混合式變剛度磁彈簧力學(xué)特性研究*

謝延松，張 明，孫 鳳，孫興偉，徐方超，張 磊

(1.沈陽工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，沈陽 110870；2.遼寧科技學(xué)院機械工程學(xué)院，本溪 117004)

0 引言

彈簧是工業(yè)生產(chǎn)中普遍使用的機械零部件，起初被視作為一種蓄能器，起到儲蓄能量的作用，應(yīng)用于鐘表和火器等精密機械設(shè)備。隨著現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展，面對日漸復(fù)雜的工作環(huán)境，傳統(tǒng)彈簧無法滿足對于柔順性、減震性和響應(yīng)速度等性能的要求。國內(nèi)外學(xué)者嘗試通過不同方式優(yōu)化彈簧性能，如空氣彈簧、液壓彈簧和磁彈簧等。其中磁彈簧通常指永磁體或者永磁體和電磁鐵結(jié)合的機械結(jié)構(gòu)[1]，將數(shù)塊永磁體按照某種順序排列組合，利用磁極間的相互作用力與永磁體間氣隙之間的特性關(guān)系，實現(xiàn)類似金屬彈簧的彈簧回復(fù)力-變形量。

眾多國內(nèi)外學(xué)者針對采用永磁體特性實現(xiàn)變剛度的理論和裝置進行了研究。ROBERTSON等[2]提出一種基于永磁體和電磁線圈間磁場交互的磁制動器理論模型。當線圈通電時，會在線圈與永磁體間產(chǎn)生斥力，推動永磁體沿軸向運動；張云鵬等[3]提出了一種軸向混合磁軸承的徑向承載力解析模型，該模型可求解軸向混合磁軸承徑向承載力；孫興偉等[4]提出了基于3自由度等剛度永磁彈簧，其徑向磁力和剛度可隨磁鐵間豎直氣隙的改變呈非線性變化；田錄林等[5]提出一種軸向放置的多永磁環(huán)理論模型，可計算多個軸向磁化永磁環(huán)間軸向。在上述設(shè)計和理論模型中，探究了簡單的磁場交互作用，但卻未涉及電磁線圈與多個永磁體系統(tǒng)之間復(fù)雜的磁場交互作用和特性等問題。

本文在上述理論和模型的基礎(chǔ)上，提出一種混合式變剛度磁彈簧。通過調(diào)節(jié)電磁線圈中輸入電流，改變永磁體和電磁線圈構(gòu)成的磁路間的磁通，進而控制永磁環(huán)間軸向磁力，實現(xiàn)磁彈簧的剛度改變。該變剛度磁彈簧可實現(xiàn)剛度快速調(diào)節(jié)，并兼具無磨損、無需潤滑、低噪聲和低功耗等優(yōu)點。在未通入電流時，機構(gòu)間只存在永磁磁通,在永磁力作用下可實現(xiàn)彈簧自復(fù)位，磁彈簧的剛度與位移呈特定非線性關(guān)系變化。運用等效磁荷法推導(dǎo)電磁線圈的控制磁通；考慮稀土永磁體的工作特性，采用間隙磁導(dǎo)法推導(dǎo)出永磁環(huán)構(gòu)成的磁路間的永磁磁通；使用虛位移法推導(dǎo)出混合式變剛度磁彈簧軸向磁力的解析數(shù)學(xué)模型。通過理論模型和有限元仿真分析了磁彈簧的力-氣隙、力-電流和剛度-氣隙關(guān)系的特性。

1 結(jié)構(gòu)模型和工作原理

混合式變剛度磁彈簧的結(jié)構(gòu)如圖1所示。機構(gòu)包括：兩側(cè)的電磁線圈、2個靜永磁環(huán)、1個可軸向滑動的動永磁環(huán)與鋁制輸出軸，輸出軸與動永磁環(huán)固聯(lián)，輸出軸前后穿過布置在線圈內(nèi)的直線軸承，將動永磁環(huán)相對于機構(gòu)的軸向偏置轉(zhuǎn)化為動永磁環(huán)與輸出軸的往復(fù)運動。機構(gòu)中3個永磁環(huán)的規(guī)格參數(shù)全部相同，其外徑與線圈軸內(nèi)徑相同，其內(nèi)徑略大于輸出軸的直徑，3個永磁環(huán)沿軸向同極相對布置，2個靜永磁環(huán)等距對稱布置且與電磁線圈固聯(lián)。

