有理數(shù)的乘方（1）的教學(xué)與反思

徐姍姍

（南京師范大學(xué)附屬中學(xué)仙林學(xué)校初中部 江蘇南京 210046）

一、活動(dòng)背景分析

有理數(shù)的乘方（1）選自蘇科版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)第二章第六節(jié)，有理數(shù)的乘方是有理數(shù)的一種基本運(yùn)。它既是有理數(shù)乘法的推廣和延續(xù)，又是后繼學(xué)習(xí)有理數(shù)的混合運(yùn)算、科學(xué)記數(shù)法、整式乘方，以及開(kāi)方的基礎(chǔ)，起到承前啟后、鋪路架橋的作用。教師在這一課的教學(xué)過(guò)程中，可以培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)這一課的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想起到很重要的作用。小學(xué)時(shí)，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)一些簡(jiǎn)單的正數(shù)乘方，如邊長(zhǎng)為a的正方形面積為a2，邊長(zhǎng)為a的正方體體積為a3，也能進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的乘方的運(yùn)算。初中階段，學(xué)生剛剛學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘法運(yùn)算，也掌握了有理數(shù)乘法運(yùn)算的法則，尤其是多個(gè)有理數(shù)乘法運(yùn)算的符號(hào)確定，這些都是有理數(shù)乘方運(yùn)算的基礎(chǔ)。但是，學(xué)生在乘方運(yùn)算的學(xué)習(xí)中符號(hào)的確仍然是一個(gè)難點(diǎn)，如（－a）n與－an的區(qū)分與辨析，仍是學(xué)生中的易錯(cuò)內(nèi)容。

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.在現(xiàn)實(shí)情境中理解有理數(shù)乘方、冪、指數(shù)、底數(shù)的概念及意義，培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括能力；能夠進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。

2.經(jīng)歷由乘法轉(zhuǎn)化引入乘方的過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系；并從中感受轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

3.能進(jìn)行有理數(shù)乘方的計(jì)算，并通過(guò)觀察、推理、歸納出有理數(shù)乘方的符號(hào)法則，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

三、學(xué)習(xí)重點(diǎn)

1.經(jīng)歷乘方概念的建立過(guò)程，理解并掌握有理數(shù)乘方、指數(shù)、底數(shù)的概念及意義。

2.有理數(shù)乘方的計(jì)算。

四、學(xué)習(xí)難點(diǎn)

1.有理數(shù)乘方意義的理解。2.底數(shù)、指數(shù)在乘方中的作用，有理數(shù)乘方的符號(hào)的確定。

五、學(xué)習(xí)過(guò)程

1.自主學(xué)習(xí)

（1）復(fù)習(xí)舊知：①有理數(shù)的乘法法則______。②幾個(gè)有理數(shù)相乘，如何判斷結(jié)果的符號(hào)？（2）an其中a叫做______，n叫做______。（3）在自學(xué)中，你有什么疑問(wèn)？（4）生活中有哪些乘方的實(shí)例嗎？（播放拉面視頻）。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生復(fù)習(xí)舊知，在自主學(xué)習(xí)中體會(huì)新舊知識(shí)之間的聯(lián)系，意識(shí)到乘方知識(shí)是建立在乘法基礎(chǔ)上的。學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)初步地了解乘方的概念，雖然可能還停留在表象，即淺層次知道什么是乘方，并不一定能理解其中的意義，但是學(xué)生可以感受生活中的實(shí)際例子，有助于對(duì)于概念的理解。

2.合作探究

活動(dòng)：學(xué)生模擬拉面實(shí)驗(yàn)。

問(wèn)題1：100個(gè)2相乘怎么寫(xiě)呢？你能想一個(gè)簡(jiǎn)潔的表達(dá)方式嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】模擬拉面實(shí)驗(yàn)，情境與生活息息相關(guān)，讓學(xué)生體會(huì)到“數(shù)學(xué)源于生活，用于生活”的理念。既能讓學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)，又能通過(guò)實(shí)際操作，激發(fā)學(xué)生的探究興趣，從特殊到一般，從將繩子對(duì)折1次到對(duì)折20次，分別是2，2×2，2×2×2，2×2×2×2……發(fā)現(xiàn)結(jié)果是將許多個(gè)2相乘，逐步感受乘方的意義。這樣有利于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模能力。學(xué)生列出算式，會(huì)發(fā)現(xiàn)100個(gè)2相乘寫(xiě)成乘法形式很不方便，體會(huì)到乘法算式的局限性。教師進(jìn)一步提問(wèn)，讓學(xué)生思考有什么好的表達(dá)方式，并不一定要求學(xué)生說(shuō)出2100，只要言之有理即可。一般情況下，學(xué)生可以根據(jù)小學(xué)學(xué)過(guò)的平方、立方的知識(shí)說(shuō)出2100，并感受引入簡(jiǎn)便表達(dá)的必要性。

