非線性互聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法研究

孫延修，黎 虹

(沈陽(yáng)工學(xué)院基礎(chǔ)課部，遼寧 撫順 113122)

0 引言

隨著現(xiàn)代工業(yè)控制系統(tǒng)復(fù)雜程度的不斷提升，非線性互聯(lián)系統(tǒng)可以更好地描述實(shí)際生產(chǎn)過程。因此，非線性互聯(lián)控制系統(tǒng)在電力系統(tǒng)、生產(chǎn)系統(tǒng)、水力供給系統(tǒng)、多智能體系統(tǒng)等各種系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用。為此，針對(duì)互聯(lián)系統(tǒng)的研究引起了人們的廣泛關(guān)注[1-3]。其中，狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)有利于系統(tǒng)的魯棒控制及故障估計(jì)與診斷的實(shí)現(xiàn)，在控制理論中具有重要的作用。所以，針對(duì)控制系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。目前，針對(duì)廣義系統(tǒng)及互聯(lián)系統(tǒng)觀測(cè)器的研究已經(jīng)取得了一定的成果[4-8]。

針對(duì)非線性互聯(lián)系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法正逐漸成為重要的研究課題。文獻(xiàn)[6]基于互聯(lián)系統(tǒng)的相似性，針對(duì)一類相似廣義互聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行了研究，給出了互聯(lián)系統(tǒng)區(qū)間觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。所設(shè)計(jì)的區(qū)間觀測(cè)器對(duì)控制系統(tǒng)及擾動(dòng)性具有相對(duì)寬松的條件。文獻(xiàn)[7]通過設(shè)計(jì)干擾觀測(cè)器，有效降低了滑模抖振，并且?guī)Ц蓴_觀測(cè)器的滑?？刂菩Ч麅?yōu)于常規(guī)滑?？刂?。文獻(xiàn)[8]針對(duì)一類廣義系統(tǒng)進(jìn)行研究，設(shè)計(jì)了系統(tǒng)的全維以及降維形式的狀態(tài)觀測(cè)器，并簡(jiǎn)化了兩個(gè)觀測(cè)器增益矩陣的求解過程。文獻(xiàn)[9]針對(duì)一類互聯(lián)系統(tǒng)的故障診斷問題進(jìn)行了研究，通過所設(shè)計(jì)的互聯(lián)系統(tǒng)診斷觀測(cè)器實(shí)現(xiàn)了對(duì)各子系統(tǒng)中故障的在線有效估計(jì)。文獻(xiàn)[10]針對(duì)含有不確定項(xiàng)的廣義系統(tǒng)提出了新的故障估計(jì)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法，并對(duì)控制系統(tǒng)發(fā)生故障情況下的故障部分進(jìn)行了仿真，驗(yàn)證了故障估計(jì)誤差對(duì)外部擾動(dòng)所具有的魯棒性。

近年來，針對(duì)非線性廣義互聯(lián)大系統(tǒng)觀測(cè)器的研究偏少。本文針對(duì)含擾動(dòng)項(xiàng)與非線性項(xiàng)的一類廣義互聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行研究，給出了非線性互聯(lián)系統(tǒng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。該方法考慮到系統(tǒng)的外部擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了狀態(tài)觀測(cè)器；以線性矩陣不等式的形式給出了增益矩陣滿足的條件，簡(jiǎn)化了非線性互聯(lián)系統(tǒng)觀測(cè)器增益矩陣的求解過程；通過兩個(gè)仿真算例，檢驗(yàn)了觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法的有效性。

1 問題描述

具有N個(gè)含擾動(dòng)非線性子系統(tǒng)的廣義互聯(lián)系統(tǒng)為：

(1)

式中：xi(t)為狀態(tài)向量,xi(t)∈Rn；ui(t)為控制輸入,ui(t)∈Rm；yi(t)為被控輸出,yi(t)∈Rp；ωi(t)為系統(tǒng)干擾項(xiàng)，ωi(t)∈Rl；Ei、Ai、Bi、Ci、Di分別為具有適當(dāng)維數(shù)的已知矩陣,Ci為列滿秩矩陣；rankEi

假設(shè)1 非線性項(xiàng)gi[xi(t),t]滿足Lipschiz條件：

(2)

①M(fèi)<0。

TiEi+NiCi=In+q

(3)

式(1)可轉(zhuǎn)換為：

(4)

2 廣義互聯(lián)系統(tǒng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)

針對(duì)式(2),可設(shè)計(jì)以下觀測(cè)器：

(5)

式中:Li為第i個(gè)子系統(tǒng)的增益矩陣。

根據(jù)式(4)和式(5)，可以得到第i個(gè)子系統(tǒng)的誤差動(dòng)態(tài)方程為：

(TiAi-LiCi)×ei(t)+Δgi+TiDiωi(t)+

(6)

3 主要結(jié)果

3.1 系統(tǒng)不含擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)狀態(tài)觀測(cè)器的存在條件

定理1 若正定矩陣Pi和增益矩陣Li滿足以下不等式(7)：

(7)

則式(5)為互聯(lián)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)觀測(cè)器。

(8)

