線性代數(shù)教學(xué)中的引例設(shè)計(jì)*

葉 昌 潘 陽

（1.湖州師范學(xué)院 浙江湖州 313000；2.合肥學(xué)院 安徽合肥 230601）

引言

線性代數(shù)是應(yīng)用型本科高校必修的一門重要基礎(chǔ)課。它不僅能夠培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯思維能力，而且也為與之相關(guān)的課程開展提供必備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。線性代數(shù)知識(shí)除了服務(wù)數(shù)學(xué)專業(yè)課程，也為機(jī)械、計(jì)算機(jī)、物理、經(jīng)管等需要建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的學(xué)科課程奠定了一定基礎(chǔ)。該課程目的是使學(xué)生掌握線性代數(shù)的基本知識(shí)、計(jì)算方法，通過整個(gè)課程體系的構(gòu)建，達(dá)到學(xué)生能在后續(xù)課程的學(xué)習(xí)中能運(yùn)用線性代數(shù)來建立專業(yè)模型，解決涉及線性代數(shù)的專業(yè)問題的效果。

由于該課程涉及到的理論知識(shí)比較抽象，含有許多復(fù)雜的定義和計(jì)算，其受眾尤其是工科、經(jīng)管類專業(yè)的學(xué)生對(duì)該課程知識(shí)的理解和掌握有一定難度，使得這門課程在教學(xué)過程中不能達(dá)到很好的教學(xué)效果。因此，在線性代數(shù)課程的教學(xué)過程中，如果教師能夠通過巧妙的案例來對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行引入以及闡述，即通過將抽象問題形象化，這不僅能提高課堂的趣味性，也能使學(xué)生在形和數(shù)的統(tǒng)一中進(jìn)步會(huì)到抽象概念的內(nèi)涵，從而培養(yǎng)學(xué)生思維能力和解決實(shí)際問題的能力。

一、線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題

1.學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱且層次不均。

線性代數(shù)課程中，存在很多抽象概念和定理，同時(shí)具有很強(qiáng)的邏輯性。而對(duì)于工科、文科等專業(yè)的學(xué)生，數(shù)學(xué)功底較為薄弱，并且學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)層次跨度非常大，因此，同樣的教學(xué)流程對(duì)于不同的學(xué)生來說其效果迥異。對(duì)于基礎(chǔ)較差的學(xué)生，重理論知識(shí)的講解通常會(huì)使學(xué)生難以理解，難以掌握相關(guān)知識(shí)，并且由于沒有深刻理解知識(shí)而導(dǎo)致學(xué)完就忘[1]。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高。

線性代數(shù)課程教學(xué)具有邏輯性與抽象性并存的特點(diǎn)。在授課過程中，無法舍去一些關(guān)鍵然而復(fù)雜的推算過程。并且，由于近年來受到疫情影響，課堂形式中線上線下混合教學(xué)模式占比逐漸增大，當(dāng)理論知識(shí)的講解匯集到屏幕上，課程的枯燥性有增無減。因此，學(xué)生對(duì)該課程的積極性有待提高。

3.課程知識(shí)的拓展使用較為局限。

對(duì)于工科類，經(jīng)濟(jì)學(xué)，物理學(xué)等專業(yè)，通過線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)，為其建立模型解決相關(guān)專業(yè)問題打好基礎(chǔ)。由于對(duì)課程缺乏興趣以及對(duì)理論知識(shí)理解不夠透徹，通常不能很好地達(dá)到課程知識(shí)靈活應(yīng)用的教學(xué)效果，這與應(yīng)用為導(dǎo)向的線性代數(shù)課程之間存在的矛盾亟待解決。

