基于Matlab 的最少拍無(wú)紋波控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

李號(hào)，李自成，鄭堰，沈志強(qiáng)，楊浩，鄒夢(mèng)玨

（成都理工大學(xué)工程技術(shù)學(xué)院，四川 樂(lè)山 614000）

最少拍系統(tǒng)設(shè)計(jì)的原理是保持采樣點(diǎn)的數(shù)據(jù)不變或者為零，通過(guò)使用Z 變換概念使采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)保持不變或者在很小誤差之內(nèi)。在許多情況下，因?yàn)榭刂谱饔玫牟黄交?，采樣點(diǎn)的系統(tǒng)輸出會(huì)出現(xiàn)紋波，這就是有波紋設(shè)計(jì)。無(wú)波紋設(shè)計(jì)是在輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)內(nèi)部經(jīng)過(guò)多次拍達(dá)到穩(wěn)定，采樣點(diǎn)間無(wú)波動(dòng)，并且輸入誤差為零。

通常采樣點(diǎn)間的紋波不能在采樣點(diǎn)的信號(hào)上出現(xiàn)，要達(dá)到采樣點(diǎn)之間的信號(hào)不能進(jìn)行閉環(huán)控制。被控對(duì)象G(z)的全部零點(diǎn)要被閉環(huán)函數(shù)所包含。由于控制器D(z)在系統(tǒng)中對(duì)極點(diǎn)進(jìn)行處理，之后采樣點(diǎn)間的紋波會(huì)消失[1-2]，其中典型輸入的z 變換公式為：

1 最少拍控制系統(tǒng)

一般在數(shù)字控制系統(tǒng)中，一個(gè)采樣周期為一拍，最小拍控制的概念是指在輸入下可以讓系統(tǒng)輸出在有限個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行無(wú)誤差跟蹤輸入（即系統(tǒng)輸出穩(wěn)態(tài)誤差為零）。最小拍控制系統(tǒng)也為時(shí)間最優(yōu)控制系統(tǒng)，評(píng)價(jià)該系統(tǒng)的依據(jù)是按照系統(tǒng)要求達(dá)到的系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間最短或越短越好[3]。下面用一個(gè)例子來(lái)介紹此系統(tǒng)。

（Kd=2、T1=1、T2=1，采樣周期為1s）

Gc(s)指的是被控對(duì)象。

D(z)指的是數(shù)字控制器。

H(s)指的是零階保持器。

T 指的是采樣周期。

當(dāng)控制對(duì)象和零階保持器離散化了以后，就變成了廣義對(duì)象的Z傳遞函數(shù)，所以廣義對(duì)象的脈沖函數(shù)為：

1.1 最少拍控制系統(tǒng)產(chǎn)生紋波的原因

系統(tǒng)輸出采樣點(diǎn)間的紋波是因?yàn)榭刂屏枯敵霾▌?dòng)造成的，這種波在采樣點(diǎn)之間又無(wú)法被發(fā)現(xiàn)，本質(zhì)是控制變量Z 變換后產(chǎn)生非零極點(diǎn)造成。通常解釋為由數(shù)字控制器的輸出序列u(k)，在經(jīng)過(guò)若干次拍后為振蕩收斂。

1.2 消除紋波的條件

紋波造成的采樣點(diǎn)間的誤差會(huì)增加系統(tǒng)整體損耗，得到的結(jié)果會(huì)與預(yù)計(jì)效果產(chǎn)生偏差。最小拍無(wú)紋波系統(tǒng)的必要條件是被控對(duì)象G0(s)給出的c(t)必須滿足與輸入相同的形式。最小拍控制系統(tǒng)的紋波主要產(chǎn)生原因是通過(guò)數(shù)字控制器的輸出后，會(huì)產(chǎn)生振蕩收斂，在系統(tǒng)中會(huì)顯示無(wú)紋波，最重要的是確保穩(wěn)態(tài)控制信號(hào)為零或者保持不變。最后還要確定無(wú)紋波系統(tǒng)必須要滿足有紋波系統(tǒng)的性能要求等，綜上所述，即可消除紋波，設(shè)計(jì)出無(wú)紋波控制系統(tǒng)。

1.3 設(shè)計(jì)要求

1.快速性。系統(tǒng)在有限 拍數(shù)后產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)狀態(tài)，這時(shí)系統(tǒng)可以保證跟蹤輸入量所需要的周期最少。

2.穩(wěn)定性。不但要保證控制系統(tǒng)中控制量的收斂，還要保證控制量在采樣點(diǎn)上的準(zhǔn)確穩(wěn)定，滿足這兩個(gè)條件，才能確保閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

