薄區(qū)域上隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的穩(wěn)態(tài)測(cè)度極限行為①

鐘文虎，陳光淦，張?jiān)?/p>

四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院/可視化計(jì)算與虛擬現(xiàn)實(shí)四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 成都 610068

Ginzburg-Landau方程是研究不穩(wěn)定波理論， 描述超導(dǎo)現(xiàn)象的重要模型， 最初由Ginzburg等[1]在刻畫(huà)超導(dǎo)相變時(shí)導(dǎo)出. 該方程應(yīng)用廣泛， 例如模擬色散波在流體力學(xué)等物理領(lǐng)域的傳播[2]， 也應(yīng)用于光學(xué)、等離子體物理、化學(xué)反應(yīng)[3]等.

本文研究三維薄區(qū)域Dε上由白噪聲驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)Ginzburg-Landau方程

(1)

(2)

文獻(xiàn)[4]證明了二維有界區(qū)域上的隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的遍歷性和指數(shù)混合性. 文獻(xiàn)[5]推廣了文獻(xiàn)[4]的結(jié)果， 當(dāng)有界區(qū)域的維度小于或等于4時(shí)， 證明了隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的遍歷性， 并且得到了穩(wěn)態(tài)測(cè)度的指數(shù)估計(jì). 最近幾年， 文獻(xiàn)[6-8]系統(tǒng)地研究了隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的遍歷性與指數(shù)混合性. 關(guān)于穩(wěn)態(tài)測(cè)度的極限行為， 文獻(xiàn)[9]運(yùn)用區(qū)域均值化投射算子， 證明了三維隨機(jī)Navier-Stokes方程的穩(wěn)態(tài)測(cè)度收斂于二維隨機(jī)Navier-Stokes方程的穩(wěn)態(tài)測(cè)度.

本文的目的是將文獻(xiàn)[9]的研究工作推廣至方程(1). 由于投射算子改變了方程(1)的結(jié)構(gòu)， 因此難以保證投射算子作用后的方程(1)仍然具有耗散性質(zhì)， 這導(dǎo)致穩(wěn)態(tài)測(cè)度的極限行為不易由能量估計(jì)獲得. 通過(guò)弱收斂估計(jì)， 得到方程(1)的穩(wěn)態(tài)統(tǒng)計(jì)解的收斂結(jié)果， 然后將收斂性質(zhì)轉(zhuǎn)化到穩(wěn)態(tài)測(cè)度上， 最終獲得了方程(1)的穩(wěn)態(tài)測(cè)度的極限行為： 當(dāng)ε趨近于0時(shí)， 方程(1)的穩(wěn)態(tài)測(cè)度收斂于二維區(qū)域上隨機(jī)Ginzburg-Landau方程的穩(wěn)態(tài)測(cè)度； 進(jìn)一步地， 當(dāng)ε，υ同時(shí)趨近于0時(shí)， 方程(1)的穩(wěn)態(tài)測(cè)度收斂于二維區(qū)域上非線(xiàn)性Schr?dinger方程的穩(wěn)態(tài)測(cè)度.

本文結(jié)構(gòu)如下， 第一節(jié)描述三維薄區(qū)域上的隨機(jī)Ginzburg-Landau方程模型， 給出適定性與遍歷性. 第二節(jié)給出二維區(qū)域上隨機(jī)Ginzburg-Landau方程和非線(xiàn)性Schr?dinger方程的適定性與遍歷性. 第三節(jié)呈現(xiàn)方程(1)穩(wěn)態(tài)測(cè)度的兩類(lèi)極限行為.

1 薄區(qū)域上的隨機(jī)Ginzburg-Landau方程

1.1 空間設(shè)置

嵌入Y?X是緊的[10].

1.2 白噪聲與統(tǒng)計(jì)解

(3)

1.3 適定性與遍歷性

引理1[5，10]設(shè)u0是一個(gè)Vε值的隨機(jī)變量， 與ζε(t)相互獨(dú)立，且滿(mǎn)足E(h0(u0))<∞，E(h1(u0)) <∞，B1<∞，B2<∞， 則對(duì)于任意的T>0， 下列結(jié)論成立：

(4)

(5)

引理2若引理1中的假設(shè)條件都滿(mǎn)足， 則下列結(jié)論成立：

(6)

(7)

證設(shè)u為方程(1)的解， 對(duì)h1(u)使用It公式，

于是

(8)

其中C=B1+3B0B2， 獨(dú)立于ε和υ.

2 極限系統(tǒng)

2.1 二維區(qū)域上的隨機(jī)Ginzburg-Landau方程

二維區(qū)域上的隨機(jī)Ginzburg-Landau方程

(9)

(10)

(11)

(12)

(iii) 若存在正整數(shù)n， 使得對(duì)于所有的1≤|j|≤n都有bj≠0， 則方程(9)的穩(wěn)態(tài)測(cè)度唯一存在；

(13)

2.2 非線(xiàn)性Schr?dinger方程

給出二維有界區(qū)域D上的非線(xiàn)性Schr?dinger方程

?tv-iΔv+iλ|v|2v=0

(14)

和三維薄區(qū)域Dε上的非線(xiàn)性Schr?dinger方程

?tu-iΔu+iλ|u|2u=0

(15)

由于λ>0， 方程(14)和方程(15)的解唯一存在[13].

引理5[13]若初值u0∈Vε， 滿(mǎn)足h0(u0)<∞，h1(u0)<∞， 則方程(15)存在穩(wěn)態(tài)測(cè)度με和穩(wěn)態(tài)解uε(t，x)， 且με=D (uε(0)).

3 穩(wěn)態(tài)測(cè)度的極限行為

3.1 區(qū)域投射極限

定理1若引理1與引理3中的假設(shè)條件都成立， 且極限

(16)

(17)

(18)

下面分別證明Pυ是方程(9)的穩(wěn)態(tài)統(tǒng)計(jì)解，μυ是方程(9)的穩(wěn)態(tài)測(cè)度.

(19)

(20)

運(yùn)用H?lder不等式和Young不等式得

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中

(26)

(27)

唯一性由引理3給出.

3.2 粘性消失極限

(28)

(29)

(30)

S2： =|((i+υj)KεjAεu-iAv，e)|=|(υjv，e)|≤υjCe‖v‖D

(31)

(32)

結(jié)合(23)，(31)和(32)式得

(33)

運(yùn)用Chebyshev不等式， 結(jié)合(4)，(8)，(10)，(11)和(33)式得， 對(duì)于任意的δ>0有

(34)

(35)

其中

接下來(lái)， 使用定理1中的方法， 由(35)式推出結(jié)論(i)和結(jié)論(ii)成立.

通過(guò)(34)式知， 在取極限的過(guò)程中，εj和υj相互獨(dú)立. 于是， 使用定理1中的方法， 并在形式上重復(fù)定理1的證明過(guò)程， 結(jié)合(6)，(7)，(12)和(13)式得到下列收斂結(jié)果：

其中，μεj和uεj(t)分別是方程(15)的穩(wěn)態(tài)測(cè)度和穩(wěn)態(tài)解， 故結(jié)論(iii)成立.