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    一種自適應(yīng)鯨魚快速優(yōu)化算法*

    2023-02-08 02:39:38楊炳媛郭園園
    關(guān)鍵詞:規(guī)劃優(yōu)化實(shí)驗(yàn)

    楊炳媛,袁 杰,郭園園

    (新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830047)

    1 引言

    鯨魚優(yōu)化算法是Mirjalili等人[1]受到座頭鯨群體圍捕獵物行為的啟發(fā),于2016年提出的一種智能仿生算法。標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法具有可調(diào)節(jié)參數(shù)少、魯棒性強(qiáng)、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]表明,相比于粒子群優(yōu)化算法、遺傳算法等部分經(jīng)典優(yōu)化算法,鯨魚優(yōu)化算法具有更好的全局探索能力。雖然鯨魚優(yōu)化算法的全局搜索能力在一定程度上更具優(yōu)勢,但其局部搜索能力和收斂速度仍有待提高。

    針對上述問題,近年來許多研究人員做了大量研究,提出了多種改進(jìn)方法,大致可以分為3類:(1)參數(shù)優(yōu)化;(2)策略改進(jìn);(3)算法融合[2 - 6]。鯨魚優(yōu)化算法的架構(gòu)簡單,易于控制,其中收斂因子a是該算法中的一個(gè)重要參數(shù)。隨著收斂因子的線性遞減,算法實(shí)現(xiàn)由全局搜索到局部搜索的過程。因此,如何控制收斂因子a成為改進(jìn)鯨魚優(yōu)化算法的一個(gè)重要方向[7 - 9]。尋優(yōu)策略的優(yōu)化也是目前改進(jìn)算法性能的一個(gè)重要手段。為了平衡算法的全局搜索與局部搜索能力,文獻(xiàn)[10]根據(jù)基本初等函數(shù)的圖像特征,提出了一種基于反正弦函數(shù)的非線性控制策略。文獻(xiàn)[11]在鯨魚優(yōu)化算法的尋優(yōu)策略中加入非線性自適應(yīng)權(quán)值并提出黃金正弦算子的改進(jìn)策略。文獻(xiàn)[12]利用Tent混沌映射來保證初始種群的多樣性,并加入了自適應(yīng)慣性權(quán)重來提高算法的收斂速度和精度。文獻(xiàn)[13]針對鯨魚優(yōu)化算法陷入局部極值中停滯不前的問題,提出了一種鯨魚優(yōu)化算法和灰狼算法的混合模型,并將其應(yīng)用于壓力容器設(shè)計(jì)等工程問題。文獻(xiàn)[14]利用改進(jìn)的微分進(jìn)化算子擴(kuò)大種群的多樣性,對鯨魚優(yōu)化算法進(jìn)行了性能優(yōu)化。

    標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法的局部搜索能力不足和收斂速度較慢導(dǎo)致了算法在有限時(shí)間內(nèi)的收斂精度較差,本文針對上述問題提出了一種自適應(yīng)鯨魚快速優(yōu)化算法AWOA(Adaptive fast Whale Optimization Algorithm),該算法的自適應(yīng)選擇策略在全局搜索與局部搜索之間實(shí)現(xiàn)了動態(tài)平衡;針對部分個(gè)體,采用Levy Flight以擴(kuò)大種群多樣性。此外,路徑規(guī)劃[15,16]是無人車駕駛領(lǐng)域內(nèi)的重要問題,眾多智能仿生算法在極大提高了路徑規(guī)劃效率的同時(shí)也存在著規(guī)劃精度欠缺等不足[17 - 19]。因此,本文還將所提改進(jìn)算法應(yīng)用于無人車路徑規(guī)劃問題,進(jìn)一步驗(yàn)證本文所提算法的尋優(yōu)性能。

    2 標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法

    在尋優(yōu)過程中,標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法有以下3種行為方式可供選擇。

    2.1 包圍捕獵方式

    (1)