3.準(zhǔn)確性。對(duì)于輸入特定的系統(tǒng)，系統(tǒng)輸出后的采樣值達(dá)到系統(tǒng)要求，可以精確跟蹤穩(wěn)態(tài)狀態(tài)，即采樣點(diǎn)輸出無(wú)誤差。[4]

2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

因?yàn)樽钚∨目刂葡到y(tǒng)對(duì)于輸入形式不同，數(shù)字控制器也會(huì)不同，所以我們需要對(duì)不同的信號(hào)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)考慮。

圖1 離散系統(tǒng)原理圖

2.1 單位階躍信號(hào)輸入時(shí)最少拍無(wú)紋波的設(shè)計(jì)

1.求出系統(tǒng)廣義脈沖傳遞函數(shù)為：

2.根據(jù)上式可知：G(z)存在零點(diǎn)z=-0.36，極點(diǎn)P1=0.367，P2=0.135

所以閉環(huán)脈沖函數(shù)?(z)應(yīng)包含G(Z)的全部零點(diǎn)，所以由此可得：

因?yàn)?e(z)是根據(jù)G(z)的不穩(wěn)定性以及?(z)的階次來(lái)決定的，所以：

將公式（6）、（7）中?(z)和?e(z)的值代入?e(z)=1-?(z)中可得：

所以聯(lián)立解得：b=0.269 a=0.731

3.求出系統(tǒng)控制器D(z)的傳遞函數(shù)為：

化簡(jiǎn)可得：

4.根據(jù)以上得出的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行仿真。

仿真原理圖如圖2 所示。

圖2 單位階躍輸入最少拍無(wú)紋波控制系統(tǒng)仿真圖

仿真結(jié)果如圖3、圖4、圖5 所示。

圖3 單位階躍輸入最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)輸出

圖4 階躍輸入最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)控制器輸出圖

圖5 階躍輸入最少拍無(wú)紋波誤差輸出圖形

根據(jù)以上仿真圖形結(jié)果：系統(tǒng)控制結(jié)果較為穩(wěn)定，系統(tǒng)可以輸出無(wú)紋波，通過(guò)結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，無(wú)紋波系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間相對(duì)無(wú)紋波增長(zhǎng)若干拍，增長(zhǎng)的拍數(shù)在結(jié)果中查看發(fā)現(xiàn)等于在單位圓內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)。

2.2 單位速度信號(hào)輸入時(shí)最少拍無(wú)紋波設(shè)計(jì)

1.求出該系統(tǒng)的廣義脈沖傳遞函數(shù)為：

2.根據(jù)上式可得：G(z)有零點(diǎn)z=-0.36，以及極點(diǎn)P1=0.367,P2=0.135。

所以閉環(huán)脈沖函數(shù)?(z)應(yīng)當(dāng)包含G(Z)所有的零點(diǎn)，由此可知：

因?yàn)?(z)的值是由?(z)的階次和G(z)的不穩(wěn)定極點(diǎn)來(lái)決定的。又根據(jù)公式：

根據(jù)此式可得：c=0.3413,b=-0.9274,a=1.6587。

3.再求得控制器D(z)的傳遞函數(shù)為：

將此式化簡(jiǎn)可得：

4.根據(jù)公式求出的結(jié)果進(jìn)行仿真。

仿真原理圖如圖6 所示。

圖6 單位速度輸入無(wú)紋波系統(tǒng)仿真圖

仿真結(jié)果如圖7、圖8、圖9 所示。

圖7 單位速度輸入無(wú)紋波系統(tǒng)輸出圖形

圖8 單位速度輸入無(wú)紋波控制器波形圖形

圖9 單位速度輸入無(wú)紋波系統(tǒng)輸出和誤差圖形

根據(jù)以上仿真圖形可知：輸出波在幾拍后便開(kāi)始變成無(wú)紋波。

3 結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)最少拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，對(duì)計(jì)算機(jī)控制技術(shù)以及自動(dòng)控制原理等相關(guān)知識(shí)有了更加深刻的理解認(rèn)識(shí)。掌握了最少拍無(wú)紋波和最少拍有紋波的區(qū)別、產(chǎn)生紋波的原因、如何消除最少拍中的紋波等一系列問(wèn)題，了解最少拍控制器的設(shè)計(jì)方法過(guò)程，掌握使用Matlab 軟件對(duì)輸入信號(hào)控制的最少拍控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真[5]，形象具體地觀察到最少拍控制系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。最少拍控制系統(tǒng)本身具有很多優(yōu)點(diǎn)，并且在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用。在實(shí)際運(yùn)用時(shí)則需要根據(jù)對(duì)應(yīng)的情況靈活變通地使用最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法。