考慮主軸-刀柄結(jié)合面特性的機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響預(yù)測(cè)研究

梁志強(qiáng) 石貴紅 杜宇超 葉玉玲 籍永建 陳司晨仇天陽(yáng) 劉志兵 周天豐 王西彬

1.北京理工大學(xué)先進(jìn)加工技術(shù)國(guó)防重點(diǎn)學(xué)科實(shí)驗(yàn)室,北京,100081 2.北京神工科技有限公司,北京,100013 3.北京信息科技大學(xué)機(jī)電系統(tǒng)測(cè)控北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京,100192

0 引言

工業(yè)機(jī)器人由于其靈活性、智能性、經(jīng)濟(jì)性等優(yōu)勢(shì)而被廣泛應(yīng)用于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)件的加工。然而，由于機(jī)器人開(kāi)鏈?zhǔn)蕉嘧杂啥鹊慕Y(jié)構(gòu)特點(diǎn)，導(dǎo)致其剛性與機(jī)床相比相差將近兩個(gè)數(shù)量級(jí)[1]，銑削過(guò)程極易產(chǎn)生顫振，嚴(yán)重降低了加工表面質(zhì)量與精度。理論推導(dǎo)機(jī)器人銑削穩(wěn)定性葉瓣圖是對(duì)機(jī)器人銑削穩(wěn)定性控制的一種有效方式[2]，其關(guān)鍵是對(duì)機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)的準(zhǔn)確獲取[3-5]。由于機(jī)器人刀尖頻響函數(shù)的位姿依賴性，如何在變位姿下準(zhǔn)確獲取機(jī)器人刀尖頻響函數(shù)，成為機(jī)器人銑削領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。

目前用于獲取加工系統(tǒng)頻響函數(shù)的方法主要有模態(tài)實(shí)驗(yàn)法、子結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合法(receptance coupling substructure analysis, RCSA)[5-6]與基于實(shí)驗(yàn)的有限元分析法[7-8]。2000年，SCHMITZ等[9]推導(dǎo)出了裝配體頻響與各子結(jié)構(gòu)頻響的函數(shù)關(guān)系，首次提出了子結(jié)構(gòu)響應(yīng)耦合方法。隨后的研究者將該方法用于機(jī)床頻響計(jì)算、結(jié)合部建模與刀尖頻響預(yù)測(cè)。李宇庭[3]運(yùn)用子結(jié)構(gòu)耦合方法結(jié)合模態(tài)實(shí)驗(yàn)建立了機(jī)器人刀尖頻響預(yù)測(cè)模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其準(zhǔn)確性。不過(guò)加工系統(tǒng)子結(jié)構(gòu)之間的連接狀態(tài)模型和連接參數(shù)的辨識(shí)一直是該方法的難題，辨識(shí)方法還處于研究階段，距離工程應(yīng)用還有一定差距[10]，此外，該方法中的刀柄、刀具以及主軸端的頻響多依賴有限元仿真與實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)分析，預(yù)測(cè)模型建立的工作量較大。2013 年，加拿大的LAW等[11]利用有限元方法，提出了降階模型機(jī)床位置依賴的多體動(dòng)力學(xué)建模方法，提高了機(jī)床刀尖頻響預(yù)測(cè)效率。MOUSAVI等[12-13]基于矩陣結(jié)構(gòu)分析(matrix structural analysis，MSA)方法的思想，利用ANSYS有限元模態(tài)仿真分析對(duì)MATLAB數(shù)值模型進(jìn)行參數(shù)初步標(biāo)定，再通過(guò)模態(tài)實(shí)驗(yàn)對(duì)未知參數(shù)進(jìn)行最后標(biāo)定。有限元法雖適用于對(duì)不同結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，但對(duì)于大型加工系統(tǒng)而言，隨著網(wǎng)格數(shù)增加，計(jì)算效率顯著降低，因此預(yù)測(cè)精確性與計(jì)算效率不可兼具。此外，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也提出了其他方法用于機(jī)器人銑削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析。CHEN等[4]利用已知一定空間范圍內(nèi)機(jī)器人銑削位姿的實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)，提出逆距離加權(quán)法，計(jì)算出任意位姿的頻響函數(shù)，并驗(yàn)證了該方法在一定加工范圍內(nèi)的準(zhǔn)確性。MOHAMMADI等[14]與PAN等[15]在研究機(jī)器人銑削中軸向振動(dòng)對(duì)加工穩(wěn)定性的影響，以及機(jī)器人銑削中的模態(tài)耦合顫振產(chǎn)生機(jī)理與抑制方法時(shí)，將機(jī)器人本體簡(jiǎn)化為質(zhì)量-彈簧-阻尼模型，分別計(jì)算模型中的質(zhì)量、剛度與阻尼矩陣。總體而言，對(duì)加工系統(tǒng)頻響預(yù)測(cè)方法的研究普遍存在效率與準(zhǔn)確性無(wú)法兼具的問(wèn)題。

