分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透

袁健風(fēng)

(江蘇省南通市海門區(qū)德勝初級中學(xué),江蘇 南通 226100)

在傳統(tǒng)的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,許多教師的教育思想滯后,沒有掌握有效的教學(xué)指導(dǎo)方法,只是針對習(xí)題的本身進(jìn)行講解,沒有讓學(xué)生了解問題解決中涉及的數(shù)學(xué)思想與方法,從而導(dǎo)致學(xué)生雖然在教師的講解中解決了當(dāng)下面對的問題,卻在后續(xù)遇到同類問題的時候無從下手.在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中滲透分類討論思想,目的在于達(dá)到“授之以漁”的教學(xué)效果,側(cè)重于在解題教學(xué)中引領(lǐng)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)問題解答的竅門.解題教學(xué)一直以來都是初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作中的重點(diǎn)與難點(diǎn),學(xué)生的解題水平一方面反映了其對數(shù)學(xué)知識的理解與吸收情況,另一方面也體現(xiàn)出學(xué)生的數(shù)學(xué)知識應(yīng)用能力.將分類討論思想滲透于解題教學(xué)中,可以有效引導(dǎo)學(xué)生找到解題思路,降低解題的難度,促進(jìn)學(xué)生解題能力的發(fā)展.

1 分類討論思想概述

1.1 分類討論思想的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)思想的形成是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法的核心所在,可以促使學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解決中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法高效且正確地解決問題,因?yàn)閿?shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法密不可分且相互影響,因此人們常常將其合稱為數(shù)學(xué)思想方法,常見的數(shù)學(xué)思想方法有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想以及函數(shù)與方程思想等[1].

在“新課改”的背景下,廣大一線教師加強(qiáng)了對分類討論思想的重視程度,在對分類討論思想的研究中提出了一些見解.比如,顧泠沅教授認(rèn)為分類討論思想中的“分類”是指劃分,在劃分中需要學(xué)生按照數(shù)學(xué)對象的共性與差異性,將數(shù)學(xué)對象劃分成若干類別的操作過程,在遇到不能統(tǒng)一的問題時,將問題分成若干種情況,然后分別解決,最終完整地解決問題;呂美英教授認(rèn)為分類討論是指在面對需要解決的問題時,學(xué)生按照一定的特點(diǎn)或要求,將原問題分成幾個問題,再按照不同情形進(jìn)行分析問題,逐個加以解決的數(shù)學(xué)思維.

由此可見,分類討論思想既是一種數(shù)學(xué)思想,又是解決問題的有效方法,其核心是根據(jù)數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性特征,按照一定的標(biāo)準(zhǔn),將復(fù)雜的問題分拆、逐個擊破并解決的過程,起到化繁為簡的作用.

1.2 分類討論的基本步驟

1.2.1確定分類對象

在分類討論之前,需要學(xué)生解決“對什么分類”的問題,確定分類對象有助于學(xué)生找出分類的原因,并在解題中把握問題的本質(zhì).學(xué)生在這個過程中,找準(zhǔn)哪一個對象是不確定導(dǎo)致分類結(jié)果的多樣性,認(rèn)識到只有找準(zhǔn)分類的對象,才能為分類討論指明方向.

1.2.2選擇分類標(biāo)準(zhǔn)

“按照什么標(biāo)準(zhǔn)分類”也是分類討論的一個至關(guān)重要的因素.在確定分類對象后,需要按照科學(xué)合理的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類,無論是教師還是學(xué)生都應(yīng)該遵循同一性、完整性、互斥性的原則,能夠在解題前羅列出分類對象的所有可能情況.

1.2.3逐類討論獲得初步結(jié)果

在這個環(huán)節(jié)中,需要將分類對象的所有情況羅列出來,按照一定的層次,對每一種情況做出清晰的討論,應(yīng)用所需的知識與相關(guān)的定理、公式,解出每一類的結(jié)果.

1.2.4歸納整合寫出結(jié)論

在得出了初步的結(jié)果后,還需要對每一種情況的結(jié)果做出歸納與總結(jié),整理出解決問題的最終結(jié)果,避免最終結(jié)果出現(xiàn)錯誤.一般來說,學(xué)生可以采取并集整合、交集整合與并列整合三種方式,對各類結(jié)果進(jìn)行分析,得出最終的結(jié)論.

