基于威布爾分布的經(jīng)濟性與高可靠度智能電表維修周期預估算法

李維波 蘇文斌 徐成虎 張茂杰 方華亮

基于威布爾分布的經(jīng)濟性與高可靠度智能電表維修周期預估算法

李維波1蘇文斌1徐成虎1張茂杰1方華亮2

（1. 武漢理工大學自動化學院，武漢 430070； 2. 武漢大學電氣與自動化學院，武漢 430072）

智能電表的可靠性壽命預估對設計的極端重要性，將為智能電表的維修工作帶來顯著便利。基于智能電表運行時間數(shù)據(jù)分析，建立二參數(shù)威布爾分布模型，確定二參數(shù)威布爾分布的參數(shù)。計算得到相應的分布函數(shù)和可靠度函數(shù)，確定在可靠度為90%時的預防性維修周期和最小維修費用對應的預防性維修周期。運行實踐和實際算例表明，所提出的智能電表預防性維修周期預估方法，可以為優(yōu)化批次電能表的檢定及輪換周期提供決策依據(jù)，大幅度節(jié)省運維成本。

智能電表；二參數(shù)威布爾分布；可靠度；最小費用；預防性維修

0 引言

近年來，我國不斷推進電力體制改革，增強和擴大智能電網(wǎng)建設規(guī)模，特別是“雙碳”政策深入人心，我國在智能電網(wǎng)發(fā)展的背景下，在全國范圍內(nèi)推進并普及智能電表的使用，2022年國家電網(wǎng)智能電表招標數(shù)量將達7 736.35萬只。隨著科技的發(fā)展，智能電表在增加電子元器件使其更加智能、更加便捷的同時，也導致其結構更加復雜，引發(fā)的故障隨之增加?？煽啃允呛饬恐悄茈姳碣|量的重要指標，直接影響智能電網(wǎng)的正常運行，甚至關系到用戶的切身利益與社會的和諧穩(wěn)定。同時，由于電表企業(yè)對智能電表可靠性預計的重要性認識不夠，缺乏對智能電表的可靠性壽命方面的設計研究，致使目前電表的維修更換工作困難重重。因此，亟需一套可靠有效的智能電表可靠壽命及預防性維修預估方法，為批次電能表檢定及輪換周期的優(yōu)化提供決策依據(jù)，最大程度地減少不必要的預防性抽檢及輪換，節(jié)省運維成本。

國內(nèi)在電能表評價及壽命預測方面的研究已經(jīng)取得很多成果。文獻[1]采用Bootstrap方法處理現(xiàn)場數(shù)據(jù)，得到智能電表可靠性模型參數(shù)的離散分布，采用Bayes方法結合加速壽命試驗數(shù)據(jù)得到融合兩種信息后的參數(shù)估計值，實現(xiàn)智能電表的可靠性評估；文獻[2]采用分層抽樣的方法對智能電表進行抽樣，綜合考慮溫度和濕度對誤差的影響，建立威布爾分布模型，驗證了壽命預測方法的可行性；文獻[3]采用混合威布爾分布模型，選取三個故障率較高的因素對智能電表進行了可靠性分析；文獻[4]采用隨機森林模型對海量智能電表數(shù)據(jù)進行分析，建立了智能電表故障預測和壽命預測模型；文獻[5]采用回歸分析中的最小二乘法對威布爾分布和加速壽命試驗模型的參數(shù)進行估計，并提出了參數(shù)改進的方法；文獻[6]采用雙指數(shù)參數(shù)分布模型，利用Peck加速模型，得到智能電表通信模塊的可靠度函數(shù)，進而提出了通信模塊可靠性提升措施；文獻[7]采用一種自適應加權系數(shù)的威布爾分布，綜合考慮溫度和濕度的影響，來預測智能電表使用壽命；文獻[8]分析了元件應力法、基于可信度試驗的可信度預測法和基于可靠性試驗的可靠性預測法的優(yōu)缺點；文獻[9]采用威布爾分布對谷物干燥機進行了可靠性分析；文獻[10]對風機的故障模式進行分類，研究了以降低維修費用為目標來確定維修周期的方法。

