高等數(shù)學(xué)教學(xué)中課程思政的探索與思考
——以定積分的概念為例

劉彩云 蔣詩泉 張 濤 汪濤波

（1.銅陵學(xué)院，安徽 銅陵 244061；2.銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244061）

一、引言

為貫徹和落實(shí)教育部《高等學(xué)校課程思政建設(shè)指導(dǎo)綱要》和《教育部高等教育司2021年工作要點(diǎn)》，全面加強(qiáng)高校課程思政建設(shè)，緊緊抓住教師隊(duì)伍“主力軍”、課程建設(shè)“主戰(zhàn)場(chǎng)”、課堂教學(xué)“主渠道”，各高校積極響應(yīng)號(hào)召，把立德樹人放在首位，轉(zhuǎn)變教學(xué)思路，積極開展課程思政建設(shè)，使各類課程與思政課程同向同行，形成協(xié)同效應(yīng)，實(shí)現(xiàn)全員全程全方位育人[1]。但是課程思政并不是簡單地將思政內(nèi)容增加到課程教學(xué)中，而是要將思想政治教育目標(biāo)和課程內(nèi)容有機(jī)地融合為一體，將顯性教育和隱性教育相統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)春風(fēng)化雨，潤物無聲。

在此背景下，高校教師紛紛開展課程研究與實(shí)踐，將思政教育融入到教學(xué)中，且已取得了豐碩的成果[2-4]。但是，還有一些問題未得到研究。首先，這些研究大都是建立在傳統(tǒng)研究型高?；A(chǔ)上，對(duì)于地方應(yīng)用型高校關(guān)注甚少[5]。顯然，應(yīng)用型本科高校作為高等教育體系的一個(gè)重要組成部分，其課程思政建設(shè)也理應(yīng)受到重視。其次，這些研究大部分是探討人文課程思政，很少有研究基于經(jīng)濟(jì)類專業(yè)的高等數(shù)學(xué)課程。經(jīng)濟(jì)類高等數(shù)學(xué)課程主要是面向經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)本科生進(jìn)入大學(xué)面臨的第一門公共基礎(chǔ)課，課時(shí)多、時(shí)間長、抽象性、邏輯性強(qiáng)的特點(diǎn)，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供基礎(chǔ)和方法，主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。在銅陵學(xué)院，每年大約有2，000多名經(jīng)管類大一新生學(xué)習(xí)該門課程。作為一名授課教師，在傳授專業(yè)知識(shí)的同時(shí)更應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生使其形成正確的人生觀、價(jià)值觀、價(jià)值觀，對(duì)學(xué)生進(jìn)行全方位浸潤式的思政教育。因此，找到應(yīng)用型本科院校實(shí)踐課程思政的邏輯及方法是一個(gè)亟待解決的問題。

本文以高等數(shù)學(xué)中定積分的概念為例，基于應(yīng)用型本科高校的背景，融合課程思政特色，采用問題驅(qū)動(dòng)法、案例教學(xué)法和啟發(fā)式法相結(jié)合的教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂各環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在掌握定積分的概念的同時(shí)，講中國故事，傳播中國聲音，提升學(xué)生的文化自信感和民族自豪感，并提高其解決實(shí)際問題的能力。本文提出的在高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)中自然融入思政教育的邏輯及方法具體且可行，具有普遍性和一定的推廣價(jià)值。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)思路

本節(jié)課將思政內(nèi)容融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，從講中國故事出發(fā)，圍繞“創(chuàng)設(shè)情境—提出問題—分析問題—建立模型—解決問題—課后拓展”為主線，進(jìn)行定積分的概念的學(xué)習(xí)和討論。首先，通過播放中國版圖歷代演變的視頻，介紹中國輝煌的歷史，并從不規(guī)則的版圖，引出不規(guī)則圖形的面積測(cè)量計(jì)算問題，結(jié)合中國歷史、民族復(fù)興、家國情懷，激發(fā)學(xué)生興趣。其次，將問題抽象成數(shù)學(xué)模型，即曲邊梯形面積計(jì)算問題，借助于圓周率的計(jì)算過程，引導(dǎo)學(xué)生從類似的角度，思考曲邊梯形面積的計(jì)算問題，結(jié)合當(dāng)時(shí)中國圓周率計(jì)算在世界的領(lǐng)先地位，增強(qiáng)民族自豪感。再次，對(duì)曲邊梯形面積無限細(xì)分、無限求和，演示細(xì)分的過程，歸納總結(jié)步驟，引出定積分的定義，繼而給出定義中的注意點(diǎn)及定積分符號(hào)表示，結(jié)合思政內(nèi)容進(jìn)行數(shù)學(xué)美育教育并指出暗含的哲學(xué)思想。隨后，應(yīng)用上述理論引導(dǎo)學(xué)生回到最初需要解決的問題，并聯(lián)系身邊的實(shí)際，舉例說明如何計(jì)算生活中常見的問題，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力，并鼓勵(lì)繼續(xù)努力學(xué)習(xí)，為我國科學(xué)、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展貢獻(xiàn)自己的力量。最后，課堂小結(jié)及課后思考，引導(dǎo)學(xué)生課后繼續(xù)探索思考，落腳生活中的大思政。教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)圖如下圖1所示。