4.思政教育融入課堂困難。

在2016年12月的全國高校思想政治工作會(huì)議上指出：要把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程。近年來，國家積極提倡高校課堂融入思政教育，主張?jiān)诮虒W(xué)中結(jié)合思想政治理論，使課程與思想教育并行共進(jìn)。線性代數(shù)課程無論作為專業(yè)課抑或是公共課，都服務(wù)于各個(gè)專業(yè)，為高等教育打好基礎(chǔ)，因此，需要教師深入挖掘課程資源。思政教育另一重要目的在于，將課程內(nèi)容與社會(huì)發(fā)展相結(jié)合，在課程學(xué)習(xí)后學(xué)生能將知識(shí)最大程度地內(nèi)化，再進(jìn)行落實(shí)，服務(wù)于社會(huì)。但是，如何將思政內(nèi)容更好地融入課堂教學(xué)，不顯生硬，做到潤物細(xì)無聲，具有一定的難度[2]。

二、線性代數(shù)教學(xué)中的引例設(shè)計(jì)

基于以上考慮，在線性代數(shù)課程的教學(xué)過程中，需要采用合適的教學(xué)方法來應(yīng)對(duì)這些問題。在線性代數(shù)課程改革初步探究中發(fā)現(xiàn)，案例教學(xué)法是提升教學(xué)效果的有效方法。針對(duì)不同專業(yè)的特點(diǎn)進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)各有特色的課程引例。與學(xué)生專業(yè)以及生活相關(guān)的引例能迅速調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高聽課效率，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力。通過有趣貼切案例的引入，學(xué)生更容易獲得學(xué)以致用的成就感，有助于將課程知識(shí)應(yīng)用到專業(yè)學(xué)習(xí)中，提高解決問題的能力。

k階子式、逆序數(shù)、線性方程組的解等都是線性代數(shù)的重要內(nèi)容。本文針對(duì)文科專業(yè)，設(shè)計(jì)詩詞游戲引例，講解k階子式；針對(duì)工科專業(yè)，設(shè)計(jì)數(shù)字華容道引例，講解逆序數(shù)的性質(zhì)；針對(duì)教育類專業(yè)，設(shè)計(jì)初中數(shù)學(xué)題作為引例講解線性方程組的解的情況。通過將抽象問題形象化，不僅提高了課堂的趣味性，也使學(xué)生在形和數(shù)的統(tǒng)一中進(jìn)步會(huì)到抽象概念的內(nèi)涵，從而培養(yǎng)了學(xué)生思維能力和解決實(shí)際問題的能力[3]。

1.k階子式教學(xué)的引例設(shè)計(jì)

定義1.在m×n階矩陣A中，任取k行k列（k≤m，k≤n），位于這些行列交叉處的k2個(gè)元素，不改變它們?cè)贏中所處的位置次序而得的k階行列式，稱為矩陣A的k階子式。

從定義1中，我們可以發(fā)現(xiàn)階子式的概念較為抽象，學(xué)生對(duì)定義中的任取行、任取列及交叉元素等描述性文字無法形成直觀的印象。誠然，我們可以從低階矩陣入手，通過大量舉例，讓學(xué)生被動(dòng)接受，然后這往往會(huì)讓學(xué)生喪失學(xué)習(xí)的興趣，進(jìn)而會(huì)影響學(xué)生對(duì)該知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用和探索。

奧蘇伯爾認(rèn)為，有意義的學(xué)習(xí)必須具備三個(gè)條件：其一，學(xué)習(xí)者表現(xiàn)出一種有意義學(xué)習(xí)的傾向，即學(xué)習(xí)者積極主動(dòng)地把符號(hào)所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的適當(dāng)知識(shí)加以聯(lián)系的傾向性；其二，學(xué)生原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具有適當(dāng)?shù)摹肮讨c(diǎn)”，即學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有能和新學(xué)習(xí)的材料建立聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)，該“固著點(diǎn)”必須清晰、穩(wěn)定；其三，所學(xué)的材料必須具有邏輯意義，這種邏輯意義指的是所學(xué)習(xí)的內(nèi)容本身與人類學(xué)習(xí)能力范圍內(nèi)的有關(guān)觀念可以建立非人為的和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系。

