弧齒錐齒輪階梯形超聲振動系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計與實驗

朱德榮，李娜，聶福全，辛紅敏，楊建軍，鄧效忠，趙利國

1洛陽理工學(xué)院；2河南衛(wèi)華重型機(jī)械股份有限公司；3湖北文理學(xué)院；4河南科技大學(xué)

1 引言

近年來超聲加工技術(shù)得到廣大學(xué)者密切關(guān)注和研究，在提高加工精度、降低表面粗糙度、提高生產(chǎn)效率、降低切屑堵塞及改善嚙合特性等方面具有顯著優(yōu)勢。魏冰陽等[1，2]將超聲加工技術(shù)應(yīng)用于螺旋錐齒輪的研齒加工工藝中，提出了一種能克服傳統(tǒng)研齒加工工藝不足的超聲振動研齒加工方法，該方法使螺旋錐齒輪產(chǎn)生高頻的超聲縱向振動，依靠超聲振動能量進(jìn)行微粒切削，實驗證明：超聲研齒加工后齒面質(zhì)量顯著提高，粗糙度降至0.2μm，噪聲降低3～8dB，且材料去除率提高了3倍[3-5]。

超聲振動研齒加工中超聲變幅桿起著非常重要的作用，其主要作用是把超聲換能器輸出的機(jī)械振動振幅放大，并將放大的超聲能量集中在較小面積的輸出端面，驅(qū)動與超聲變幅桿末端連接的弧齒錐齒輪產(chǎn)生高頻率、高振幅的振動，利用齒輪的超聲振動完成對齒輪副的超聲研磨加工。因此，自超聲研齒加工方法提出后，有大量的研究者對研齒變幅桿或由其組成的研齒振動系統(tǒng)進(jìn)行了研究。吳能賞等[6]對準(zhǔn)雙面齒輪的超聲波發(fā)生器、換能器、變幅桿和小輪進(jìn)行研究，采用圓錐形過渡的階梯形變幅桿與小輪的圓錐體簡化模型一起構(gòu)成組合體進(jìn)行理論分析，推導(dǎo)了超聲研齒準(zhǔn)雙曲面齒輪變幅桿的頻率方程，求解了變幅桿的共振頻率、放大系數(shù)及位移節(jié)點等相關(guān)參數(shù)。

楊建軍等[7，8]對準(zhǔn)雙曲面小齒輪軸的超聲研齒系統(tǒng)(小齒輪軸、一個波長的變幅桿和1/2波長的換能器)進(jìn)行研究，在變幅桿的前端鉆孔后嵌入安裝小齒輪軸，運(yùn)用ANSYS軟件求得超聲研齒系統(tǒng)的振動模態(tài)、諧振頻率、相對位移分布、前后振速比值以及幅頻曲線和最大縱向振動位移。為了滿足超聲研齒加工時對諧振頻率的要求，楊建軍等[9]使用3種不同結(jié)構(gòu)的變幅桿和小齒輪軸組合成復(fù)合變幅桿，利用波動理論推導(dǎo)出超聲復(fù)合變幅桿的頻率方程，求得復(fù)合變幅桿沿軸線方向的位移分布，并對超聲振動系統(tǒng)進(jìn)行了阻抗分析和頻率測試。

朱德榮等[10，11]對中模數(shù)小輪齒輪軸構(gòu)成的超聲研齒振動系統(tǒng)進(jìn)行研究，先將螺旋錐齒輪沿節(jié)錐線簡化成圓錐，然后與復(fù)合變幅桿構(gòu)成聲學(xué)系統(tǒng)組合體，依據(jù)縱波傳播原理和質(zhì)點機(jī)械振動理論，建立超聲研齒振動系統(tǒng)的頻率方程。主要運(yùn)用了理論分析、模態(tài)分析及諧響應(yīng)分析等方法，研究分析超聲振動系統(tǒng)的頻率特性、位移特性以及齒輪特征參數(shù)對振動系統(tǒng)產(chǎn)生的動力特性影響等。同時對雙曲面齒輪副進(jìn)行實驗研究，傳統(tǒng)研齒和超聲研齒的對比實驗表明，超聲研齒工藝具有明顯的技術(shù)優(yōu)勢。