2 分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的滲透路徑

2.1 激發(fā)分類討論的興趣

正所謂“學(xué)起于思”,分類討論思想的形成需要以學(xué)生具備濃厚的學(xué)習(xí)興趣為前提,通過教師的指導(dǎo)引領(lǐng)學(xué)生樹立分類討論的意識,打開其求知的天窗,讓學(xué)生在數(shù)學(xué)問題的解答中主動地從分類討論的視角出發(fā),對問題進(jìn)行積極思考.數(shù)學(xué)問題的解答必然需要學(xué)生運(yùn)用到數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則等知識,掌握基礎(chǔ)知識對于提升學(xué)生的解題能力有著重要的作用.概念、定理、運(yùn)算法則等知識本身就是分類定義的,那么在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,教師可以提供問題情境創(chuàng)設(shè)的方式,引發(fā)學(xué)生對問題的思考,引領(lǐng)學(xué)生從特定的情境中對不確定的情況產(chǎn)生疑問,激發(fā)其分類討論的興趣,形成分類討論意識,為分類討論思想的形成奠定基礎(chǔ).

比如,在七年級的《有理數(shù)》單元中,學(xué)生通過第一課的學(xué)習(xí)了解了“正數(shù)”與“負(fù)數(shù)”,在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步延伸出了“有理數(shù)”和“無理數(shù)”,這是本單元的第二課內(nèi)容,擴(kuò)大了“數(shù)”的范圍.從這兩節(jié)課的學(xué)習(xí)中,學(xué)生認(rèn)識到正數(shù)與負(fù)數(shù)的性質(zhì),表示運(yùn)算的符號“+”“-”,“-”還能表示相反數(shù)的意義.因此,數(shù)的范圍擴(kuò)大,學(xué)生在數(shù)的計(jì)算上難度有所增加,在問題解答中不僅要考慮到運(yùn)算符號的使用,還需要考慮絕對值的問題,這就需要教師在問題解答中引領(lǐng)學(xué)生對多種情況做出分析.比如,教師給學(xué)生布置了這樣一個習(xí)題:“小明從家出發(fā),沿著東西方向的路走了5米,后返回3米,若是以小明家為原點(diǎn),以東為正方向,畫一條數(shù)軸,表示出小明的位置,請說明小明家在什么方向,距離家?guī)酌?”以問題的提出引發(fā)學(xué)生的思考,促使其結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)分析運(yùn)動方向的多種可能性,再結(jié)合學(xué)習(xí)過的數(shù)軸知識,完成直觀的數(shù)軸繪制任務(wù)并列出算式.以此引導(dǎo)學(xué)生意識到在數(shù)學(xué)問題解答中遇到問題不確定的情況時,就需要使用分類討論的方法,進(jìn)而為學(xué)生的分類討論思想的形成打造一個良好的開端.

2.2 在分類討論中理解題意

大部分初中生在數(shù)學(xué)問題解答中存在題意不明的情況,因此,無法理清題干中的關(guān)鍵信息,不能使用具體的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行數(shù)學(xué)問題類型的劃分,是阻礙學(xué)生順利解答數(shù)學(xué)問題的不利因素.對此,教師應(yīng)在解題教學(xué)中,引領(lǐng)學(xué)生根據(jù)統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn)對習(xí)題中的不同情況做出具體細(xì)致的討論,進(jìn)而提高學(xué)生的題意理解能力以及分析歸納能力.

比如,在“一元二次方程的解法”教學(xué)中,教師給學(xué)生布置了這樣一道習(xí)題:“已知等腰三角形的底邊長9,腰長為方程x2-10x+24=0的一個根,求此三角形的周長”.在問題的解答前,教師應(yīng)先引導(dǎo)學(xué)生從題干中確定條件,并提供統(tǒng)一的分類標(biāo)準(zhǔn),讓學(xué)生可以在思考中認(rèn)識到一元二次方程有兩個實(shí)數(shù)根,因此,在題干中并未指明哪一個方程的根才是等腰三角形的腰長,這就需要學(xué)生考慮到兩個根都有可能,想要確定就需要繼續(xù)討論.又想到在以往的三角形知識學(xué)習(xí)中,有三角形的任意兩邊之和大于第三邊,將方程的根帶到后續(xù)的推理討論中,由此確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)是必須滿足二倍的情況下大于9,才能認(rèn)定為等腰三角形的腰長,以此幫助學(xué)生理清題意,找到問題解決的有效途徑.