    (2)

    A=2ar1-a

    (3)

    C=2r2

    (4)

    其中,r1、r2為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù);a為收斂因子,且0≤a≤2。因此,0≤|A|≤2。此階段,|A|≤1。a的更新公式如式(5)所示:

    (5)

    其中,M為最大迭代次數(shù)。

    2.2 隨機(jī)捕獵方式

    鯨魚在捕獲獵物的過程中,會根據(jù)其他鯨魚的位置移動,隨機(jī)尋找獵物。鯨魚隨機(jī)狩獵時(shí)的數(shù)學(xué)模型如式(6)和式(7)所示:

    (6)

    (7)

    2.3 螺旋捕獵方式

    鯨魚圍捕獵物時(shí),選擇螺旋方式的概率是P,選擇包圍或隨機(jī)方式的概率是1-P。式(8)和式(9)為鯨魚螺旋捕獵方式的運(yùn)動模型:

    (8)

    (9)

    其中,l為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù),b為常數(shù)參數(shù)。

    3 自適應(yīng)鯨魚快速優(yōu)化算法

    標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法根據(jù)概率值P和|A|選擇狩獵方式,這種選擇策略具有一定隨機(jī)性,降低了算法的收斂速度且不能保證算法的穩(wěn)定性。在迭代中后期,由于|A|≤1,鯨魚無法選擇隨機(jī)捕獵方式,使種群多樣性大大減少,導(dǎo)致收斂精度變差。

    目前,大多數(shù)研究工作通過改進(jìn)收斂因子a為非線性方式遞減,以提高算法在迭代前期的全局搜索能力和后期的局部搜索能力。但是,這樣的改進(jìn)仍然具有隨機(jī)性,種群個(gè)體不能根據(jù)自身的特點(diǎn)去選擇狩獵方式,減緩了收斂速度,并且導(dǎo)致了收斂精度不足。

    3.1 自適應(yīng)選擇策略

    本文設(shè)計(jì)了一種自適應(yīng)選擇策略,根據(jù)樣本特性即樣本中個(gè)體的集散程度來選擇尋優(yōu)策略,以實(shí)現(xiàn)全局搜索與局部搜索之間的動態(tài)平衡。由于標(biāo)準(zhǔn)差最能體現(xiàn)樣本的集散程度,因此結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)差公式,用式(10)和式(11)衡量個(gè)體偏離整體樣本的程度[20]:

    (10)

    (11)

    將單個(gè)樣本偏離整體樣本的程度進(jìn)行歸一化處理[21],如式(12)所示:

    (12)

    其中,Smin(k)和Smax(k)分別表示第k次迭代時(shí)Si(k)的最小值和最大值。

    通過對所有樣本的每一維求均值得到樣本整體的平均位置,然后計(jì)算個(gè)體偏離樣本平均位置的程度并對其進(jìn)行歸一化,以衡量該樣本的集散程度。對于集散程度較高的個(gè)體,令其向當(dāng)前最優(yōu)位置附近移動并進(jìn)行局部搜索,設(shè)定閾值T,當(dāng)0≤H≤T時(shí),算法選擇包圍捕獵方式或螺旋捕獵方式,以提升局部搜索能力及收斂速度。對于集散程度較低的個(gè)體,令其向隨機(jī)個(gè)體所在位置附近移動,當(dāng)T

    3.2 基于Levy Flight的二次優(yōu)化

    鯨魚優(yōu)化算法通過式(6)更新鯨魚位置進(jìn)行隨機(jī)搜索,但信息交換范圍仍局限在現(xiàn)有種群空間,很大程度上受到初始化種群質(zhì)量和隨機(jī)選擇的影響,導(dǎo)致搜索空間有限,且算法尋優(yōu)能力的穩(wěn)定性無法保證。針對上述問題,本文針對聚集程度較低的個(gè)體采用Levy Flight進(jìn)行二次優(yōu)化,通過步長的變化,進(jìn)一步擴(kuò)大搜索區(qū)域,以提高算法搜索全局極值的能力。進(jìn)行Levy Flight迭代的數(shù)學(xué)模型如式(13)所示:

