超疏水表面上PW-Cassie 冷凝液滴輪廓與合并彈跳研究①

董 健 趙逸平 胡光輝 李志鑫 陸泗光 胡建良

(*浙江工業(yè)大學機械工程學院 杭州 310023)

(**傳感技術國家重點實驗室 上海 200050)

0 引言

滴狀冷凝可以在超疏水表面穩(wěn)定連續(xù)地發(fā)生,然后自然地被去除[1-2],從而獲得比傳統(tǒng)膜狀冷凝更高效的傳熱性能[3]。研究超疏水表面的冷凝液滴形態(tài)是冷凝傳熱機理中的一個基本問題。這對于在除霧[4]、發(fā)電[5]、制冷[6]、熱管理[7]和集水[8]等重要的傳熱過程中的應用具有重要意義。

早期的研究中,超疏水表面上的冷凝液滴被近似認為是沉積液滴,具有球狀的Cassie 或Wenzel 的接觸角。文獻[9]提出一個重力環(huán)境影響下的液滴形狀的方程描述,之后文獻[10]在Adams 的重液滴模型的基礎上提出一種軸對稱液滴形狀分析方法,還有文獻[11]應用自由能最小的方法,假設冷凝液滴為橢球形,研究重力作用下冷凝液滴在光滑的固體基底上水平鋪展開的模型。但是上述的液滴模型都認為是球形或橢球形,然而在實際觀察中很多冷凝液滴的形狀并不是標準的球形或橢球形,單以球或橢球來描述冷凝液滴形狀就顯得比較狹隘。

文獻[12,13]注意到許多非球形的潤濕冷凝液滴,并將它們命名為部分潤濕的Cassie(PW-Cassie)液滴,PW-Cassie 液滴固定在基底上的頸部會局部潤濕基底。在相同的體積下,PW-Cassie 液滴的接觸圓半徑比Wenzel 液滴要小。PW-Cassie 液滴的環(huán)境掃描電子顯微鏡圖像顯示,PW-Cassie 液滴的輪廓更像一個氣球的形狀。

本文工作的目的是研究一個用于確定PW-Cassie 液滴在超疏水表面上輪廓的理論模型?；谧钚〗缑孀杂赡芾碚?然后使用直接離散數(shù)值方法和非線性優(yōu)化方法,建立無重力條件下PW-Cassie 液滴分布的數(shù)值模型和解析模型,并分析其在基底上合并彈跳的條件。這項工作將為進一步研究PWCassie 冷凝液滴傳熱機理提供基礎。

1 理論模型

1.1 PW-Cassie 液滴分布的數(shù)值模型

在滴狀冷凝過程中,初始的液滴成核并長大會填補納米結構之間的空白部分[14]。在多種冷凝條件下,單個冷凝液滴都可以演化為PW-Cassie 液滴。PW-Cassie 液滴的等效半徑總是遠遠小于毛細長度rcap(其中rcap=,γlv是液體表面張力,ρ 是水的密度,g是重力加速度,水滴的毛細長度是2.7 mm),因此重力的影響可以忽略,PW-Cassie 液滴的平衡形狀最終穩(wěn)定在最小自由能態(tài)。由于PWCassie 液滴的形狀具有對稱性,所以可以將PWCassie 液滴簡化為二維平面上液滴的縱向剖面的一半來分析。如圖1 所示,建立一個直角坐標系進行分析。圖1(a)是PW-Cassie 液滴的ESEM 圖像[15],圖1(b)是第一象限中PW-Cassie 液滴的半輪廓示意圖。坐標原點O位于接觸圓的中心,u軸沿著液滴高度方向,v軸沿PW 液滴頸部的接觸圓半徑方向,rb是接觸圓半徑,h是PW-Cassie 液滴的高度。