大多數(shù)研究人員在選擇模型時沒有進行模型先驗，影響了其分布模型的選擇，導致其參數(shù)估計準確度不高，而且大多數(shù)研究是基于運行中電能表的信息，從可靠性的角度對電能表進行評估和壽命預測，而基于故障數(shù)據(jù)進行分析的研究很少，同時眾多文獻在闡釋基于可靠性壽命評估時并沒有考慮維修費用的影響。本文基于河南許繼集團智能電能表故障數(shù)據(jù)，依據(jù)歷史維修數(shù)據(jù)獲得試驗數(shù)據(jù)，利用威布爾分布圖確定該組數(shù)據(jù)服從威布爾分布，對威布爾分布參數(shù)進行估計，并利用K-S檢驗確定參數(shù)的合理性；對智能電表進行故障概率密度分析和可靠性分析，在此基礎上融入最小費用預防性維修周期預估分析，以適應于當前新型電力系統(tǒng)的發(fā)展 趨勢。

1 基于K-S檢驗的威布爾分布算法

1.1 威布爾分布

威布爾分布在可靠性工程中得到廣泛應用，尤其適用于機電類產(chǎn)品磨損累計失效的分布形式。大多數(shù)電子機械產(chǎn)品的壽命都符合威布爾分布，其形狀參數(shù)能夠整體描述出“浴盆”曲線的各個階段。

目前，用于參數(shù)估計的常用分布方法包括指數(shù)分布、威布爾分布和正態(tài)分布。其中，威布爾分布可以利用大量實際運行故障數(shù)據(jù)，借助數(shù)理統(tǒng)計手段和可靠性理論，得到智能電表可靠度隨運行時間變化的規(guī)律。

威布爾分布函數(shù)()的表達式為

式中：為形狀參數(shù)；為尺度參數(shù)；為位置參數(shù)；為時間參數(shù)。

威布爾分布包括二參數(shù)威布爾和三參數(shù)威布爾兩種形式。當位置參數(shù) ≠0時，威布爾分布為三參數(shù)威布爾分布；反之，當位置參數(shù) =0時，威布爾分布為二參數(shù)威布爾分布[11-12]。

假設智能電表故障時間符合威布爾分布模型，模型隨機變量為智能電表從開始運行到發(fā)生故障的時間，由于智能電表從開始投入運行到發(fā)生故障的時間是隨機的，可能從剛投入使用就會發(fā)生故障，因此智能電表故障時間的威布爾分布模型的位置參數(shù)為0，即 =0。

對于二參數(shù)威布爾分布，其故障概率密度函數(shù)()可以表示為

故障概率分布函數(shù)()為

可靠度函數(shù)()為

形狀參數(shù)影響威布爾分布函數(shù)曲線形狀，根據(jù)值的不斷變化，其故障概率密度曲線和可靠度曲線都會隨之變化。尺度參數(shù)影響概率密度曲線的高度和寬度，若令=e-1可得()=，表示產(chǎn)品運行可靠度為36.8%時的工作年限，因此也被稱為設備的特征壽命。

1.2 K-S檢驗

常用的檢驗樣本分布類型的方法有2檢驗、K-S檢驗，其中K-S檢驗比2檢驗效率高，而且對小子樣也很適用。相比2檢驗，智能電表故障時間數(shù)據(jù)在未知數(shù)據(jù)分布的情況下，選用K-S檢驗法是十分方便、有效的[13]。

K-S檢驗是一種基于經(jīng)驗分布函數(shù)的假設檢驗方法。K-S檢驗是將假設的理論故障概率分布()與樣本觀測值的累積分布0()進行比較，找出它們之間的最大差異，并參考采樣分布來確定差異是否為偶然。

設樣本容量為，將樣本點從小到大依次排列，得到1,2,…,t，其經(jīng)驗分布函數(shù)F(t)為

計算樣本累積分布函數(shù)和理論概率分布函數(shù)之間的絕對差，使最大絕對差為D，其表達式為

如果滿足式（6），則可以認為擬合令人滿意，并且可以接受假設。

2 基于擬合優(yōu)度檢驗的參數(shù)估計方法

2.1 數(shù)據(jù)處理

本文選擇河南許繼集團的4 763臺智能電表運行數(shù)據(jù)進行分析。將每臺智能電表運行時間從小到大進行排列，部分故障數(shù)據(jù)相關參數(shù)值見表1。