    (13)

    其中,x(k)表示需進(jìn)行二次優(yōu)化的個(gè)體在第k次迭代時(shí)的位置,α0為常數(shù)0.01,rand為[0,1]內(nèi)的隨機(jī)數(shù),s為Levy Flight的數(shù)學(xué)模型,如式(14)所示:

    (14)

    根據(jù)式(13)和式(14),Levy Flight的二次優(yōu)化數(shù)學(xué)模型可以寫為式(15):

    (15)

    3.3 自適應(yīng)鯨魚快速優(yōu)化算法流程

    不同于標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法根據(jù)|A|的取值選擇狩獵方式,AWOA主要根據(jù)個(gè)體特性自適應(yīng)選擇捕獵方式,其流程如圖1所示。

    Figure 1 Flow chart of AWOA圖1 AWOA流程圖

    自適應(yīng)快速鯨魚優(yōu)化算法AWOA的具體步驟如下所示:

    步驟1相關(guān)參數(shù)初始化。

    步驟2在搜索區(qū)域內(nèi)生成初始種群并記錄最優(yōu)值。

    步驟3更新相關(guān)參數(shù),主要參數(shù)有A,C,l,P。

    步驟4利用式(12)計(jì)算函數(shù)H的值,若0≤H≤T且P≤0.5,根據(jù)式(1)進(jìn)行位置更新;若0≤H≤T且P>0.5,用式(8)進(jìn)行位置更新;若T

    步驟5針對T

    步驟6計(jì)算適應(yīng)度值,更新最優(yōu)信息。

    步驟7判斷是否達(dá)到最大迭代次數(shù),若是則輸出最優(yōu)信息,否則跳轉(zhuǎn)至步驟3。

    4 算法性能測試及結(jié)果分析

    4.1 算法性能測試函數(shù)

    本文選取了7個(gè)常用的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)對算法性能進(jìn)行驗(yàn)證。f1(x)和f2(x)是單峰函數(shù),用來檢驗(yàn)算法的收斂速度;f3(x)~f7(x)是多峰函數(shù),用來檢驗(yàn)算法的全局搜索能力。測試函數(shù)的詳細(xì)信息見表1,函數(shù)表達(dá)式中D表示維度。

    4.2 性能測試及結(jié)果分析

    本文將所提出的改進(jìn)算法AWOA與差分進(jìn)化DE(Differential Evolution)算法、粒子群優(yōu)化PSO(Particle Swarm Optimization)算法、灰狼GWO(Grey Wolf Optimizer)算法、鯨魚優(yōu)化算法WOA(Whale Optimization Algorithm)進(jìn)行測試對比。為保證實(shí)驗(yàn)的客觀性,統(tǒng)一設(shè)置種群數(shù)量為30,最大迭代次數(shù)為1 000,每種算法在每個(gè)測試函數(shù)上分別進(jìn)行50次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)。為檢驗(yàn)算法的綜合能力,評價(jià)指標(biāo)包括測試函數(shù)在迭代過程中的最小值(Min)、最大值(Max)、平均值(Mean)和標(biāo)準(zhǔn)差(Std)。此外,DE算法和PSO算法參數(shù)設(shè)置分別來源于參考文獻(xiàn)[22,23],在DE算法中設(shè)置參數(shù)F=0.9,CR=0.5;在PSO算法中設(shè)置c1=1.5,c2=1.5,ω由0.9線性遞減至0.4。實(shí)驗(yàn)硬件為Intel Core i7-6700,8 GB內(nèi)存,2.6 GHz的計(jì)算機(jī),軟件為Matlab R2019a,實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示。