問(wèn)題2：n個(gè)2相乘怎么寫(xiě)？n個(gè)a相乘呢？

歸納概念：一般地n個(gè)相同的因數(shù)a相乘。

問(wèn)題3：你能用自己的話(huà)說(shuō)說(shuō)什么是乘方嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】此處，教師并不直接給出乘方的概念，而是讓學(xué)生通過(guò)思考、歸納出什么是乘方，從而加深對(duì)乘方概念的理解。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是基于學(xué)習(xí)個(gè)體已有知識(shí)基礎(chǔ)、認(rèn)知基礎(chǔ)上的知識(shí)建構(gòu)[1]。章建躍博士指出：概念教學(xué)的核心是概括，即以典型豐富的實(shí)例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)觀察，分析事例的屬性，抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。本環(huán)節(jié)精心設(shè)計(jì)問(wèn)題串，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、概括、抽象、歸納總結(jié)等活動(dòng)，建構(gòu)對(duì)乘方概念的定義、內(nèi)涵及其外延的理解，深化對(duì)乘方概念的理解，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、善于總結(jié)、勇于表達(dá)的學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[2]。

3.訓(xùn)練提升

（1）例題講解

例1：說(shuō)出下列式子中的底數(shù)、指數(shù)，以及各式的意義并計(jì)算。

①26②73③（—3）4④（—4）3

提出問(wèn)題：你自己寫(xiě)一個(gè)正數(shù)的乘方，再寫(xiě)一個(gè)負(fù)數(shù)的乘方。

（比較同學(xué)們寫(xiě)的負(fù)數(shù)的乘方，如（—10）4與—104一樣嗎？如果不一樣，你能說(shuō)出他們的區(qū)別嗎？）

【設(shè)計(jì)意圖】這里先不急于讓學(xué)生做題，首先要求學(xué)生準(zhǔn)確地說(shuō)出各式的意義，鞏固對(duì)乘方意義的理解，正確理解算理。在此基礎(chǔ)上再進(jìn)行計(jì)算書(shū)寫(xiě)，并規(guī)范板書(shū)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的書(shū)寫(xiě)規(guī)范。符號(hào)問(wèn)題是本節(jié)課的難點(diǎn)，先讓學(xué)生自己寫(xiě)幾個(gè)數(shù)的乘方形式，此時(shí)，學(xué)生寫(xiě)出的算式中，負(fù)數(shù)的乘方寫(xiě)法會(huì)出現(xiàn)分歧，如有的學(xué)生會(huì)寫(xiě)（－10）4而有的學(xué)生會(huì)寫(xiě)－104。這樣一來(lái)，就非常自然地發(fā)現(xiàn)新的問(wèn)題：“這兩種寫(xiě)法一樣嗎？”提出這個(gè)問(wèn)題以后，先讓學(xué)生自己獨(dú)立思考，再進(jìn)行小組討論，最終總結(jié)出兩者的區(qū)別，并幫助學(xué)生從讀法、形式、意義幾個(gè)方面去加以區(qū)分，在此多花一些時(shí)間加以強(qiáng)調(diào)，突破難點(diǎn)。類(lèi)似（—10）4與—104這樣的易錯(cuò)問(wèn)題，需要有針對(duì)性地進(jìn)行講解和辨析。先理解兩個(gè)式子意義上的不同，算理上的區(qū)別，再在讀法上加以區(qū)分，如（—10）4與—104分別讀作：“－10的四次方”和“10的四次方的相反數(shù)”。

