一道北大綜合營試題的證法賞析

江蘇省南通市海門四甲中學(xué) (226100) 沈佳瑤

近年，北京大學(xué)每年暑期都會(huì)舉辦數(shù)學(xué)體驗(yàn)營活動(dòng).這類活動(dòng)的題目總體難度不大，但有競賽的味道.2019年北大綜合營第4題是一道平面幾何題，筆者探究出這道試題的多種證法.

一、試題呈現(xiàn)

如圖1，已知等腰直角△ABC，∠A=90°，點(diǎn)D在邊AB上，E在邊AC上，AD=AE，過點(diǎn)A,D分別作BE的垂線交BC于P,Q.用平面幾何方法證明：PQ=PC.

圖1

試題簡潔明了，結(jié)構(gòu)也不算復(fù)雜，題目特意強(qiáng)調(diào)用平面幾何方法證明.自然的想法就是添加輔助線，證明的途徑較多，關(guān)鍵在于利用題目條件進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化.

二、證法賞析

思路一兩條線段AP和DQ都垂直于BE，可以通過構(gòu)造平行線成比例解決問題.不同的解題視角，可得到以下4種證法.

證法1：如圖2所示，構(gòu)造一個(gè)正方形ABFC，延長AP、DQ交CF于是點(diǎn)S、點(diǎn)R.由于AP⊥BE，DQ⊥BE，則AS//DR，又AD//SR，所以四邊形ADRS為平行四邊形，所以AD=RS.由條件知Rt△BAE≌Rt△ACS，則AE=CS，又因?yàn)锳D=AE，所以CS=SR，結(jié)合PS//QR，得PQ=PC.

圖2

證法2：如圖3，延長DA至點(diǎn)F，使得DA=AF，連接CF.由條件可知Rt△BAE≌Rt△CAF，則∠AEB=∠AFC，AE=AF.由DQ⊥BE，知∠BDQ=∠AEB=∠AFC，所以CF//DQ，又因?yàn)镈A=AF，故PQ=PC.

圖3

證法3：如圖3所示，延長DA至點(diǎn)F，使得DA=AF，連接CF.因?yàn)锳D=AE，所以AE=AF.由條件可得△ABE≌△ACF.所以∠AEB=∠AFC.所以∠ABE+∠AFC=∠ABE+∠AEB=90°.所以FC⊥BE，從而FC//AP//DQ.又因?yàn)镈A=AF，所以CP=PQ.

證法4：如圖4所示，過點(diǎn)C作CF//AP交BA的延長線于F點(diǎn)，延長BE交FC于點(diǎn)H，設(shè)DQ交BE于G點(diǎn)，AP交BE于I點(diǎn).連接AH和AG.因?yàn)锳E=AD,AC=AB，所以CE=BD.由DQ⊥BE，∠A=90°，得∠BDG=∠BEA=∠CEH，所以Rt△BGD≌Rt△CHE，所以DG=EH.由∠BDG=∠CEH，得∠ADG=∠AEH，所以△ADG≌△AEH，所以AG=AH,AG⊥AH，因?yàn)锳I⊥GH，所以GI=IH.又因?yàn)镈Q//AP//FC，所以CP=PQ.

思路二圖形中有眾多垂直關(guān)系，可以通過作垂線，構(gòu)造全等三角形和相似三角形，可得以下兩種證法.

圖4

圖5

圖6

思路三利用旋轉(zhuǎn)變換，同樣可得全等三角形，這樣兩個(gè)三角形對應(yīng)邊互相垂直，且梯形的中位線與上、下底都是平行的.可得以下證法.

圖7

思路四題目即是證明點(diǎn)P是線段CQ的中點(diǎn)，可以聯(lián)想三角形中位線.得到以下證法.

證法8：如圖8所示，連接CD交AP于F點(diǎn).由條件知AP⊥BE，DQ⊥AE，△ABE≌△ACD，所以∠ADC=∠AEB，∠ABE=∠ACD，又∠AEB+∠ABE=∠AEB+∠CAP=90°，所以∠CAP=∠ABE=∠ACD，所以FA=FC.又∠ADC=90°-∠ACD=90°-∠CAP=∠DAF，所以FD=FA，所以FD=FC.因?yàn)锳P//DQ，所以CP=PQ.

圖8

思路五直觀的證明難點(diǎn)在于點(diǎn)P、點(diǎn)Q的表達(dá)，利用面積可以實(shí)現(xiàn)消點(diǎn).得到如下證法.

圖9

思路六既然是證法賞析，我們拋開題目限定的平面幾何方法去思考其他的方法，我們又可得到三角法和向量法兩種典型的證明方法.

圖10