    Table 1 Test functions

    Table 2 Comparison of function test results of some algorithms

    由表2可以看出,在f1(x)和f2(x)測試函數(shù)上,相較于其余4種經(jīng)典算法,AWOA的各評價(jià)指標(biāo)均有提升,表明在本文所提改進(jìn)策略下,算法的收斂精度及穩(wěn)定性得到了提高,且f1(x)和f2(x)是單峰函數(shù),因而說明本文所提改進(jìn)策略提升了算法的局部搜索能力。在f7(x)測試函數(shù)上,雖然GWO、WOA和AWOA都能收斂到最優(yōu)值,但只有AWOA在每次測試實(shí)驗(yàn)中都能穩(wěn)定地得到最優(yōu)值。f3(x)~f7(x)上的測試結(jié)果表明,AWOA具有跳出局部最優(yōu)的能力,并且穩(wěn)定性有所提升。

    為了更直觀清晰地觀察算法的收斂情況,圖2給出了DE、PSO、GWO、WOA和AWOA的收斂曲線,橫坐標(biāo)代表迭代次數(shù),縱坐標(biāo)代表目標(biāo)函數(shù)值。從圖2a~圖2c、圖2f和圖2g可以看到,AWOA的收斂速度始終遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于其余4種經(jīng)典算法。圖2a和圖2b是在單峰函數(shù)上進(jìn)行的實(shí)驗(yàn),說明在局部搜索中本文所提改進(jìn)策略不僅使算法在收斂精度及穩(wěn)定性方面得到了改善,同時(shí)在收斂速度上也得到了較大的提升。圖2c~圖2g是在多峰函數(shù)上進(jìn)行的實(shí)驗(yàn),從中可以看出,AWOA在迅速收斂的同時(shí)也具有跳出局部最優(yōu)的能力,保證了算法在多極值情況下的收斂精度。

    Figure 2 Convergence characteristic curves for different test functions圖2 不同測試函數(shù)上的收斂特性曲線

    5 路徑規(guī)劃實(shí)驗(yàn)

    本文將所提改進(jìn)算法應(yīng)用于路徑規(guī)劃仿真實(shí)驗(yàn),并與經(jīng)典算法進(jìn)行對比,以進(jìn)一步驗(yàn)證其有效性。

    5.1 環(huán)境建模及適應(yīng)度函數(shù)

    本次實(shí)驗(yàn)中場景1采用10*10含障礙物地圖,場景2和場景3采用100*100含障礙物地圖。以場景1為例,如圖3所示,方形物為起點(diǎn),坐標(biāo)(0,0);五角星為終點(diǎn),坐標(biāo)(100,100);圓狀物為障礙物,其數(shù)學(xué)模型如式(16)所示:

    r2=(x-a)2+(y-b)2

    (16)

    其中,(a,b)表示障礙物圓心,r表示障礙物半徑,x和y分別表示障礙物邊緣的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。

    Figure 3 Modeling of path planning map 圖3 路徑規(guī)劃地圖建模

    將橫坐標(biāo)等距離劃分為n份,即為種群中個(gè)體的維度,每個(gè)維度在[0,10]內(nèi)取值,即為縱坐標(biāo)數(shù)值。尋優(yōu)目的為通過迭代規(guī)劃出一條不與障礙物發(fā)生碰撞且長度最短的路徑。路徑表示為:

    {(x1,y1),(x2,y2),…,(xn+1,yn+1)}

    其中,(x1,y1)為路徑起點(diǎn),(xn+1,yn+1)為路徑終點(diǎn)。

    評價(jià)函數(shù)L的第1部分表示路徑長度,第2部分表示路徑與所有障礙物的總碰撞程度,如式(17)所示:

    (17)

    其中,M為障礙物個(gè)數(shù);ω為懲罰因子,本文設(shè)定ω為100;h(m)為第m個(gè)障礙物與路徑的碰撞程度,計(jì)算公式如式(18)所示:

    h(m)=

    (18)