對(duì)于機(jī)器人銑削系統(tǒng)的頻響預(yù)測(cè)，大都將末端主軸系統(tǒng)結(jié)合面考慮為剛性連接[3-5，12-15]，ALTINTAS等[16]指出，將主軸-刀柄結(jié)合面看作柔性，系統(tǒng)的頻響函數(shù)會(huì)受到影響，因此，在建模過(guò)程中不應(yīng)簡(jiǎn)單地將主軸系統(tǒng)整體簡(jiǎn)化為剛性連接。趙萬(wàn)華等[17]提出一種可以考慮刀具-夾套、夾套-刀柄以及刀柄-主軸結(jié)合面接觸特性的主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)解析建模方法，解決了傳統(tǒng)主軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型中的結(jié)合面接觸剛度通過(guò)實(shí)驗(yàn)識(shí)別的方法獲取時(shí)通用性差的問(wèn)題。但目前在機(jī)器人銑削系統(tǒng)的頻響預(yù)測(cè)研究中，很少對(duì)結(jié)合面接觸剛度的因素進(jìn)行考慮。

綜上，本文提出了一種考慮主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度的機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響預(yù)測(cè)方法。將機(jī)器人本體動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化為質(zhì)量-彈簧-阻尼模型，并結(jié)合歐拉-拉格朗日法、關(guān)節(jié)剛度辨識(shí)與比例阻尼模型依次確定了機(jī)器人的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。在此基礎(chǔ)上，將末端執(zhí)行器的質(zhì)量與幾何參數(shù)補(bǔ)償?shù)奖倔w動(dòng)力學(xué)模型中，并建立了主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度解析模型，基于有限元主副自由度理論對(duì)本體模型進(jìn)行二次補(bǔ)償，從而構(gòu)建了機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響預(yù)測(cè)模型。

1 機(jī)器人銑削系統(tǒng)頻響預(yù)測(cè)模型建立

1.1 機(jī)器人本體動(dòng)力學(xué)建模

建立機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響預(yù)測(cè)模型首先需要對(duì)機(jī)器人本體動(dòng)力學(xué)進(jìn)行建模。機(jī)器人銑削加工中進(jìn)給速度遠(yuǎn)低于切削速度，因此本體動(dòng)力學(xué)方程中的慣性力(即科里奧利力和離心力)影響可以忽略；同時(shí)忽略非線性慣性力的影響，考慮機(jī)器人關(guān)節(jié)柔性，將本體動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化為圖1所示的質(zhì)量-彈簧-阻尼線性系統(tǒng)[14]。同時(shí)假設(shè)工件相對(duì)于機(jī)器人系統(tǒng)為剛性，因此可忽略加工中的工件變形。在以上簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上，機(jī)器人銑削加工系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型可由微分方程表示：

圖1 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型簡(jiǎn)化示意圖Fig.1 Simplified diagram of robot dynamics model

(1)

式中，M、C、K分別為機(jī)器人基坐標(biāo)系中的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；x(t)為位移矢量；F(t)為切削力矢量。

1.1.1機(jī)器人質(zhì)量矩陣計(jì)算

機(jī)器人本體動(dòng)力學(xué)模型中的質(zhì)量矩陣M通過(guò)將關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的質(zhì)量矩陣?yán)醚趴杀染仃囎儞Q到基坐標(biāo)系下得到：

M=J-TMqJ-1

(2)

(3)

關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的質(zhì)量矩陣Mq通過(guò)KUKA KR210工業(yè)機(jī)器人慣性參數(shù)結(jié)合機(jī)器人改進(jìn)D-H模型參數(shù)，利用歐拉-拉格朗日法推導(dǎo)得出。圖2所示為實(shí)驗(yàn)用機(jī)器人的CAD模型，示出了該機(jī)器人通過(guò)模型導(dǎo)出的連桿2的質(zhì)量、初始位姿下的慣性張量和基坐標(biāo)系中的質(zhì)心坐標(biāo)。通過(guò)機(jī)器人的工作空間圖提取桿長(zhǎng)數(shù)據(jù)，建立了機(jī)器人的改進(jìn)D-H模型，其D-H參數(shù)如表1所示。各個(gè)連桿的慣性參數(shù)與D-H參數(shù)作為數(shù)值模型的初始輸入?yún)?shù)。

