基于滑模反饋的履帶式機(jī)器人自適應(yīng)軌跡跟蹤*

王 君，程 浩，姜榮俊，蔡一杰

(湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，武漢 430068)

0 引言

履帶式機(jī)器人具有結(jié)構(gòu)簡單，越障性能好，能適應(yīng)多種地形的優(yōu)點(diǎn)[1]。因此，廣泛應(yīng)用在工業(yè)、軍事、農(nóng)業(yè)機(jī)械等多個領(lǐng)域[2]，對其軌跡跟蹤控制的研究也不斷深入[3-4]。

張興會等[5]引入履帶式機(jī)器人的運(yùn)動約束，基于Lyapunov函數(shù)建立了跟蹤控制器。周波等[6]提出基于方根的無色卡爾曼濾波的在線非線性估計方法實(shí)時觀測滑動參數(shù)并反饋到控制系統(tǒng)中，以提高跟蹤精度。韓俊等[7]考慮運(yùn)動受限情況下的跟蹤控制律，使得控制系統(tǒng)更符合實(shí)際。許正榮等[8]設(shè)計了一種基于變傾斜參數(shù)的自適應(yīng)滑?？刂疲岣呦到y(tǒng)的控制精度。卞永明等[9]在反演控制器的基礎(chǔ)上加入了狀態(tài)反饋提高了控制精度。匡文龍等[10]設(shè)計了反演滑?？刂破鳎⒒谶\(yùn)動學(xué)約束進(jìn)行修正，使得系統(tǒng)擁有更高的可靠性。

本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上，提出了一種基于滑模反饋的履帶式機(jī)器人自適應(yīng)反演控制方法。首先，針對履帶式機(jī)器人在行進(jìn)過程中產(chǎn)生的滑移影響控制的問題，構(gòu)建了履帶式機(jī)器人在滑移情況下的運(yùn)動學(xué)方程。此外，為了消除滑移對履帶式機(jī)器人控制穩(wěn)定性的影響，設(shè)計了滑模觀測器來識別履帶式機(jī)器人的滑移參數(shù)，并通過低通濾波器進(jìn)一步降低了干擾的影響，然后將識別出的滑移參數(shù)補(bǔ)償?shù)娇刂葡到y(tǒng)中。其次，基于反演控制方法，結(jié)合履帶式機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型和滑模觀測器設(shè)計了反演控制器。同時，為了提高履帶機(jī)器人在多種狀況下的自適應(yīng)能力，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)自適應(yīng)調(diào)整反演控制器的控制參數(shù)。最后，利用Simulink搭建控制系統(tǒng)模型，并對履帶式機(jī)器人在復(fù)雜軌跡的跟蹤控制進(jìn)行仿真，結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。

1 縱向和軸向滑移下履帶式機(jī)器人的運(yùn)動學(xué)模型

在實(shí)際工作環(huán)境下，潮濕或者光滑地面可能會使履帶式機(jī)器人產(chǎn)生縱向和軸向滑移，如圖1所示。

圖1 縱向和軸向滑移下底盤數(shù)學(xué)模型

圖1中θs為軸向滑移角；b為兩移動履帶間距；vL、vR分別為左右履帶線速度；v為縱向和軸向滑移下移動底盤實(shí)際線速度；vx為實(shí)際線速度v投影到局部坐標(biāo)系x軸上的速度；vy為實(shí)際線速度v投影到局部坐標(biāo)系y軸上的速度，定義軸向滑移率計算公式為：

σ=tanθs

(1)

式中，θs∈[0,π/2]，當(dāng)θs為0時，表示履帶式機(jī)器人未發(fā)生軸向滑移，當(dāng)θs為π/2時，表示履帶式機(jī)器人已經(jīng)陷入無法控制的軸向滑移，這里不作考慮。

定義縱向滑移下，左右履帶滑移率為：

(2)

式中，wL、wR分別為左右履帶驅(qū)動電機(jī)角速度；r為履帶驅(qū)動輪半徑；vx為發(fā)生縱向滑動時移動底盤在局部坐標(biāo)系xoy上x軸向的線速度，且當(dāng)iL=iR=1時，vx為0，說明此時機(jī)器人陷入無法控制的滑動中，這里不作考慮。