    其中,a(m),b(m)和R(m)分別表示第m個(gè)障礙物的圓心橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和障礙物半徑。

    5.2 路徑規(guī)劃仿真實(shí)驗(yàn)

    選取算法PSO、GWO、WOA與AWOA應(yīng)用于路徑規(guī)劃實(shí)驗(yàn),每種算法分別進(jìn)行30次獨(dú)立實(shí)驗(yàn),每次實(shí)驗(yàn)進(jìn)行500次迭代,種群規(guī)模設(shè)置為50。

    5.2.1 場景1路徑規(guī)劃仿真實(shí)驗(yàn)

    場景1下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖4所示。可以看出,AWOA規(guī)劃出的路徑波動較小且路徑較優(yōu),表明其穩(wěn)定性較高且局部搜索能力較強(qiáng)。

    Figure 4 Path planning results of scene 1 圖4 場景1路徑規(guī)劃結(jié)果

    30次實(shí)驗(yàn)對比結(jié)果如表3所示,分析路徑長度的最小值、最大值、平均值及標(biāo)準(zhǔn)差對算法的優(yōu)劣進(jìn)行評價(jià)。其中,最小值能夠體現(xiàn)算法的收斂精度,最大值、平均值及標(biāo)準(zhǔn)差可以體現(xiàn)出規(guī)劃結(jié)果的穩(wěn)定性。

    Table 3 Experimental results of scene 1

    從表3可以看到,AWOA及PSO算法規(guī)劃的最優(yōu)路徑長度最短,但PSO算法規(guī)劃結(jié)果最不穩(wěn)定,最長路徑可達(dá)17.925 4。相比于其余3種經(jīng)典算法,本文算法AWOA規(guī)劃出的路徑無論在精度方面還是穩(wěn)定性方面的表現(xiàn)都是最優(yōu)的。

    綜合各個(gè)評價(jià)指標(biāo),選取實(shí)驗(yàn)中表現(xiàn)較優(yōu)的WOA和AWOA再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對比,對比結(jié)果如圖5所示??梢钥闯?WOA的規(guī)劃結(jié)果波動較大,且路徑較長;而AWOA的規(guī)劃結(jié)果在精度和穩(wěn)定性方面較WOA都有所提升,能較為穩(wěn)定地接近最優(yōu)值。

    Figure 5 Comparison of WOA and AWOA experimental results in scene 1圖5 場景1中WOA與AWOA實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比圖

    5.2.2 場景2路徑規(guī)劃仿真實(shí)驗(yàn)

    場景2較為復(fù)雜,用來檢驗(yàn)算法在存在較多局部最優(yōu)路徑的情況下的收斂精度,以及是否具有跳出局部極值的能力。

    圖6為場景2下各算法的規(guī)劃結(jié)果。從圖6中可以看出,AWOA的實(shí)驗(yàn)結(jié)果大體上只有3條路徑,且收斂精度較高,表明其在更復(fù)雜的場景下同樣具有較好的穩(wěn)定性以及局部開發(fā)能力,即便在陷入某一區(qū)域無法收斂到全局最優(yōu)的情況下,也能更徹底地進(jìn)行局部搜索,提升收斂精度。

    表4為場景2下各算法的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。對比表3和表4可以看出,隨著環(huán)境的復(fù)雜程度增加,算法之間的差異性也更加明顯,也更體現(xiàn)出了AWOA的優(yōu)越性。從表4可以看出,AWOA和PSO算法規(guī)劃出的最優(yōu)路徑長度最短,但PSO算法的規(guī)劃結(jié)果穩(wěn)定性仍然較差;相比于PSO、GWO和WOA,AWOA規(guī)劃的路徑最大值分別降低了42.71%,45.09%和8.17%,平均值分別降低了13.78%,14.78%和2%,標(biāo)準(zhǔn)差分別降低了91.83%,90.87%和3.76%,這表明在較為復(fù)雜的場景下,AWOA的路徑規(guī)劃精度及穩(wěn)定性仍然是最優(yōu)的。

