艦用隔振橡膠超彈性力學(xué)本構(gòu)模型研究

金 著，趙應(yīng)龍，楊 雪

（1.海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，武漢 430033；2.船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430033）

0 引 言

隨著艦船振動(dòng)噪聲控制水平的提高，橡膠減振器在艦船設(shè)備上的應(yīng)用也日趨普及，制作艦用橡膠隔振器所使用的橡膠材料可稱(chēng)為艦用隔振橡膠材料，通常具有耐油、耐鹽霧、耐高溫等特性[1]。由于疲勞、老化等因素的影響，隔振橡膠材料性能會(huì)逐漸降低，進(jìn)而影響隔振器壽命，因此，研究橡膠隔振器的壽命特性離不開(kāi)對(duì)決定其使用壽命的橡膠材料基本特性的研究[2-3]。非線(xiàn)性超彈性力學(xué)特性是橡膠材料最重要的基本特性之一。

對(duì)于橡膠材料和橡膠隔振器的研究已持續(xù)多年，但針對(duì)艦用隔振橡膠材料非線(xiàn)性超彈性力學(xué)特性的具體研究過(guò)程和數(shù)據(jù)少有報(bào)道，這對(duì)艦用橡膠隔振器的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和材料選型帶來(lái)了不利影響[4]。

本文結(jié)合彈性力學(xué)、超彈性體材料本構(gòu)模型等相關(guān)理論，開(kāi)展艦用隔振橡膠材料的單軸、平面和等雙軸拉伸試驗(yàn)；將試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入常用本構(gòu)模型進(jìn)行參數(shù)擬合，通過(guò)分析三種拉伸試驗(yàn)擬合原理、對(duì)比不同本構(gòu)模型擬合效果，確定能夠較準(zhǔn)確描述艦用隔振橡膠材料應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的本構(gòu)模型及模型參數(shù)；通過(guò)對(duì)由拉伸試驗(yàn)橡膠材料制作的艦用橡膠減振器開(kāi)展靜態(tài)仿真分析和靜態(tài)試驗(yàn)，驗(yàn)證本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性和工程實(shí)用性。

1 超彈性理論與本構(gòu)模型

1.1 超彈性理論

對(duì)于橡膠類(lèi)超彈性體材料，其本構(gòu)模型可表述為

式中，σ為Cauchy 應(yīng)力張量，F(xiàn)是變形梯度張量，p是靜水壓力，為材料的應(yīng)變儲(chǔ)能函數(shù)，C為右Cau?chy-Green變形張量[5-6]。

在主坐標(biāo)系下，材料沿主軸方向的伸長(zhǎng)率稱(chēng)為主伸長(zhǎng)率，用λi表示，此時(shí)變形梯度張量F為

可見(jiàn)，只要確定應(yīng)變能函數(shù)W，橡膠材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，也即本構(gòu)模型就可確定。

1.2 本構(gòu)模型

建立橡膠材料超彈性力學(xué)本構(gòu)模型的核心是尋找最合適的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式。

現(xiàn)有模型主要分兩類(lèi)：一類(lèi)是基于分子熱力學(xué)的統(tǒng)計(jì)模型，其優(yōu)點(diǎn)是模型具有物理意義，缺點(diǎn)是模型復(fù)雜，使用不便，包括Arruda-Boyce 模型和Van der Waals 模型等；另一類(lèi)是基于唯象理論的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型，其優(yōu)點(diǎn)是使用靈活，可以通過(guò)設(shè)置較多參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)非線(xiàn)性和大應(yīng)變材料力學(xué)行為的精確描述，缺點(diǎn)是缺乏物理意義以及由于模型參數(shù)較多，確定參數(shù)所需開(kāi)展的試驗(yàn)也較多，常用模型包括：Ogden 模型、Mooney-Rivlin 模型、Neo-Hooke 模型、Yeoh 模型、多項(xiàng)式模型以及減縮多項(xiàng)式模型等[8]。