以上研究成果為超聲研磨齒輪振動系統(tǒng)的精細(xì)化設(shè)計提供了更為精準(zhǔn)的理論依據(jù)。但變幅桿的負(fù)載為弧齒錐齒輪的研究相對較少，對于滿足超聲研齒要求的振動系統(tǒng)諧振頻率、節(jié)點位置以及放大倍數(shù)等振動特性的研究較淺，得出的研究結(jié)論對于實現(xiàn)弧齒錐齒輪的超聲研齒指導(dǎo)作用有限。

本文采用縱向振動理論推導(dǎo)研齒振動系統(tǒng)的頻率方程，建立弧齒錐齒輪超聲研齒振動系統(tǒng)的理論設(shè)計方法，并在此基礎(chǔ)上對振動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和尺寸參數(shù)進(jìn)行設(shè)計，再通過振動特性測量，驗證理論設(shè)計方法的可行性。

2 研齒振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

在超聲研齒加工振動系統(tǒng)中最關(guān)鍵的部件是振動信號的傳遞裝置，如圖1所示，包括研齒換能器、階梯形變幅桿和小輪。研齒換能器根據(jù)逆壓電原理制成，通過全諧振設(shè)計理論進(jìn)行設(shè)計。而被超聲研磨的小輪，其結(jié)構(gòu)尺寸根據(jù)用戶需求確定，很難保證按照本身的固有振動頻率、振動模態(tài)等去滿足實際加工需要，需按照非諧振理論進(jìn)行設(shè)計。小輪與階梯形變幅桿通過螺紋固定連接，組成剛性的整體并進(jìn)行縱向振動設(shè)計。定位盤完成傳遞裝置與機(jī)床的精確定位，法蘭盤完成傳遞裝置的固定連接，三者互相通過橡膠墊圈進(jìn)行振動隔離處理。

圖1 縱向超聲振動的傳遞裝置

僅考慮變幅桿與小輪組成的復(fù)合振動系統(tǒng)，根據(jù)弧齒錐齒輪的齒面結(jié)構(gòu)形狀，將其簡化成圓錐形(見圖2)，形成振動系統(tǒng)的第Ⅳ部分，d4和d5分別表示圓錐大端面和小端面的直徑，l4表示弧齒錐齒輪的厚度，δ表示圓錐的母線與中心線的夾角。階梯形復(fù)合振動系統(tǒng)第Ⅲ部分的右端面設(shè)計螺紋連接孔，與弧齒錐齒輪左端面設(shè)計的螺紋桿剛性連接，此時齒輪的螺紋連接段看作是階梯變幅桿的一部分，因此可不考慮螺紋連接的影響。用d1，d2，d3與l1，l2，l3分別表示階梯形復(fù)合振動系統(tǒng)的第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分的截面直徑和軸向長度。

將小輪研齒振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型劃分成四個區(qū)域進(jìn)行理論計算，以階梯形復(fù)合振動系統(tǒng)的對稱軸作為x軸，坐標(biāo)原點O建立在振動系統(tǒng)第Ⅰ段與第Ⅱ段的連接面中心位置，ξb，ξf分別表示該振動系統(tǒng)輸入端和輸出端的位移，F(xiàn)b，F(xiàn)f分別表示該振動系統(tǒng)輸入端和輸出端的力，Sn(n=1，2，…，5)為復(fù)合振動系統(tǒng)各劃分段對應(yīng)的橫截面積。

圖2 兩級階梯形復(fù)合振動系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

3 研齒振動系統(tǒng)的頻率方程

假設(shè)超聲研齒振動系統(tǒng)中各段變幅桿和錐齒輪的材料為均勻和各向同性，齒輪與變幅桿連接緊密，考慮機(jī)械損耗很小，基本可以忽略不計。當(dāng)超聲振動系統(tǒng)的橫向截面尺寸遠(yuǎn)小于超聲波在其中的傳播波長時，其橫向振動遠(yuǎn)小于縱向振動，可以忽略橫向振動產(chǎn)生的影響。因此，振動系統(tǒng)橫截面上的位移分布均勻，并沿軸線方向產(chǎn)生縱向振動，滿足的波動方程為[12-14]

(1)

研齒振動系統(tǒng)中圓柱段的截面積為S(x)=Sn(n=1，2，3)，為常數(shù)，則有?Sn/?x=0，代入波動方程式(1)中求得每段圓柱的振動位移，再求其導(dǎo)數(shù)得到應(yīng)變函數(shù)為

