基于粒子群算法的量子測量系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)求解*

杜石橋，李貴蘭，寇軍，郝赫，吳同，秦國卿，高紅衛(wèi)

（北京無線電測量研究所，北京 100854）

0 引言

基于里德堡原子的量子精密測量方法是通過原子的能級躍遷實現(xiàn)外場測量，具有自校準、高靈敏、寬譜接收等特點，從原理上顛覆了傳統(tǒng)測量方法，在國防、民用和科學研究（計量、無線通訊和天文觀測）等領域中具有明確而廣泛的應用前景，近年來成為研究熱點［1-16］。2012 年，美國俄克拉荷馬大學的J.P.Shaffer 研究團隊首次實現(xiàn)了基于里德堡原子的精密測量［1］。2020 年山西大學團隊提出了原子超外差接收方法，實現(xiàn)了55 nV/cm/Hz1/2的測量靈敏度，將測量靈敏度突破性地提高了約3 個數(shù)量級［12］。

在當前的體制下，為了進一步提升靈敏度，需要對整個實驗系統(tǒng)的參數(shù)進行全局掃描。然而由于系統(tǒng)包括探測光、耦合光等多個要素，每個要素包含功率、頻率等多個參數(shù)，對于包含有N個實驗參數(shù)的系統(tǒng)，如果每個參數(shù)掃描50 個點，那么所需要的測量總次數(shù)為50N，這將需要耗費大量的時間，阻礙靈敏度的快速提升。因此，2022 年武漢數(shù)物所團隊通過在實驗上對探測光功率、耦合光功率、探測光頻率等實驗參數(shù)進行系統(tǒng)掃描優(yōu)化，將電場靈敏度提升至12.5 nV/cm/Hz1/2［16］。

為了實現(xiàn)在多維實驗參數(shù)空間快速找到最優(yōu)實驗參數(shù)，本文首先對基于里德堡原子的量子測量系統(tǒng)進行仿真建模，建立實驗參數(shù)依賴的輸出信號模型，再通過粒子群優(yōu)化算法進行全局搜索，得到輸出信號最大時的探測光功率和耦合光功率的最優(yōu)參數(shù)。該方法理論上可以擴展到更高維度實驗參數(shù)的全局搜索，可指導實驗指標的快速提升，加快量子測量系統(tǒng)的工程化應用。

1 原子超外差測量系統(tǒng)建模

1.1 原子量子測量系統(tǒng)原理

基于里德堡原子的量子測量系統(tǒng)簡易裝置如圖1a）所示，探測激光和耦合激光在充滿堿金屬原子的原子氣室中交疊穿過。在三能級系統(tǒng)|1＞，|2＞，|3＞中，當|2＞，|3＞能級由一個較大的耦合場（耦合激光，其拉比頻率為Ωc）驅(qū)動時（如圖1b）所示，其中|3＞態(tài)為高激發(fā)里德堡態(tài)），由于量子干涉在探測激光（拉比頻率為Ωp）的透射譜上會產(chǎn)生電磁誘導透明（electromagnetically induced transparency，EIT）現(xiàn)象，如圖1c）所示。這時通過頻率與能級共振的微波場ΩL會使得EIT 能譜發(fā)生劈裂（Autler-Townes，AT 劈裂），劈裂的間距大小等于微波場的拉比頻率ΩL，而拉比頻率值正比于微波場的幅度和能級間的躍遷偶極矩。通過選擇合適的微波場的拉比頻率，使得當微波場幅度變化時探測光的透射率變化幅度最大。通過超外差接收方式［12］，一個頻率為wRF的微波經(jīng)過混頻會產(chǎn)生一個中頻信號wIF，這個中頻信號會以Ω（t）=Ω0+ΔΩ（t）的形式調(diào)制AT 劈裂的幅度。這個調(diào)制最終轉(zhuǎn)化成探測光在共振頻率v0時的幅度變化如圖1d）所示，其中v0是能夠與能級|1＞和能級|2＞共振的探測激光頻率。當選擇合適的ΩL，Ωp等實驗參數(shù)時，可以使得透射點的斜率最大，即調(diào)制幅度最大，這時候?qū)盘枏姸茸畲螅?2］。

