一類Burkholder積分的上界及其應用

楊 敏，張 莉

(西華師范大學 a .數(shù)學與信息學院，b.公共數(shù)學學院，四川 南充 637009)

1 預備知識

(1)

其中Beltrami系數(shù)無窮范數(shù)有界：‖μf‖∞≤k<1，則稱f為k-擬共形映射。

f(z)=z+b1z-1+b2z-2+…，|z|→∞，

(2)

則稱f為Beltrami方程(1)的主要解。

定義2E:n×n→是連續(xù)泛函，若對任一n)，有

(3)

則稱E為擬凸的。其中A表示任一線性映射(或矩陣)，Ω是n上任一有界區(qū)域。

對任一固定矩陣A和任意秩為一的矩陣X，若有t→E(A+tX)是凸的，則稱E是秩一凸的。相反地，如果-E是秩一凸的，則E是秩一凹的，便可以利用凹性來研究凸性。在二維中最著名的秩一凹泛函就是Burkholder泛函：

(4)

其中A是任意二階矩陣并且|A|是A的算子范數(shù)[1-3]。

Morrey[4]指出擬凸性能推導出秩一凸，而verák[5]的研究表明在高維(維數(shù)大于2)中秩一凸不一定能推出擬凸，這就使得在二維中可能出現(xiàn)不同的結(jié)果[6-7]。Astala等[8]對這一問題作出了如下猜想：

猜想A秩一凸泛函E:2×2→是擬凸的。

同時，Astala等[8]根據(jù)插值引理和面積定理得到下面的定理：

定理1對于A=Id，在恒等變換的擬共形擾動下Burkholder泛函是擬凹的，當f是Ω到自身的k-擬共形映射并且在邊界上是恒等時，有

(5)

2 主要引理

引理1[8](圓盤上的插值引理)令0

(6)

(7)

(8)

3 主要結(jié)果及其證明

在下面定理2的條件下文獻[10]得出：

本文在文獻[8-10]的啟發(fā)下，得到以下理論：

注意：(1)當n=0時，滿足定理1的結(jié)論； (2)當n=1時，滿足文獻[10]中的結(jié)論。

(9)

其中τλ(z)是解析函數(shù)且滿足

(10)

也就是說

(11)

(12)

(13)

在圓盤上的度量空間M(D,σ)上應用引理1(插值引理)，其中

(14)

(15)

(16)

結(jié)合(14)式得到

(17)

(18)

即：

定理1得證。

證明DR表示以R為半徑的圓盤，由定理中R的取值情況可知Ω?DR，只需令定理1中

可以得到

(19)

由(19)式可得

(20)

(21)

結(jié)合(20)(21)式可以得到

(22)

(23)

(24)

定理3得證。