(2)

式中，n為圓柱段名稱，n=1，2，3；An，Bn為待定系數(shù)；kn為每段圓柱的波數(shù)。

根據(jù)振動系統(tǒng)中圓錐的直徑函數(shù)和截面積函數(shù)，代入式(1)進(jìn)行求解，求得圓錐段的振動位移，再求其導(dǎo)數(shù)得到應(yīng)變函數(shù)，為

(3)

式中，k4為圓錐段波數(shù)；α4為錐度系數(shù)，α4=2tanδ/d4；A4，B4為待定系數(shù)。

如圖1所示，變幅桿的左端面固連研齒換能器，而超聲換能器設(shè)計為1/2波長，因此在換能器的輸出端面振動位移形變最大，而對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)?，則換能器輸出端面產(chǎn)生的內(nèi)力為0。根據(jù)力耦合原理和位移連續(xù)條件，可得研齒振動系統(tǒng)在左端面輸入的形變位移和內(nèi)力為

(4)

同時，振動系統(tǒng)中第Ⅰ段、第Ⅱ段、第Ⅲ段及第Ⅳ段各交界面處均滿足力和位移相等條件，表達(dá)式為

(5)

式中，j為段名稱，j=1，2，3；valuej，j+1為研齒振動系統(tǒng)沿x軸方向的長度取值，有value1，2=0，value2，3=l2，value3，4=l2+l3。

而在實際超聲研齒過程中小輪與大輪處于嚙合狀態(tài)時會產(chǎn)生動態(tài)研磨力，并且分別作用在大輪和小輪齒面上。而在進(jìn)行研齒振動系統(tǒng)的理論計算時，需要忽略作用在小輪上的動態(tài)研磨力[15]，因此，超聲研齒振動系統(tǒng)的右端面處于自由振動狀態(tài)，在振動系統(tǒng)右端面輸出的位移和內(nèi)力滿足

(6)

將式(2)～式(6)聯(lián)立求解，經(jīng)過必要化簡后得到的含有振動系統(tǒng)諧振頻率的線性齊次方程組為

(7)

式中，Dij(i，j=1，2，…，8)為各段An，Bn(n=1，2，3，4)的系數(shù)，由式(4)～式(6)確定。

要使式(7)有解，且待定系數(shù)An，Bn(n=1，2，3，4)不全為0，則式(7)中由系數(shù)Dij組成的行列式的值必等于0，則

(8)

式(8)為階梯形復(fù)合振動系統(tǒng)產(chǎn)生縱向超聲振動的頻率方程，包含有振動系統(tǒng)的諧振頻率以及小輪及階梯形復(fù)合變幅桿組合體的設(shè)計參數(shù)。當(dāng)小輪和復(fù)合變幅桿的各尺寸參數(shù)已知時，則可求解研齒振動系統(tǒng)的諧振頻率。同樣，若研齒振動系統(tǒng)的諧振頻率已確定，也能由式(8)求得滿足小輪研齒振動要求的階梯形復(fù)合變幅桿的未知設(shè)計參數(shù)。

4 階梯形振動系統(tǒng)的參數(shù)設(shè)計

兩級階梯形變幅桿的材料為TC4鈦合金，密度ρ=4450kg/m3，彈性模量E=118GPa，泊松比μ=0.34。第Ⅰ段階梯形變幅桿的直徑根據(jù)研齒換能器的輸出端確定，取略大于換能器輸出端直徑，則d1=54mm；而長度尺寸受機(jī)床主軸內(nèi)部空間限制，取l1=68mm。若第Ⅰ段與第Ⅱ段、第Ⅱ段與第Ⅲ段的截面積比不大時，則認(rèn)為在兩級階梯形變幅桿的截面變化處力是連續(xù)的，可取d2=40mm，d3=30mm。

小輪材料為20CrMnTi，密度ρ=7800kg/m3，彈性模量E=207GPa，泊松比μ=0.25。振動系統(tǒng)第Ⅳ段是由弧齒錐齒輪的節(jié)錐簡化而來，第Ⅳ段的大端直徑取d3=33.2963mm，而小端直徑根據(jù)弧齒錐齒輪的節(jié)錐角δ和厚度l4通過公式間接獲得。