圖2 KUKA KR210工業(yè)機(jī)器人CAD模型與連桿慣性參數(shù)提取Fig.2 CAD model of KUKA KR210 industrial robot and inertia parameter extraction of links

表1 KUKA KR210 型機(jī)器人的改進(jìn)D-H參數(shù)表Tab.1 Modified D-H parameter table of KUKA KR210 robot

根據(jù)歐拉-拉格朗日方程[18]，關(guān)節(jié)空間中的質(zhì)量矩陣如下所示：

(4)

式中，mi為連桿i的質(zhì)量；Jvi(q)和Jωi(q)分別為連桿i雅可比矩陣的上半部和下半部；Ri(q)為連桿i的定向變換矩陣；Ici為連桿i質(zhì)心的慣性張量矩陣。

1.1.2機(jī)器人剛度矩陣計(jì)算

機(jī)器人剛度矩陣通過(guò)將關(guān)節(jié)剛度矩陣?yán)醚趴杀染仃囎儞Q到機(jī)器人基坐標(biāo)系下得到：

K=J-TKqJ-1

(5)

式中，Kq為關(guān)節(jié)坐標(biāo)系下的對(duì)角剛度矩陣。

機(jī)器人各關(guān)節(jié)剛度值通過(guò)載荷實(shí)驗(yàn)辨識(shí)獲得。在機(jī)器人法蘭邊緣一點(diǎn)施加載荷，對(duì)比加載與空載狀態(tài)下的位移偏差，改變載荷質(zhì)量與施力方向重復(fù)多次，根據(jù)下式：

Fo=J-TKqJ-1D

(6)

式中，F(xiàn)o為外力；D為由于外力產(chǎn)生的位移變量。

利用最小二乘法擬合出機(jī)器人各關(guān)節(jié)剛度值。由于力矩值較小，此處只考慮測(cè)量點(diǎn)的位移變量。

測(cè)量對(duì)象為KUKA KR210工業(yè)機(jī)器人，采用Leica AT960/930型號(hào)的激光跟蹤儀進(jìn)行位移測(cè)量，實(shí)驗(yàn)原理和實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖3所示。

(a)實(shí)驗(yàn)原理

(b)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖3 機(jī)器人關(guān)節(jié)剛度測(cè)試實(shí)驗(yàn)Fig.3 Robot joint stiffness test experiment

首先將激光跟蹤儀的坐標(biāo)系與機(jī)器人基坐標(biāo)系重合，這樣激光跟蹤儀即可測(cè)量機(jī)器人基坐標(biāo)系中某點(diǎn)坐標(biāo)值。隨后用繩子和滑輪裝置在機(jī)器人末端分別懸掛10 kg、20 kg、30 kg的砝碼；分別將靶球安裝在圖3b中A、B位置，利用激光跟蹤儀測(cè)量向量AB的值作為力矢量F的方向(繩子方向)，將砝碼所施加力按照向量AB的方向余弦進(jìn)行分解，即可得到基坐標(biāo)系下x、y、z方向的分力。再用激光跟蹤儀測(cè)得機(jī)器人末端位置空載與加載的位移變量，即可擬合關(guān)節(jié)剛度值[19]。更換滑輪C1到C2改變載荷方向重復(fù)實(shí)驗(yàn)。

擬合結(jié)果如下：

Kq=diag(3.3479×106，3.1318×106，4.2895×106，

2.4787×105，6.4292×105，1.8847×105) N·m/rad

(7)

1.1.3機(jī)器人阻尼矩陣計(jì)算

阻尼矩陣采用比例阻尼模型計(jì)算[20]，可將其簡(jiǎn)化為已獲得的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的線性組合：

C=αK+βM

(8)

其中，α、β由刀尖頻響實(shí)驗(yàn)標(biāo)定得到。

1.2 主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度建模

1.2.1模型建立

由于主軸系統(tǒng)靠近刀尖，對(duì)刀尖動(dòng)力學(xué)影響較大，將主軸-刀柄結(jié)合面剛性處理會(huì)對(duì)頻響函數(shù)預(yù)測(cè)精度造成誤差，因此建立主軸-刀柄結(jié)合面剛度模型。

