Banach代數(shù)中反三角矩陣的p群逆

周心悅，劉大勇，陳煥艮

(1. 杭州師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，浙江 杭州 311121； 2. 中南林業(yè)科技大學(xué)理學(xué)院，湖南 長沙 410004)

0 引言

Drazin逆在眾多領(lǐng)域中都有重要應(yīng)用，而群逆作為特殊的Drazin逆被眾多學(xué)者所研究.由于矩陣的實用性，許多學(xué)者對其群逆進(jìn)行研究[1-3].此外，元素和與元素積的群逆也在對群逆的研究起了重要作用[4-7].與此同時，學(xué)者們對Drazin逆再進(jìn)行推廣，提出了廣義Drazin逆,也對此進(jìn)行了研究，如文獻(xiàn)[8]. 2012年，ZHOU W和CHEN J L提出了p-Drazin逆[9].本文是對p-Drazin逆的特殊情況p-群逆進(jìn)行研究，將群逆的性質(zhì)推廣至p-群逆.

在這篇文章中，我們考慮的是Banach 代數(shù)中的元素.對于元素a∈A，如果存在x∈A滿足

ax=xa,xax=x,axa=a,

(1)

那么我們稱a群可逆，x是a的群逆，記作a#.

將J(A)記作Banach 代數(shù)A 的Jacobson根.元素a∈A是p群逆的當(dāng)且僅當(dāng)存在x∈A使得

ax=xa,x=x2a,a-a2x∈J(A),

(2)

x稱為a的p群逆，記作a×.

第1節(jié)研究了幾類特殊的反三角矩陣的p群逆.第2節(jié)討論了譜條件下，特殊反三角矩陣p群可逆性.文章中,A是有單位元的Banach代數(shù).符號J(A)代表著A的Jacobson根.A×是A中所有p群逆的集合.

1 反三角矩陣的p群逆

在這一節(jié)中，我們討論了幾個特殊反三角矩陣的p群逆.

且

可證得,M是p群可逆的.

□

AA×=A×A,A×AA×=A×,A-A2A×∈J(M2((A)).

那么可得

MPA×P-1=PA×P-1M,

PA×P-1MPA×P-1=PA×P-1,

M-M2PA×P-1∈J(M2((A)).

(3)

故PA×P-1是M的p群逆.

□

(4)

根據(jù)p群逆的定義即得X=M×.

□

(5)

證明同推論 1的證明相似.

□

(6)

根據(jù)p群逆的定義，我們有X=M×.

□

(7)

證明類似于推論 1 的證明.

□

(8)

進(jìn)而根據(jù)p群逆的定義，得到X=M×.

□

(9)

證明由定理4即得.

2 擾動條件

設(shè)p為A中的p群可逆的元，譜元素pπ=1-pp×.在這一節(jié)中，進(jìn)一步討論矩陣在擾動條件下的p群逆性質(zhì).

引理1令a,b∈A×.如果ab=0，那么a+b∈A×.這里，

(10)

證明見[10].

□

(11)

證明記M=P+Q,這里

根據(jù)引理1,M有p群逆.這里，

□

(12)

證明由定理5即得.

□

(13)

證明記M=P+Q,這里

根據(jù)引理1,M有p群逆.這里，

□

(14)

證明利用定理6得.

□

引理2令a,b∈A.如果ab∈A×,那么下列條件等價:

(1)ba∈A×;

(2)b(ab)πa∈J(A).

(ab)×=a((ba)×)2b.

那么

b(ab)πa=b(1-ab(ab)×)a=

b(1-aba((ba)×)2b)a=ba-baba((ba)×)2ba=

ba-ba(ba)×ba∈J(A).

(15)

(16)

(17)

□

(18)

證明同推論 1的證明相似.

□

(19)

那么BNπA=0∈J(M2(A)).根據(jù)引理 2,我們有

□

(20)

證明同推論 1的證明相似.

□