表1 智能電表故障數(shù)據(jù)的參數(shù)值

智能電表運行時間的威布爾擬合效果如圖1所示。

圖1 智能電表運行時間威布爾擬合效果

分析圖1可以看出：大部分數(shù)據(jù)近似呈一條直線分布，因此可近似認為該組數(shù)據(jù)服從威布爾分布。據(jù)此，選擇最小二乘法對參數(shù)進行估計[14]。

2.2 參數(shù)估計

對于二參數(shù)威布爾分布的故障概率分布函數(shù)，等式兩邊進行變換后，可得

然后再對式（7）連續(xù)取兩次對數(shù)，且經(jīng)線性化處理，可得

根據(jù)回歸分析法則，可以推導得出參數(shù)、、和的估計值表達式分別為

得到上述關系式后，采用近似中位秩公式（15）的計算值作為估計值[15]，即

代入智能電表故障數(shù)據(jù)，可以計算出二參數(shù)威布爾分布的參數(shù)為 =2.433 0， =2 275.2。

2.3 擬合優(yōu)度檢驗

根據(jù)計算出的二參數(shù)威布爾分布的參數(shù)值，可以得到累積分布函數(shù)0()的表達式為

因此，統(tǒng)計量D可以表示為

聯(lián)立式（5）和式（17），將統(tǒng)計量D表示為

將智能電表運行時間數(shù)據(jù)代入式（18），可以得到擬合優(yōu)度檢驗的相關結果見表2。

表2 擬合優(yōu)度檢驗

3 獲取高可靠度的維修周期預估方法

3.1 故障概率密度函數(shù)

將二參數(shù)威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)代入式（2），得到智能電表運行時間的概率密度函數(shù)()為[15-16]

相應地，智能電表運行時間的概率密度函數(shù)f(t)曲線如圖2所示。

分析圖2可以看出，智能電表運行時間的概率密度函數(shù)的極大值點在1 580天左右出現(xiàn)，說明智能電表無故障工作時間的眾數(shù)是1 580天，這意味著在正常工作1 580天以后，要進行一定程度的大檢修，所以預防性維修周期為1 580天左右。

3.2 可靠度函數(shù)

將二參數(shù)威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)值代入式（4），則智能電表運行時間的可靠度函數(shù)()為

智能電表運行時間的可靠度函數(shù)()的曲線如圖3所示。

分析圖3可知，計算得出的威布爾分布擬合效果與源數(shù)據(jù)樣本相差較小，擬合效果較好，能較好地預測出智能電表可靠性趨勢[17-18]。隨著智能電表運行時間變長，可靠度不斷降低。為了保證智能電表的可靠性，取可靠度為0.9時，計算預防性維修周期。假設需要的可靠度為R，且在()≥R的條件下，智能電表的工作周期可以表示為

圖3 智能電表運行時間的可靠度函數(shù)曲線

將二參數(shù)威布爾分布的形狀參數(shù)和尺度參數(shù)代入式（21）可以看出，當可靠度越小時，智能電表的預防性維修周期越長。不同可靠度下智能電表預防性維修周期見表3。

表3 不同可靠度下智能電表預防性維修周期

分析表3可以看出，可靠度為0.9時，智能電表預防性維修周期為902天。

智能電表平均壽命公式為

式（22）表明，智能電表的平均壽命為2 070天左右。

對照分析得知，由于智能電表按照可靠度為0.9計算出的預防性維修周期最小，因此，按照可靠性確定的檢修時間為902天。

4 獲取最低費用的維修周期預估方法

最佳維修周期不僅與設備的可靠性有關，還與設備的維修成本有關。在滿足設備可靠性的前提下，要求設備的維護成本最低。為了使總維修費用最小，要考慮到預防性維修的費用與發(fā)生故障之后維修費用的比值關系，以經(jīng)濟效益最大來決定維修周期[19]。

