艦用隔振橡膠超彈性力學(xué)本構(gòu)模型研究

金 著，趙應(yīng)龍，楊 雪

（1.海軍工程大學(xué)振動與噪聲研究所，武漢 430033；2.船舶振動噪聲重點實驗室，武漢 430033）

0 引 言

隨著艦船振動噪聲控制水平的提高，橡膠減振器在艦船設(shè)備上的應(yīng)用也日趨普及，制作艦用橡膠隔振器所使用的橡膠材料可稱為艦用隔振橡膠材料，通常具有耐油、耐鹽霧、耐高溫等特性[1]。由于疲勞、老化等因素的影響，隔振橡膠材料性能會逐漸降低，進(jìn)而影響隔振器壽命，因此，研究橡膠隔振器的壽命特性離不開對決定其使用壽命的橡膠材料基本特性的研究[2-3]。非線性超彈性力學(xué)特性是橡膠材料最重要的基本特性之一。

對于橡膠材料和橡膠隔振器的研究已持續(xù)多年，但針對艦用隔振橡膠材料非線性超彈性力學(xué)特性的具體研究過程和數(shù)據(jù)少有報道，這對艦用橡膠隔振器的結(jié)構(gòu)設(shè)計和材料選型帶來了不利影響[4]。

本文結(jié)合彈性力學(xué)、超彈性體材料本構(gòu)模型等相關(guān)理論，開展艦用隔振橡膠材料的單軸、平面和等雙軸拉伸試驗；將試驗數(shù)據(jù)代入常用本構(gòu)模型進(jìn)行參數(shù)擬合，通過分析三種拉伸試驗擬合原理、對比不同本構(gòu)模型擬合效果，確定能夠較準(zhǔn)確描述艦用隔振橡膠材料應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系的本構(gòu)模型及模型參數(shù)；通過對由拉伸試驗橡膠材料制作的艦用橡膠減振器開展靜態(tài)仿真分析和靜態(tài)試驗，驗證本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性和工程實用性。

1 超彈性理論與本構(gòu)模型

1.1 超彈性理論

對于橡膠類超彈性體材料，其本構(gòu)模型可表述為

式中，σ為Cauchy 應(yīng)力張量，F(xiàn)是變形梯度張量，p是靜水壓力，為材料的應(yīng)變儲能函數(shù)，C為右Cau?chy-Green變形張量[5-6]。

在主坐標(biāo)系下，材料沿主軸方向的伸長率稱為主伸長率，用λi表示，此時變形梯度張量F為

可見，只要確定應(yīng)變能函數(shù)W，橡膠材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，也即本構(gòu)模型就可確定。

1.2 本構(gòu)模型

建立橡膠材料超彈性力學(xué)本構(gòu)模型的核心是尋找最合適的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式。

現(xiàn)有模型主要分兩類：一類是基于分子熱力學(xué)的統(tǒng)計模型，其優(yōu)點是模型具有物理意義，缺點是模型復(fù)雜，使用不便，包括Arruda-Boyce 模型和Van der Waals 模型等；另一類是基于唯象理論的連續(xù)介質(zhì)力學(xué)模型，其優(yōu)點是使用靈活，可以通過設(shè)置較多參數(shù)實現(xiàn)對非線性和大應(yīng)變材料力學(xué)行為的精確描述，缺點是缺乏物理意義以及由于模型參數(shù)較多，確定參數(shù)所需開展的試驗也較多，常用模型包括：Ogden 模型、Mooney-Rivlin 模型、Neo-Hooke 模型、Yeoh 模型、多項式模型以及減縮多項式模型等[8]。

上述部分模型之間還存在相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，比如：由Ogden 模型可以導(dǎo)出Mooney-Rivlin 模型和Neo-Hookean 模型；多項式模型可以化為Mooney-Rivlin 模型；減縮多項式模型可以化為Neo-Hookean模型和Yeoh模型。關(guān)于常見本構(gòu)模型的具體研究，可參考文獻(xiàn)[8]。

2 艦用隔振橡膠材料拉伸試驗

橡膠材料拉伸試驗數(shù)據(jù)常用來擬合其本構(gòu)模型，其原理是通過特殊應(yīng)力狀態(tài)下的拉伸試驗獲得主應(yīng)力和主伸長率的對應(yīng)關(guān)系，再選取合適的應(yīng)變能函數(shù)模型，通過擬合得到應(yīng)變能函數(shù)的諸參數(shù)，進(jìn)而完成橡膠材料本構(gòu)模型的構(gòu)建。常見的拉伸試驗類型有：單軸拉伸試驗、平面純剪拉伸試驗和等雙軸拉伸試驗。

2.1 拉伸試驗理論

單軸拉伸試驗中，標(biāo)識段橡膠材料處于只有一個主方向上存在主應(yīng)力、其他兩個主方向上主應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)，其主軸方向上的主伸長率λi和柯西主應(yīng)力σi滿足下式[9]：