根據(jù)Schur補(bǔ)引理1,有式(9)，則可推出不等式(7)，證畢。

(9)

3.2 系統(tǒng)含擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)狀態(tài)觀測(cè)器的存在充分條件

定理2 若正定矩陣Pi和增益矩陣Li滿足不等式(10)：

(10)

則式(5)為互聯(lián)系統(tǒng)(1)的狀態(tài)觀測(cè)器。

(11)

i,j=1,2,...,N。

根據(jù)Schur補(bǔ)引理1,有式(12)，則可推導(dǎo)出不等式(10)，證畢。

(12)

注1 廣義互聯(lián)系統(tǒng)中的互聯(lián)項(xiàng)是觀測(cè)器設(shè)計(jì)的難點(diǎn)。考慮到系統(tǒng)的干擾項(xiàng)，定理2給出了增益矩陣存在的充分條件，以便通過MATLAB軟件對(duì)增益矩陣進(jìn)行求解。

3.3 正?；ヂ?lián)系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的存在充分條件

定理3 若正定矩陣Pi和增益矩陣Li滿足不等式(13)：

(13)

i,j=1,2,…,N。

則式(5)為互聯(lián)系統(tǒng)(1)在Ei=I情況下的狀態(tài)觀測(cè)器。

說明：定理3的證明過程同定理2，證明過程略。

注2 正?；ヂ?lián)系統(tǒng)是廣義互聯(lián)系統(tǒng)的特殊形式，在系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)過程中令奇異矩陣Ei=I。根據(jù)定理3可以求出互聯(lián)系統(tǒng)觀測(cè)器的增益矩陣，相對(duì)于廣義形式的控制系統(tǒng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)更為簡(jiǎn)便。

4 仿真算例

4.1 廣義互聯(lián)系統(tǒng)仿真算例

考慮如下含2個(gè)廣義子系統(tǒng)的非線性互聯(lián)系統(tǒng)：

(14)

說明：式(14)算例針對(duì)本文給出的狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法進(jìn)行驗(yàn)證。該設(shè)計(jì)方法對(duì)控制系統(tǒng)中的擾動(dòng)項(xiàng)的具體形式?jīng)]有具體要求，所以上述數(shù)值算例并未給出擾動(dòng)項(xiàng)的參數(shù)。

利用MATLAB可以計(jì)算出在α=0.7時(shí)，觀測(cè)器的增益矩陣。

①不含擾動(dòng)情況下，求解出的觀測(cè)器增益矩陣為：

②含擾動(dòng)情況下，求解出的觀測(cè)器增益矩陣為:

不含擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)觀測(cè)器誤差仿真曲線如圖1所示。圖1中，互聯(lián)系統(tǒng)(14)的初始估計(jì)誤差為(-0.5，-0.1，1)。

圖1 不含擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)觀測(cè)器誤差仿真曲線

含擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)觀測(cè)器誤差仿真曲線如圖2所示。圖2中，互聯(lián)系統(tǒng)(14)的初始估計(jì)誤差為(-0.3，-0.1，0.2)。

圖2 含擾動(dòng)項(xiàng)時(shí)觀測(cè)器誤差仿真曲線

由圖1、圖2可知，系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)誤差均趨于零，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)非線性廣義互聯(lián)系統(tǒng)(14)中狀態(tài)向量的魯棒估計(jì)。

4.2 正常非線性互聯(lián)系統(tǒng)仿真算例

參考文獻(xiàn)[12],考慮以下含2個(gè)子系統(tǒng)的非線性互聯(lián)系統(tǒng)：

(15)

正?；ヂ?lián)系統(tǒng)觀測(cè)器誤差仿真曲線如圖3所示。圖3(a)和圖3(b)分別為互聯(lián)系統(tǒng)(15)在初始估計(jì)誤差為(-0.3，0.2，-0.1)時(shí)，各子系統(tǒng)的觀測(cè)器狀態(tài)估計(jì)誤差曲線。由圖3可知，系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)誤差均趨于零，觀測(cè)器狀態(tài)向量可以實(shí)現(xiàn)對(duì)互聯(lián)系統(tǒng)(15)中狀態(tài)的魯棒估計(jì)。

圖3 正?；ヂ?lián)系統(tǒng)觀測(cè)器誤差仿真曲線

5 結(jié)論

本文針對(duì)同時(shí)含外部擾動(dòng)項(xiàng)與非線性項(xiàng)的一類非線性互聯(lián)系統(tǒng)進(jìn)行研究，給出了系統(tǒng)狀態(tài)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法。增益矩陣以線性矩陣不等式的形式給出，有利于各子系統(tǒng)增益矩陣的求解；同時(shí)，李雅普諾夫函數(shù)中設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)可以減少擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的影響。通過兩個(gè)仿真算例，驗(yàn)證了所提出的狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)方法的有效性。本文觀測(cè)器的設(shè)計(jì)方法可以為后續(xù)具有不確定性、時(shí)滯性的非線性互聯(lián)系統(tǒng)觀測(cè)器的設(shè)計(jì)提供理論支撐。