圖1 PW-Cassie 液滴ESEM 圖像及半輪廓示意圖

那么包含PW-Cassie 液滴和粗糙表面2 個部分的系統(tǒng)自由能E可表示為

式(1)中,r為表面粗糙度,L0為固-氣界面包括表面接觸圓在內的方形基底的邊長,h為液滴高度,γsl、γsv和γlv分別為固-液界面、固-氣界面和液-氣界面的界面張力系數(shù)。當曲面固定時,是恒定的。系統(tǒng)的自由能E'可以表示為

如圖2 所示,使用直接離散有限差分法的數(shù)值計算方法可以計算PW-Cassie 液滴輪廓。圖2 中,輪廓線上的兩個相鄰離散點分別為pi和pi+1,橫坐標差值為Δu。vmax是液滴的最大半徑,hmax是與PW-Cassie 液滴體積相同的推測錐的高度?；谧钚∽杂赡芎头蔷€性優(yōu)化算法,可以計算出輸入值為rb、θ 和V的超疏水表面上的PW-Cassie 液滴輪廓。

圖2 有限差分數(shù)值方法繪制的PW-Cassie 液滴的剖面半輪廓

具體的數(shù)值模型計算方法如下所示。

(1)直接離散有限差分法

將液滴高度h沿u軸等分成N份,得到N+1個離散點pi和對應的坐標值ui和vi。橫坐標的值可以寫成ui=,(i=1,2,…,N+1)。

(2)最小無量綱自由能的優(yōu)化

(a)變量

離散點的坐標ui,vi(i=1,2,…,N+1)

(b)優(yōu)化對象

(c)約束

(d)搜索

Matlab 工具箱中的“fmincon”函數(shù)可用于搜索在變量(ui,vi)(i=1,2,…,N+1) 最小化約束下的無量綱自由能,然后記錄下對應于最小自由能的離散點pi(ui,vi) 的坐標,并對其進行擬合以獲得輪廓曲線。

上述計算過程相應的流程圖如圖3 所示。

圖3 計算過程流程圖

圖4 顯示輸入不同rb、θ 和V值的PW-Cassie 液滴輪廓的數(shù)值結果,具體參數(shù)分別為(a)rb=4 μm,θ=120 °,V0=0.35 ×10-3nL,V1=1.2 ×10-3nL,V2=2.5 ×10-3nL;(b)rb=4 μm,θ=130 °,V0=0.55×10-3nL,V1=1.5 ×10-3nL,V2=3 ×10-3nL;(c)rb=10 μm,θ=120 °,V0=5.4 ×10-3nL,V1=1.3 ×10-2nL,V2=2.5 ×10-2nL;(d)rb=10 μm,θ=130 °,V0=8.05 ×10-3nL,V1=1.6 ×10-2nL,V2=3×10-2nL。圖中的實線表示PW-Cassie 液滴的數(shù)值模型輪廓,虛線表示當PW-Cassie 液滴的體積等于標準Wenzel 液滴的體積時,PW-Cassie 液滴輪廓將退化為Wenzel 液滴輪廓(圓形)。

圖4 PW-Cassie 液滴在不同條件下的V、θ 和rb 的數(shù)值結果

1.2 PW-Cassie 液滴分布的三參數(shù)解析模型

通過觀察數(shù)值解的模擬結果,提出PW-Cassie液滴的解析模型(如圖5 所示)。在該模型中,液滴的上部分被描述為球帽形,下部分是一個與球帽形相切的倒圓錐臺,u坐標軸是液滴高的度方向,v坐標軸是液滴的底部方向,液滴的曲線是分段函數(shù)。

圖5 按照解析模型繪制的PW-Cassie 液滴半剖面示意圖

于是在二維平面上可以給出PW-Cassie 液滴輪廓的解析表達式,它由接觸圓半徑rb、接觸角θ 和臂長l定義:

并可以通過以下關系式計算PW-Cassie 液滴的體積。

液滴的接觸圓半徑和球帽的半徑分別為

倒圓錐臺的高度h1和球帽高度h2分別表示為

因此,可以推導出關于PW-Cassie 液滴接觸角θ的方程,可以表示為

倒圓錐臺的體積V1和球帽的體積V2分別為

因此,PW-Cassie 液滴的體積V為

于是將式(12)化為由rb、θ 和l三參數(shù)確定的PW-Cassie 液滴體積的表達式為

如果輸入rb、θ 和V的值,那么就可以得到PWCassie 液滴的輪廓。此外,三參數(shù)模型式(4)中的rb/θ/l可以等效為rb/θ/V。

2 結果和討論

2.1 解析模型的準確性和范圍

解析模型結果和數(shù)值模型結果之間的擬合優(yōu)度R2可用于驗證解析模型的準確性,其表示為

R2的值取0 到1 之間,R2的值越大,解析模型與數(shù)值模型的擬合優(yōu)度就越高。如表1 所示,列出解析模型的R2值,并顯示不同rb、θ 和V的值下R2的精度。圖6 表現(xiàn)數(shù)值模型與解析模型的比較結果,兩者結果比較接近,其中rb、θ 和V對應的具體參數(shù)為(a)rb=4 μm,θ=120°,V0=0.35 ×10-3nL,V1=1.2 ×10-3nL,V2=2.5 ×10-3nL;(b)rb=4 μm,θ=130 °,V0=0.55 ×10-3nL,V1=1.5 ×10-3nL,V2=3 ×10-3nL;(c)rb=10 μm,θ=120 °,V0=5.4 ×10-3nL,V1=1.3 ×10-2nL,V2=2.5 ×10-2nL;(d)rb=10 μm,θ=130 °,V0=8.05 ×10-3nL,V1=1.6 ×10-2nL,V2=3 ×10-2nL。實線表示PWCassie 數(shù)值解輪廓,點線表示PW-Cassie 解析解輪廓,虛線表示標準Wenzel 液滴輪廓。

表1 解析模型結果與數(shù)值計算結果的擬合優(yōu)度

圖6 數(shù)值模型結果與解析模型結果的比較

從圖6 和表1 中可以看到解析模型與數(shù)值模型吻合良好,說明本文對于PW-Cassie 的解析模型是合理、準確的。在給定接觸圓半徑rb和接觸角θ 的情況下,擬合優(yōu)度會隨著液滴體積V的增加而下降,但這種下降幅度很小,造成的影響可以忽略不計。

Miljkovic 等人[12]提出一個PW-Cassie 液滴的接觸角模型,該模型是液滴半徑的分段函數(shù)。而本文提出的PW-Cassie 模型可以看作是對他們的PWCassie 液滴接觸角模型的進一步改進。此外,本文根據(jù)模型計算不同體積的PW-Cassie 液滴輪廓,隨著體積增大,PW-Cassie 液滴輪廓發(fā)生變化(見圖6),這個液滴輪廓的變化過程可以看作固定接觸圓界面和接觸角的液滴生長過程。

本文的模型不僅可以獲得PW-Cassie 液滴的精確輪廓,而且有利于進一步研究冷凝液滴的生長、合并和傳熱,這是開發(fā)高性能超疏水冷凝表面的基礎和關鍵。

只有當冷凝液滴的體積大于標準Wenzel 液滴的體積時(見圖6),冷凝液滴才處于部分濕潤狀態(tài)。所以,PW-Cassie 解析模型的適用范圍為

式中,θw是冷凝液滴在Wenzel 狀態(tài)下的接觸角。

2.2 解析模型的應用

使用PW-Cassie 液滴輪廓的解析模型,可以通過式(5)、(9)和(12)在已知接觸圓直徑d、高度h和最大寬度b的情況下得到接觸圓半徑rb、接觸角θ 和體積V。PW-Cassie 液滴的rb、θ 和V在冷凝過程中難以測量,但是如果在需要測量的PW-Cassie 液滴側面放置一個高速攝像機,就可以很容易從圖像中獲得在某個演化時間下PW-Cassie 液滴的d、h和b,然后利用式(9)和(13),就可以很容易計算出參數(shù)rb、θ 和V。