例2：說(shuō)出下列式子中的底數(shù)、指數(shù)，以及各式的意義并計(jì)算：

【設(shè)計(jì)意圖】 概念教學(xué)不僅是概念生成的過(guò)程，而且還包括概念的多種表達(dá)、對(duì)概念的深層次理解，以及概念的應(yīng)用等。在上一個(gè)環(huán)節(jié)辨析的基礎(chǔ)上，的辨析，學(xué)生應(yīng)該可以很快解決問(wèn)題，并能從多個(gè)方面說(shuō)出兩者區(qū)別。這里完全交給學(xué)生，讓學(xué)生自主辨析并說(shuō)出區(qū)別。本節(jié)課的難點(diǎn)在于底數(shù)的辨析，學(xué)生在進(jìn)行計(jì)算時(shí)的易錯(cuò)點(diǎn)也在此。因此，在上一題的基礎(chǔ)上，需要再一次重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，給學(xué)生足夠的時(shí)間和空間去思考、總結(jié)、完善。經(jīng)過(guò)知識(shí)的遷移和拓展，學(xué)生能夠舉一反三，歸納總結(jié)，提高了數(shù)學(xué)思維能力。

（2）探索法則

（-1）10、（-1）7、是正數(shù)還是負(fù)數(shù)？怎么判斷它們的符號(hào)？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合乘法的符號(hào)法則，探索規(guī)律，并歸納乘方的符號(hào)法則。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)；負(fù)數(shù)的偶數(shù)次冪是正數(shù)，負(fù)數(shù)的奇數(shù)次冪是負(fù)數(shù)，零的任何正整數(shù)次冪都是零。這個(gè)規(guī)律要求學(xué)生能用自己的語(yǔ)言描述即可，讓學(xué)生在反思中學(xué)會(huì)歸納和表達(dá)，并會(huì)用歸納出的規(guī)律進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證運(yùn)算結(jié)果，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，體會(huì)分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。

（3）鞏固訓(xùn)練

第一，52表示____個(gè)____相乘，____是底數(shù)，____是指數(shù)。

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)課堂練習(xí)，及時(shí)反饋學(xué)生本節(jié)課的學(xué)習(xí)情況，進(jìn)一步鞏固乘方的概念、乘方運(yùn)算法則，提高學(xué)生乘方運(yùn)算的能力。

（4）課堂小結(jié)

本節(jié)課你學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？有什么收獲？

【設(shè)計(jì)意圖】幫助學(xué)生養(yǎng)成總結(jié)反思的習(xí)慣，進(jìn)一步體會(huì)乘方的算理。以及學(xué)習(xí)過(guò)程中用到的數(shù)學(xué)思想方法。

六、教學(xué)反思

本節(jié)課是概念課，概念課不能簡(jiǎn)而言之地一帶而過(guò)，然后反復(fù)練習(xí)、運(yùn)算操作。這樣，學(xué)生無(wú)法體會(huì)真正的數(shù)學(xué)思維，無(wú)法理解數(shù)學(xué)思想，無(wú)法提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)概念應(yīng)盡量以“概念形成”的方式進(jìn)行學(xué)習(xí)，使學(xué)生經(jīng)歷概念形成的過(guò)程[3]。同時(shí)，這節(jié)課不僅是一節(jié)概念課，而且還對(duì)今后的運(yùn)算教學(xué)起著至關(guān)重要的作用。運(yùn)算能力是一種重要的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行持續(xù)培養(yǎng)。本節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷了理解算法與算理之間的關(guān)系的過(guò)程，提升了學(xué)生的運(yùn)算能力。在學(xué)習(xí)新的概念、公式、性質(zhì)的時(shí)候，學(xué)生的探索與發(fā)現(xiàn)會(huì)具有一定的局限性。這就需要教師在一旁進(jìn)行引導(dǎo)，學(xué)生的思維和能力才能得到提升與發(fā)展。

1.優(yōu)化情境問(wèn)題設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

一個(gè)好的問(wèn)題情境能夠讓學(xué)生更快地進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)，對(duì)他們理解新的數(shù)學(xué)概念有著積極的促進(jìn)作用。優(yōu)化情境問(wèn)題的設(shè)計(jì)，不能僅僅停留在知識(shí)表面，還要深入思考知識(shí)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)邏輯和生成路徑。這節(jié)課中，從生活中常見(jiàn)的“做拉面”的情景出發(fā)，用實(shí)例幫助學(xué)生體會(huì)從乘法到乘方的過(guò)程，逐步形成了乘方的認(rèn)識(shí)，了解了算理。教師通過(guò)設(shè)置真實(shí)的情境，讓學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中學(xué)習(xí)探究，讓抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)變得形象、生動(dòng)，改變學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的刻板印象，改善學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的情感、態(tài)度，體會(huì)數(shù)學(xué)的實(shí)用與趣味，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主動(dòng)性。