圖1 混合式變剛度磁彈簧剖面圖

當兩側(cè)電磁線圈未加載電流時，基于同極互斥原理，兩側(cè)靜永磁環(huán)會分別給動永磁環(huán)等大反向的的斥力，在斥力作用下，動永磁環(huán)與輸出軸保持在機構(gòu)的平衡位置；當兩側(cè)電磁線圈加載電流時，將產(chǎn)生穩(wěn)定可控的磁通，改變機構(gòu)間磁路的磁通，進而控制永磁體間的軸向磁力，實現(xiàn)磁彈簧裝置的剛度改變，但此時動永磁環(huán)與輸出軸仍處于平衡位置。若在輸出軸一端施加一定的軸向外力，輸出軸和動永磁環(huán)會朝施加軸向力的方向軸向偏置，并產(chǎn)生等大小的回復(fù)磁力，且機構(gòu)采用電流控制，使得變剛度響應(yīng)速度大幅度提升，提高了機構(gòu)的環(huán)境適應(yīng)性。

混合式變剛度磁彈簧工作原理：如圖2所示，圖2a為當電磁線圈加載正向電流時，電磁線圈的控制磁通方向與固定在電磁線圈內(nèi)部的靜永磁環(huán)磁通方向相同，二者疊加，增加了永磁環(huán)和電磁線圈構(gòu)成的磁路的磁通量，增大永磁環(huán)間的同極斥力FN，F(xiàn)S，彈簧剛度增加；圖2b反之，當電磁線圈加載反向電流，控制磁通和靜永磁環(huán)磁通方向相反，二者疊加，減少了永磁環(huán)和電磁線圈構(gòu)成的磁路的磁通量，減小永磁環(huán)間的同極斥力FN，F(xiàn)S，彈簧剛度減小。

(a) 正向電流工作原理 (b) 反向電流工作原理圖2 混合式變剛度磁彈簧工作原理示意圖

2 數(shù)學(xué)模型

本節(jié)首先利用等效磁荷法推導(dǎo)出電磁線圈的控制磁通，然后運用間隙磁導(dǎo)法求解永磁環(huán)間的永磁磁通，最終使用虛位移法推導(dǎo)出變剛度磁彈簧軸向磁力的解析模型。假設(shè)永磁環(huán)與電磁線圈的磁通密度在軸向截面均勻分布[10]，機構(gòu)運行僅涉及軸向磁通密度，所以本文只針對永磁環(huán)和電磁線圈的軸向磁通密度進行建模。

2.1 電磁線圈控制磁通計算

混合式變剛度磁彈簧所采用的電磁線圈是一種圓柱線圈，運用等效磁荷法建立起整個電磁線圈的磁場分布[10]。在整個推導(dǎo)過程中，電磁線圈總的軸向磁通密度可以視作每一匝圓形導(dǎo)線磁通密度在中心軸線上的疊加。

電磁線圈等效為環(huán)形導(dǎo)線沿徑向和軸向的疊加，如圖3所示。電磁線圈的長度為Lm，線圈外徑為R4，線圈內(nèi)徑為R3，勵磁電流I在電磁線圈內(nèi)均勻存在，由此可推導(dǎo)出電磁線圈的在軸線上的軸向磁通密度表達式[6]：

圖3 圓柱線圈軸向磁場分布

(1)

式中，Rb=(R3+R4)/2為電磁線圈平均半徑；G為電磁線圈軸向中心點到軸線上任意一點的直線距離；N為電磁線圈的總匝數(shù)，對于精密繞制的電磁線圈，其總匝數(shù)N與導(dǎo)線直徑D具有如下關(guān)系：

(2)

將式(2)代入式(1)，定義電磁線圈在空間中軸向磁感應(yīng)強度表達式可改寫為：

(3)

由磁通計算公式Φ=B*Sm，電磁線圈的軸向控制磁通可表示為：

(4)

2.2 永磁環(huán)系統(tǒng)磁導(dǎo)計算

本節(jié)將以2個靜永磁環(huán)和1個動永磁環(huán)組成的永磁環(huán)系統(tǒng)作為模型進行磁路分析。如圖4所示，動永磁環(huán)和靜永磁環(huán)的規(guī)格相同，R1、R2分別為永磁環(huán)的內(nèi)徑和外徑；L為永磁環(huán)在充磁方向上的有效長度；Z1、Z2分別為兩側(cè)靜永磁環(huán)與動永磁環(huán)間的工作氣隙長度；Z為永磁環(huán)間的氣隙變化量。

圖4 永磁環(huán)系統(tǒng)磁路及結(jié)構(gòu)參數(shù)

