分類中應用有效。

4 結 論

本文利用廣義梯形模糊數(shù)模型中的隸屬度進行證據(jù)理論中的基本概率指派，解決了證據(jù)理論在應用中的關鍵性問題。通過在經(jīng)典的鳶尾花數(shù)據(jù)集上的對比實驗，證明了本文提出的方法在目標分類應用中是有效的，并且此方法在處理小規(guī)模數(shù)據(jù)集時有著獨特的優(yōu)勢，在實際工程應用中，只要有一定的數(shù)據(jù)，均能使用此方法進行基本概率的指派。與其他方法相比，此方法生成的焦元更少，可以更準確地得到量化指標，較好地解決了評價體系中的主觀性問題。實驗結果也證明，此方法在開放世界和封閉世界中都可以很好地進行識別。由于利用基本概率賦值函數(shù)的形式構造BPA可以有效處理各類基礎信息，在未來研究中可以將此方法應用在多源信息融合領域中。