在橡膠材料拉伸試驗中，通常試驗得到的是標(biāo)識段橡膠材料的工程主應(yīng)變分量εE1和工程主應(yīng)力σE1，滿足下式：

該式為單軸拉伸試驗的基本擬合方程。

平面拉伸試驗設(shè)計目標(biāo)是使試片標(biāo)距段內(nèi)的橡膠材料在試驗過程中處于主應(yīng)力分量σ3=0、由主應(yīng)力分量σ1和σ2產(chǎn)生的純剪應(yīng)力狀態(tài)，其工程主應(yīng)變分量εE1和工程主應(yīng)力σE1關(guān)系式為

該式為平面拉伸試驗的基本擬合方程。

等雙軸拉伸試驗設(shè)計目標(biāo)是使試片標(biāo)距段內(nèi)的橡膠材料在試驗過程中處于兩個主方向上應(yīng)力相等、另一個主方向上應(yīng)力為零的應(yīng)力狀態(tài)，其工程主應(yīng)變分量εE1和工程主應(yīng)力σE1關(guān)系式為

該式為等雙軸拉伸試驗的基本擬合方程。

2.2 拉伸試驗

使用專用拉伸試驗儀器及工裝分別開展上述三種拉伸試驗。其中，單軸拉伸試驗使用啞鈴狀試片，平面拉伸試驗使用矩形試片，等雙軸拉伸試驗使用齒輪形試片，每種試驗均在恒溫環(huán)境下使用三張相同試片重復(fù)三次，試驗現(xiàn)場見圖1。

圖1 隔振橡膠材料拉伸試驗Fig.1 Tensile tests of isolation rubber

試驗結(jié)果經(jīng)處理后如圖2～4所示。

圖2 單軸拉伸試驗結(jié)果Fig.2 Results of uniaxial tensile test

圖3 平面拉伸試驗結(jié)果Fig.3 Results of plane tensile test

圖4 等雙軸拉伸試驗結(jié)果Fig.4 Results of biaxial tensile test

由試驗結(jié)果可見，三種拉伸試驗均表現(xiàn)出較高的重復(fù)一致性。對三種拉伸試驗，后文中均取試片1的數(shù)據(jù)進(jìn)行研究。

3 超彈性力學(xué)本構(gòu)模型建模

橡膠材料常用的本構(gòu)模型有十幾種，根據(jù)艦用隔振橡膠材料拉伸試驗數(shù)據(jù)的擬合效果選擇一種適合該橡膠的本構(gòu)模型對后續(xù)研究具有重要意義。

3.1 本構(gòu)參數(shù)擬合

使用上一章中三種拉伸試驗數(shù)據(jù)對常用的九種橡膠材料本構(gòu)模型進(jìn)行擬合。擬合所得本構(gòu)模型的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系與測試數(shù)據(jù)的對比情況如圖5所示。

3.2 本構(gòu)參數(shù)選取與建模

由圖5 可見，使用不同本構(gòu)模型得到的擬合結(jié)果對三種應(yīng)力狀態(tài)拉伸試驗數(shù)據(jù)的還原度各不相同，比如，對等雙軸拉伸試驗數(shù)據(jù)擬合效果好的，對其他兩種試驗數(shù)據(jù)擬合效果可能較差，也有對三種試驗數(shù)據(jù)擬合效果均不太理想的。在選取合適

本構(gòu)模型時，應(yīng)考慮三種試驗的影響權(quán)重。

單軸、平面和等雙軸拉伸試驗中，橡膠的主伸長率分別滿足關(guān)系式[9]：

據(jù)此，可作出三種試驗下橡膠材料主伸長率λ1和λ2的關(guān)系圖，如圖6所示。

圖6 三種拉伸試驗主伸長率的關(guān)系Fig.6 Relationship among the main elongation rates of three tensile tests

對于橡膠類不可壓縮超彈性體材料，其一點的應(yīng)變狀態(tài)由主伸長率λ1和λ2即可確定，因此，圖6 中λ1-λ2平面上的所有點，即為材料全部可能的應(yīng)變狀態(tài)之集合。而通過一個拉伸試驗，則可得到該平面上的一條曲線。顯然，曲線越多、線與線之間的位置關(guān)系越理想，就能越全面地描述材料的應(yīng)變狀態(tài)。這一原則可作為三種拉伸試驗結(jié)果影響權(quán)重的定性分析依據(jù)。

可見，圖6中單軸拉伸試驗和等雙軸拉伸試驗曲線組合的位置關(guān)系最為理想，能盡可能多地覆蓋平面的區(qū)域，即能夠較好地描述材料的應(yīng)變狀態(tài)，而平面拉伸試驗曲線則可認(rèn)為是一種補(bǔ)充。