假設為定期預防性維修周期，p為定期維修平均費用，f為智能電表發(fā)生故障后事后維修平均費用，一般有f＞p。智能電表的更換或維護時間與運行時間相比較短，可以忽略不計。在每個周期的平均工作時間MUT內(nèi)，進行預防性維修費用的比例為可靠度函數(shù)()，進行故障維修費用的比例為不可靠度函數(shù)()=1-()。所以在單位時間內(nèi)的維修費用為

式中，MUT為設備在每一周期內(nèi)的平均工作時間。

將式（24）代入式（23），得到單位時間維修費用()的表達式為

假設對智能電表進行定期維修的費用為Cp=40元，事后維修的費用為Cf =300元，代入式（25），得到智能電表單位時間維修費用C(T)隨運行時間變化的曲線如圖4所示。

分析圖4可知，當智能電表運行時間為915天時，單位時間維修費用()取得最小值為0.075 39元。因此，在智能電表運行915天時，對智能電表進行預防性維修，所需的平均維修費用最小，一臺智能電表運行一年所需的最小平均維修費用為27.52元。

綜上所述，智能電表預防性維修周期的確定流程如圖5所示。

圖5 智能電表預防性維修周期的確定流程

根據(jù)智能電表運行數(shù)據(jù)，可以得到可靠度預防性維修周期和最小費用維修周期，而每個地區(qū)對可靠度和維修費用的側重點也不相同，因此可以根據(jù)原始數(shù)據(jù)和實際運行要求，得到最符合標準的預防性維修時間。

在得到可靠度預防性維修周期和最低費用預防性維修周期后，如果在實際運行中對可靠度要求更高，則更應該關注可靠度預防性維修周期的情況，關注智能電表概率密度曲線和可靠度曲線，根據(jù)實際運行要求來選擇預防性維修周期。如果在實際運行中對可靠度要求不是很高，而是更關注經(jīng)濟效益，那么在滿足最低可靠度要求的前提下，應選擇預防性維修周期費用最小的運行時間作為預防性維修周期。如果在實際運行中對可靠度有較高的要求，同時對維修費用也有較高要求，那么應該綜合考慮可靠度和維修費用。如果按照可靠度要求得到的預防性維修周期比按照最低費用得到的預防性維修周期小，則按照可靠度要求來選擇預防性維修周期；如果按照最低費用得到的預防性維修周期比按照可靠度要求得到的預防性維修周期小，則按照最低費用來選擇預防性維修周期。

5 結論

為了提高智能電表的使用壽命，減小維護和更換的費用，運用可靠性理論和維修費用理論對河南許繼集團某一批次智能電表的使用壽命和維修費用進行了分析研究，得到如下結論：

按照可靠性要求，智能電表預防性維修周期應在902天左右；在定期維修費用為40元、事后維修費用為300元時，按照經(jīng)濟性性要求，智能電表預防性維修周期應在915天左右，對應單位時間內(nèi)最小維修費用為0.075 39元。

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Maintenance cycle prediction method for smart electricity meters based on Weibull distribution with economy and high reliability

LI Weibo1SU Wenbin1XU Chenghu1ZHANG Maojie1FANG Hualiang2

(1. School of Automation, Wuhan University of Technology, Wuhan 430070; 2. School of Electrical Engineering and Automation, Wuhan University, Wuhan 430072)

The critical importance of reliability life estimation for the design of smart meters will bring significant convenience to the maintenance of smart meters. Based on the analysis of smart meter running time data, the two-parameter Weibull distribution model is established and the parameters of the two-parameter Weibull distribution are determined. The corresponding distribution function and reliability function are calculated to determine the preventive maintenance cycle when the reliability is 90% and the preventive maintenance cycle corresponding to the minimum maintenance cost. The operation practice and practical example shows the proposed preventive maintenance cycle prediction method for the smart electricity meters can provide decision-making basis for optimizing the verification and rotation cycle of batch electricity meters, which can greatly save operation and maintenance costs.

smart meter; two parameter Weibull distribution; degree of reliability; least cost; preventative maintenance

國家重點研發(fā)計劃課題（2020YFB1506802）

國家自然科學基金面上項目（51977164）

2022-09-13

2022-11-11

李維波（1973—），男，重慶市人，博士，教授，主要從事電力電子技術在電力系統(tǒng)中應用方面的研究工作。