由于銅線等良導(dǎo)磁體的磁導(dǎo)率大于空氣磁導(dǎo)率千倍,故忽略線圈的磁阻，運用磁路間隙磁導(dǎo)法，則永磁環(huán)系統(tǒng)的磁路總磁導(dǎo)Ga可表示為[5]：

(5)

式中，Gg1和Gg2分別為永磁環(huán)系統(tǒng)兩側(cè)氣隙磁導(dǎo)；GJ為靜永磁環(huán)磁導(dǎo)；GD為動永磁環(huán)磁導(dǎo)；N為機構(gòu)中永磁環(huán)數(shù)量。

參照極間距為g，同名磁極相對的圓柱永磁體間的氣隙磁導(dǎo)，可以分別推導(dǎo)出內(nèi)徑R1、外徑R2、長度L的永磁環(huán)間左右兩側(cè)的磁極氣隙磁導(dǎo)[7]：

(6)

式中，g1=Z1-Z，g2=Z2+Z為極間距；Z為軸向氣隙變化量；R1、R2分別為永磁環(huán)的內(nèi)徑和外徑；μ0為真空磁導(dǎo)率。

根據(jù)圓柱永磁體磁導(dǎo)定義公式G=μS/L可得：

(7)

式中，μr為永磁環(huán)材料的磁導(dǎo)率；L為永磁環(huán)的軸向有效長度。

永磁環(huán)的漏磁導(dǎo)可以等效為底面半徑分別為R1、R2的圓柱永磁體的漏磁導(dǎo)之和GL。

(8)

由式(7)、式(8)可得：

(9)

將式(6)～式(9)代入式(5)，整理可得永磁環(huán)系統(tǒng)的總磁導(dǎo)Ga。

(10)

2.3 永磁環(huán)系統(tǒng)磁通計算

基于磁路的基爾霍夫第一、第二定律，考慮永磁環(huán)系統(tǒng)的漏磁，對永磁環(huán)系統(tǒng)的磁路列出下式：

(11)

式中，Kf為磁路漏磁系數(shù)；Bm為環(huán)形永磁體工作點磁通密度；Hm為磁路氣隙磁通密度；Sg為氣隙處磁路的橫截面積；Sm為環(huán)形永磁體的磁路面積；Kr為磁路磁阻系數(shù)；Hm為環(huán)形永磁體工作點磁場強度；Lm=N*L；N為機構(gòu)間永磁環(huán)數(shù)量；L為單個永磁環(huán)的有效長度。

具有線性退磁曲線永磁環(huán)的工作氣隙負載曲線斜率[7]：

(12)

式中，α為氣隙負載曲線與(-H)軸夾角。

(13)

將式(14)代入式(11)，可得永磁環(huán)系統(tǒng)的永磁磁通表達式：

(14)

2.4 磁彈簧軸向磁力和剛度計算

基于上述內(nèi)容根據(jù)磁通連續(xù)原理，當混合式變剛度磁彈簧通電工作時，可推導(dǎo)出其總磁通相當于控制磁通和永磁磁通的疊加[7]：

Θ=Θ1Y+Θ1Z+Θ2

(15)

式中，Θ1Y為右側(cè)電磁線圈的控制磁通；Θ1Z為左側(cè)電磁線圈的控制磁通；Θ2為永磁環(huán)系統(tǒng)的永磁磁通。

由電磁場理論可知，永磁環(huán)間的氣隙磁能為：

(16)

通過虛位移法FZ=δWg/δZ[3]推導(dǎo)出變剛度磁彈簧左右兩側(cè)軸向斥力FZ1和FZ2分別為：

(17)

軸向布置的N個永磁環(huán)間存在(N-1)/2個軸向氣隙，基于線性疊加原理，變剛度磁彈簧的軸向磁力可表示為：

(18)

變剛度磁彈簧的剛度KZ可以表示為軸向磁力FZ變化量和軸向氣隙變化量Z之間的線性函數(shù)：

(19)

3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

如圖5所示，對單個電磁線圈進行有限元仿真，當電磁線圈加載電流時，電磁線圈內(nèi)部的磁通密度要遠遠強于外側(cè)的磁通密度。在電磁線圈內(nèi)部軸向磁場強度分布也是不均勻的，中間位置的軸向磁場強度是最強的，兩側(cè)的磁場強度逐漸減小。

圖5 單個電磁線圈磁場強度分布圖 圖6 電磁線圈-靜永磁環(huán)布置示意圖

若將靜永磁環(huán)共軸放置在電磁線圈的中間位置，如圖6所示，將極大提升靜永磁環(huán)與電磁線圈的磁通交互強度，通過調(diào)節(jié)電流可以實現(xiàn)磁通改變量最大范圍的調(diào)整，也就是實現(xiàn)整個裝置的剛度改變范圍的最大調(diào)整。