基于上述理論，在階子式的概念教學(xué)中，教師可以將漢字作為矩陣元素，先給同學(xué)展示圖1中的左圖，請(qǐng)同學(xué)觀察其中隱藏的奧秘。通過觀察發(fā)現(xiàn)，有十六字經(jīng)典詩詞“山不在高，有仙則名；水不在深，有龍則靈。”以四行四列的方式散落藏于該矩陣中。學(xué)生通過尋找該古詩詞，發(fā)現(xiàn)文字分布位置的規(guī)律，從而獲得某行某列交叉位置的直觀感覺，最后以此引出階子式的定義。同時(shí)，強(qiáng)調(diào)當(dāng)數(shù)字作為矩陣元素時(shí)，該階子式作為行列式是一個(gè)數(shù)。類似地，可以利用詩歌、文字嵌入矩陣的方式對(duì)行列式、（代數(shù)）余子式等概念作相應(yīng)引入說明。

圖1 階子式引例：詩詞游戲

通過詩歌、文字嵌入矩陣的方式進(jìn)行教學(xué)，不僅能夠更好地引起學(xué)生的興趣，而且也讓學(xué)生感受到我國的傳統(tǒng)文化的優(yōu)美，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感。

2.逆序數(shù)教學(xué)的引例設(shè)計(jì)

在線性代數(shù)“全排列和對(duì)換”這一節(jié)，涉及逆序數(shù)這個(gè)概念。

定義2.當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí)，就稱這兩個(gè)元素組成一個(gè)逆序，排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)。

為了使學(xué)生對(duì)這個(gè)概念有更深刻的理解，即什么樣的次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同，怎么去計(jì)算逆序數(shù)。為此，我們?cè)诮虒W(xué)中引入數(shù)字華容道游戲，告訴學(xué)生可以通過移動(dòng)交換華容道里的格子，改變?cè)械臉?biāo)準(zhǔn)排列。

圖2（a）是打亂的排列，圖2（b）是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)排列。圖2（a）中14和8這兩個(gè)數(shù)字，它們的先后順序與原有的標(biāo)準(zhǔn)順序不同，因而14和8就構(gòu)成了一個(gè)逆序。同時(shí)，我們需啟發(fā)學(xué)生，圖（a）中是否存在其他數(shù)字也與數(shù)字14構(gòu)成了逆序，引導(dǎo)學(xué)生去尋找排在14后面但比14小的數(shù)字。如此，就很自然的引入逆序數(shù)的計(jì)算方法。

圖2 逆序數(shù)引例——華容道數(shù)字游戲

我們熟知，對(duì)換是可逆的，一個(gè)打亂的排列可以按照原先的對(duì)換還原到初始的排列。

我們會(huì)讓學(xué)生思考這樣的問題：①（a）圖需要經(jīng)過多少次移動(dòng)格子能還原成（b）圖；②（c）圖能否還原成（d）圖。通過大量舉例，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)里面蘊(yùn)含著這樣的事實(shí)：①移動(dòng)次數(shù)不唯一，但次數(shù)的奇偶性卻是個(gè)不變量；②存在不能還原成標(biāo)準(zhǔn)排列的例子。為此，我們引入奇排列和偶排列的概念，即逆序數(shù)為奇數(shù)的是奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的是偶排列，以及一次對(duì)換改變排列的奇偶性等。為了讓學(xué)生能更好地理解（c）圖為何不能還原成（d）圖，教師需要引導(dǎo)學(xué)生將空格位置想象成數(shù)字16，如（d）圖，則每次移動(dòng)就是做一次對(duì)換。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)（c）圖不管怎么移動(dòng)，最后要使空格回到最后的位置總共會(huì)經(jīng)歷偶數(shù)次對(duì)換。而（c）圖的逆序數(shù)是1，是一個(gè)奇排列，（b）圖是自然順序，逆序數(shù)為0，是一個(gè)偶排列。一個(gè)奇排列經(jīng)過偶數(shù)次對(duì)換只能得到奇排列，不可能會(huì)變成偶排列。因此，得到（c）圖永遠(yuǎn)不能還原為（b）圖的數(shù)學(xué)道理，使得學(xué)生對(duì)排列、逆序數(shù)、對(duì)換等都有了更深刻的認(rèn)識(shí)和理解[4]。