圖1 定積分的概念課程思政設(shè)計(jì)及教學(xué)內(nèi)容關(guān)系圖

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，問題導(dǎo)入

以中國地圖五千年的變化視頻作為導(dǎo)入，簡要介紹中國輝煌的歷史：唐朝開國之后逐漸結(jié)束了自隋末以來的群雄割據(jù)局面并統(tǒng)一了全國，唐高宗在位期間唐朝疆域面積達(dá)到最大值，約為1,237萬平方公里[6]。由此增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。隨后，從不規(guī)則的版圖測(cè)量問題，引出不規(guī)則圖形的面積計(jì)算問題。

（二）分析問題，數(shù)學(xué)建模

進(jìn)一步引導(dǎo)，同學(xué)們畢業(yè)后從事國家建設(shè)，你如何解決此類問題呢？大到國家版圖小到自己生活的小區(qū)經(jīng)常要測(cè)量一些不規(guī)則圖形的面積。以一幅小區(qū)規(guī)劃圖為例，如何計(jì)算面積呢？先讓學(xué)生思考，然后給出自己的做法，以小區(qū)周圍的馬路為直線，以湖為曲線抽象到平面直角坐標(biāo)系中，利用動(dòng)畫展示實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型問題，形成一個(gè)即由直線x=a,x=b,y=0及曲線y=f(x)所圍成的類似于梯形的圖形，我們稱之為曲邊梯形，由此建立了一個(gè)數(shù)學(xué)模型，求解一個(gè)曲邊梯形的面積問題，其中函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上非負(fù)、連續(xù)。過程中的部分截圖如圖2所示。

圖2 實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型的過程

那么圖2中的曲邊梯形的面積又如何計(jì)算呢？從實(shí)際問題出發(fā)，展示數(shù)學(xué)模型建立過程，解決問題，體現(xiàn)學(xué)以致用，以后從事社會(huì)主義建設(shè)，要有一定的職業(yè)意識(shí)、職業(yè)素養(yǎng)。

（三）模型分析，概念講解

要解決所提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生能否從古人的智慧中得到啟發(fā)？舉出我國數(shù)學(xué)家劉徽關(guān)于圓周率計(jì)算的例子。早在1,700年前我國偉大數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)》中就提出了“割圓術(shù)”，用圓的內(nèi)接正多邊形近似代替圓，讓多邊形的邊數(shù)增加，然后求出多邊形的面積近似代替圓的面積，進(jìn)而求出圓周率。劉徽計(jì)算到3，072邊形的面積，得到圓周率為3.141，6。此時(shí)進(jìn)一步介紹數(shù)學(xué)家劉徽的關(guān)于圓周率的科學(xué)計(jì)算，奠定了此后一千多年中國圓周率的計(jì)算在世界的領(lǐng)先地位，讓學(xué)生了解中國數(shù)學(xué)的輝煌歷史，以此激發(fā)學(xué)生愛國情懷，引導(dǎo)他們未來的學(xué)習(xí)和工作中奮發(fā)圖強(qiáng)承接中國科學(xué)之光。同時(shí)人工計(jì)算3，072邊形的面積，計(jì)算的繁雜要求付出大量的時(shí)間和堅(jiān)持不懈的毅力，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)家們求知、求真、努力、創(chuàng)新、堅(jiān)持的科學(xué)家精神。如今中美貿(mào)易戰(zhàn)，美國在科技等方面打壓中國，特別是芯片、刻錄機(jī)等領(lǐng)域的限制與封鎖，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揚(yáng)古代數(shù)學(xué)家的科研精神，研發(fā)更多自主知識(shí)產(chǎn)權(quán)的核心技術(shù)，為科技強(qiáng)國而貢獻(xiàn)自己的力量。在課程中將思想政治教育目標(biāo)和課程內(nèi)容有機(jī)的融合為一體，將顯性教育和隱性教育相統(tǒng)一，起到育人效果。接著借助教具演示割圓術(shù)的過程，如圖3所示。