上述部分模型之間還存在相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，比如：由Ogden 模型可以導(dǎo)出Mooney-Rivlin 模型和Neo-Hookean 模型；多項(xiàng)式模型可以化為Mooney-Rivlin 模型；減縮多項(xiàng)式模型可以化為Neo-Hookean模型和Yeoh模型。關(guān)于常見(jiàn)本構(gòu)模型的具體研究，可參考文獻(xiàn)[8]。

2 艦用隔振橡膠材料拉伸試驗(yàn)

橡膠材料拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)常用來(lái)擬合其本構(gòu)模型，其原理是通過(guò)特殊應(yīng)力狀態(tài)下的拉伸試驗(yàn)獲得主應(yīng)力和主伸長(zhǎng)率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，再選取合適的應(yīng)變能函數(shù)模型，通過(guò)擬合得到應(yīng)變能函數(shù)的諸參數(shù)，進(jìn)而完成橡膠材料本構(gòu)模型的構(gòu)建。常見(jiàn)的拉伸試驗(yàn)類(lèi)型有：?jiǎn)屋S拉伸試驗(yàn)、平面純剪拉伸試驗(yàn)和等雙軸拉伸試驗(yàn)。

2.1 拉伸試驗(yàn)理論

單軸拉伸試驗(yàn)中，標(biāo)識(shí)段橡膠材料處于只有一個(gè)主方向上存在主應(yīng)力、其他兩個(gè)主方向上主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)，其主軸方向上的主伸長(zhǎng)率λi和柯西主應(yīng)力σi滿(mǎn)足下式[9]：

在橡膠材料拉伸試驗(yàn)中，通常試驗(yàn)得到的是標(biāo)識(shí)段橡膠材料的工程主應(yīng)變分量εE1和工程主應(yīng)力σE1，滿(mǎn)足下式：

該式為單軸拉伸試驗(yàn)的基本擬合方程。

平面拉伸試驗(yàn)設(shè)計(jì)目標(biāo)是使試片標(biāo)距段內(nèi)的橡膠材料在試驗(yàn)過(guò)程中處于主應(yīng)力分量σ3=0、由主應(yīng)力分量σ1和σ2產(chǎn)生的純剪應(yīng)力狀態(tài)，其工程主應(yīng)變分量εE1和工程主應(yīng)力σE1關(guān)系式為

該式為平面拉伸試驗(yàn)的基本擬合方程。

等雙軸拉伸試驗(yàn)設(shè)計(jì)目標(biāo)是使試片標(biāo)距段內(nèi)的橡膠材料在試驗(yàn)過(guò)程中處于兩個(gè)主方向上應(yīng)力相等、另一個(gè)主方向上應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)，其工程主應(yīng)變分量εE1和工程主應(yīng)力σE1關(guān)系式為

該式為等雙軸拉伸試驗(yàn)的基本擬合方程。

2.2 拉伸試驗(yàn)

使用專(zhuān)用拉伸試驗(yàn)儀器及工裝分別開(kāi)展上述三種拉伸試驗(yàn)。其中，單軸拉伸試驗(yàn)使用啞鈴狀試片，平面拉伸試驗(yàn)使用矩形試片，等雙軸拉伸試驗(yàn)使用齒輪形試片，每種試驗(yàn)均在恒溫環(huán)境下使用三張相同試片重復(fù)三次，試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)見(jiàn)圖1。

圖1 隔振橡膠材料拉伸試驗(yàn)Fig.1 Tensile tests of isolation rubber

試驗(yàn)結(jié)果經(jīng)處理后如圖2～4所示。

圖2 單軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果Fig.2 Results of uniaxial tensile test

圖3 平面拉伸試驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Results of plane tensile test

圖4 等雙軸拉伸試驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Results of biaxial tensile test

由試驗(yàn)結(jié)果可見(jiàn)，三種拉伸試驗(yàn)均表現(xiàn)出較高的重復(fù)一致性。對(duì)三種拉伸試驗(yàn)，后文中均取試片1的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。