2.3 運(yùn)用分類討論思想求解

讓學(xué)生學(xué)會使用分類討論思想求解,是解題教學(xué)中的關(guān)鍵環(huán)節(jié).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,方程是學(xué)生最難以掌握的知識點(diǎn)之一,學(xué)生普遍認(rèn)為解方程具有一定的難度.而在方程題的解答中使用分類討論思想,可以將復(fù)雜的問題簡單化,幫助學(xué)生輕松地攻克解方程的難關(guān),如解方程或解方程組問題、求解含參方程中的參數(shù)值問題以及用方程解決實(shí)際問題等.

學(xué)生在解方程組的習(xí)題中,經(jīng)常會因?yàn)樽帜赶禂?shù)及絕對值而產(chǎn)生不同的答案,因此在此類習(xí)題的解答中,需要學(xué)生對其中存在的不確定因素展開分類討論.在含有參數(shù)的方程問題解答中,往往因?yàn)橐粋€參數(shù)的變化而引起參數(shù)方程性質(zhì)的變化,面對此類問題就需要學(xué)生對參數(shù)展開分類討論.如教師給學(xué)生出示了這樣一個習(xí)題:“已知關(guān)于x的方程zx2-(z+2)x+2=0只有一個解,那么z等于多少?”在此題的解答中,學(xué)生要認(rèn)識到只有對參數(shù)z值的不同展開分類討論,才能夠順利地解答習(xí)題.因?yàn)?當(dāng)z的值發(fā)生變化時,很可能會影響方程形式發(fā)生變化,促使學(xué)生理解參數(shù)z對于方程產(chǎn)生的影響.對二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)的情況未作出說明時,也要討論參數(shù).當(dāng)z=0時,方程zx2-(z+2)x+2=0轉(zhuǎn)化為-2x+2=0,x=1;當(dāng)z≠0時,zx2-(z+2)x+2=0轉(zhuǎn)化[-(z+2)]2-8z=0,經(jīng)過計(jì)算z=2,由此得出z=0或z=2.學(xué)生在方程題的解答中使用分類討論思想,可以在很大程度上降低方程題的解答難度,進(jìn)而快速地找到答案.

2.4 養(yǎng)成主動分類討論的習(xí)慣

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會涉及大量的平面幾何知識以及代數(shù)知識,教師不僅要關(guān)注學(xué)生代數(shù)與幾何知識點(diǎn)的掌握情況,還要注意幫助學(xué)生糾正問題解答中容易忽視或常見的錯誤點(diǎn),滲透分類討論思想打破學(xué)生的固化思維,促使學(xué)生養(yǎng)成主動分類的習(xí)慣.在以往的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中,我們會發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生看似掌握了分類討論思想,但是在問題解答中卻不能主動地應(yīng)用,若是教師在旁提醒學(xué)生“需要使用分類討論的方法”,學(xué)生就會出現(xiàn)茅塞頓開的現(xiàn)象,從中可以看出,學(xué)生并不是沒有掌握分類討論的方法,只是沒有養(yǎng)成分類討論的習(xí)慣.面對這種情況,教師要予以指導(dǎo),讓學(xué)生在多次的鍛煉中形成分類討論的意識,還要在面對數(shù)學(xué)問題時,自覺進(jìn)行分類討論.

比如,在平面幾何教學(xué)中,教師出示習(xí)題:“從三角形ABC的頂點(diǎn)A,向它所對的邊BC所在的直線畫垂線,垂足為D,所得線段AD叫作BC的高,請學(xué)生畫出BC邊上的高AD的位置可能在哪里?”這個習(xí)題屬于平面幾何范疇,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生基于平面幾何對“三角形的高”形成多樣化的認(rèn)知,促使學(xué)生在問題解答中發(fā)散思維,利用圖形多樣化的性質(zhì)探索問題的答案,提升思維的多樣化與靈活性.在此題的講解之后,還要繼續(xù)給學(xué)生出示幾個類似的平面幾何問題,讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的推理過程,做到能熟練地使用分類討論方法解答問題,在潛移默化中鍛煉學(xué)生的空間想象能力與問題解答能力,形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.

綜上所述,分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中有重要的應(yīng)用價(jià)值,教師應(yīng)深入地研究分類討論思想,幫助學(xué)生掌握分類討論思想的內(nèi)涵及其基本步驟.教師還應(yīng)結(jié)合解題教學(xué)的目標(biāo)以及初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需求,巧妙地融入分類討論思想,增強(qiáng)學(xué)生的分類討論意識,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會使用分類討論的方法解決問題.以此,形成良好的解題習(xí)慣,拓展數(shù)學(xué)解題思維,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力,滿足其多元化發(fā)展需求,為初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).