以文獻中的圖像為例,計算出對應PW-Cassie液滴的接觸角θ 和體積V,如表2 所示。表格2 中的結果表明PW-Cassie 液滴的d和θ 可以保持恒定,而在PW-Cassie 冷凝期間只增加h和b。這種情況與文獻中PW-Cassie 液滴演化期間的生長情況一致。

表2 文獻圖像中PW-Cassie 液滴接觸角和體積的估計

2.3 PW Cassie 液滴的合并跳躍

因為冷凝誘導的液滴跳躍[18]是由于表面能釋放而產生的一種自推進現(xiàn)象,冷凝液滴釋放的表面能ΔEs轉化為動能Ek,并被表面粘附功ΔEw[5]和內部粘性耗散ΔEvis[19]消耗,在忽略重心變化而引起的重力勢能變化的情況下[20],就可以結合計算得到的PW-Cassie 液滴接觸角θ 和體積V,考慮兩個最大半徑分別為r1、r2的PW-Cassie 小液滴合并形成半徑為R'的跳躍球形液滴,如圖7 所示。

圖7 超疏水粗糙表面上兩個PW-Cassie 液滴合并成一個跳躍液滴的示意圖

可以從PW-Cassie 液滴的解析模型中得到ΔEs、ΔEw和ΔEvis,具體方法如下所示。

倒圓錐臺的表面面積A1和球帽表面積A2分別為

因此,PW-Cassie 液滴的液-氣界面面積為

剛發(fā)生跳躍時液滴的半徑為

于是剛發(fā)生跳躍時球形液滴的界面面積為

并且,固-氣界面面積為

于是所釋放的界面自用能ΔEs可以表示為

式中,下標1 和2 分別代表合并之前的2 個PWCassie 液滴。

表面粘附功ΔEw可表示為

內部粘性耗散ΔEvis可近似表示為

式中,μ 是水的粘度,ρ 是水的密度。

綜合前文中的式(22)～(24),可以得到2 個大小相同的PW-Cassie 液滴合并形成一個剛跳躍的球形液滴,其初始動能Ek可寫為[21]

其中的3 個能量參數(shù)可以化為

將式(26)～(28)代入式(25)中,可以得到

從上面的公式中可以知道冷凝液滴的運動狀態(tài)由Ek值決定。當Ek≥0 時,冷凝液滴會在表面上發(fā)生跳躍。否則,當Ek＜0 時,冷凝液滴會粘附在表面上。兩個尺寸相同的PW-Cassie 液滴之間合并之后是否發(fā)生跳躍的判斷結果如表3 所示。

表3 當兩個相同尺寸的PW-Cassie 水滴在粗糙的Si 表面合并時是否發(fā)生合并而引起的液滴跳躍①

如果兩個PW-Cassie 液滴大小不同,也可以使用本章節(jié)的解析模型得到動能Ek,再判斷冷凝液滴是否跳躍。此外,還可以通過Ek推算出冷凝液滴的跳躍速度。

3 結論

本文基于最小自由能和非線性優(yōu)化算法,通過數(shù)值模型描述PW-Cassie 液滴的輪廓,然后提出PW-Cassie 液滴輪廓的三參數(shù)(rb/θ/l)解析模型,并且還推導具有三參數(shù)(rb/θ/V) 和三參數(shù)(d/h/b)的等效解析模型?？梢酝ㄟ^容易測量的三個參數(shù)(d、h和b)來估算PW-Cassie 液滴的接觸角θ 和體積V。此外,利用解析模型還可以計算液滴系統(tǒng)的初始動能來判斷兩個尺寸相同的PW-Cassie液滴合并時,合并液滴是否會跳躍。

本文的研究為超疏水表面上PW-Cassie 冷凝液滴的生長和合并提供理論依據(jù),對進一步研究PWCassie 冷凝液滴的傳熱機理也有一定的參考價值。