振動系統(tǒng)的第Ⅲ段作為設(shè)計調(diào)整長度，使研齒振動系統(tǒng)工作在設(shè)計頻率上，取l3=0～43mm。超聲研齒振動系統(tǒng)的工作頻率搜索范圍以設(shè)計頻率20kHz為中心，取f=15～25kHz。

式(8)是一個極其復(fù)雜的超越方程，選取工作頻率f和長度尺寸l3作為自變量，因變量是行列式(8)的值Δ，利用MATLAB軟件將式(4)～式(8)編制成程序進(jìn)行求解，得兩級階梯形振動系統(tǒng)頻率方程解Δ(見圖3)。

圖3 頻率方程解Δ與工作頻率f及變幅桿長度l3的關(guān)系

由圖可見，曲面分布光滑且連續(xù)，在誤差Δ=0時，平面的上下位置曲面均有分布，說明在工作頻率和長度尺寸的搜索范圍內(nèi)，曲面上能找到特定的頻率值和長度值使式(8)的解等于0，而且還存在多組振動系統(tǒng)長度l3及對應(yīng)的工作頻率f均能滿足Δ=0的要求。

當(dāng)確定振動系統(tǒng)的工作頻率f=20kHz時，再利用MATLAB軟件求解，可得到頻率方程解Δ與振動系統(tǒng)第Ⅲ段長度l3之間的關(guān)系(見圖4)。

圖4 頻率方程解Δ與變幅桿長度l3的關(guān)系

由圖可見，隨著長度尺寸l3的增大，誤差Δ表現(xiàn)為一條連續(xù)光滑的曲線，且先增加后從正值逐漸減小為負(fù)值，在Δ=0的平面內(nèi)，有且只有唯一點的長度滿足頻率方程的解，即當(dāng)振動系統(tǒng)第Ⅲ段的長度l3=28.55mm時，能滿足頻率方程Δ=0的要求。

為了便于振動系統(tǒng)的機(jī)械加工，需取整第Ⅲ段的長度l3=28mm，此時利用MATLAB軟件計算得到的振動系統(tǒng)工作頻率f=20.042kHz，如圖5所示，與設(shè)計的振動系統(tǒng)諧振頻率相比，諧振頻率僅增加42Hz，相差2.1‰，數(shù)值變化非常微小，說明尺寸取整產(chǎn)生的影響可忽略不計，在工程上是可行的。

圖5 頻率方程解的誤差Δ與工作頻率f的關(guān)系

同樣，需要用沿振動系統(tǒng)軸線方向的振動位移分布和振動系統(tǒng)末端(即齒輪小端面)的振動位移放大倍數(shù)來衡量超聲研齒振動系統(tǒng)性能。此時需要將式(4)中的位移方程和力方程化簡為一個方程，再與式(7)組成非齊次方程組，利用MATLAB軟件編程求解，得到待定系數(shù)An，Bn(n=1，2，3，4)的一組特解，將特解代入式(2)和式(3)中的位移方程，可得研齒振動系統(tǒng)產(chǎn)生諧振時沿軸線方向的位移分布(見圖6)。

圖6 研齒振動系統(tǒng)沿軸向的振動位移分布

由圖可見，位移曲線連續(xù)單調(diào)上升，在超聲振動波沿著振動系統(tǒng)的軸線方向傳播時，有且僅有一個位置(l≈0.02mm)的振幅(ξ=0.4656μm)接近為0，在此處可設(shè)置法蘭盤和定位盤連接研齒振動系統(tǒng)與研齒機(jī)床，這樣可以盡量減少與外界的聲耦合，最大可能減小機(jī)械耗損。

在圖6中還可發(fā)現(xiàn)，在振動系統(tǒng)末端111～137mm范圍內(nèi)，振動位移變化趨勢減緩，接近振動位移的最大值，這一段正是小輪弧齒錐齒所在位置，表明小輪從大端到小端的整個齒面上獲得的振動輸出能量最強(qiáng)，有利于增強(qiáng)磨粒產(chǎn)生錘擊、沖擊、磨擦和空化作用，同時也有利于提高超聲研齒加工中齒面材料的去除率。而在兩級階梯形復(fù)合振動系統(tǒng)的末端(即小輪末端面)137mm處，振動位移達(dá)到最大值13.79μm，與輸入端的位移相比，振動位移的放大倍數(shù)為2.758。

