同向滑桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模糊自適應(yīng)滑?？刂?

沙鑫美，呂小祥，徐 偉

(1.三江學(xué)院機(jī)械與電氣工程學(xué)院，南京 210012；2.光大生態(tài)環(huán)境設(shè)計(jì)研究院有限公司，南京 210000)

0 引言

并聯(lián)機(jī)構(gòu)憑借其具有承載能力強(qiáng)、響應(yīng)速度快[1]、精度高、誤差小、剛度大和結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等方面的優(yōu)點(diǎn)[2]成為大多數(shù)學(xué)者和研究人員的研究熱點(diǎn)，進(jìn)而被廣泛應(yīng)用于各種機(jī)械裝備。同向滑桿支鏈的3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)[3]是為了解決快遞行業(yè)在分揀包裝時(shí)需要更大的工作空間而設(shè)計(jì)的構(gòu)型，機(jī)構(gòu)的末端輸出的期望的位移點(diǎn)，常常通過位置反解求得，在應(yīng)用過程中發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)的控制策略使得同向滑桿支鏈的3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)際位姿和期望位姿存在誤差，即該機(jī)構(gòu)的軌跡跟蹤精度較低。對(duì)于并聯(lián)機(jī)構(gòu)而言，其控制策略的研究是少自由度和冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)研究的重要領(lǐng)域[4]，而提高其軌跡跟蹤精度是控制研究中急需解決的問題[5]。

由于并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有時(shí)變性以及非線性等特征[6]，因此學(xué)者們通常采用智能控制和傳統(tǒng)控制相結(jié)合的方法來達(dá)到和實(shí)現(xiàn)預(yù)期的控制效果。王海芳、葉雙雙等[7-9]以基于模糊自適應(yīng)PID控制的控制方法分別對(duì)3-SPS/S的踝關(guān)節(jié)并聯(lián)康復(fù)機(jī)構(gòu)、4-SPS(PS)并聯(lián)機(jī)構(gòu)、考慮關(guān)節(jié)摩擦的3-UPS/PU并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行軌跡跟蹤精度誤差的分析和仿真研究，研究結(jié)果表明該控制方法能夠有效提高機(jī)構(gòu)的軌跡跟蹤精度及響應(yīng)速度，其魯棒性強(qiáng)且穩(wěn)態(tài)誤差小、驅(qū)動(dòng)力無抖振現(xiàn)象。趙勁松、李善鋒等[10-15]分別對(duì)不同的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，采用各自改進(jìn)后的滑模變結(jié)構(gòu)控制策略和模糊PID控制算法，對(duì)機(jī)構(gòu)的位移軌跡跟蹤和運(yùn)動(dòng)精度進(jìn)行了實(shí)時(shí)控制仿真。仿真結(jié)果表明滑模變結(jié)構(gòu)控制優(yōu)于傳統(tǒng)PID控制且能更快速地趨近于穩(wěn)定狀態(tài)。

本文為改善同向滑桿支鏈的3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)在分揀包裝時(shí)運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤低的問題，以該機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，提出了一種模糊自適應(yīng)滑?？刂品桨福⒘藱C(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型和動(dòng)力學(xué)方程，通過對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤和實(shí)驗(yàn)研究，對(duì)模糊自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制策略下的軌跡跟蹤特性以及對(duì)快遞的精準(zhǔn)分揀與包裝是否有效展開研究。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

含同向滑桿支鏈的3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖和3D仿真圖如圖1a和圖1b所示，其包含3條相同且均勻分布的驅(qū)動(dòng)支鏈PUPU，定平臺(tái)(F1F2F3)及動(dòng)平臺(tái)(M1M2M3)3部分組成；其中P為移動(dòng)副，U為萬向鉸副，機(jī)構(gòu)通過U副與由三角形構(gòu)成的定平臺(tái)相連，P副與動(dòng)平臺(tái)相連且為機(jī)構(gòu)提供動(dòng)力，在機(jī)構(gòu)的定平臺(tái)ΔF1F2F3和動(dòng)平臺(tái)ΔM1M2M3的幾何中心點(diǎn)處分別建立機(jī)構(gòu)的定坐標(biāo)系O-XYZ和動(dòng)坐標(biāo)系o-xyz，Ai是滑塊和滑桿Pi在鉸上沿連桿方向的交點(diǎn)，Bi是滑桿Pi和動(dòng)平臺(tái)萬向鉸處的交點(diǎn)，F(xiàn)i是導(dǎo)軌Li和滑塊的交點(diǎn)。

(a) 機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖 (b) 3D仿真圖圖1 基于同向滑桿支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖和3D圖