圖1 里德堡量子測量系統(tǒng)原理圖Fig.1 Rydberg quantum measurement system

1.2 原子量子測量系統(tǒng)建模

本文建立了圖1 中所示的實驗裝置的原理模型，在共振情況下，首先考慮在共振|3＞和|4＞不存在簡并的情況下，以量子態(tài)|1＞，|2＞，|3＞和|4＞為基矢的哈密頓量為

在考慮自發(fā)輻射的情況下，這樣的四能級系統(tǒng)的密度矩陣的演化可以寫為

式中：D[ρ]為方程的衰減項，其具體形式為

在計算中，由于能級|3＞和|4＞是高激發(fā)態(tài)里德堡能級，能級壽命相較于能級|1＞和|2＞較長，且能級間隔較小，因此能級|3＞→|4＞之間發(fā)生的自發(fā)輻射可以省略，γi(i=2，3，4)是衰減項，其中γij=(γi+γj)。

在絕熱近似下，探測激光在穩(wěn)態(tài)原子中透射強度可以以極化率虛部的形式寫出為

式中：Pi為入射光的功率；L為原子腔的長度；k=2π/λp為探測激光的波矢。其中χ（t）=Cρ12（t）為極化率，其中ρ12（t）是|1＞→|2＞躍遷矩陣元的密度矩陣，C=（2Nμ2）/（ε0?ΩP）是與原子密度N、能級偶極矩μ、拉比頻率Ωp相關(guān)的常量。實驗上是通過觀測P（t）的變化來進行信號檢測，因此信號強度正比于ρ12（t）的虛部，因此理論上計算ρ12（t）虛部的變化大小ΔIm［ρ12（t）］，即可反映出信號強度的變化。

在方程的求解過程中，取理論和實驗上常用的典型的參數(shù)［1，3］，Ωc=1 MHz，Ωp=6 MHz，ΩL=1.2 MHz，ΩS=0.1 MHz，γ2=5 MHz，γ3=500 kHz，γ4=200 kHz。為了模擬待測微波的超外差過程，令ΩL=|ΩL+Ωsexp（iwIFt）|，可以產(chǎn)生中頻信號，如圖2a）所示，在待測微波的作用下，會使得原子對探測光的吸收率發(fā)生變化，即透射譜產(chǎn)生中頻信號振蕩形式的信號，通過傅里葉變換，可以在頻域上觀察到中頻信號，信號變化的幅度為ΔIm［ρ12（t）］。

圖2 里德堡量子測量系統(tǒng)建模與計算Fig.2 Modeling and calculations of Rydberg quantum measurement system

為了實現(xiàn)最大信號強度，通過在Ωp在0～6 MHz，Ωc在0～9 MHz 的取值區(qū)間上各取50 個點進行計算（由于對全空間的參數(shù)進行掃描，計算量較大，共50×50=2 500 個計算樣本點），得到圖2b）所示的信號分布圖。其中信號最大處在Ωp=1.22 MHz，Ωc=3.31 MHz，最大吸收率變化值ΔIm［ρ12（t）］為0.013 1。

2 基于粒子群算法全局搜索

2.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）是由Kenndey 和Eberhart 提出，作為一種隨機全局優(yōu)化算法，其通過模仿鳥群或魚群的社會行為實現(xiàn)全空間的參數(shù)搜索［17］。根據(jù)粒子群理論，每個個體的行為受到其他局域與全局最優(yōu)個體的影響，從而幫助個體朝著更優(yōu)化方向迭代。更近一步地，每個個體還會從其過去的經(jīng)驗中學習，調(diào)整其飛行的速度與方向。因此，所有的個體最終都將會快速地收斂到全局最優(yōu)點。粒子群算法是一個高效的全局優(yōu)化方法，已經(jīng)成功地應用到許多優(yōu)化問題上，包括神經(jīng)網(wǎng)絡、電力系統(tǒng)、軍事等［17-21］。

在里德堡原子量子測量系統(tǒng)中，粒子群優(yōu)化算法的大致步驟為：

（1）在2 維搜索空間中隨機產(chǎn)生10 個粒子（particle）組成的群體（每個粒子的橫坐標和縱坐標分別代表了探測光和耦合光的拉比頻率ΩP和Ωc）。

（2）所有的粒子都有一個由當前光學參數(shù)ΩP和ΩC的信號強度｛ΔIm［ρ12（t）］｝直接對應的適應值（finless value），適應度越大，說明粒子在參數(shù)空間中的位置更優(yōu)。