在主軸-刀柄結(jié)合面剛度建模中，同時(shí)考慮法向、切向與扭轉(zhuǎn)接觸剛度，采用均布的彈簧單元模擬主軸-刀柄結(jié)合面剛度特性[17]，如圖4a所示。將主軸與刀柄的接觸區(qū)域沿軸向劃分為N個(gè)單元，每個(gè)單元簡(jiǎn)化為以中徑為直徑的梁，每個(gè)單元的主軸面與刀柄面通過(guò)相對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)處產(chǎn)生的耦合力與力矩相互作用[21]，如圖4b所示。

(a)結(jié)合面整體彈簧單元分布

(b)結(jié)合面單元彈簧分布圖4 主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度模型Fig.4 Contact stiffness model of spindle-toolholder interface

當(dāng)兩個(gè)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其耦合力與力矩可由下式表示：

(9)

式中，ui1、vi1、θi1分別為部件A第i個(gè)單元沿x、y和繞z方向的位移量；ui2、vi2、θi2分別為部件B第i個(gè)單元沿x、y和繞z方向的位移量；kix、kiy、kiθ分別為結(jié)合面第i個(gè)單元沿x、y和繞z方向的接觸剛度；cix、ciy、ciθ分別為結(jié)合面第i個(gè)單元沿x、y和繞z方向的阻尼；Fx、Fy、Mz分別為結(jié)合面第i個(gè)單元沿x、y和繞z方向產(chǎn)生的耦合力與力矩。

相應(yīng)的每對(duì)節(jié)點(diǎn)的接觸剛度矩陣表示如下：

(10)

將每對(duì)節(jié)點(diǎn)的接觸剛度矩陣kij按照有限元法組裝即可得到整個(gè)結(jié)合面的總剛度矩陣KJ。

式(10)矩陣中接觸剛度kix、kiy和kiθ需要通過(guò)對(duì)主軸-刀柄結(jié)合錐面的法向、切向與角接觸剛度進(jìn)行計(jì)算進(jìn)而變換到機(jī)器人的基坐標(biāo)系下獲得。

圖5為刀柄的受力示意圖，靜態(tài)下，主軸拉刀力使結(jié)合面產(chǎn)生接觸剛度。

圖5 刀柄結(jié)合錐面受力示意圖Fig.5 Force diagram of toolholder joint

平衡方程為

(11)

式中，F(xiàn)為主軸拉刀力；Fn為結(jié)合錐面所受法向正壓力；Fμ為結(jié)合錐面所受切向摩擦力；θ為錐角；μ為錐面摩擦因數(shù)。

刀柄接觸面的法向正壓力為

(12)

主軸-刀柄結(jié)合面接觸面積為

(13)

式中，Di為刀柄結(jié)合錐面第i個(gè)單元的大徑尺寸；di為刀柄結(jié)合錐面第i個(gè)單元的小徑尺寸；Li為刀柄結(jié)合錐面第i個(gè)單元的軸向長(zhǎng)度。

主軸-刀柄結(jié)合面第i個(gè)單元所受壓力為

(14)

根據(jù)吉村允孝的單位面積法[22]，第i個(gè)單元的法向接觸剛度為

(15)

式中，α′、β′為結(jié)合面基礎(chǔ)特性參數(shù)，由實(shí)驗(yàn)擬合得到。

結(jié)合面的切向剛度系數(shù)一般為法向剛度系數(shù)的1/3～2/3[22]，本文取每個(gè)單元的切向接觸剛度為其法向接觸剛度的1/2。

主軸-刀柄結(jié)合錐面第i個(gè)單元的角接觸剛度為

(16)

(17)

(18)

式中，kit為主軸-刀柄結(jié)合錐面的切向接觸剛度；li1與li2為幾何相關(guān)系數(shù)；Dim為主軸-刀柄結(jié)合面第i個(gè)單元中徑。

角接觸剛度的詳細(xì)計(jì)算原理見(jiàn)文獻(xiàn)[17]。

1.2.2結(jié)合面剛度矩陣的降階變換

有限元法將連續(xù)體(無(wú)限多自由度的系統(tǒng))離散為有限的N階自由度系統(tǒng)[23]，而本模型只考慮較低階模態(tài)，為最終簡(jiǎn)化為二自由度系統(tǒng)，需要將總剛度矩陣KJ的維數(shù)進(jìn)一步減小。利用有限元方法中的主副自由度理論，按照加速動(dòng)力縮聚法，將矩陣左上角一定維數(shù)的元素定為主自由度，其他部分作為副自由度[24]，進(jìn)行矩陣變換。