3 超彈性力學(xué)本構(gòu)模型建模

橡膠材料常用的本構(gòu)模型有十幾種，根據(jù)艦用隔振橡膠材料拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果選擇一種適合該橡膠的本構(gòu)模型對(duì)后續(xù)研究具有重要意義。

3.1 本構(gòu)參數(shù)擬合

使用上一章中三種拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)常用的九種橡膠材料本構(gòu)模型進(jìn)行擬合。擬合所得本構(gòu)模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與測(cè)試數(shù)據(jù)的對(duì)比情況如圖5所示。

3.2 本構(gòu)參數(shù)選取與建模

由圖5 可見(jiàn)，使用不同本構(gòu)模型得到的擬合結(jié)果對(duì)三種應(yīng)力狀態(tài)拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的還原度各不相同，比如，對(duì)等雙軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果好的，對(duì)其他兩種試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果可能較差，也有對(duì)三種試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果均不太理想的。在選取合適

本構(gòu)模型時(shí)，應(yīng)考慮三種試驗(yàn)的影響權(quán)重。

單軸、平面和等雙軸拉伸試驗(yàn)中，橡膠的主伸長(zhǎng)率分別滿(mǎn)足關(guān)系式[9]：

據(jù)此，可作出三種試驗(yàn)下橡膠材料主伸長(zhǎng)率λ1和λ2的關(guān)系圖，如圖6所示。

圖6 三種拉伸試驗(yàn)主伸長(zhǎng)率的關(guān)系Fig.6 Relationship among the main elongation rates of three tensile tests

對(duì)于橡膠類(lèi)不可壓縮超彈性體材料，其一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)由主伸長(zhǎng)率λ1和λ2即可確定，因此，圖6 中λ1-λ2平面上的所有點(diǎn)，即為材料全部可能的應(yīng)變狀態(tài)之集合。而通過(guò)一個(gè)拉伸試驗(yàn)，則可得到該平面上的一條曲線(xiàn)。顯然，曲線(xiàn)越多、線(xiàn)與線(xiàn)之間的位置關(guān)系越理想，就能越全面地描述材料的應(yīng)變狀態(tài)。這一原則可作為三種拉伸試驗(yàn)結(jié)果影響權(quán)重的定性分析依據(jù)。

可見(jiàn)，圖6中單軸拉伸試驗(yàn)和等雙軸拉伸試驗(yàn)曲線(xiàn)組合的位置關(guān)系最為理想，能盡可能多地覆蓋平面的區(qū)域，即能夠較好地描述材料的應(yīng)變狀態(tài)，而平面拉伸試驗(yàn)曲線(xiàn)則可認(rèn)為是一種補(bǔ)充。

因此，在選取適合艦用隔振橡膠的本構(gòu)模型時(shí)，優(yōu)先考慮模型對(duì)單軸和等雙軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果。此外，在同樣較好的擬合效果前提下，應(yīng)優(yōu)先選取參數(shù)較少、計(jì)算簡(jiǎn)便的模型。

根據(jù)上述原則，從擬合結(jié)果來(lái)看，首先排除對(duì)三種試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合效果都不好的Mooney-Rivlin 模型、Neo-Hooke 模型、二階減縮多項(xiàng)式模型、一階Ogden 模型和Arruda-Boyce 模型，剩下的四種模型擬合效果均較為理想。二階多項(xiàng)式模型、Yeoh模型、二階Ogden模型以及Van der Waals模型的模型參數(shù)分別為5、3、4、4 個(gè)，且Yeoh 模型最為簡(jiǎn)易，便于開(kāi)展更深入的理論計(jì)算。因此，本文研究中選用適用于高質(zhì)量高精度研究、且擬合效果較好、計(jì)算簡(jiǎn)便的Yeoh 模型（即三階減縮多項(xiàng)式模型）作為艦用隔振橡膠材料本構(gòu)模型。