安裝在動(dòng)平臺(tái)的萬向鉸鏈的中心軸線與動(dòng)平臺(tái)垂直相交，根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何特征設(shè)動(dòng)平臺(tái)外接圓半徑為r，各滑桿Li相鄰間距離為d，滑桿Li沿Y軸方向與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為ei，滑桿Pi的長(zhǎng)度為li，F(xiàn)iAi點(diǎn)之間的高度為h，點(diǎn)BiMi間的距離為h0。設(shè)Pi與XOY平面所成的角度為θi，BiCi在XOY平面的投影線與X軸的角度為δi。

因此點(diǎn)Fi和Ai在坐標(biāo)系O-XYZ中可表示為：

(1)

(2)

點(diǎn)Mi在坐標(biāo)系o-xyz中可以表示為：

(3)

采用Z-Y-Z型姿態(tài)歐拉角(α,β,γ)及坐標(biāo)變換原理可以將旋轉(zhuǎn)變換矩陣表示為：

(4)

式中，

f11=cαcβ,f12=cαsβsγ-cγsα,f13=cαsβcγ+cγcα,
f21=sαsβ,f22=sαsβsγ+cγcα,f23=sαsβcγ-cαsγ,
f31=-sβ,f32=cβsγ,f33=cβcγ。

式中，s代表sin；c代表cos；因此可以根據(jù)位姿確定并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)點(diǎn)Mi由o-xyz坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到O-XYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)如下：

(5)

式中，o=(xo,yo,zo)T，將式(5)整理可得：

(6)

由同向滑桿支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何關(guān)系可以得到點(diǎn)Bi在坐標(biāo)系O-XYZ中可以表示為：

(7)

(8)

式中，

由機(jī)構(gòu)的幾何特征及兩點(diǎn)的距離公式可得：

|AiBi|=li,i=1,2,3

(9)

因此，對(duì)式(1)～式(9)整理可得：

(10)

基于式(1)～式(10)和MATLAB算法程序就可以求解得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置逆解，而且同向滑桿支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的求解過程相對(duì)簡(jiǎn)單，得到的解具有唯一性。

2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模

在獨(dú)立坐標(biāo)系O-XYZ中通過建立同向滑桿支鏈的3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)方程及機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)力和動(dòng)平臺(tái)各參數(shù)關(guān)系，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的拉格朗日方程如下：

Fi+Ri-Qi=0,i=1,2,…,n

(11)

式中，Ri為主動(dòng)力；Pi為約束反力；-Qi=miai為慣性力。根據(jù)虛位移和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的平穩(wěn)性有：

(12)

式中，δpi為廣義坐標(biāo)虛位移，其廣義坐標(biāo)與機(jī)構(gòu)的自由度同數(shù)，因此對(duì)于同向滑桿支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的廣義坐標(biāo)是3個(gè)滑塊的位移di(i=1、2、3)和3個(gè)滑桿的長(zhǎng)度li(i=1、2、3)，機(jī)構(gòu)的廣義自由度k=6；那么在理想完約束下，質(zhì)點(diǎn)系滿足以下方程：

(13)

由式(12)和式(13)得：

(14)

(15)

式中，E為系統(tǒng)總動(dòng)能，其包括動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)能E1和所有連桿的動(dòng)能E2，則有：

(16)

(17)

(18)

因此機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)各滑塊和滑桿的驅(qū)動(dòng)力可通過式(11)～式(18) 化簡(jiǎn)求得動(dòng)力學(xué)分析一般式：

(19)

(20)

3 構(gòu)建并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制系統(tǒng)

在Pro/E軟件中建立基于同向滑桿支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)體模型；在Simulink中建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的SimMechanics結(jié)構(gòu)圖，如圖2所示，添加相應(yīng)的檢測(cè)和驅(qū)動(dòng)模塊，即可建立基于同向滑桿支鏈并聯(lián)機(jī)構(gòu)的控制系統(tǒng)框圖，如圖3所示。

圖2 并聯(lián)機(jī)構(gòu)SimMechanics結(jié)構(gòu)圖

圖3 并聯(lián)機(jī)構(gòu)控制系統(tǒng)框圖

其中，輸入期望軌跡是根據(jù)式(1)～式(10)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和設(shè)定的輸入期望軌跡，計(jì)算各滑桿和滑塊的距離變化量以及動(dòng)平臺(tái)的位置計(jì)算，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)提供可參考的輸入值?？刂破鳛椴⒙?lián)機(jī)構(gòu)的典型PID控制系統(tǒng)可以反饋物理模型的實(shí)時(shí)測(cè)量值和目標(biāo)值以及測(cè)量值的微分值，同時(shí)輸出控制量的值，由控制量控制并聯(lián)機(jī)構(gòu)的系統(tǒng)以達(dá)到期望目標(biāo)值，其中PID控制原理可以表述為：