將主自由度記為δa，副自由度記為δb，總剛度矩陣按照所選取的主副自由度個(gè)數(shù)分塊表示：

(19)

只考慮主副自由度間的彈性聯(lián)系，則主副自由度間滿足以下約束方程：

Kbaδa+Kbbδb=0

(20)

由此可得

(21)

(22)

(23)

式中，T為變換方程，是一個(gè)長(zhǎng)方形矩陣。

將總剛度矩陣KJ變換為所需的低階剛度矩陣：

(24)

最后，綜合考慮機(jī)器人本體與末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)以及主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度，將式(24)代入式(1)中，加工系統(tǒng)的整體動(dòng)力學(xué)方程如下：

(25)

2 模型標(biāo)定與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2.1 模型標(biāo)定

由于機(jī)器人執(zhí)行末端結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，幾何、材料等相關(guān)數(shù)據(jù)無(wú)法準(zhǔn)確獲取，另外阻尼系數(shù)未知，因此需要對(duì)這些參數(shù)進(jìn)行標(biāo)定。在將末端執(zhí)行器與機(jī)器人第六軸看作剛性連接的情況下，選擇預(yù)測(cè)模型中第六軸的質(zhì)量m6與桿長(zhǎng)d6作為調(diào)整參數(shù)來(lái)標(biāo)定仿真頻響函數(shù)的固有頻率，選擇阻尼系數(shù)α、β作為調(diào)整參數(shù)來(lái)標(biāo)定仿真頻響函數(shù)的幅值。本文利用模態(tài)實(shí)驗(yàn)獲得不同位姿下的多組系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)，基于建立的考慮主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度的機(jī)器人銑削系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)使實(shí)驗(yàn)與數(shù)值仿真得到的頻響函數(shù)的固有頻率及其峰值差值最小化，來(lái)識(shí)別數(shù)值模型中以上的未知參數(shù)[13]。根據(jù)下面的公式通過(guò)數(shù)值模型計(jì)算得到頻響函數(shù)：

(26)

式中，ωnk、ηk分別為數(shù)值模型的第k階模態(tài)的固有頻率和阻尼比；pik、pjk為數(shù)值模型的第k階模態(tài)的振型矢量；Fj(ω)和Xi(ω)分別為在數(shù)值模型自由度j上的激勵(lì)力和自由度i上的位移量。

將1.1.1節(jié)與1.1.3節(jié)得到的質(zhì)量矩陣與阻尼矩陣轉(zhuǎn)化到模態(tài)空間后，可得到第k階模態(tài)質(zhì)量mk和模態(tài)阻尼ck。

加工系統(tǒng)安裝的是FIACHER SD5084型號(hào)的主軸和TRIBOS-S HSK-E32型號(hào)的刀柄。實(shí)驗(yàn)設(shè)備使用安裝有YD-5T型石英傳感器的力錘敲擊刀尖產(chǎn)生激勵(lì)信號(hào)，使用INV9822型加速度傳感器采集刀尖處的響應(yīng)信號(hào)，加速度傳感器靈敏度為10.355 mV/(m·s-2)，采用INV3062T型4通道數(shù)據(jù)采集卡，采樣頻率設(shè)置為5120Hz。最后利用此套設(shè)備配備的模態(tài)分析模塊計(jì)算得到實(shí)驗(yàn)頻響函數(shù)。機(jī)器人銑削系統(tǒng)與信號(hào)采集設(shè)備和實(shí)驗(yàn)示意圖見(jiàn)圖6。

(a)系統(tǒng)與采集設(shè)備

(b)實(shí)驗(yàn)示意圖圖6 實(shí)驗(yàn)設(shè)備與測(cè)試示意圖Fig.6 Experimental equipment and test diagram

標(biāo)定過(guò)程如圖7所示。首先進(jìn)行頻率標(biāo)定，調(diào)整m6、d6兩參數(shù)使仿真頻響的固有頻率與實(shí)驗(yàn)重合，如圖7b所示；再進(jìn)行阻尼標(biāo)定，調(diào)整α、β兩參數(shù)使仿真頻響的峰值與實(shí)驗(yàn)重合，如圖7c所示；此過(guò)程改變位姿重復(fù)進(jìn)行多次，優(yōu)化所選參數(shù)的標(biāo)定值。