圖3 割圓術(shù)的過程

進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考割圓術(shù)的核心思想是什么呢？此時(shí)，大部分學(xué)生都能知道是極限。進(jìn)一步了解極限的產(chǎn)生過程，無論是從我國《莊子·天下篇》中體現(xiàn)的極限思想開始，還是從古希臘哲學(xué)家對(duì)“不可再分”的想法開始，到書本中標(biāo)準(zhǔn)的、教科書式的極限定義，時(shí)間跨度近兩千多年。在這兩千多年里，有多少天才數(shù)學(xué)家在為“極限”這一思想貢獻(xiàn)智慧，當(dāng)我們看到書本中短短幾行的極限概念時(shí)，應(yīng)意識(shí)到這簡練的、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)亩x是千百年來無數(shù)數(shù)學(xué)家和思想家們智慧的結(jié)晶。此處體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)謹(jǐn)、精練和數(shù)學(xué)家們精神。

接下來引導(dǎo)利用極限的這種無限逼近的思想來測(cè)量不規(guī)則圖形的面積。如果用1個(gè)矩形面積近似曲邊梯形的面積，此時(shí)誤差較大，如何縮小誤差呢？如果把圖形隨機(jī)劃分成4個(gè)小的曲邊梯形，用4個(gè)矩形的面積和近似替代4個(gè)曲邊梯形的面積，相比1個(gè)矩形4個(gè)矩形的誤差明顯縮小。進(jìn)一步如果把4個(gè)曲邊梯形隨機(jī)劃分成8個(gè)曲邊梯形，用8個(gè)矩形的面積和近似替代8個(gè)曲邊梯形的面積，如此劃分下去，將大曲邊梯形轉(zhuǎn)化為n個(gè)小的曲邊梯形，每個(gè)小的矩形面積近似為曲邊梯形的面積，當(dāng)無限細(xì)分，n無限細(xì)分趨于∞時(shí)，無限求和，面積之和的極限是固定值，由此取極限求出曲邊梯形的面積。此處，大到小是對(duì)立的，但通過求和得到了統(tǒng)一；常量與變量、近似值與精確值是對(duì)立的，但通過求和得到了統(tǒng)一，體現(xiàn)了唯物辯證法中對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律。在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生哲學(xué)思想的滲透，不僅能夠使學(xué)生更好地了解并掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，更能夠提高學(xué)生運(yùn)用唯物辯證法的觀點(diǎn)發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、最終解決問題。過程如圖4。

圖4 曲邊梯形的分割過程

通過分析，得到了解決此類問題的方法和思路，即把整體分割成局部，用好求的量近似代替，然后求和得到整體的近似值，最后取極限得到精確值[7]。整個(gè)過程的思路就是：無限細(xì)分，無限求和。有了求解類似問題的思路和方法，然后用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言求出曲邊梯形的面積。具體的方法分為4個(gè)步驟：

(1)分割（大化?。涸趨^(qū)間[a,b]中任意插入n-1個(gè)分點(diǎn)a=x0＜x1＜x2＜…xn-1＜xn=b，過那些插入的點(diǎn)作Y軸的平行線，將曲邊梯形分割成n個(gè)小的曲邊梯形，每一個(gè)小梯形的區(qū)間長度記為△xi=xi-xi-1。

(2)近似（常代變）：在第i個(gè)小梯形中任取一點(diǎn)ζ∈[xi-1,xi]，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(ζi)，以f(ζi)為高和△xi為寬作小矩形，得到第i個(gè)曲邊梯形的面積△Ai≈f(ζi)△xi，其他小曲邊梯形作類似的近似。

(3)求和（近似和）：將n個(gè)小矩形面積之和當(dāng)作曲邊梯形面積A的近似值。

(4)極限（取極限）：為保證所有小區(qū)間的長度都無限縮小，將小區(qū)間中最大長度趨于0，即(這時(shí)分段數(shù)n無限增多，即n→∞)，得到曲邊梯形的面積A=。

在這4個(gè)步驟中無論是分割、近似、求和都是量變的過程，求出來的都是精確值，但通過取極限，實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍，得到的是精確值，體現(xiàn)了唯物辯證法中量變質(zhì)變規(guī)律。通過此問題的求解，既訓(xùn)練的學(xué)生的數(shù)學(xué)建模過程，又得到了一種重要的思想和方法，把它歸納成一個(gè)概念，就是定積分。然后給出定積分的完整定義，強(qiáng)調(diào)一定要掌握定積分中所蘊(yùn)含的方法和思路，后面將要學(xué)習(xí)的二重積分、三重積分、曲線積分和曲面積分都要用到定積分的這種方法和思想。從大局上說明高等數(shù)學(xué)中大部分內(nèi)容和定積分有關(guān)，后面常用到定積分，給定積分一些符號(hào)說明。進(jìn)而采用PPT動(dòng)畫對(duì)符號(hào)進(jìn)行說明，如下圖5。

圖5 符號(hào)說明

然后指出定義的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性及積分符號(hào)的演變史，積分符號(hào)是求和英文字母首字母的變形，引導(dǎo)對(duì)科學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度和體會(huì)數(shù)學(xué)符號(hào)的簡潔美。然后回到最初的問題，用定積分表示出最初的曲邊梯形的面積。拓展到以后求不規(guī)則圖形的面積，只要用定積分，達(dá)到學(xué)以致用的效果。