使用Yeoh模型擬合的結(jié)果為

單位均為MPa。

4 仿真與試驗(yàn)驗(yàn)證

以某一型艦船上應(yīng)用廣泛的橡膠隔振器為例，對(duì)建立的艦用隔振橡膠材料Yeoh 本構(gòu)模型開(kāi)展驗(yàn)證研究。

該減振器由三部分組成：支持承、卡板和橡膠彈性體。其中卡板是減振器的金屬框架，起連接基座和橡膠彈性體的作用；支持承下部包裹在橡膠彈性體中，上部與被減振設(shè)備連接。額定載荷為3000 N，額定載荷下靜變形約4 mm，結(jié)構(gòu)示意圖如圖7所示。

圖7 目標(biāo)橡膠隔振器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7 Structure of target rubber isolator

通過(guò)仿真計(jì)算該減振器在額定載荷作用下的變形量，并與試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，即可驗(yàn)證本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

4.1 仿真計(jì)算

建立隔振器仿真模型時(shí)，橡膠材料使用前述本構(gòu)模型；用捆綁約束定義橡膠和金屬接觸面；所有單元均使用六面體單元，橡膠單元使用C3D8RH，金屬單元使用C3D8H；邊界條件為下表面固定，支持承只允許垂向移動(dòng)；載荷條件為支持承上表面施加垂直向下的3000 N載荷。

仿真計(jì)算得到的減振器垂向靜變形云圖如圖8 所示，支持承上表面控制點(diǎn)的力位移特性曲線(xiàn)計(jì)算結(jié)果如圖9所示，其中在3000 N載荷下，垂向變形量為3.97 mm。

圖8 橡膠隔振器垂向位移云圖Fig.8 Cloud chart of rubber isolator’s vertical displacement

圖9 橡膠隔振器位移—載荷曲線(xiàn)Fig.9 Displacement-load curve of rubber isolator

4.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

對(duì)使用拉伸試驗(yàn)中橡膠材料制成的28 只艦用橡膠減振器開(kāi)展垂向靜變形測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如表1所示。

表1 橡膠隔振器靜變形試驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Measurement results of the static deformation of rubber isolators

從測(cè)試結(jié)果可見(jiàn)，28 只橡膠隔振器在額定載荷下垂向靜變形的均值為4.02 mm，與仿真計(jì)算結(jié)果3.97 mm 相比，誤差僅為1.24%。可見(jiàn)，本文確立的超彈性本構(gòu)模型及其參數(shù)，能較好地滿(mǎn)足艦用隔振橡膠材料應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系仿真計(jì)算需求，具有較高的準(zhǔn)確性和工程實(shí)用性。

5 結(jié) 論

本文通過(guò)橡膠類(lèi)超彈性體材料本構(gòu)模型理論和拉伸試驗(yàn)研究，確立了艦用隔振橡膠材料本構(gòu)模型，并通過(guò)仿真分析和試驗(yàn)，驗(yàn)證了模型的準(zhǔn)確性。主要結(jié)論如下：

（1）Yeoh 模型適合用于描述艦用隔振橡膠材料超彈性力學(xué)特性，且具備模型參數(shù)少和計(jì)算資源占用少的優(yōu)點(diǎn)。

（2）本文確定的Yeoh 模型參數(shù)可作為艦用橡膠減振器橡膠材料超彈性力學(xué)參數(shù)，能夠較精確地描述橡膠減振器的靜態(tài)力學(xué)性能。

（3）對(duì)三種拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)，應(yīng)優(yōu)先考慮本構(gòu)模型對(duì)單軸和等雙軸拉伸試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合效果。

本文的研究成果可為艦用隔振橡膠材料超彈性力學(xué)特性分析和艦用隔振器設(shè)計(jì)計(jì)算等研究提供材料數(shù)據(jù)和方法思路，具有一定的工程指導(dǎo)意義。