2.學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)恰當(dāng)，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力

我們的教學(xué)不僅要注重學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握情況，而且更需要體現(xiàn)學(xué)生在教學(xué)中的主體地位。教師要成為教學(xué)過(guò)程中的引導(dǎo)者、幫助者和促進(jìn)者。所以，教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師要以學(xué)生的“學(xué)”為主，給學(xué)生足夠的時(shí)間去操作、探索、發(fā)現(xiàn)。本節(jié)課，學(xué)生先通過(guò)觀看視頻有了感性認(rèn)識(shí)，再進(jìn)行觀察、猜想、歸納與總結(jié)，體會(huì)概念形成的過(guò)程，讓學(xué)生積極地參與到課堂學(xué)習(xí)之中，更為直觀地感受具體問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題之間的聯(lián)系。因此，筆者在前面的概念引入以及例題講解中花了較多的時(shí)間，力求學(xué)生在理解乘方意義的基礎(chǔ)上再進(jìn)行計(jì)算。在上本節(jié)課之前，筆者聽(tīng)了另外兩位老師的課。評(píng)課中，大家一致認(rèn)為比較這里應(yīng)該是本節(jié)課的難點(diǎn)。之前，有老師在總結(jié)了乘方的意義之后，便提出了這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生反應(yīng)并不理想，難點(diǎn)過(guò)早的提出讓學(xué)生不知所措。學(xué)生對(duì)有理數(shù)乘方的意義尚未理解穩(wěn)固的時(shí)候提出這個(gè)難點(diǎn)問(wèn)題，很容易被繞暈，并不能有效地突破難點(diǎn).因此，這個(gè)部分不適宜在概念引出之后就提，筆者將它放在了例1之后，先利用例1對(duì)乘方概念加以鞏固，再讓學(xué)生自己寫(xiě)一個(gè)負(fù)數(shù)的乘方。這時(shí)候就有學(xué)生寫(xiě)了—104，于是很自然地便發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題：—104和（—10）4一樣嗎？這時(shí)通過(guò)讀法、形式兩個(gè)方面的比較，強(qiáng)調(diào)兩者的區(qū)別，學(xué)生掌握度較高。每個(gè)學(xué)生活動(dòng)非常適時(shí)地出現(xiàn)在各個(gè)環(huán)節(jié)中，有效地解決了課堂中的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題。不過(guò)在這部分還有一些做的不到位的地方，如果在強(qiáng)調(diào)了兩者區(qū)別之后，能把—104和（—10）4的計(jì)算過(guò)程在黑板上寫(xiě)出來(lái)，那么，學(xué)生將有更直觀的體驗(yàn)。這樣不僅知道了兩者的區(qū)別，而且也能感受到兩者算法的不同，為后面的計(jì)算做好鋪墊。

3.在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，靈活應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題

讓學(xué)生多說(shuō)、多想、多做，老師不是替學(xué)生歸納，而是通過(guò)一系列的問(wèn)題，讓學(xué)生積極思考，引導(dǎo)他們歸納、總結(jié)，體驗(yàn)概念形成的過(guò)程。這樣，更有助于學(xué)生對(duì)概念的理解與記憶。同時(shí)，讓學(xué)生在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)上，感受生活中的乘方，將概念與生活實(shí)際緊密地聯(lián)系起來(lái)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)源于生活，生活中少不了數(shù)學(xué)。概念課必須緊緊圍繞“概念”兩字，而這節(jié)課的重點(diǎn)是讓學(xué)生弄清楚乘方的意義。因此，每一個(gè)例題都先讓學(xué)生說(shuō)出底數(shù)、指數(shù)以及該式的意義，不斷地強(qiáng)化概念。讓學(xué)生在說(shuō)的過(guò)程中不斷強(qiáng)化有理數(shù)的乘方是化為有理數(shù)的乘法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，滲透轉(zhuǎn)化思想。在有理數(shù)乘方的符號(hào)法則的歸納過(guò)程中，滲透分類(lèi)討論的思想方法。對(duì)于數(shù)學(xué)概念的真正理解主要表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)概念的靈活應(yīng)用，只有達(dá)到對(duì)于數(shù)學(xué)概念的靈活應(yīng)用，才能顯現(xiàn)出數(shù)學(xué)概念的價(jià)值和意義。