因此，通過坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可以求出履帶式機(jī)器人在全局坐標(biāo)系XOY下運(yùn)動學(xué)模型為：

(3)

2 滑模觀測器的設(shè)計

2.1 滑模參數(shù)估計

滑模觀測器主要通過測量控制系統(tǒng)的實(shí)際輸出值，通過計算得到控制系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的估計值，通過復(fù)現(xiàn)干擾來實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的補(bǔ)償。因此，基于履帶式機(jī)器人在滑移狀態(tài)下的運(yùn)動學(xué)模型、參考軌跡和履帶驅(qū)動輪反饋速度，設(shè)計滑模觀測器對移動底盤縱向和軸向滑移產(chǎn)生的3個滑模參數(shù)進(jìn)行估計。

(4)

結(jié)合式(3)和式(4)，可以構(gòu)建如式(5)所示的滑模觀測器：

(5)

(6)

確定合適的滑模增益，使得式(6)中的觀測誤差在有限時間內(nèi)收斂到滑模面，然后通過一階低通濾波器來削弱滑模觀測器的抖振，得到履帶式機(jī)器人的滑模參數(shù)估計量為：

(7)

2.2 穩(wěn)定性分析

選取如下Lyapunov函數(shù)：

(8)

將V1(t)對時間求導(dǎo)，可得：

(9)

3 反演控制器設(shè)計

3.1 構(gòu)建虛擬控制器

將參考軌跡的位姿和速度表示為Pr=[Xr,Yr,θr]，q=[v,w]，可以建立履帶式機(jī)器人在局部坐標(biāo)系下的軌跡跟蹤誤差方程：

(10)

對式(10)求導(dǎo)可得軌跡跟蹤誤差微分方程為：

(11)

基于反演法構(gòu)建合理的Lyapunov函數(shù)，可以推導(dǎo)出以下虛擬控制量：

(12)

式中，k1、k2、k3為大于0的常量。

而實(shí)際控制量為：

(13)

3.2 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定主要是通過判斷在軌跡跟蹤誤差是否是漸進(jìn)穩(wěn)定并收斂到0，并且此時履帶式機(jī)器人的實(shí)際速度是否趨向于參考速度，使得

(14)

同時成立。

選取Lyapunov函數(shù)

(15)

式中，k2為大于0的常量。

將式(15)對時間求導(dǎo)，并將式(11)和式(12)代入，可得：

(16)

接著再將式(16)對時間求導(dǎo)，可得：

(17)

(18)

(19)

4 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制器參數(shù)優(yōu)化

基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)能力，實(shí)現(xiàn)控制參數(shù)可實(shí)時調(diào)整，使得控制器在多種情況下都具有良好的性能。

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖2所示，將Sigmoid函數(shù)選作隱藏層神經(jīng)元的激活函數(shù)，因?yàn)檩敵鰧拥妮敵龉?jié)點(diǎn)對應(yīng)反演控制器中的3個控制參數(shù)k1、k2、k3，并且k1、k2、k3均大于0，因此選取tanh函數(shù)作為輸出層神經(jīng)元的激活函數(shù)。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

選擇如下評價指標(biāo)函數(shù)：

(20)

采用梯度下降法對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)系數(shù)進(jìn)行修正，即對權(quán)系數(shù)的梯度負(fù)方向進(jìn)行搜索調(diào)整，并加入一項全局快速收斂的慣性項。因此，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)系數(shù)的修正方程如下：

(21)

式中，η為學(xué)習(xí)速率；α為慣性系數(shù)。

然后有：

(22)

(23)

式中，g′(·)=g(x)(1-g(x))。

假設(shè)：

(24)

就可以得到：

(25)

同理，可以得到隱層加權(quán)系數(shù)的學(xué)習(xí)算法：

(26)

(27)

式中，f′(·)=(1-f2(x))/2。

綜上所述，得到如圖3所示的基于滑模反饋的自適應(yīng)跟蹤控制系統(tǒng)。

圖3 基于滑模反饋的自適應(yīng)跟蹤控制系統(tǒng)