根據(jù)電磁線圈-永磁環(huán)優(yōu)化模型[11]，永磁環(huán)的軸向截面積越大，則永磁環(huán)兩極面所受的軸向磁力越大。當永磁環(huán)截面積最大時，滿足R2=R3，永磁體內(nèi)徑R1=0，優(yōu)化參數(shù)的峰值力可達到最大，因此將優(yōu)化參數(shù)減少為{R4LmR2L}。為了簡化優(yōu)化的復(fù)雜性，將對這4個參數(shù)進行歸一化，并以L為基準，定義3個優(yōu)化變量，如式(20)所示。

(20)

式中，α為永磁環(huán)徑厚比；β為電磁線圈徑厚比；δ為電磁線圈-永磁環(huán)厚度比。

由于靜永磁環(huán)安置在電磁線圈的內(nèi)部，因此電磁線圈內(nèi)徑R3一定大于等于永磁環(huán)的外徑R2，因此可以得出3個優(yōu)化變量之間的約束關(guān)系：

βδ>α

(21)

當電磁線圈徑厚比β取值約為2.0時，軸向輸出力可實現(xiàn)最大調(diào)節(jié)范圍。當永磁環(huán)的徑厚比α取值越大，機構(gòu)的軸向輸出力越大，但隨著α值增大，永磁環(huán)的結(jié)構(gòu)逐漸扁平，導(dǎo)致其強度隨之下降，在外界負載較大的情況下，可能會發(fā)生破碎危險。因此在考慮安全性和結(jié)構(gòu)下，取β=2.0，δ=2.6，α=3.0。優(yōu)化后的混合變剛度磁彈簧參數(shù)如表1所示。

表1 混合式變剛度磁彈簧結(jié)構(gòu)參數(shù)

4 力學(xué)特性分析

4.1 工作特性分析

根據(jù)表1中的混合磁彈簧參數(shù)，建立3D實體仿真模型，進行靜態(tài)磁場求解[12]。對機構(gòu)的軸向磁力與電流間的關(guān)系進行仿真分析：經(jīng)后處理后可觀察到“無電流”、“加載5 A正向電流”和“加載5 A反向電流”這3種情況中模型磁通密度分布完全符合預(yù)期中的機構(gòu)工作狀態(tài)。

如圖7a所示，當線圈未加載電流時，機構(gòu)間僅存在永磁環(huán)間的永磁磁通且均勻穿過工作磁路。此時，磁通密度最大值0.978 T出現(xiàn)在每塊永磁環(huán)邊緣，說明永磁磁通均勻通過永磁環(huán)系統(tǒng)的磁路，符合未加載電流時的工況。

(a) 無電流 (b) 反向電流 (c) 正向電流圖7 混合式變剛度磁彈簧工況分析

如圖7b所示，當線圈加載5 A反向電流時，機構(gòu)間同時存在永磁環(huán)的永磁磁通和電磁線圈的控制磁通且二者方向相反，磁通疊加使得通過靜永磁環(huán)的磁通減少。此時，兩側(cè)靜永磁環(huán)邊緣磁通密度衰減至0.931 T，說明加載反向電流時，減弱了靜永磁環(huán)的磁通密度，符合加載反向電流時的工況。

如圖7c所示，當線圈加載5 A正向電流時，永磁磁通和控制磁通方向相同，磁通疊加使得通過靜永磁環(huán)的磁通增加。此時，兩側(cè)靜永磁環(huán)邊緣磁通密度增加至1.066 T，說明加載正向電流時，增強了靜永磁環(huán)的磁通密度，符合加載正向電流時的工況。

4.2 解析模型與有限元模型對比分析

將表1中混合磁彈簧參數(shù)帶入解析模型中，分析力-氣隙、力-電流和剛度-氣隙特性，并將理論模型結(jié)果與相應(yīng)的仿真結(jié)果進行對比分析。

(1)氣隙變化量與軸向磁力特性分析。將動永磁環(huán)受力平衡位置定義為坐標0點，以1 mm為步長，輸出軸和動永磁環(huán)向一側(cè)軸向偏置，氣隙從-15 mm變化至15 mm時，機構(gòu)間軸向磁力FZ和氣隙變化量Z的關(guān)系，如圖8所示，軸向磁力FZ隨著氣隙改變量Z的增大而增大且均呈現(xiàn)特定的非線性關(guān)系變化。當加載正向電流[0 A～5 A]時，機構(gòu)間軸向磁力FZ可增強至112.3 N；當加載反向電流[-5 A～0 A]時，軸向磁力FZ可減弱至-112.3 N，可實現(xiàn)約200%的軸向磁力FZ調(diào)節(jié)。