(21)

式(21)為根據(jù)反饋誤差來輸出函數(shù)的過程，k0、k1、k2為3個(gè)可控參數(shù)；e為系統(tǒng)誤差，而控制量等同于u，表示為輸出函數(shù)。

而并聯(lián)機(jī)構(gòu)模塊是由如圖2的SimMechanics創(chuàng)建，包含并聯(lián)機(jī)構(gòu)的定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)以及3個(gè)支鏈之間的幾何關(guān)系以及機(jī)構(gòu)的全局坐標(biāo)系，并建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)的初始狀態(tài)，包括被控并聯(lián)機(jī)構(gòu)的的動(dòng)力學(xué)方程；動(dòng)平臺(tái)的位置、速度、加速度和差值變化、主要參考位置通過傳感器輸出到示波器Scope中，并分別顯示相應(yīng)的輸出曲線。

為削弱并聯(lián)機(jī)構(gòu)的抖振，引入切換函數(shù)s(x)和冪次趨近律，其表達(dá)式為：

s(x)=e+Ce

(22)

(23)

式中，e為系統(tǒng)誤差；C=diag(C1,…,Cn),Ci>0；k>0；0<α<1，系統(tǒng)通過增大或減小α值來提高或者降低趨近速度同時(shí)縮短趨近時(shí)間來削弱抖振。因此，為了提高并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度，引入模糊自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器通過模糊自適應(yīng)算法，對(duì)SMC控制器的參數(shù)C和參數(shù)α進(jìn)行在線實(shí)時(shí)修正，而模糊自適應(yīng)滑模變結(jié)構(gòu)控制器的示意圖如圖4所示。

圖4 模糊自適應(yīng)SMC控制原理圖

(24)

4 并聯(lián)機(jī)構(gòu)仿真分析及實(shí)驗(yàn)研究

基于同向滑桿支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)參數(shù)[3]如表1所示。

表1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的各項(xiàng)參數(shù)數(shù)值

設(shè)機(jī)構(gòu)的理想輸入信號(hào)為：qd=sin(π/10)t，將表1中各項(xiàng)參數(shù)的數(shù)值以及理想驅(qū)動(dòng)輸入信號(hào)和并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程輸入到圖3的輸入期望軌跡模塊和控制器模塊中，在MATLAB中進(jìn)行仿真，并通過控制器調(diào)節(jié)參數(shù)直至輸出曲線平穩(wěn)無明顯抖動(dòng)，輸出實(shí)際信號(hào)并得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)各方向的理論輸入曲線和實(shí)際輸出曲線的對(duì)比結(jié)果，如圖5～圖7所示。

圖5 x軸向理想輸入與實(shí)際輸出仿真對(duì)比圖 圖6 y軸向理想輸入與實(shí)際輸出仿真對(duì)比圖

由圖5～圖7可知，雖然并聯(lián)機(jī)構(gòu)系統(tǒng)存在小誤差范圍的延遲，但在各軸向的實(shí)際輸出曲線與理論輸入曲線的重合度很高。在仿真基礎(chǔ)之上，搭建了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，驗(yàn)證模糊滑?？刂扑惴ǖ挠行?，并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的期望運(yùn)動(dòng)軌跡和實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖8所示。

圖7 z軸向理想輸入與實(shí)際輸出仿真對(duì)比圖 圖8 機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)的軌跡跟蹤曲線

可以看出，機(jī)構(gòu)在0～1 s的較短時(shí)間內(nèi)，動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)軌跡出現(xiàn)了不規(guī)則波動(dòng)，但隨著控制器中的模糊自適應(yīng)滑模算法的運(yùn)行，動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)軌跡在1 s后的運(yùn)動(dòng)迅速趨于穩(wěn)定且無明顯抖振，動(dòng)平臺(tái)實(shí)測(cè)的運(yùn)動(dòng)軌跡與理想期望運(yùn)動(dòng)軌跡幾乎是重合的。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分驗(yàn)證了模糊滑模控制算法的有效性，其具有較高的軌跡跟蹤精度、較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較強(qiáng)的魯棒性。

5 結(jié)論

對(duì)基于同向滑桿支鏈的3-PUPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的模糊自適應(yīng)滑模控制仿真及實(shí)驗(yàn)研究可知：

利用機(jī)構(gòu)的幾何特征關(guān)系建立的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)求解方程，求解過程簡(jiǎn)單且解具有唯一性。 仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果充分驗(yàn)證了模糊滑?？刂扑惴ǖ挠行?，其具有較高的軌跡跟蹤精度、較小的穩(wěn)態(tài)誤差和較強(qiáng)的魯棒性。