（3）每個粒子還有一個速度決定它們飛行的距離和方向。在飛行的過程中，粒子會利用自身的飛行經(jīng)驗和群體的飛行經(jīng)驗來動態(tài)調(diào)整自己。調(diào)整值為

式中：vk為粒子的速度向量；xk為當前粒子的位置；pbest為粒子本身找到的最優(yōu)解的位置；gbest為整個種群目前找到的最優(yōu)解的位置；c0一般取介于（0，1）之間的隨機數(shù)，稱為慣性系數(shù)或收縮因子。c1和c2稱為粒子的“自身認識因子”和“社會認識因子”，分別用于調(diào)整pbest和gbest對粒子吸引的影響強度。粒子飛行軌跡圖如圖3 所示。

圖3 粒子飛行軌跡圖Fig.3 Trajectory of particle flying

（4）經(jīng)過若干次迭代搜索，最終得到量子系統(tǒng)的最優(yōu)解。

粒子群優(yōu)化算法流程如圖4 所示。

圖4 粒子群優(yōu)化算法流程圖Fig.4 Flow chart of particle swarm optimization

2.2 粒子群光學參數(shù)全局搜索

通過應用粒子群算法，本文采用了粒子數(shù)為10的種群，即在第1 代的參數(shù)空間中隨機產(chǎn)生10 個樣本點，之后以此10 個樣本為起點迭代演化進行全參數(shù)空間搜索，設置最大演化代數(shù)為10 次。如圖5 所示，圖5a）為第1 代粒子在光學參數(shù)空間中的分布，隨著粒子群算法的迭代優(yōu)化，粒子群漸漸趨向于適應度最優(yōu)的地方，如圖5b）所示，當?shù)?0 次之后，粒子群全部集中到全局最優(yōu)點，如圖5c）所示。這時的信號最大處在Ωp=1.26 MHz，Ωc=3.34 MHz，最大吸收率變化值ΔIm［ρ12（t）］為0.013 1。圖5d）描述的是每代粒子數(shù)中的最優(yōu)適應度隨著演化代數(shù)的趨勢圖，由圖可知在8 代時，已經(jīng)找到全局最優(yōu)點。而這時總的計算量（10×10=100 個計算樣本），遠小于常規(guī)掃描參數(shù)（2 500 個計算樣本）的方法，可以大大提升搜索最優(yōu)參數(shù)的速度。經(jīng)過測試，應用粒子群算法找到全局最優(yōu)點的成功率大約為70%，通過增加每代粒子群中粒子的數(shù)目或改進算法（例如在每代演化中隨機生成一些新粒子），能夠進一步提升成功率。

圖5 粒子群隨著代數(shù)的演化Fig.5 Evolution of particle swarms

最后研究比較了不同的速度縮放系數(shù)對計算收斂速度的影響，不同序號的取值如表1 所示。計算結(jié)果如圖6 所示，可知在社會認識因子c2最大時，收斂速度最快，同時更容易找到最大值。當自身認識因子c1最大時，容易使得粒子困在自身所經(jīng)歷的局域最優(yōu)值上，不利于最優(yōu)參數(shù)的搜索。當慣性系數(shù)c0最大時，剛開始尋找速度較慢，慢慢地也收斂到了全局最優(yōu)的地方。

表1 不同速度縮放系數(shù)取值Table 1 Different velocity scaling factors

圖6 不同速度縮放系數(shù)下適應度隨著代數(shù)的變化Fig.6 Evolutions of fitness in different velocity scaling factors

3 結(jié)束語

通過對基于里德堡原子的量子測量系統(tǒng)進行仿真建模，得到信號強度與二維光學參數(shù)的依賴關(guān)系。將粒子群優(yōu)化算法應用到系統(tǒng)光學參數(shù)的全局搜索，可以大大加速系統(tǒng)光學參數(shù)的全局優(yōu)化。最后研究比較了不同的速度縮放系數(shù)對算法收斂速度的影響，發(fā)現(xiàn)當粒子群以全局最優(yōu)解為運動最大權(quán)重變化方向時，收斂速度最快，同時更容易找到最大值。該方法原則上能應用到更高維度的參數(shù)最優(yōu)求解過程，可指導實驗明確進一步提升系統(tǒng)性能的方向。