5 振動特性實驗

按設(shè)計參數(shù)加工制作小輪的兩級研齒振動系統(tǒng)如圖7所示，與TJS-3000智能數(shù)控超聲波發(fā)生器、SA-PE50W壓電式加速度傳感器、SAPE08電荷放大器和SA1804A數(shù)據(jù)采集器等組建成振動特性測試系統(tǒng)。

圖7 研齒振動系統(tǒng)的振動測試系統(tǒng)

測試系統(tǒng)總共使用3個壓電式加速度傳感器：1號加速度傳感器布置在振動系統(tǒng)的最前端，用于測量向前輻射輸出；3號加速度傳感器布置在振動系統(tǒng)的最末端，用于測量向后輻射輸出；2號加速度傳感器布置在連接機(jī)床的法蘭盤上。結(jié)果如圖8所示。

圖8 振動系統(tǒng)的加速度測試結(jié)果

對研齒振動系統(tǒng)三個位置上的振動加速度測量結(jié)果進(jìn)行傅里葉變換，其變換結(jié)果如圖9所示。在振動系統(tǒng)頻率19.50kHz附近，其前端面和后端面均輸出最大振動加速度，而其他頻率下，振動加速度在0附近震蕩，這說明研齒振動系統(tǒng)的諧振頻率為19.50kHz，與設(shè)計振動頻率相比，相差2.5%。而在前端面和后端面的振動加速度分別是254.347m/s2和96.972m/s2，前端面與后端面加速度的比值約為2.623，與理論設(shè)計的振幅放大倍數(shù)2.758基本一致，這說明研齒振動系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)將絕大多數(shù)振動能量從其縱向前表面高效地輻射出去。

圖9 研齒振動系統(tǒng)的幅頻特性曲線

2號加速度傳感器測試到法蘭盤上的振動加速度幾乎為零，這可以極大地減輕研齒振動系統(tǒng)與研齒機(jī)床產(chǎn)生機(jī)械耦合，使兩者實際處于振動隔離，可保證研齒振動系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，這也與理論設(shè)計時考慮的節(jié)點設(shè)計位置比較吻合。

實驗得到的振動系統(tǒng)的諧振頻率、振幅放大倍數(shù)及位移節(jié)點的位置與理論設(shè)計基本一致，這證明研齒振動系統(tǒng)的理論設(shè)計方法切實可行。

6 結(jié)語

(1)將弧齒錐齒輪簡化為圓錐形狀，與階梯形變幅桿剛性連接成統(tǒng)一整體，根據(jù)連接面處力耦合和振動位移連續(xù)條件，以及振動系統(tǒng)輸入端和輸出端的邊界條件，采用縱向振動設(shè)計方法建立了小輪階梯形振動系統(tǒng)產(chǎn)生縱向振動的頻率方程。

(2)建立了頻率方程解的誤差與工作頻率和變幅桿小端長度的曲面關(guān)系，在曲面上求解到特定的頻率和長度使頻率方程解等于零，而且還存在多組振動系統(tǒng)長度及對應(yīng)的工作頻率滿足頻率方程解等于0的要求。

(3)對研齒振動系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行了設(shè)計，求解了振動系統(tǒng)第Ⅲ段的長度值，并采用取整方法對振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，且這種對振動系統(tǒng)參數(shù)的處理方法不會對振動系統(tǒng)的諧振特性產(chǎn)生較大的影響。

(4)求得振動系統(tǒng)沿軸線方向的振動位移分布，確定了法蘭盤和定位盤的位置，弧齒錐齒輪錐齒長度范圍內(nèi)振動輸出能量最強(qiáng)，十分有利于提高材料的去除效率，且在齒輪端面輸出13.79μm，振動位移放大倍數(shù)為2.758，振動系統(tǒng)的振動性能高。

(5)建立振動性能測試系統(tǒng)，實驗得到振動系統(tǒng)的諧振頻率19.50kHz，振幅放大倍數(shù)2.623，以及法蘭盤位置振動加速度為0，表明理論計算分析與實驗測量結(jié)果具有較好一致性，小輪的超聲研齒振動系統(tǒng)設(shè)計符合超聲研齒加工要求。