圖8 軸向磁力與軸向氣隙關(guān)系圖

(2)加載電流與軸向磁力特性分析。將動永磁環(huán)設(shè)定在-15 mm，-10 mm，-5 mm，0 mm，5 mm，10 mm，15 mm等7個位置，將兩側(cè)電磁線圈的電流變化范圍為[-5 A～5 A]，以1 A為步長調(diào)節(jié)電流I，軸向磁力FZ隨電流I的變化關(guān)系，如圖9所示。結(jié)果表明軸向磁力FZ隨正向電流[0 A～5 A]增大而增大，隨反向電流[-5 A～0 A]增大而減小，且均呈現(xiàn)特定的線性關(guān)系。加載相同電流時，氣隙改變量Z越大，軸向磁力FZ越大；在同一氣隙位置時，加載電流值越大，軸向磁力FZ的調(diào)節(jié)速率越快。

圖9 軸向磁力與輸入電流關(guān)系圖

(3)軸向氣隙與輸出剛度特性分析。以1 mm為步長，使輸出軸和動永磁環(huán)向左側(cè)軸向偏置，左側(cè)氣隙從0 mm變化至15 mm的過程中，分別給電磁線圈加載5 A正向電流、0 A電流和5 A反向電流。磁彈簧的輸出剛度隨氣隙變化的關(guān)系，如圖10所示。結(jié)果表明輸出剛度KZ隨氣隙改變量Z的增大而增大且呈非線性變化，且剛度系數(shù)隨之增加。通過調(diào)整電磁線圈中的電流大小和方向，磁彈簧可實現(xiàn)1 733.37 N/m～10 395.75 N/m的剛度變化范圍。當線圈未加載電流時，機構(gòu)間僅有永磁體工作，輸出剛度調(diào)整范圍為3 901.28 N/m～8 503.59 N/m，當線圈加載5 A電流時，輸出剛度調(diào)整范圍為5 818.39 N/m～10 395.75 N/m，線圈加載-5 A電流時，輸出剛度調(diào)整范圍為1 733.37 N/m～6 349.35 N/m。當在最大安全電流范圍內(nèi)，混合式變剛度磁彈簧的剛度變化范圍比僅有永磁體工作的磁彈簧增加約188.2%。

圖10 軸向剛度與軸向氣隙關(guān)系圖

可以看出，解析模型與有限元仿真結(jié)果保持一致，但是理論計算值普遍高于仿真數(shù)值，軸向磁力曲線的平均誤差均在2%以內(nèi)，軸向剛度曲線平均誤差在10%以內(nèi)，誤差是由機構(gòu)間存在漏磁現(xiàn)象、永磁環(huán)磁荷分布不均，線圈與移動永磁環(huán)間的電感效應(yīng)等因素引起。通過對比分析，可以發(fā)現(xiàn)該解析模型可以較直觀地表達氣隙變化量Z和電磁線圈調(diào)整電流I和軸向磁力FZ的關(guān)系，驗證了該模型的正確性。該模型計算簡單且滿足工程要求，具有較好的理論意義與工程應(yīng)用價值。

5 結(jié)論

(1)本文提出了一種新型混合式變剛度磁彈簧，可通過調(diào)節(jié)電流，改變磁彈簧的輸出力與剛度變化范圍。

(2)利用等效磁荷法、間隙磁導(dǎo)法與虛位移法建立起磁彈簧的力學(xué)模型，并且理論模型和有限元仿真的結(jié)果基本吻合，結(jié)果表明：軸向磁力隨著氣隙改變量的呈正相關(guān)且均為非線性關(guān)系變化；結(jié)果表明軸向磁力和正向電流呈正相關(guān)，和反向電流呈負相關(guān)，且均呈現(xiàn)線性關(guān)系；結(jié)果表明輸出剛度和氣隙改變量呈正相關(guān)，且為非線性變化，其剛度系數(shù)隨氣隙改變量的增加而增加。

(3)通過調(diào)整變剛度磁彈簧電磁線圈的電流的大小和極性，實現(xiàn)較大的剛度范圍控制，且因采用電流控制剛度響應(yīng)速度高于同類型的純機械式變剛度裝置。

(4)變剛度磁彈簧的非線性剛度特性，可控軸向磁力和剛度變化范圍，十分適合作為仿生柔性機器人關(guān)節(jié)的彈性元件。