(a)未標(biāo)定

(b)頻率標(biāo)定

(c)阻尼標(biāo)定圖7 數(shù)值模型標(biāo)定過(guò)程示意圖Fig.7 Numerical model calibration process diagram

2.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響函數(shù)預(yù)測(cè)模型的準(zhǔn)確性，開(kāi)展刀尖頻響函數(shù)測(cè)試實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)隨機(jī)選取機(jī)器人的5個(gè)位姿,如表2所示，采用錘擊法對(duì)刀尖頻響函數(shù)進(jìn)行測(cè)試，并與上述數(shù)值模型計(jì)算得到的頻響結(jié)果對(duì)比，以驗(yàn)證本文提出的數(shù)值模型的準(zhǔn)確性。

表2 所選機(jī)器人位姿的各關(guān)節(jié)角Tab.2 Joint angles of the selected robot postures

采用式(26)的頻響預(yù)測(cè)數(shù)值模型對(duì)以上所選的機(jī)器人位姿進(jìn)行仿真頻響計(jì)算。在主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度矩陣計(jì)算中，將刀柄與主軸的結(jié)合面沿軸向劃分為6個(gè)單元，每個(gè)單元建立一組彈簧模型。本文所用主軸與刀柄接觸部分材料為鋼，在無(wú)潤(rùn)滑接觸情況下，主軸與刀柄的摩擦因數(shù)μ取為0.15，結(jié)合面基礎(chǔ)特性參數(shù)α′、β′依據(jù)文獻(xiàn)[22]分別選取為3 262 540與0.604。

所選位姿下刀尖頻響的實(shí)驗(yàn)與仿真對(duì)比結(jié)果如圖8所示，表3給出各位姿下仿真與實(shí)驗(yàn)得到的幅值與固有頻率以及兩者的相對(duì)誤差。實(shí)驗(yàn)所得頻響函數(shù)隨位姿變化，這是不同位姿下加工系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性有所改變導(dǎo)致的。提出的預(yù)測(cè)模型將機(jī)器人各關(guān)節(jié)角度作為變量，考慮了位姿變化的影響，結(jié)果表明，提出的機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響預(yù)測(cè)方法計(jì)算出的頻響函數(shù)與實(shí)驗(yàn)得到的頻響函數(shù)相比，固有頻率誤差最大不超過(guò)6.63%，幅值誤差最大不超過(guò)9.80%，驗(yàn)證了考慮主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度的機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響預(yù)測(cè)方法的有效性。造成仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間誤差的原因如下：①所用加速度傳感器的自身質(zhì)量在測(cè)量時(shí)會(huì)對(duì)刀尖動(dòng)力學(xué)造成一定影響；②實(shí)驗(yàn)所用模態(tài)分析軟件在將加速度信號(hào)進(jìn)行兩次積分算得位移信號(hào)時(shí)不可避免地產(chǎn)生計(jì)算誤差；③對(duì)模型的簡(jiǎn)化造成一定誤差，如將末端執(zhí)行器與機(jī)器人法蘭看作完全剛性連接等。

(a)P1

(b)P2

(c)P3

(d)P4

(e)P5圖8 所選位姿下刀尖頻響實(shí)驗(yàn)與仿真對(duì)比結(jié)果Fig.8 Comparison of experimental and simulation results of tool tip frequency response under selected postures

表3 由模態(tài)實(shí)驗(yàn)與數(shù)值模型得到的刀尖頻響結(jié)果對(duì)比Tab.3 The comparison of tool-tip frequency responses obtained by modal experiment and numerical model

3 結(jié)論

通過(guò)機(jī)器人本體動(dòng)力學(xué)模型與末端結(jié)合面動(dòng)力學(xué)模型疊加，提出一種考慮主軸-刀柄結(jié)合面接觸剛度的機(jī)器人銑削系統(tǒng)刀尖頻響預(yù)測(cè)方法，并通過(guò)加工系統(tǒng)的刀尖模態(tài)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果表明，隨機(jī)位姿下實(shí)驗(yàn)與模型仿真的誤差都能控制在10%以內(nèi)，說(shuō)明所述方法可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)機(jī)器人銑削系統(tǒng)的刀尖頻響函數(shù)，減小了對(duì)大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果的依賴，并在保證足夠預(yù)測(cè)精度的基礎(chǔ)上簡(jiǎn)化了模型建立過(guò)程，提高了計(jì)算效率。