（四）應(yīng)用理論，聯(lián)系實(shí)際

至此，已經(jīng)給出了定積分的概念，一開始提出的不規(guī)則圖形面積計(jì)算問題也得到了解決，然后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考生活中，我們還有哪些問題可以采用此方法解決呢？讓學(xué)生思考、討論，積極參與課堂，引導(dǎo)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，解決實(shí)際問題。隨后舉一個(gè)時(shí)下熱門智能手機(jī)的例子，既聯(lián)系生活實(shí)際又符合學(xué)生的興趣。隨著智能手機(jī)的普及，讓人們的生活得到了極大的方便，那大家在用手機(jī)上網(wǎng)時(shí)，比較關(guān)心的手機(jī)流量問題，又如何測(cè)算呢？分析網(wǎng)速的隨時(shí)間變化而變化的特點(diǎn)與定積分的概念之間的聯(lián)系，問題得到解決。

同時(shí)指出一個(gè)個(gè)重大科技的背后都需要扎實(shí)的基礎(chǔ)理論作為支撐。目前我國仍然存在“卡脖子”的芯片問題，鼓勵(lì)學(xué)生認(rèn)真學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，為國家的科學(xué)技術(shù)貢獻(xiàn)力量。在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，存在很多與國家科技和經(jīng)濟(jì)發(fā)展相結(jié)合的思政內(nèi)容，比如我國探月工程與無窮積分，我國的高鐵建設(shè)與導(dǎo)數(shù)等等，在學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，增強(qiáng)學(xué)生的民族自豪感，激勵(lì)學(xué)生努力學(xué)習(xí)科學(xué)文化知識(shí)，為祖國的繁榮富強(qiáng)作出努力，達(dá)到開拓視野的效果，引導(dǎo)學(xué)生做有志青年。

（五）課堂小結(jié)，落腳思政

課堂小結(jié)定積分的思想和方法：大化小，常代變，近似和，取極限。同時(shí)指出當(dāng)中滲透著唯物辯證法的兩大規(guī)律：大與小是對(duì)立的，但通過求和得到了統(tǒng)一；常量與變量、近似值與精確值是對(duì)立的，但通過取極限得到統(tǒng)一；無論是分割、近似、求和都是量變過程，得到的都是近似值，而通過取極限得到精確值，實(shí)現(xiàn)了質(zhì)的飛躍。從而對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律、量變質(zhì)量規(guī)律得到體現(xiàn)，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)和工作中一定要用科學(xué)的思想武裝自己的頭腦。

（六）繼續(xù)探索，課后思考

在掌握了定積分的概念后，解決了課上提出的不規(guī)則圖形的面積計(jì)算問題及手機(jī)流量計(jì)算問題。課后讓學(xué)生搜集到關(guān)于定積分概念應(yīng)用的其他案例．比如變力所受的阻力問題、不規(guī)則圖形的曲線長度問題、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題等等，以布置這樣開放性作業(yè)的形式，讓學(xué)生了解我國近幾年科技創(chuàng)新、經(jīng)濟(jì)建設(shè)等方面取得的成績，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)習(xí)目的更加明確。在課后思考中體現(xiàn)生活中的大思政。

四、結(jié)語

課程思政是當(dāng)前高校思政工作的新形勢(shì)，受到了廣泛關(guān)注。本文以高等數(shù)學(xué)中定積分的概念為例，探討應(yīng)用型本科院校如何落實(shí)課程思政。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)從播放上下五千年的中國地圖變化出發(fā)，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。接著從身邊實(shí)際問題小區(qū)面積計(jì)算出發(fā)，引出對(duì)不規(guī)則圖形（曲邊梯形）的面積計(jì)算問題。隨后回顧古代數(shù)學(xué)家劉徽的割圓術(shù)方法和思想，類比出曲邊梯形面積計(jì)算的方法。緊扣割圓術(shù)的核心思想：分割、近似、求和、極限，層層遞進(jìn)，著重培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力。最后，將這種思維應(yīng)用到解決實(shí)際問題中。鼓勵(lì)學(xué)生挖掘更多國民經(jīng)濟(jì)建設(shè)和重大科技進(jìn)展背后的基礎(chǔ)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，同時(shí)了解到我國整體經(jīng)濟(jì)和科技水平，提高學(xué)生的國情意識(shí)，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感，進(jìn)而提高解決經(jīng)濟(jì)和科技問題的能力。課后請(qǐng)學(xué)生繼續(xù)收集有關(guān)的實(shí)際問題，讓學(xué)生感受到生活中的數(shù)學(xué)無處不在，激發(fā)學(xué)生在生活中思考數(shù)學(xué)的熱情。