因此，在選取適合艦用隔振橡膠的本構(gòu)模型時，優(yōu)先考慮模型對單軸和等雙軸拉伸試驗數(shù)據(jù)的擬合效果。此外，在同樣較好的擬合效果前提下，應(yīng)優(yōu)先選取參數(shù)較少、計算簡便的模型。

根據(jù)上述原則，從擬合結(jié)果來看，首先排除對三種試驗數(shù)據(jù)擬合效果都不好的Mooney-Rivlin 模型、Neo-Hooke 模型、二階減縮多項式模型、一階Ogden 模型和Arruda-Boyce 模型，剩下的四種模型擬合效果均較為理想。二階多項式模型、Yeoh模型、二階Ogden模型以及Van der Waals模型的模型參數(shù)分別為5、3、4、4 個，且Yeoh 模型最為簡易，便于開展更深入的理論計算。因此，本文研究中選用適用于高質(zhì)量高精度研究、且擬合效果較好、計算簡便的Yeoh 模型（即三階減縮多項式模型）作為艦用隔振橡膠材料本構(gòu)模型。

使用Yeoh模型擬合的結(jié)果為

單位均為MPa。

4 仿真與試驗驗證

以某一型艦船上應(yīng)用廣泛的橡膠隔振器為例，對建立的艦用隔振橡膠材料Yeoh 本構(gòu)模型開展驗證研究。

該減振器由三部分組成：支持承、卡板和橡膠彈性體。其中卡板是減振器的金屬框架，起連接基座和橡膠彈性體的作用；支持承下部包裹在橡膠彈性體中，上部與被減振設(shè)備連接。額定載荷為3000 N，額定載荷下靜變形約4 mm，結(jié)構(gòu)示意圖如圖7所示。

圖7 目標(biāo)橡膠隔振器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.7 Structure of target rubber isolator

通過仿真計算該減振器在額定載荷作用下的變形量，并與試驗數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，即可驗證本構(gòu)模型的準(zhǔn)確性。

4.1 仿真計算

建立隔振器仿真模型時，橡膠材料使用前述本構(gòu)模型；用捆綁約束定義橡膠和金屬接觸面；所有單元均使用六面體單元，橡膠單元使用C3D8RH，金屬單元使用C3D8H；邊界條件為下表面固定，支持承只允許垂向移動；載荷條件為支持承上表面施加垂直向下的3000 N載荷。

仿真計算得到的減振器垂向靜變形云圖如圖8 所示，支持承上表面控制點的力位移特性曲線計算結(jié)果如圖9所示，其中在3000 N載荷下，垂向變形量為3.97 mm。

圖8 橡膠隔振器垂向位移云圖Fig.8 Cloud chart of rubber isolator’s vertical displacement

圖9 橡膠隔振器位移—載荷曲線Fig.9 Displacement-load curve of rubber isolator

4.2 試驗驗證

對使用拉伸試驗中橡膠材料制成的28 只艦用橡膠減振器開展垂向靜變形測試，測試結(jié)果如表1所示。

表1 橡膠隔振器靜變形試驗結(jié)果Tab.1 Measurement results of the static deformation of rubber isolators

從測試結(jié)果可見，28 只橡膠隔振器在額定載荷下垂向靜變形的均值為4.02 mm，與仿真計算結(jié)果3.97 mm 相比，誤差僅為1.24%?？梢?，本文確立的超彈性本構(gòu)模型及其參數(shù)，能較好地滿足艦用隔振橡膠材料應(yīng)力應(yīng)變本構(gòu)關(guān)系仿真計算需求，具有較高的準(zhǔn)確性和工程實用性。

5 結(jié) 論

本文通過橡膠類超彈性體材料本構(gòu)模型理論和拉伸試驗研究，確立了艦用隔振橡膠材料本構(gòu)模型，并通過仿真分析和試驗，驗證了模型的準(zhǔn)確性。主要結(jié)論如下：

（1）Yeoh 模型適合用于描述艦用隔振橡膠材料超彈性力學(xué)特性，且具備模型參數(shù)少和計算資源占用少的優(yōu)點。

（2）本文確定的Yeoh 模型參數(shù)可作為艦用橡膠減振器橡膠材料超彈性力學(xué)參數(shù)，能夠較精確地描述橡膠減振器的靜態(tài)力學(xué)性能。

（3）對三種拉伸試驗數(shù)據(jù)，應(yīng)優(yōu)先考慮本構(gòu)模型對單軸和等雙軸拉伸試驗數(shù)據(jù)的擬合效果。

本文的研究成果可為艦用隔振橡膠材料超彈性力學(xué)特性分析和艦用隔振器設(shè)計計算等研究提供材料數(shù)據(jù)和方法思路，具有一定的工程指導(dǎo)意義。