華容道作為中國民間的益智游戲，蘊(yùn)含著線性代數(shù)的知識(shí)，引以此鼓勵(lì)學(xué)生積極探索我國傳統(tǒng)文化，發(fā)掘其中的奧秘。

3.線性方程組解的引例設(shè)計(jì)

在講解線性方程組的解這一節(jié)內(nèi)容時(shí)，重點(diǎn)內(nèi)容在于掌握n元線性方程組AX=b的解的情況，包含以下3種：

（1）無解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩小于增廣矩陣的秩；

（2）有唯一解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩等于n；

（3）有無窮多解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩小于n。

針對(duì)師范專業(yè)的學(xué)生，在本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)過程中，以初中數(shù)學(xué)題為引例的課堂教學(xué)效果頗優(yōu)。引例內(nèi)容如下：

已知a1+a2=1，a2+a3=2，...，a99+a100=99，a100+a1=100，求a1+a2+...+a100等于幾？

顯然，根據(jù)初中數(shù)學(xué)常用的解題方法，有的學(xué)生將所有方程都相加，得到2（a1+a2+...+a100）=1+2+...+100，得到a1+a2+...+a100=（1+2+...+100）/2=2525，有的學(xué)生采取間隔取等式的方法來進(jìn)行計(jì)算。其中，一種方法得到a1+a2+...+a100=（a1+a2）+（a3+a4）+...+（a99+a100）=1+3+5+7+...+99=2500；另一種方法為a1+a2+...+a100=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+...+（a98+a99）+a100=2+4+6+...+100=2550。三種計(jì)算方法似乎都沒有問題，同一數(shù)列相加卻得到了三個(gè)截然不同的答案，因此可以向?qū)W生發(fā)問，究竟哪種做法是正確的？題目是否存在問題？該引例為課堂增加了疑點(diǎn)和趣味。據(jù)此，課堂自然轉(zhuǎn)入理論知識(shí)的闡述。利用線性代數(shù)方程組對(duì)該問題進(jìn)行考慮，100個(gè)等式視為一個(gè)線性方程組，將其中的元素ai（i=1，2，3，...，100）作為未知數(shù)，通過含有100個(gè)方程的方程組解100個(gè)未知數(shù)。通過該課程的學(xué)習(xí)，可知該非齊次方程組有解的條件為系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩。對(duì)于這個(gè)方程組，通過圖3對(duì)增廣矩陣化行階梯形知其增廣矩陣的秩為100，而其系數(shù)矩陣的秩為99，因此該方程組無解，即不存在這樣的一組ai滿足該方程組。所以是題目本身的問題。要使該方程組有解，則應(yīng)使得增廣矩陣的秩也為99，故可將題中條件a100+a1=100改為a100+a1=50，此時(shí)三種方法均解得a1+a2+...+a100=2500。

圖3 線性方程組解的引例——增廣矩陣化行階梯形

該引例不僅讓學(xué)生更深刻地理解及掌握了線性方程組的解的條件，而且也讓作為師范專業(yè)的學(xué)生懂得如何利用線性代數(shù)的觀點(diǎn)來看待初中數(shù)學(xué)問題，懂得“要給學(xué)生一杯水，教師要有一桶水”的道理[5]。

結(jié)語

本教研論文通過三個(gè)引例的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)對(duì)線性代數(shù)課程中抽象概念的可視化，所引入的三個(gè)案例不僅加深了學(xué)生對(duì)概念的認(rèn)知，而且同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升了課堂教學(xué)的趣味性。抽象概念趣味化是線性代數(shù)教學(xué)改革中有意義的探索和實(shí)踐。將課程思政自然地融入引例之中，真正做到春風(fēng)化雨，潤物細(xì)無聲。