5 數(shù)值仿真

基于圖3建立的控制系統(tǒng)，構(gòu)建該控制系統(tǒng)的Simulink仿真模型，如圖4所示。

圖4 滑模觀測器Simulink仿真

在仿真環(huán)境下，需要人為給定滑移參數(shù)來模擬現(xiàn)實(shí)場景，被跟蹤軌跡采用結(jié)合直線和圓弧兩種軌跡作為復(fù)雜參考軌跡：在0～10 s時，為一條斜率為π/3 rad的直線，在10～20 s時，為半徑1 m的圓弧軌跡，在20～30 s時，為一段斜率為0的直線軌跡。參考線速度為0.2 m/s，參考角速度只有當(dāng)20～30 s時為-π/30 rad/s。履帶式機(jī)器人的參數(shù)為：b=0.25，r=0.06 m；反演控制器的初始控制參數(shù)為：k1=5，k2=50，k3=10。

在外界干擾下，移動底盤實(shí)際初始位姿可能偏離了軌跡規(guī)劃得到的參考初始位姿，因此，在仿真中將實(shí)際初始位姿和參考初始位姿人為偏移一段距離。在全局坐標(biāo)系XOY下，給定參考軌跡起點(diǎn)位置為：(0 m,0 m,π/3 rad/s)，履帶式機(jī)器人起點(diǎn)位姿為：(1.2 m,0.2 m,π/2 rad/s)，仿真滑移參數(shù)為：在0～10 s時：(iL,iR,θs)=(0.1,0.1,0.01sin(πt/5))；在10～20 s時：(iL,iR,θs)=(0.15,0.05,-0.015sin(πt/5))；在20～30s時：(iL,iR,θs)=(0.1,0.1,-0.01sin(πt/5))。

仿真結(jié)果如圖5～圖7所示，為方便對比，將反演控制器輸出標(biāo)記為“BC+滑移”，基于滑模觀測器的自適應(yīng)反演控制器輸出標(biāo)記為“ABC+SMO+滑移”。

(a) 復(fù)雜軌跡跟蹤對比

(b) 跟蹤誤差對比 (c) 虛擬控制量對比圖5 基于滑模觀測器的自適應(yīng)反演控制器Simulink仿真

圖6 滑模觀測器仿真

圖7 自適應(yīng)控制參數(shù)

由圖5a、圖5b可以看出基于滑模參數(shù)反饋的自適應(yīng)反演控制器有效地提高了軌跡跟蹤控制精度；圖5c為虛擬控制量變化曲線；圖6左圖為滑模面變化曲線，由圖6右圖可以看出滑模觀測器的觀測效果較好；圖7可以看到控制參數(shù)k1、k2、k3隨時間的自適應(yīng)變化。

機(jī)器人在平面內(nèi)的軌跡可以大致劃分為直線和弧線兩種，在對直線弧線混合軌跡進(jìn)行跟蹤后，進(jìn)一步對S型和圓形軌跡進(jìn)行跟蹤，跟蹤效果如圖8所示。

(a) S型曲線 (b) 圓弧曲線圖8 多種軌跡跟蹤控制

由圖8可以看出軌跡跟蹤控制效果較好。

6 結(jié)論

(1)建立了處于滑移狀態(tài)下的履帶機(jī)器人運(yùn)動學(xué)模型并構(gòu)建了相應(yīng)滑移參數(shù)，進(jìn)一步設(shè)計出滑模觀測器對滑移參數(shù)進(jìn)行觀測，且反饋到控制系統(tǒng)中，消除滑移對控制系統(tǒng)的影響。

(2)基于滑模觀測器估計的滑移參數(shù)，根據(jù)反演法建立基于滑模反饋的反演控制器，進(jìn)一步基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線調(diào)整控制器參數(shù)，提高控制系統(tǒng)的精確性。

(3)通過Simulink仿真對比基于滑模反饋的履帶式機(jī)器人自適應(yīng)反演控制器和反演控制器，證明了本文提出的控制器控制精度大大提高，并且對多種軌跡的跟蹤效果都較好。