    Table 4 Experimental results of scene 2

    選取WOA和AWOA的30次實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比,如圖7所示。WOA的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中僅有3次接近最優(yōu)路徑,并且路徑長度波動幅度較大。而AWOA雖然不能保證每次規(guī)劃出的路徑都接近全局最優(yōu),但可以看出其跳出局部極值的能力更優(yōu),且能穩(wěn)定地收斂到極值。

    Figure 7 Comparison of WOA and AWOA experimental results in scene 2圖7 場景2中WOA與AWOA實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比圖

    5.2.3 場景3路徑規(guī)劃仿真實(shí)驗(yàn)

    為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的尋優(yōu)能力,設(shè)置場景3增加障礙物個(gè)數(shù)并添加凹形障礙物,以增加更多局部最優(yōu)點(diǎn),以此來檢驗(yàn)算法跳出局部最優(yōu)的能力。圖8表明,在增加了路徑尋優(yōu)難度的情況下,AWOA的路徑規(guī)劃結(jié)果及穩(wěn)定性仍優(yōu)于其余3種算法,表明AWOA在提升了局部搜索能力的同時(shí)仍然具有較好的跳出局部最優(yōu)值的能力。

    Figure 8 Path planning results of scene 3 圖8 場景3路徑規(guī)劃結(jié)果

    復(fù)雜環(huán)境中,算法進(jìn)行路徑規(guī)劃通常需要跳出規(guī)劃過程中的數(shù)個(gè)局部極小值才能最終收斂到最優(yōu)值附近。因此,在復(fù)雜環(huán)境中的路徑規(guī)劃結(jié)果更能體現(xiàn)算法跳出局部最優(yōu)的能力。圖9為AWOA在場景3下的迭代過程,可以看出AWOA多次跳出了局部極小值,最終收斂到最優(yōu)值附近。此外,為了更加直觀地體現(xiàn)出AWOA的優(yōu)勢,仍選取WOA和AWOA的30次實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比,如圖10所示。可以看出,在整體測試下,AWOA更能穩(wěn)定地收斂于最優(yōu)值附近。以上分析皆表明,AWOA具有較好的脫離局部極小值的能力。

    Figure 9 Path planning iteration diagram of AWOA圖9 AWOA路徑規(guī)劃迭代圖

    Figure 10 Comparison of WOA and AWOA experimental results in scene 3圖10 場景3中WOA與AWOA實(shí)驗(yàn)結(jié)果對比圖

    6 結(jié)束語

    標(biāo)準(zhǔn)鯨魚優(yōu)化算法的局部搜索能力不足、收斂速度慢等問題導(dǎo)致了其收斂精度較低,因此本文提出了一種自適應(yīng)鯨魚快速優(yōu)化算法AWOA。首先,使個(gè)體依據(jù)樣本特性進(jìn)行位置更新,實(shí)現(xiàn)算法的快速收斂,并在全局搜索與局部搜索之間達(dá)到動態(tài)平衡;其次,利用Levy Flight進(jìn)行二次優(yōu)化,進(jìn)一步擴(kuò)大種群的多樣性,保證算法的全局搜索能力。利用標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)驗(yàn)證算法的性能,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,本文所提改進(jìn)策略使算法在收斂速度和收斂精度等方面均有所提升。最后將AWOA應(yīng)用于路徑規(guī)劃,證實(shí)了算法具有較強(qiáng)的局部搜索能力和跳出局部最優(yōu)的能力,也驗(yàn)證了算法的可行性。后續(xù)研究將從2個(gè)方向入手:(1)將算法運(yùn)用于機(jī)器人,檢驗(yàn)其運(yùn)用在真實(shí)環(huán)境中的性能。(2)考慮實(shí)驗(yàn)環(huán)境中的動態(tài)因素,進(jìn)一步提高算法的性能。

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